9911. В тетраэдре ABCD
известно, что AB=12
, CD=30
, а каждое из остальных рёбер равно 5\sqrt{13}
. Цилиндрические поверхности двух равных конусов касаются друг друга, причём одна из них касается граней двугранного угла AB
, а другая — граней двугранного угла CD
. Найдите радиусы цилиндров.
Ответ. \frac{5}{3}
или 10.
Решение. Боковые поверхности цилиндров касаются, значит, у этих поверхностей есть общая точка и общая касательная плоскость, проходящая через эту точку, т. е. плоскость, имеющая с поверхностью каждого цилиндра единственную общую образующую. Тогда прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно общей касательной плоскости, пересекает ось каждого цилиндра. Следовательно, сумма радиусов цилиндров равна общему перпендикуляру их осей.
Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и MN
. Треугольники ADC
и BDC
равны по трём сторонами, поэтому равны и медианы AN
и BN
. Значит, треугольник ANB
равнобедренный, поэтому его медиана NM
является высотой, т. е. MN\perp AB
. Аналогично, MN\perp CD
, следовательно, отрезок MN
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
.
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников BMC
, BNC
и BMN
находим, что
CM=\sqrt{BC^{2}-BM^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{13})^{2}-6^{2}}=\sqrt{325-36}=\sqrt{289}=17,
BN=\sqrt{BC^{2}-CN^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{13})^{2}-15^{2}}=\sqrt{325-225}=\sqrt{100}=10,
MN=\sqrt{BN^{2}-BM^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{64}=8.
Пусть радиус цилиндров равен r
. В сечении тетраэдра плоскостью CMD
получается равнобедренный треугольник CMD
и вписанная в угол CMD
окружность радиуса r
с центром O_{1}
на биссектрисе MN
. При этом DMC
— линейный угол двугранного угла AB
. Пусть \angle DMC=\alpha
, а окружность касается отрезка CM
в точке P
. Тогда
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{CN}{CM}=\frac{15}{17},~MO_{1}=\frac{OP}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{r}{\frac{15}{17}}=\frac{17}{15}r.
Рассуждая аналогично, найдём, что расстояние NO_{2}
от точки N
до центра окружности радиуса r
, вписанной в угол ANB
равно \frac{5}{3}r
. При этом отрезок O_{1}O_{2}
общий перпендикуляр осей цилиндров.
Предположим, что точка O_{1}
лежит между M
и O_{2}
. Тогда, учитывая, что O_{1}O_{2}=2r
, получим
MO_{1}+O_{1}O_{1}+NO_{2}=MN,~\mbox{или}~\frac{17}{15}r+2r+\frac{5}{3}r=8,
откуда r=\frac{5}{3}
.
Если же точка O_{2}
лежит между M
и O_{1}
, аналогично,
MO_{1}+NO_{2}-O_{1}O_{2}=MN,~\mbox{или}~\frac{17}{15}r+\frac{5}{3}r-2r=8,
откуда r=10
.