9912. В тетраэдре ABCD
известно, что AB=CD=4
, а каждое из остальных рёбер равно 3
. Точки B
, C
и D
лежат на боковой поверхности конуса с вершиной A
. Найдите угол между образующей и высотой конуса.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Отложим на луче AB
отрезок AB_{1}=3
. Тогда точки B_{1}
, C
и D
лежат на окружности основания конуса с вершиной A
. Угол между образующей и высотой конуса — это угол \varphi
между боковым ребром AB_{1}
и высотой AH
треугольной пирамиды AB_{1}CD
с равными боковыми рёбрами AB_{1}=AC=AD=3
. При этом точка H
— центр окружности, описанной около треугольника B_{1}CD
(см. задачу 7163). Таким образом, достаточно найти радиус этой окружности.
Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Треугольник ADB
равнобедренный, AD=BD=3
, поэтому его медиана DM
является высотой. Из прямоугольного треугольника AMD
находим, что
\cos\angle DAB_{1}=\angle DAM=\frac{AM}{AD}=\frac{2}{3}.
По теореме косинусов
DB_{1}=\sqrt{AB_{1}^{2}+AD^{2}-2AB_{1}\cdot AD\cos\angle DAB_{1}}=\sqrt{9+9-2\cdot3\cdot3\cdot\frac{2}{3}}=\sqrt{6}.
Аналогично, CB_{1}=\sqrt{6}
. Из прямоугольного треугольника B_{1}DN
находим, что
B_{1}N=\sqrt{B_{1}D^{2}-DN^{2}}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}.
Пусть R
— радиус описанной окружности равнобедренного треугольника B_{1}CD
. Продолжим его медиану B_{1}N
за точку N
до пересечения с этой окружностью в точке K
. Тогда DN
— высота прямоугольного треугольника B_{1}DK
, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
DN^{2}=B_{1}N\cdot NK,~\mbox{или}~4=\sqrt{2}(2R-\sqrt{2}),
откуда R=\frac{3}{\sqrt{2}}
. Из прямоугольного треугольника AB_{1}H
находим, что
\sin\varphi=\sin\angle B_{1}AH=\frac{HB_{1}}{AB_{1}}=\frac{R}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Следовательно, \varphi=45^{\circ}
.
Второй способ. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Отрезок MN
— общая медиана, а значит, и высота равных равнобедренных треугольников ANB
и CMD
, значит, MN
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
. По теореме Пифагора
BN=AN=CM=DN=\sqrt{AD^{2}-DN^{2}}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5},~
MN=\sqrt{BN^{2}-BM^{2}}=\sqrt{5-4}=1.
Прямая AB
перпендикулярна плоскости CMD
, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым CM
и DM
этой плоскости. Отложим на луче AB
отрезок AB_{1}=3
. Тогда точки B_{1}
, C
и D
лежат на окружности основания конуса с вершиной A
.
Пусть AH
— высота пирамиды AB_{1}CD
. Прямая AH
перпендикулярна плоскости CB_{1}D
, а прямая AB_{1}
— плоскости CMD
, значит, угол \varphi
между этими прямыми, т. е. угол между образующей и высотой конуса, равен углу между плоскостями CB_{1}D
и CMD
, т. е. углу MNB_{1}
. Из прямоугольного треугольника NMB_{1}
находим, что
\tg\angle MNB_{1}=\frac{MB_{1}}{MN}=\frac{AB-AB_{1}}{MN}=\frac{4-3}{1}=1.
Следовательно, искомый угол равен 45^{\circ}
.