9860. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна S
. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной боковой грани и проходящей через: 1) центр основания; 2) середину высоты пирамиды.
Ответ. 1) \frac{5}{4}S
; 2) \frac{25}{16}S
.
Решение. Пусть PABCDEF
— правильная шестиугольная пирамида с вершиной P
, O
— центр основания ABCDEF
, M
— середина высоты PO
, K
и N
— середины рёбер AB
и DE
соответственно. Обозначим AB=a
, PM=k
. Тогда S_{\triangle APB}=\frac{1}{2}ak=S
, поэтому ak=2S
.
1) Секущая плоскость проходит через прямую CF
, параллельную плоскости DPE
, поэтому прямая l
пересечения этих плоскостей параллельна прямой CF
(см. задачу 8003, а значит, и прямой DE
. Пусть прямая l
пересекает рёбра PD
и PE
в точках X
и Y
соответственно, а апофему PN
— в точке Z
. Тогда OZ\parallel PK
, поэтому Z
— середина PN
, а XY
— средняя линия треугольника DPE
. Сечение пирамиды — равнобедренная трапеция CYXF
с основаниями CF=2a
, XY=a
и высотой OZ
. Следовательно,
S_{CYXF}=\frac{1}{2}(CF+XY)\cdot OZ=\frac{1}{2}\left(2a+\frac{1}{2}a\right)\cdot\frac{1}{2}k=\frac{5}{8}ak=\frac{5}{8}\cdot2S=\frac{5}{4}S.
2) По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей (см. задачу 8009) секущая плоскость пересекается с плоскостью KPN
по прямой m
, параллельной PK
, а так как секущая плоскость проходит через середину M
высоты PO
, то прямая m
проходит через середину L
отрезка OK
, а прямая пересечения секущей плоскостью с основанием пирамиды параллельна AB
и пересекает рёбра BC
и AF
в их серединах Q
и F
соответственно.
Пусть прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью CPF
пересекает рёбра PC
и PF
в точках G
и H
соответственно. Тогда GH
средняя линия треугольника CPF
, поэтому GH=\frac{1}{2}CF=a
.
Пусть прямая m
пересекает апофему PN
в точке W
. Тогда PW:PN=KL:KN=1:4
. Пусть прямая пересечения секущей плоскости с гранью DPE
пересекает рёбра PD
и PE
в точках U
и V
соответственно. Тогда UV\parallel DE
и UV:DE=PW:PN=1:4
. Значит, UV=\frac{1}{4}DE=\frac{1}{4}a
.
Рассматриваемое сечение — шестиугольник QGUVHT
. Представим его в виде объединения двух равнобедренных трапеций QGHT
с основаниями
QT=\frac{1}{2}(AB+CF)=\frac{1}{2}(a+2a)=\frac{3}{2}a,~GH=\frac{1}{2}CF=a
и высотой
LM=\frac{1}{2}PK=\frac{1}{2}k
и GHVU
с основаниями GH=a
, UV=\frac{1}{4}a
и высотой
MW=\frac{1}{2}OR=\frac{1}{2}LW=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}PK=\frac{1}{4}k,
где R
— середина NW
.
Следовательно,
S_{QGUVHT}=S_{QGHT}+S_{GHVU}=\frac{1}{2}(QT+GH)\cdot LM+\frac{1}{2}(GH+UV)\cdot MW=
=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}a+a\right)\cdot\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{4}a\right)\cdot\frac{1}{4}k=
=\frac{5}{8}ak+\frac{5}{32}ak=\frac{25}{32}ak=\frac{25}{32}\cdot2S=\frac{25}{16}S.