9879. Вершина конуса совпадает с вершиной A
единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, прямая AC_{1}
— ось конуса. Окружность основания конуса касается трёх граней трёхгранного угла с вершиной C_{1}
куба. Найдите длину содержащегося внутри конуса отрезка, соединяющего центры противоположных граней куба, если отношение высоты конуса к диагонали куба равно:
1) 11:12
; 2) 5:6
; 3) 3:4
; 4) 7:12
.
Ответ. 1) \frac{22}{161}
; 2) \frac{10}{33}
; 3) \frac{18}{35}
; 4) \frac{49}{76}
.
Решение. 1) Пусть AI
— высота конуса (рис. 1), X
— точка касания окружности основания с плоскостью A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, XY=2r
— диаметр окружности основания, O
и O_{1}
— центры граней ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно, P
и Q
точки пересечения отрезка OO_{1}
с боковой поверхностью конуса (Q
между P
и O
), \frac{AI}{AC_{1}}=\frac{11}{12}
. Тогда \frac{C_{1}I}{CI}=\frac{1}{12}
. Окружность основания конуса вписана в сечение куба плоскостью, параллельной плоскостям B_{1}CD_{1}
и BA_{1}D
, перпендикулярным диагонали AC_{1}
и разбивающим её на три равных отрезка (см. задачи 7212 и 7300). Это сечение — равносторонний треугольник C'B'D'
, подобный треугольнику B_{1}CD_{1}
. Пусть M
— точки пересечения диагонали AC_{1}
с плоскостью B_{1}CD_{1}
, т. е. центр равностороннего треугольника B_{1}CD_{1}
. Тогда коэффициент подобия равен
\frac{C_{1}I}{C_{1}M}=\frac{\frac{1}{12}AC_{1}}{\frac{1}{3}AC_{1}}=\frac{1}{4}.
Рассмотрим сечение куба плоскостью AA_{1}C_{1}C
(рис. 2). Положим A_{1}C_{1}=AC=24a
. Из подобия получаем, что C_{1}X=3a
, поэтому O_{1}X=9a
. Пусть прямые XY
и AC
пересекаются в точке K
. Тогда CKXO_{1}
— параллелограмм, поэтому CK=O_{1}X=9a
. Значит,
\frac{A'X}{A'K}=\frac{C_{1}X}{CK}=\frac{3a}{9a}=\frac{1}{3}.
Поскольку в равностороннем треугольнике A'Y=YI=IX=r
, то A'X=3r
, а A'K=3A'X=9r
, поэтому \frac{XY}{YK}=\frac{2r}{10r}=\frac{1}{5}
. Значит,
LX=\frac{1}{5}AK=\frac{1}{5}(9a+24a)=\frac{33}{5}a.
Из подобия треугольников AQO
и LQO_{1}
получаем, что
\frac{OQ}{QO_{1}}=\frac{OA}{O_{1}L}=\frac{12a}{\frac{33}{5}a+9a}=\frac{12a}{\frac{78}{5}a}=\frac{10}{13},
значит, OQ=\frac{10}{23}OO_{1}=\frac{10}{23}
Из подобия треугольников XO_{1}P
и AOP
получаем, что
\frac{O_{1}P}{OP}=\frac{O_{1}X}{OA}=\frac{9a}{12a}=\frac{3}{4},
значит, O_{1}P=\frac{3}{7}OO_{1}=\frac{3}{7}
. Следовательно,
PQ=OO_{1}-OQ-O_{1}P=1-\frac{10}{33}-\frac{3}{7}=\frac{22}{161}.
Остальные пункты решаются аналогично.