9930. Рёбра AB
, AD
и AA_{1}
прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
относятся как 3:4:5
. Через вершину A
проведена плоскость перпендикулярно прямой B_{1}D
. Прямая B_{1}D
пересекает эту плоскость в точке M
. Найдите отношение B_{1}M:MD
.
Ответ. 17:8
.
Решение. Пусть AB=3a
, AD=4a
, AA_{1}=5a
. Прямая AM
лежит в плоскости, перпендикулярной DB_{1}
, поэтому AM\perp DB_{1}
, т. е. AM
— высота треугольника ADB_{1}
со сторонами
AD_{1}=4a,~AB_{1}=\sqrt{AB^{2}+BB_{1}^{2}}=a\sqrt{34},~DB_{1}=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}+AA_{1}^{2}}=5a\sqrt{2}.
Обозначим B_{1}M=x
. Тогда
DM=DB_{1}-x=5a\sqrt{2}-x
(высота AM
опущена на наибольшую сторону треугольника ADB_{1}
, поэтому точка M
лежит между D
и B_{1}
). Отрезок AM
— общий катет прямоугольных треугольников AMB_{1}
и AMD
, поэтому
AB_{1}^{2}-MB_{1}^{2}=AD^{2}-DM^{2},~\mbox{или}~34a^{2}-x^{2}=16a^{2}-(5a\sqrt{2}-x)^{2},
откуда
B_{1}M=x=\frac{17a\sqrt{2}}{5},~DM=5a\sqrt{2}-x=5a\sqrt{2}-\frac{17a\sqrt{2}}{5}=\frac{8a\sqrt{2}}{5}.
Следовательно,
\frac{B_{1}M}{MD}=\frac{\frac{17a\sqrt{2}}{5}}{\frac{8a\sqrt{2}}{5}}=\frac{17}{8}.