9826. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
с основаниями ABCDEF
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
. Середины боковых рёбер AA_{1}
и DD_{1}
являются центрами окружностей оснований цилиндра, боковая поверхность которого касается прямой, проходящей через середины отрезков AF
и BD
. Боковое ребро призмы равно 1. Найдите радиус цилиндра и отношение, в котором точка касания делит проходящую через неё образующую.
Ответ. r=\frac{1}{2}
; 3:5
.
Решение. Если прямая l
касается боковой поверхности цилиндра, то радиус r
цилиндра равен расстоянию от оси до прямой l
. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от произвольной точки одной из прямых до плоскости, проведённой через вторую прямую параллельно первой. В нашем случае это расстояние от оси цилиндра до плоскости основания ABCDEF
призмы, т. е. r=\frac{1}{2}
.
Пусть M
и N
— середины боковых рёбер соответственно AA_{1}
и DD_{1}
данной призмы, P
— середина ребра AF
, Q
— середина диагонали BD
основания ABCDEF
с центром O
, H
— точка пересечения прямой PQ
с ребром CD
, X
— точка касания боковой поверхности цилиндра с прямой PQ
.
Пусть сторона правильного шестиугольника ABCDEF
равна 6a
. Точка Q
— середина отрезка OC
, поэтому QC=3a
и QF=9a
. Треугольник CQH
подобен треугольнику FQP
с коэффициентом
\frac{QC}{QF}=\frac{3a}{9a}=\frac{1}{3},
поэтому CH=\frac{1}{3}PF=a
, а DH=5a
. Треугольник AXP
подобен треугольнику DXH
с коэффициентом
\frac{AP}{DH}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}.
Следовательно, \frac{AX}{XD}=\frac{3}{5}
.