9933. Точка M
— середина ребра A_{1}D_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите угол между плоскостями ABM
и BC_{1}D
.
Ответ. \arccos\frac{1}{\sqrt{15}}
.
Решение. Опустим перпендикуляр A_{1}K
на прямую AM
. Тогда A_{1}K\perp AB
и A_{1}K\perp AM
, значит, A_{1}K
— перпендикуляр к плоскости ABM
, а так как A_{1}C
— прямая, перпендикулярная плоскости BC_{1}D
(см. задачу 7300), то угол между плоскостями ABM
и BC_{1}D
равен углу между прямыми A_{1}K
и A_{1}C
, т. е. острому углу CA_{1}K
прямоугольного треугольника CA_{1}K
.
Пусть ребро куба равно a
. Из прямоугольного треугольника AA_{1}M
находим, что
A_{1}K=\frac{AA_{1}\cdot A_{1}M}{AM}=\frac{AA_{1}\cdot A_{1}M}{\sqrt{AA_{1}^{2}+AM^{2}}}=\frac{a\cdot\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{5}}
(см. задачу 1967). Следовательно,
\cos\angle CA_{1}K=\frac{A_{1}K}{CA_{1}}=\frac{\frac{a}{\sqrt{5}}}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{15}}.