9946. Основание призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— равносторонний треугольник ABC
. Найдите расстояние между плоскостями оснований призмы, если известно, что AA_{1}=6
, \cos\angle A_{1}AC=\frac{1}{3}
, \cos\angle A_{1}AB=\frac{2}{3}
.
Ответ. 2\sqrt{5}
.
Решение. Из условия задачи следует, что
\sin\angle A_{1}AC=\sqrt{1-\cos^{2}A_{1}AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Пусть A_{1}O
— перпендикуляр к плоскости ABC
, а OK
— перпендикуляр к прямой AC
. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что A_{1}KO
— линейный угол двугранного угла при ребре AC
трёхгранного угла AA_{1}BC
с вершиной A
, противолежащего плоскому углу A_{1}AB
. По теореме косинусов для трёхгранного угла (см. задачу 7438)
\cos\angle A_{1}KO=\frac{\cos\angle A_{1}AB-\cos\angle A_{1}AC\cos\angle BAC}{\sin\angle A_{1}AC\sin\angle BAC}=
=\frac{\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{2\sqrt{6}}.
Тогда \sin\angle A_{1}KO=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}
.
Из прямоугольного треугольника AKA_{1}
находим, что
A_{1}K=AA_{1}\sin\angle A_{1}AK=6\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}.
Следовательно,
A_{1}O=A_{1}K\sin\angle A_{1}KO=4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=2\sqrt{5}.