9811. Ребро правильного тетраэдра равно 1. Прямая, проходящая через середины рёбер AB
и CD
, есть ось цилиндра, каждая из окружностей оснований которого пересекает остальные рёбра тетраэдра. Найдите высоту цилиндра, если она относится к его радиусу как 2:3
.
Ответ. \frac{1}{4}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Тогда MN=\frac{\sqrt{2}}{2}
(см. задачу 7046). Плоскость каждого основания цилиндра перпендикулярна прямой MN
. Рёбра AB
и CD
тоже перпендикулярны прямой MN
, поэтому обе такие плоскости параллельны AB
и CD
, а так как AB\perp CD
, то соответствующие сечения тетраэдра — прямоугольники.
Пусть одна из эти плоскостей пересекает рёбра AD
, BD
, BC
и AC
в точках X
, Y
, Z
и T
. Окружность основания цилиндра проходит через эти точки, а значит, описана около прямоугольника XYZT
. Центр этой окружности — точка пересечения диагоналей XZ
и YT
, поэтому эти диагонали — диаметры окружности основания цилиндра. Аналогично для второго сечения.
Заметим, что плоскости оснований цилиндра равноудалены от прямых AB
и CD
. Предположим, что плоскость сечения XYZT
расположена от прямой AB
на расстоянии, меньшем половины MN
. Пусть высота цилиндра равна 2h
. Тогда расстояние от точки M
до этой плоскости (так же, как и расстояние от точки N
до плоскости второго основания цилиндра) равно
\frac{MN-2h}{2}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-2h}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}-h.
Из подобия получаем, что отношение \frac{AX}{AD}
равно отношению найденного расстояния к длине отрезка MN
, т. е.
\frac{AX}{AD}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}-h}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{2}-h\sqrt{2}.
Значит,
XY=AB\cdot\left(\frac{1}{2}-h\sqrt{2}\right)=\frac{1}{2}-h\sqrt{2}.
Аналогично, XT=\frac{1}{2}+h\sqrt{2}
.
Радиус r
основания цилиндра равен половине диагонали YT
прямоугольника XYZT
. Учитывая, что r=3h
, из прямоугольного треугольника XYZ
находим, что
r^{2}=36h^{2}=YT^{2}=XY^{2}+XT^{2}=\left(\frac{1}{2}-h\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}+h\sqrt{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+4h^{2},
откуда h=\frac{1}{8}
. Следовательно, 2h=\frac{1}{4}
.