9978. Около конуса с вершиной S
опишем тетраэдр CSAB
(каркас конуса) так, что CS
— перпендикуляр к плоскости ASB
, CA=CB
, а окружность основания конуса вписана в равнобедренный треугольник ACB
. Пусть угол в основании осевого сечения конуса равен \beta
, а \angle CBS=\alpha
. Докажите, что \cos\alpha=\ctg\beta
.
Решение. Пусть O
— центр окружности основания конуса, D
и E
— точки её касания с рёбрами соответственно AB
и BC
тетраэдра. Тогда D
— середина AB
, а SE
и SD
— образующие конуса. По теореме о трёх перпендикулярах SE\perp BC
, поэтому SE
— высота прямоугольного треугольника BSC
. Значит, \angle CSE=\angle CBS=\alpha
.
Обозначим SE=SD=l
. Из прямоугольных треугольников DSC
и SES
последовательно находим, что
CS=SD\tg\beta=l\tg\beta,~\cos\alpha=\cos\angle CSE=\frac{SE}{CS}=\frac{l}{l\tg\beta}=\ctg\beta.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью И.Г.Габовича «Конусы в каркасах», Квант, 1977, N2, с.47-49.