9850. Центры четырёх шаров радиуса R
расположены в вершинах правильного тетраэдра с ребром 2R
. Шары касаются боковой поверхности цилиндра, ось которого перпендикулярна прямой, проходящей через середины противоположных рёбер тетраэдра, и образует с одним из этих рёбер угол \alpha
. Найдите радиус цилиндра.
Ответ. R\left(\frac{\sqrt{9-\sin^{2}2\alpha}}{2\sqrt{2}}\pm1\right)
.
Указание. См. задачу 9849.
Решение. Пусть r
— искомый радиус, а r_{0}
— радиус цилиндра с той же осью и с боковой поверхностью, проходящей через центры шаров. Тогда r=r_{0}\pm R
, т. е.
r=2R\cdot\frac{\sqrt{9-\sin^{2}2\alpha}}{4\sqrt{2}}\pm R=R\left(\frac{\sqrt{9-\sin^{2}2\alpha}}{2\sqrt{2}}\pm1\right)
(см. задачу 9849).