ЛИСТКИ ПО АЛГЕБРЕ Р. К. ГОРДИНА

Введение. Здесь мы будем считать известными все изученные ранее свойства чисел. Например, и т. д.

В то же время, предствим себе, что сравнивать числа между собой мы ещё не умеем, и только сейчас собираемся этому научиться. Существует два подхода к введению понятия неравенства. Первый из них состоит в том, что формулируется определение понятия «больше» (или «меньше»), из этого определения выводится несколько важных свойств неравенств, затем из уже доказанных свойств выводится всё то, что мы собираемся изучать в дальнейшем.

При втором подходе всё начинается с формулировки тех нескольких свойств неравенств (назовём их основными свойствами числовых неравенств), которых должно хватить для изучения всего школьного курса алгебры. Мы будем придерживаться второго подхода.

(1) Для любых двух чисел и верно одно и только одно из следующих трёх соотношений:

(2) Если и то

(3) Если а любое число, то

Определение. Говорят, что если

(4) а) Если и то б) если и то

Из этих четырёх свойств неравенств и из известных нам свойств числовых равенств мы попытаемся вывести разные интересные и важные свойства числовых неравенств. Вот пример доказательства некоторого утверждения, связанного с числовыми неравенствами.

Пример. Докажите, что

Доказательство. Считаем известным, что Тогда по свойству (1) либо либо Предположим, что Умножив обе части этого неравенства на число получим по свойству (4б), что а это противоречит свойству (1).

(5) Любое слагаемое можно переносить из одной части в другую, меняя знак этого слагаемого на противоположный, т. е. если то

(6) Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, т. е. если и то

(7) Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак неравенства «уменьшаемого», т. е. если и то

Определение. Говорят, что если или если или положительное число, если отрицательное число, если неотрицательное число, если

(8) Квадрат любого числа неотрицателен, т. е. для любого числа верно неравенство

Определение модуля (абсолютной величины числа). Модулем неотрицательного числа называтся само число модулем отрицательного числа называется число или если если

(9) Модуль любого числа неотрицателен, т. е. для любого числа верно неравенство

(10) Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно перемножать, т. е. если а также и то

(11) Если то

(12) Если то

(13) Неравенства противоположного смысла с положительными членами можно почленно делить, оставляя знак неравенства «делимого», т. е. если а также и то

Пример. Доказательство свойства (6). Поскольку то (свойство (3)). Аналогично из неравенства следует неравенство Таким образом, (свойство (2)).

1.1. а) б) в) г) д)

1.2. для всех положительных

1.3. для всех

1.4. для всех

1.5. для всех и

1.6. для всех неотрицательных и

1.7. для всех натуральных

1.8. для всех и

1.9. для всех и

1.10. для всех и

1.11. для всех и

1.12. для всех и

1.13. для всех отличных от нуля.

1.14. для всех и

1.15. для всех положительных и

1.16. для всех положительных и

1.17. для всех натуральных

1.18. для всех

1.19. для всех

1.20. для всех и

1.21. для всех и

1.22. для всех натуральных

1.23. для всех натуральных

1.24.

1.25. Известно, что Докажите, что

1.26. для всех и

1.27. для всех и

1.28. для всех положительных и

1.29.

1.30. Найдите наименьшее значение выражения:

1.31. Найдите наименьшее значение выражения: для положительных для положительных

Пример. Для всех и докажите неравенство

Доказательство. Первый способ. следовательно, для всех и

Второй способ. Предположим противное, т. е. найдутся такие числа и для которых Тогда откуда что невозможно.

Третий способ.

Чтобы получить правильное доказательство достаточно все стрелки повернуть в обратную сторону.

Пример формулировки утверждения, противоположного данному. Утверждение: «Все школьники в классе выполнили домашнее задание». Противоположное утверждение: «По крайней мере один школьник из класса не выполнил домашнее задание».

Пример. Для всех положительных и докажите неравенство

Доказательство. Поскольку и положительны, то

Заметим, что при замене на ничего не изменится (свойство (5)). Это означает, что для каждой точки с координатами и принадлежащей графику функции точка с координатами и также принадлежит этому графику. Точки и симметричны относительно оси ординат, следовательно, график функции также симметричен относительно оси ординат. В полуплоскости график нашей функции представляет собой луч, исходящий из начала координат под углом к оси абсцисс (часть прямой Отразим этот луч симметрично относительно оси ординат (получим часть прямой Объединение первого луча с его симметричным образом и есть искомый график.

Тот же график на основании определения модуля строится так: для строим первый луч; для строим второй луч.

Рассмотрим несколько частных случаев.

График функции можно построить разобрав два случая: для для А можно заметить, что график этой функции симметричен относительно прямой (действительно, эта функция принимает одинаковые значения в точках и для любого и Таким образом, график этой функции может быть получен из графика функции переносом на 1 вправо. (На самом деле при построении такого графика удобнее перенести на 1 влево ось ординат.)

Ясно, что график функции получается из графика функции переносом на 5 вправо, график функции получается из графика функции переносом на 2 влево и т. д.

