9848. Центры трёх шаров радиуса R
находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной 2R
. Шары касаются боковой поверхности цилиндра, ось которого перпендикулярна стороне треугольника и образует с его плоскостью угол \alpha
. Найдите радиус цилиндра.
Ответ. \frac{R(\sqrt{3}\sin\alpha\pm1)^{2}}{2\sqrt{3}\sin\alpha}
.
Решение. Пусть r
— искомый радиус, а r_{0}
— радиус цилиндра с той же осью и с боковой поверхностью, проходящей через центры шаров. Тогда r=r_{0}\pm R
.
Пусть ABC
— данный равносторонний треугольник стороной 2R
. Образующая цилиндра радиуса r_{0}
перпендикулярна прямой AB
, значит, через эту прямую можно провести плоскость, перпендикулярную этой образующей. Пусть эта плоскость пересекает образующую в точке C'
, H
— середина отрезка AB
. Тогда r_{0}
— радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC'
с основанием AB
, C'H
— высота этого треугольника, а \angle HCC'=\alpha
.
Из прямоугольного треугольника HCC'
находим, что
C'H=CH\sin\alpha=R\sqrt{3}\cdot\sin\alpha.
Тогда
BC'=AC'=\sqrt{AH^{2}+C'H^{2}}=\sqrt{R^{2}+3R^{2}\sin^{2}\alpha}=R\sqrt{1+3\sin^{2}\alpha},
\sin\angle C'AH=\frac{C'H}{AC'}=\frac{R\sqrt{3}\cdot\sin\alpha}{R\sqrt{1+3\sin^{2}\alpha}}=\frac{\sqrt{3}\sin\alpha}{\sqrt{1+3\sin^{2}\alpha}}.
Значит, по теореме синусов
r_{0}=\frac{BC'}{2\sin\angle C'AH}=\frac{R\sqrt{1+3\sin^{2}\alpha}}{\frac{2\sqrt{3}\sin\alpha}{\sqrt{1+3\sin^{2}\alpha}}}=\frac{R(1+3\sin^{2}\alpha)}{2\sqrt{3}\sin\alpha}.
Следовательно,
r=r_{0}\pm R=\frac{R(1+3\sin^{2}\alpha)}{2\sqrt{3}\sin\alpha}\pm R=R\left(\frac{1+3\sin^{2}\alpha}{2\sqrt{3}\sin\alpha}\pm1\right)=\frac{R(\sqrt{3}\sin\alpha\pm1)^{2}}{2\sqrt{3}\sin\alpha}.