9968. В тетраэдре ABCD
все плоские углы при вершине A
прямые (прямоугольный тетраэдр). Точка O
удалена от всех вершин тетраэдра на одинаковое расстояние. Докажите, что это расстояние равно длине отрезка, соединяющего середины противоположных рёбер тетраэдра (бимедиане тетраэдра).
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AC
и BD
соответственно. Достроим грань ABC
тетраэдра до прямоугольника ABEC
, а прямоугольник ABEC
— до прямоугольного параллелепипеда ABECDB_{1}E_{1}C_{1}
(AD\parallel BB_{1}\parallel EE_{1}CC_{1}
). Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому точка O
, равноудалённая от всех вершин тетраэдра ABCD
, — точка пересечения диагоналей построенного параллелепипеда. Отрезок MN
— средняя линия прямоугольного треугольника CAB_{1}
, Значит, MN=\frac{1}{2}CB_{1}
, т. е. отрезок MN
, как и отрезки OA
, OB
, OC
и OD
, тоже равен половине диагонали параллелепипеда.
Примечание. 1. Центр O
сферы, описанной такого тетраэдра ABCD
, — точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда, построенного указанным образом.
2. Доказанное утверждение верно для любого ортоцентрического тетраэдра (см. задачу 7996).