9855. Все вершины правильного октаэдра с ребром 1 лежат на боковой поверхности цилиндра, ось которого перпендикулярна грани октаэдра. Найдите радиус цилиндра.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Рассмотрим правильный октаэдр PABCDQ
как объединение двух правильных четырёхугольных пирамид PABCD
и QABCD
, все рёбра которых равны 1, а вершины P
и Q
симметричны относительно плоскости ABCD
. Пусть ось цилиндра перпендикулярна плоскости APB
. Ортогональная проекция октаэдра на эту плоскость — шестиугольник, вписанный в окружность сечения цилиндра плоскостью APB
, т. е. в окружность, описанную около треугольника APB
. Радиус этой окружности равен \frac{\sqrt{3}}{3}
как радиус описанной окружности равностороннего треугольника со стороной 1.