9942. Точки M
и K
— середины рёбер соответственно BC
и CC_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите угол между плоскостями MKD
и ABB_{1}
.
Ответ. \arctg\frac{\sqrt{5}}{2}=\arccos\frac{2}{3}
.
Решение. Обозначим через a
ребро куба. Плоскость ABB_{1}
параллельна плоскости DCC_{1}
, поэтому угол между плоскостями MKD
и ABB_{1}
равен углу между плоскостями MKD
и BCC_{1}
. Опустим перпендикуляр CP
на прямую DK
пересечения этих плоскостей. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что \varphi=\angle CPM
— линейный угол искомого двугранного угла.
По теореме Пифагора
DK=\sqrt{CK^{2}+CD^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+a^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2},
Тогда (см. задачу 1967)
CP=\frac{CK\cdot CD}{DK}=\frac{\frac{a}{2}\cdot a}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{5}}.
Значит,
\tg\varphi=\frac{MC}{CP}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{\sqrt{5}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Следовательно,
\varphi=\arctg\frac{2}{\sqrt{5}}=\arccos\frac{2}{3}.