9907. Ребро куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равно a
. Прямые BA_{1}
и CB_{1}
— оси равных цилиндров, боковые поверхности которых касаются. Найдите радиусы цилиндров.
Ответ. \frac{a\sqrt{3}}{6}
.
Решение. Боковые поверхности цилиндров касаются, значит, у этих поверхностей есть общая точка и общая касательная плоскость, проходящая через эту точку, т. е. плоскость, имеющая с поверхностью каждого цилиндра единственную общую образующую. Тогда прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно общей касательной плоскости, пересекает ось каждого цилиндра. Следовательно, сумма радиусов цилиндров равна общему перпендикуляру скрещивающихся прямых BA_{1}
и CB_{1}
, т. е. \frac{a\sqrt{3}}{3}
(см. задачу 7175), а радиусы цилиндров равны \frac{a\sqrt{3}}{6}
.