9937. Основание пирамиды SABCD
— трапеция ABCD
(AD\parallel BC
), в которой AB=3
, BC=2
, CD=4
, AD=7
. Известно, что прямые AB
и SD
перпендикулярны. Найдите угол между плоскостями SAB
и SCD
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку C
параллельно AB
, пересекает основание AD
трапеции ABCD
в точке E
. Треугольник DCE
прямоугольный, так как
CD^{2}+CE^{2}=CD^{2}+AB^{2}=16+9=25=DE^{2}.
Значит, AB\perp CD
, а так как AB\perp SD
, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая AB
перпендикулярна плоскости SCD
(см. задачу 7700). Таким образом, плоскость SAB
проходит через прямую AB
, перпендикулярную плоскости SCD
. Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей эти плоскости перпендикулярны (см. задачу 7710).