9869. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 10 и 18. Высота пирамиды проходит через центр ромба и равна 12. Найдите радиусы оснований вписанных в пирамиду цилиндров, осевые сечения которых — квадраты, а оси параллельны диагоналям ромба.
Ответ. \frac{90}{37}
или \frac{45}{19}
.
Решение. Пусть ось цилиндра параллельна диагонали AC=18
основания ABCD
пирамиды SABCD
, высота пирамиды SH=4
, H
— центр ромба ABCD
, r
— радиус основания цилиндра.
Окружности оснований цилиндра вписаны в сечения пирамиды плоскостями, параллельными плоскости BSD
. Эти плоскости отсекают от данной пирамиды треугольные пирамиды, подобные треугольной пирамиде ABDS
. Пусть AB_{1}D_{1}S
— одна из этих пирамид, а коэффициент подобия равен k
. Тогда r=kR
, где R
— радиус окружности с центром O
, вписанной в равнобедренный треугольник BSD
с основанием BD=10
, высотой SH=12
и боковыми сторонами SD=SB=\sqrt{25+144}=13
. Отрезок BO
— биссектриса треугольника SBH
, поэтому OH:OS=BH:SB=5:13
(см. задачу 1509), откуда
R=OH=\frac{5}{18}SH=\frac{5}{18}\cdot12=\frac{10}{3}.
Значит, r=kR=\frac{10}{3}k
.
Пусть вписанная окружность треугольника B_{1}S_{1}D_{1}
касается стороны B_{1}D_{1}
в точке P
(это точка касания окружности основания цилиндра с плоскостью основания пирамиды), Тогда из подобия AP=kAH=9k
. Отрезок PH
— половина высоты цилиндра, поэтому PH=r=\frac{10}{3}k
, а так как AP+PH=AH
, то 9k+\frac{10}{3}k=9
, откуда k=\frac{27}{37}
. Следовательно,
r=kR=\frac{10}{3}\cdot\frac{27}{37}=\frac{90}{37}.
Для цилиндра, ось которого параллельна диагонали BD
ромба, аналогично найдём
R=\frac{9}{2},~k=\frac{10}{19},~r=\frac{45}{19}.
Примечание. Радиус r
вписанной в треугольник окружности можно было найти по-другому, например, по формуле r=\frac{S}{p}
, где S
— площадь треугольника, а p
— полупериметр (см. задачу 452).