9958. Точки M
и N
лежат на рёбрах соответственно AB
и AC
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Точка F
лежит на отрезке BA_{1}
. Известно, что AM:MB=1:2
, AN:NC=4:1
, BF:FA_{1}=3:2
. В каком отношении, считая от вершины C
, плоскость MNF
делит отрезок CA_{1}
?
3:16
.
Решение. Пусть плоскость MNF
пересекает отрезок CA_{1}
в точке D
. Плоскость MNF
пересекает рёбра A_{1}B
, BA
, AC
и CA_{1}
тетраэдра A_{1}ABC
в точках F
, M
, N
и D
соответственно, поэтому (см. задачу 9106)
\frac{A_{1}F}{FB}\cdot\frac{BM}{MA}\cdot\frac{AN}{NC}\cdot\frac{CD}{DA_{1}}=1,~\mbox{или}~\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{4}{1}\cdot\frac{CD}{DA_{1}}=1,
откуда \frac{CD}{DA_{1}}=\frac{3}{16}
.