9920. Перпендикулярные прямые a
и b
лежат в плоскости \pi
, прямая m
образует с плоскостью \pi
угол \gamma
, а с прямыми a
и b
— углы \alpha
и \beta
соответственно. Докажите, что \cos^{2}\gamma=\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta
.
Решение. Если прямая m
лежит в плоскости \pi
, параллельна или перпендикулярна ей, утверждение очевидно.
Пусть m
— наклонная к плоскости. Будем считать, что прямая m
проходит через точку пересечения прямых a
и b
. Отложим на прямой m
отрезок CE=1
. Пусть EH
— перпендикуляр к плоскости \pi
, а EA
и EB
— перпендикуляры к прямым a
и b
соответственно. Тогда прямая CH
— ортогональная проекция прямой m
на плоскость \pi
, поэтому \angle ECH=\gamma
и CH=\cos\gamma
, а так как углы прямой m
с прямыми a
и b
равны \alpha
и \beta
, то CA=\cos\alpha
и CB=\cos\beta
. Четырёхугольник ACBH
— прямоугольник, следовательно,
\cos^{2}\gamma=CH^{2}=CA^{2}+CB^{2}=\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta.