9875. Прямая, проходящая через центры противоположных граней куба, является осью конуса, вершина которого совпадает с центром одной из этих граней, а окружность основания пересекает рёбра куба, не содержащиеся в этих гранях. Диагональ куба равна 1. Найдите длину отрезка диагонали куба, заключённого внутри конуса, если отношение высоты конуса к ребру куба равно:
1) 1:1
; 2) 3:4
; 3) 1:2
; 4) 1:4
; 5) 2:3
; 6) 3:1
.
Ответ. 1) \frac{2}{3}
; 2) \frac{9}{20}
; 3) \frac{1}{4}
; 4) \frac{1}{12}
; 5) \frac{8}{21}
; 6) \frac{2}{15}
.
Решение. Пусть вершина конуса совпадает с центром O
грани ABCD
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, O_{1}
— центр грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, прямая OO_{1}
— ось конуса, окружность основания конуса пересекает рёбра AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
, причём ребра AA_{1}
и CC_{1}
в точках K
и M
соответственно, диагональ A_{1}C
пересекает боковую поверхность конуса в точках P
и Q
, а ось конуса — в точке T
(P
между C
и T
). Рассмотрим сечение куба и конуса плоскостью AA_{1}C_{1}C
.
1) В этом случае точки K
и M
совпадают с A_{1}
и C_{1}
соответственно, а Q
— с точкой A_{1}
. Треугольник CPO
подобен треугольнику A_{1}PC_{1}
с коэффициентом \frac{OC}{C_{1}A_{1}}=\frac{1}{2}
, следовательно,
PQ=PA_{1}=\frac{2}{3}CA_{1}=\frac{2}{3}.
2) Пусть OH
— высота конуса, CM:CC_{1}=OH:OO_{1}=3:4
. Треугольник CQM
подобен треугольнику A_{1}QK
с коэффициентом
\frac{CM}{KA_{1}}=\frac{\frac{3}{4}CC_{1}}{\frac{1}{4}CC_{1}}=3,
поэтому
MQ=\frac{3}{4}MK=\frac{3}{4}AC,~CQ=\frac{3}{4}CA_{1}=\frac{3}{4}.
Треугольник CPO
подобен треугольнику QPM
с коэффициентом
\frac{CO}{MQ}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{3}{4}AC}=\frac{2}{3}.
Следовательно,
PQ=\frac{3}{5}CQ=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{20}.
Остальные пункты решаются аналогично.