9938. Какое наибольшее значение может принимать наименьший двугранный угол тетраэдра?
Ответ. \arccos\frac{1}{3}
.
Решение. Пусть наибольшая из площадей граней тетраэдра равна S
, а двугранные углы при рёбрах этой грани равны \alpha_{1}
, \alpha_{2}
и \alpha_{3}
. Из теоремы о площади ортогональной проекции (см. задачу 8093) следует, что
S_{1}\cos\alpha_{1}+S_{2}\cos\alpha_{2}+S_{3}\cos\alpha_{3}=S,
где S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
— площади граней, образующие с гранью площади S
двугранные углы \alpha_{1}
, \alpha_{2}
и \alpha_{3}
соответственно (см. задачу 8205). Тогда одно из трёх слагаемых, например, S_{1}\cos\alpha_{1}
, не меньше, чем \frac{1}{3}S
(иначе сумма была бы меньше S
), т. е.
\frac{1}{3}S\leqslant S_{1}\cos\alpha_{1}\leqslant S\cos\alpha_{1},
откуда \cos\alpha_{1}\geqslant\frac{1}{3}
. Значит, \alpha_{1}\leqslant\arccos\frac{1}{3}
. Следовательно, если наименьший двугранный угол тетраэдра равен \alpha
, то
\alpha\leqslant\alpha_{1}\leqslant\arccos\frac{1}{3},
причём равенство достигается, например, если тетраэдр правильный.