9840. Через вершину S
конуса с высотой SO
проведена плоскость \alpha
, параллельная плоскости \beta
основания. Прямая, касающаяся боковой поверхности конуса в точке M
, пересекает эти плоскости в точках M_{1}
и M_{2}
соответственно. На прямую, проходящую через точку M_{2}
параллельно SM_{1}
, опущен перпендикуляр ON
. Докажите, что ON
— радиус основания конуса, а SM:MN=SM_{1}:NM_{2}
.
Решение. Пусть SN'
— образующая конуса, проходящая через точку M
. Тогда плоскость \gamma
, проведённая через пересекающиеся прямые SM_{1}
и MM_{2}
, пересекает плоскость \beta
по прямой, параллельной SM_{1}
(см. задачу 8009) и касающейся окружности основания конуса в точке N'
. Значит, точка N'
совпадает с N
. Следовательно, ON\perp M_{2}N
и ON
— радиус окружности.
Из подобия треугольников SMM_{1}
и NMM_{2}
следует, что SM:MN=SM_{1}:NM_{2}
.