9868. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан цилиндр, осевое сечение которого — квадрат. Ось цилиндра параллельна диагонали основания пирамиды. Найдите радиус основания цилиндра, если:
1) боковое ребро пирамиды равно 5, а её высота равна 4;
2) боковое ребро пирамиды равно 5, а её высота равна 3.
Ответ. 1) 1
; 2) 1
.
Решение. 1) Пусть ось цилиндра параллельна диагонали AC
основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
, боковое ребро SA=1
, высота SH=4
, H
— центр квадрата ABCD
, r
— радиус основания цилиндра.
Окружности оснований цилиндра вписаны в сечения пирамиды плоскостями, параллельными плоскости BSD
. Эти плоскости отсекают от данной пирамиды треугольные пирамиды, подобные треугольной пирамиде ABDS
. Пусть AB_{1}D_{1}S
— одна из этих пирамид, а коэффициент подобия равен k
. Тогда r=kR
, где R
— радиус окружности с центром O
, вписанной в равнобедренный треугольник BSD
со сторонами SD=SB=5
, высотой SH=4
и основанием BD=2\sqrt{25-16}=6
. Отрезок BO
— биссектриса треугольника SBH
, поэтому OH:OS=BH:SB=3:5
(см. задачу 1509), откуда
R=OH=\frac{3}{8}SH=\frac{3}{8}\cdot4=\frac{3}{2}.
Значит, r=kR=\frac{3}{2}k
.
Пусть вписанная окружность треугольника B_{1}S_{1}D_{1}
касается стороны B_{1}D_{1}
в точке P
(это точка касания окружности основания цилиндра с плоскостью основания пирамиды). Тогда из подобия AP=kAH=3k
. Отрезок PH
— половина высоты цилиндра, поэтому PH=r=\frac{3}{2}k
, а так как AP+PH=AH
, то 3k+\frac{3}{2}k=3
, откуда k=\frac{2}{3}
. Следовательно,
r=kR=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=1.
2) Решение аналогично решению пункта 1).
Примечание. Радиус r
вписанной в треугольник окружности можно было найти по-другому, например, по формуле r=\frac{S}{p}
, где S
— площадь треугольника, а p
— полупериметр (см. задачу 452).