9995. Плоскость \alpha
параллельна каждой из скрещивающихся прямых a
и b
и пересекает плоскость \beta
. Какая фигура является параллельной проекцией прямых a
и b
на плоскость \beta
, если проектирующая прямая параллельна плоскости \alpha
.
Ответ. Две параллельные прямые или прямая и не лежащая на ней точка.
Решение. Пусть проектирующая прямая l
не параллельна прямым a
и b
. Через точку A
, лежащую на прямой a
, проведём прямую b'
параллельную b
. Через пересекающиеся прямые a
и b'
проведём плоскость \gamma_{1}
. Через точку B
, лежащую на прямой b
, проведём прямую a'
параллельную a
. Через пересекающиеся прямые b
и a'
проведём плоскость \gamma_{2}
. По признаку параллельности плоскостей (см. задачу 8008) плоскости \alpha
, \gamma_{1}
и \gamma_{2}
параллельны. Плоскость \beta
, пересекающая плоскость \alpha
, пересекает и параллельные плоскости \gamma_{1}
и \gamma_{2}
, причём по параллельным прямым (см. задачу 8009). Эти прямые — параллельные проекции a
и b
на плоскость \beta
.
Если проектирующая прямая l
параллельна одной из данных скрещивающихся прямых, например, прямой a
, то прямая b
не параллельна l
. Значит, её параллельная проекция на плоскость \beta
— прямая b''
, а параллельная проекция прямой a
— точка, не лежащая на прямой b''