9866. Прямая, проходящая через середины противоположных рёбер правильного тетраэдра, является осью цилиндра, окружности оснований которого касаются граней тетраэдра в их центрах. Найдите отношение объёма цилиндра к объёму тетраэдра.
Ответ. \frac{\pi}{18}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер соответственно AB
и CD
правильного тетраэдра ABCD
с ребром a
, P
и Q
— центры граней ABC
и ADC
соответственно, r
и h
— радиус основания и высота цилиндра.
Окружность одного из оснований цилиндра касается граней тетраэдра ABC
и ADC
в точках P
и Q
, а плоскость этого основания перпендикулярна прямой MN
, поэтому, окружность основания касается в точках P
и Q
противоположных сторон прямоугольника — сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки P
и Q
параллельно AB
и CD
. Значит, PQ
— диаметр окружности,
r=\frac{1}{2}PQ=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}CD=\frac{1}{6}a,
а расстояние этой плоскости до ребра AB
равно трети MN
, т. е. \frac{1}{3}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a}{3\sqrt{2}}
(см. задачу 7046). Аналогично, плоскость второго основания цилиндра удалена от ребра CD
на то же расстояние, значит, расстояние между плоскостями оснований равно трети MN
, т. е. h=\frac{a}{3\sqrt{2}}
. Следовательно,
V_{\mbox{цилиндра}}=\pi r^{2}h=\pi\frac{1}{36}a^{2}\cdot\frac{a}{3\sqrt{2}}=\frac{\pi a^{3}}{108\sqrt{2}},
а так как
V_{\mbox{тетраэдра}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}
(см. задачу 7040), то
\frac{V_{\mbox{цилиндра}}}{V_{\mbox{тетраэдра}}}=\frac{\frac{\pi a^{3}}{108\sqrt{2}}}{\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}}=\frac{\pi}{18}.