9805. Каждый плоский угол четырёхгранного угла равен 60^{\circ}
. Найдите отношение радиусов касающихся сфер, вписанных в этот четырёхгранный угол.
Ответ. (2-\sqrt{3}):1
.
Решение. На лучах данного четырёхгранного угла с вершиной S
отложим отрезки SA=SB=SC=SD=a
. Тогда SABC
— правильная четырёхугольная пирамида, все рёбра которой равны a
. Действительно, боковые грани этой пирамиды — равносторонние треугольники со стороной a
, боковые рёбра равны, поэтому высота проходит через центр описанной окружности основания (см. задачу 7163), а ромб, около которого можно описать окружность, — квадрат.
Пусть SH
— высота пирамиды, а K
— середина ребра AB
. Обозначим \angle KSH=\varphi
. Из прямоугольного треугольника KSH
находим, что
\sin\varphi=\frac{HK}{SK}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры касающихся сфер радиусов r
и R
, вписанных в данный четырёхгранный угол. Точки O_{1}
и O_{2}
лежат на прямой SH
, а точки касания с гранями — на биссектрисах плоских углов. Пусть M
и N
— точки касания сфер радиусов соответственно r
и R
с биссектрисой угла ASB
, т. е. с лучом SK
. Рассмотрим сечение четырёхгранного угла и сфер плоскостью HSK
. Получим касающиеся внешним образом окружности радиусов r
и R
с центрами O_{1}
и O_{2}
на луче SH
, касающиеся луча SK
в точках M
и N
. Пусть O_{1}F
— перпендикуляр к O_{2}N
. Из прямоугольного треугольника O_{1}O_{2}F
получим, что O_{2}F=O_{1}O_{2}\sin\varphi
, или
R-r=(R+r)\frac{1}{\sqrt{3}}~\Leftrightarrow~\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3}.