9814. В четырёхугольную пирамиду с равными боковыми рёбрами, основанием которой служит параллелограмм, вписан цилиндр, ось которого параллельна стороне основания пирамиды. Найдите объём цилиндра, если:
1) стороны параллелограмма равны 12 и 30, высота пирамиды равна 8;
2) стороны параллелограмма равны 10 и 18, высота пирамиды равна 12.
Ответ. 1) \frac{135\pi}{2}
или \frac{675\pi}{64}
.
2) \frac{405\pi}{32}
или \frac{800\pi}{9}
.
Решение. Боковые рёбра пирамиды равны, значит, высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания (см. задачу 7163), а параллелограмм, около которого можно описать окружность, — прямоугольник.
1) Пусть основание пирамиды SABCD
— прямоугольник ABCD
с центром H
и сторонами AB=30
и BC=12
, а M
, N
, K
и L
— середины сторон BC
, AD
, AB
и CD
соответственно. Если ось вписанного в пирамиду цилиндра параллельна стороне AB
, одна из образующих цилиндра лежит на отрезке MN
, а окружности оснований вписаны в сечения пирамиды плоскостями, параллельными плоскости KSL
и отстоящими от сторон BC
и AD
на равные расстояния.
Пусть r
и h
— радиус и высота цилиндра, P
и Q
— точки касания окружностей оснований с отрезком MN
(P
между M
и H
), X
и Y
— точки касания окружностей оснований цилиндра с боковыми гранями BSC
и ASD
соответственно. Тогда PQ=h
, а расстояние от прямой XY
до плоскости основания пирамиды равно 2r
.
В сечении пирамиды и цилиндра плоскостью KSL
получим равнобедренный треугольник и вписанную в него окружность с центром O
радиуса r
. При этом точка O
лежит на биссектрисе угла SKO
.
Из прямоугольного треугольника KHS
находим, что
KH=\sqrt{SK^{2}-SH^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6,
а так как KO
— биссектриса треугольника SKH
, то
\frac{OK}{OS}=\frac{KH}{KS}=\frac{6}{10}=\frac{5}{3}
(см. задачу 1509). Учитывая, что OK+KS=8
, получаем r=3
.
В сечении пирамиды и цилиндра плоскостью MSN
получим равнобедренный треугольник MSN
и вписанный в него прямоугольник PXYQ
со сторонами PQ=h
и PX=2r=6
. Пусть Z
— точка пересечения отрезков SH
и XY
. Из подобия треугольников XSY
и MSN
получаем \frac{XY}{MN}=\frac{SZ}{SH}
, или \frac{h}{30}=\frac{8-6}{8}=\frac{1}{4}
, откуда h=\frac{15}{2}
. Следовательно,
V_{\mbox{цилиндра}}=\pi r^{2}h=\pi\cdot9\cdot\frac{15}{4}=\frac{135\pi}{2}.
Для цилиндра, ось которого параллельна стороне BC
, аналогично находим, что V_{\mbox{цилиндра}}=\frac{675\pi}{64}
.
2) Решение аналогично.