9864. Найдите величину части поверхности правильного тетраэдра с ребром a
, заключённой внутри шара, диаметр которого — высота тетраэдра.
Ответ. \frac{2a^{2}}{27}(3\sqrt{3}+2\pi)
.
Решение. Пусть DH
— высота правильного тетраэдра ABCD
с ребром a
, M
и N
— точки пересечения рёбер соответственно DA
и DB
с поверхностью шара с диаметром DH
, O
— основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость ADB
. Тогда HM
— высота прямоугольного треугольника AHD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
DM=\frac{DH^{2}}{AD}=\frac{\frac{2}{3}a^{2}}{a}=\frac{2}{3},
а так как O
— центр окружности радиуса r
, описанной около равностороннего треугольника MDN
со стороной \frac{2}{3}a
, то
r=\frac{\frac{2}{3}a\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{2a\sqrt{3}}{9}.
Пусть площадь криволинейного треугольника MDN
, ограниченного отрезками DN=DM=\frac{2}{3}a
и меньшей дугой MN
описанной окружности треугольника MDN
, равна S
. Эта площадь равна сумме площадей равных треугольников DON
и DOM
и площади сектора с углом \angle MON=120^{\circ}
, т. е.
S=\frac{2}{3}\cdot\cdot\frac{\left(\frac{2}{3}a\right)^{2}}{4}+\frac{1}{3}\pi\left(\frac{2a\sqrt{3}}{9}\right)^{2}=\frac{2a^{2}\sqrt{3}}{27}+\frac{4\pi a^{2}}{81}=\frac{2a^{2}}{81}(3\sqrt{3}+2\pi).
Следовательно, искомая величина равна
3S=\frac{2a^{2}}{27}(3\sqrt{3}+2\pi).