9899. Точки K
, L
и M
лежат на рёбрах соответственно AD
, AB
и BC
тетраэдра ABCD
. Постройте сечение тетраэдра плоскостью KLM
, не выходя за пределы чертежа.
Решение. Рассмотрим случай расположения точек K
, L
и M
на изображении тетраэдра ABCD
, показанный на чертеже.
Первый способ. Через точку C
проведём прямую, параллельную LM
, до пересечения с ребром AB
в точке L_{1}
. Через точку L_{1}
проведём прямую, параллельную KL
, до пересечения с ребром AD
в точке K_{1}
. Соединив точки K_{1}
и C
, получим сечение тетраэдра ABCD
плоскостью, параллельной плоскости KLM
(см. признак параллельности плоскостей, задача 8008).
Через точку K
параллельно CK_{1}
проведём прямую, пересекающую ребро CD
в точке N
. Тогда четырёхугольник KLMN
— искомое сечение.
Второй способ. Проведём отрезки BK
и DL
. Пусть они пересекаются в точке Q
. Проведём прямую AQ
. Пусть она пересекает ребро BD
в точке F
. Проведём отрезки DM
и CF
. Пусть они пересекаются в точке P
. Проведём прямую BP
. Пусть она пересекает ребро CD
в точке N
. Тогда четырёхугольник KLMN
— искомое сечение.
Действительно, по теореме Чевы (см. задачу 1621)
\frac{DK}{KA}\cdot\frac{AL}{LB}\cdot\frac{BF}{FD}=1,~\frac{DF}{FB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{ND}=1.
Перемножив эти равенства, получим
\frac{DK}{KA}\cdot\frac{AL}{LB}\cdot\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{ND}=1.
Значит (см. примечание к задаче 9106), точки K
, L
, M
и N
лежат в одной плоскости. Следовательно, четырёхугольник KLMN
— искомое сечение.
Аналогично для любого другого расположения точек K
, L
и M
на указанных рёбрах тетраэдра ABCD
.