9883. Основание пирамиды SABCD
— трапеция ABCD
(BC\parallel AD
), в которой AD=10
, BC=5
, AB=3
. CD=4
. Ребро SD
пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 8. Точка M
— середина ребра AS
. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M
и перпендикулярной прямой CD
. Найдите площадь этого сечения.
Ответ. 9.
Решение. Пусть N
— середина ребра AD
. Тогда DN=AN=5=BC
и AN\parallel BC
, поэтому ABCN
— параллелограмм. Значит, CN=AB=3
и CN\parallel AB
. Треугольник CND
прямоугольный с прямым углом при вершине C
, так как CD^{2}+CN^{2}=16+9=25=DN^{2}
, поэтому CD\perp CN
(см. задачу 1972).
Отрезок MN
— средняя линия прямоугольного треугольника ASD
, поэтому MN\parallel SD
, значит, MN
— тоже перпендикуляр к плоскости ABCD
. Таким образом, прямая CD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CN
и MN
плоскости CMN
, поэтому плоскость CMN
перпендикулярна прямой CD
.
Эта плоскость проходит через прямую CN
, параллельную плоскости ASB
(см. задачу 8002), и имеет с плоскостью ASB
общую точку M
, поэтому эти две плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку M
параллельно CN
(см. задачу 8003), а значит, и AB
. Пусть эта прямая пересекает ребро SB
в точке K
. Тогда MK
— средняя линия треугольника ASB
. Следовательно, искомое сечение — трапеция CNMK
.
Поскольку MN
— перпендикуляр к плоскости ABCD
, трапеция CNMK
прямоугольная, MN=\frac{1}{2}SD=4
— её высота, а CN=3
и LM=\frac{1}{2}CN=\frac{3}{2}
— основания. Следовательно,
S_{CNMK}=\frac{1}{2}(CN+LM)\cdot MN=\frac{1}{2}\left(3+\frac{3}{2}\right)\cdot4=9.