9885. В правильной четырёхугольной призме проведены два параллельных сечения: одно проходит через диагональ основания призмы параллельно её диагонали, другое делит отрезок, соединяющий центры оснований, в отношении 1:3
. Известно, что площадь первого сечения равна S
. Найдите площадь второго.
Ответ. \frac{7}{4}S
.
Решение. Первый способ. Пусть O
и O_{1}
— центры оснований соответственно ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
правильной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а плоскость первого сечения проходит через диагональ AC
основания ABCD
параллельно диагонали BD_{1}
призмы. Тогда она пересекает боковое ребро DD_{1}
в его середине E
, так как OE\parallel BD_{1}
, а O
— середина отрезка BD
. Значит, первое сечение — равнобедренный треугольник AEC
с площадью S
.
Пусть плоскость второго сечения проходит через точку F
отрезка OO_{1}
, делящую его в отношении OF:FO_{1}=1:3
, и пересекает отрезки BD
и DD_{1}
в точках P
и Q
соответственно. Секущие плоскости параллельны, поэтому PQ\parallel OE
(см. задачу 8009). Пусть T
— центр призмы, т. е. общая середина BD_{1}
и OO_{1}
. Тогда F
— середина OT
, поэтому P
и Q
— середины OB
и ED_{1}
соответственно.
Вторая плоскость пересекает плоскость ABCD
по прямой, параллельной AC
. Пусть эта прямая пересекается с прямыми AD
и CD
в точках X
и Y
соответственно, с рёбрами AB
и BC
— в точках M
и N
соответственно, прямые QX
и QY
пересекают боковые рёбра AA_{1}
и CC_{1}
в точках K
и L
соответственно. Тогда сечение призмы второй плоскостью — пятиугольник KMNLQ
.
Точка P
— середина OB
, а MN\parallel AC
, поэтому M
и N
— середины рёбер AB
и BC
. Значит, прямоугольные треугольники AMX
, BMN
и YLN
равны по катету и прилежащему острому углу. Следовательно, XM=MN=NY
. Поскольку MK\parallel YQ
(см. задачу 8009), треугольник MKX
подобен треугольнику YQX
с коэффициентом \frac{1}{3}
. То же для треугольника NLY
. Кроме того, треугольник XQY
подобен треугольнику AEC
с коэффициентом \frac{XD}{AD}=\frac{3}{2}
. Значит,
S_{\triangle NLY}=S_{\triangle MKX}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\cdot S_{\triangle YQX}=\frac{1}{9}S_{\triangle YQX},
S_{\triangle XQY}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\cdot S_{\triangle AEC}=\frac{9}{4}S.
Следовательно,
S_{KMNLQ}=S_{\triangle XQY}-2S_{\triangle MKX}=\frac{9}{4}S-2\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{9}{4}S=\frac{7}{4}S.
Если O_{1}F:FO=1:3
, то соответствующее сечение — пятиугольник, равный пятиугольнику KMNLQ
.
Второй способ. Используем обозначения первого способа. Пусть площадь квадрата ABCD
равна s
. Обе секущие плоскости образуют один и тот же угол \varphi
с плоскостью основания призмы, поэтому отношение площадей сечений равно отношению площадей ортогональных проекций сечений на плоскость основания (см. задачу 8093), т. е.
\frac{S_{KMNLQ}}{S_{\triangle AEC}}=\frac{\frac{S_{ADCMN}}{\cos\varphi}}{\frac{S_{\triangle AEC}}{\cos\varphi}}=\frac{S_{ADCMN}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{S_{ABCD}-S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{s-\frac{1}{8}s}{\frac{1}{2}s}=\frac{7}{4}.
Следовательно,
S_{KMNLQ}=\frac{7}{4}S_{\triangle AEC}=\frac{7}{4}S.