9931. Точки M
, K
и E
— середины рёбер соответственно A_{1}B_{1}
, BC
и CD
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите угол между плоскостями AME
и KME
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Указание. Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к ним.
Решение. Первый способ. Пусть ребро куба равно a
. Поскольку AM=AE
, AM\parallel EC_{1}
и AE\parallel MC_{1}
, сечение куба плоскостью AME
— ромб AMC_{1}E
. Его диагональ C_{1}A
перпендикулярна диагонали ME
и точкой P
пересечения диагоналей делится пополам, поэтому C_{1}P=\frac{1}{2}AC_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{2}
.
Пусть прямые EK
и AB
пересекаются в точке F
, а прямые FM
и BB_{1}
— в точке L
. Тогда четырёхугольник EKLM
— часть сечения куба плоскостью KME
, причём треугольник EFM
равносторонний со стороной a\sqrt{2}
, а FP
— его высота. Пусть Q
— точка пересечения FP
со средней линией KL
треугольника KLF
. Тогда
PQ=\frac{1}{2}FP=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}.
Плоскости AME
и KME
пересекаются по прямой ME
, причём C_{1}P
и QP
— перпендикуляры к ME
, лежащие соответственно в этих плоскостях. Значит, угол между плоскостями либо равен углу C_{1}PQ
либо дополняет его до 180^{\circ}
.
В треугольнике C_{1}PQ
известно, что
C_{1}P=\frac{a\sqrt{3}}{2},~PQ=\frac{a\sqrt{6}}{4},~C_{1}Q=\frac{3}{4}BC_{1}=\frac{3a\sqrt{2}}{4},
а так как
C_{1}P^{2}+PQ^{2}=\frac{3}{4}a^{2}+\frac{3}{8}a^{2}=\frac{9}{8}a^{2}=C_{1}Q^{2},
этот треугольник прямоугольный с прямым углом C_{1}PQ
. Следовательно, угол между плоскостями AME
и KME
равен 90^{\circ}
.
Второй способ. Поскольку AM=AE
, AM\parallel EC_{1}
и AE\parallel MC_{1}
, сечение куба плоскостью AME
— ромб AMC_{1}E
. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому AC_{1}\perp EM
, а так как AC_{1}\perp KE
(по теореме о трёх перпендикулярах), то прямая AC_{1}
перпендикулярна плоскости KME
.
Пусть l
— произвольная прямая, перпендикулярная плоскости AME
. Тогда искомый угол между плоскостями AME
и KME
равен углу между прямыми, соответственно перпендикулярными этим плоскостям, т. е. углу между прямыми l
и AC_{1}
. Этот угол прямой, так как прямая l
перпендикулярна AC_{1}
(прямая AC_{1}
лежит в плоскости AME
, перпендикулярной прямой l
).
Можно и так: плоскость AME
проходит через прямую AC_{1}
, перпендикулярную плоскости KME
, следовательно, эти плоскости перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей (см. задачу 7710).
Примечание. Сечение куба плоскостью KME
— правильный шестиугольник, причём диагональ AC_{1}
куба перпендикулярна плоскости сечения (см. задачу 7226).