9951. Все плоские углы трёхгранного угла равны. Докажите, что все его двугранные углы больше 60^{\circ}
.
Решение. Пусть все плоские углы трёхгранного угла равны \alpha
, а его произвольный двугранный угол равен \varphi
, причём \cos\alpha\lt1
, 0^{\circ}\lt\alpha\lt180^{\circ}
, а 1+\cos\alpha\gt0
. Тогда по теореме косинусов для трёхгранного угла (см. задачу 7438)
\cos\varphi=\frac{\cos\alpha-\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}=\frac{\cos\alpha(1-\cos\alpha)}{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}=\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}.
Значит,
\varphi\gt60^{\circ}~\Leftrightarrow~\cos\varphi\lt\frac{1}{2}~\Leftrightarrow~\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\lt\frac{1}{2}~~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2\cos\alpha\lt1+\cos\alpha~\Leftrightarrow~\cos\alpha\lt1,
откуда и следует доказываемое утверждение.