График функции можно построить, также разобрав два случая: для для А можно заметить, что он получается из графика функции переносом на 3 вверх (к каждой ординате графика функции прибавляется 3).

Понятно, что график любой функции вида представляет собой прямой угол с вершиной в точке прямая ось симметрии (биссектриса) этого угла, стороны угла обращены вверх (в то время как у графика функции вниз).

Сформулируйте теперь, каким образом влияет на вид графика функции коэффициент

Рассмотрим пример построения графика функции, содержащей несколько знаков модуля.

Пример. Постройте график функции

Пример. Решите уравнение

Второй способ. это расстояние между точками и 4 на числовой оси. Следовательно, нужно найти все точки числовой оси, удалённые от точки 4 на расстояние, равное 3. Ясно, что это точки 1 и 7.

Третий способ. Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций и (см. рисунок).

Пример. Решите неравенство

Второй способ. это расстояние между точками и на числовой оси. Следовательно, нужно найти все точки числовой оси, удалённые от точки на расстояние, большее либо равное 4. Ясно, что это все точки, принадлежащие множеству

Третий способ. Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций и (см. рисунок). Отметим абсциссы тех точек, для которых первый график расположен не ниже второго.

2.5. Какие значения может принимать если

2.6. Докажите, что для всех и

2.7. Известно, что Докажите, что

2.9. На прямом шоссе через равные промежутки стоят шесть домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны?

2.10. Найдите выражение, содержащее буквы и арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему (наименьшему) из чисел и

2.17. Известно, что Какие значения может принимать

Область определения этой функции — вся числовая ось (любое число можно возвести в квадрат).

Пусть и неотрицательные числа и Тогда по известному свойству неравенств Это означает, что функция возрастает на промежутке

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором числовом промежутке, если для любых точек и этого промежутка таких, что верно неравенство

Примеры. Функция возрастает на всей числовой прямой. Действительно, из неравенства следует неравенство

Функция убывает на луче так как из неравенства следует неравенство

Определение. Функция называется чётной, если её область определения симметрична относительно точки 0 и для каждого из области определения

График чётной функции симметричен относительно оси ординат, график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Построим схему графика функции вычислив несколько значений этой функции и соединив плавной линией отмеченные на координатной плоскости точки Мы говорим о схеме графика, поскольку точный график построить в принципе невозможно. Для этого пришлось бы произвести бесконечно много вычислений.

График функции называется параболой. Это фигура симметрична относительно оси ординат, она расположена в верхней полуплоскости (поскольку квадрат любого числа неотрицателен).

Рассмотрим нашу функцию только на промежутке Примем без доказательства следующий факт: каждая прямая, параллельная оси абсцисс и расположенная не ниже этой оси, имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции построенным для Это утверждение будет доказано в старших классах.

Таким образом, можно отметить ещё одно важное свойство нашей функции: область изменения (множество значений) функции промежуток

Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число квадрат которого равен Обозначение:

Итак, по определению и

Примеры. так как и так как и

А как быть с и т. д.?

Теорема. Для любого неотрицательного числа существует единственный квадратный корень из этого числа.

Доказательство. Рассмотрим функцию на промежутке Из сказанного ранее следует, что для каждого существует хотя бы одно такое, что Т. е. квадратный корень из существует.

Осталось доказать его единственность. Пусть это не так, т. е. найдутся по крайней мере два таких числа и для которых и Если при этом то из возрастания функции на промежутке следует, что а это противоречит предположению о том, что и Аналогично для случая Единственность доказана.

Через некоторое время будет доказано, что число не является рациональным, т. е. не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел, или, что то же самое, не может быть записано в виде периодической десятичной дроби. Аналогично для чисел и т. д.

Среди следующих важных свойств квадратного корня есть и отмеченные ранее.

Второй способ. Пусть для некоторых неотрицательных чисел и это не так, т. е. либо либо Тогда по свойству (4) либо

Свойства (3) и (6) докажите самостоятельно.

б)* Докажите, что любую функцию с симметричной областью определения можно представить в виде суммы чётной и нечётной функций.

Пример.  График функции получается из параболы «растяжением» вдоль оси ординат в 2 раза, или «сжатием» вдоль оси абсцисс в раз. График функции образ параболы при симметрии относительно оси абсцисс.

Пример.  Постройте график квадратного трёхчлена

Итак, график квадратного трёхчлена — парабола. Абсцисса вершины этой параболы — Если ветви параболы направлены вверх, если вниз.

Если дискриминант квадратного трёхчлена положителен, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках (абсциссы этих точек — корни квадратного уравнения если меньше нуля — то не имеет с осью абсцисс ни одной общей точки, если равен нулю — парабола имеет с осью абсцисс ровно одну общую точку (в этом случае говорят, что парабола касается оси абсцисс). В последнем случае квадратный трёхчлен представляет собой полный квадрат, т. е.

4.4. Прямая пресекает параболу в двух точках. Известно, что и обе координаты одной из точек пересечения — рациональные числа. Верно ли, что обе координаты второй точки пересечения также рациональны?

Определение. Уравнение вида называется квадратным.

Рассмотрим несколько конкретных квадратных уравнений и найдём их корни.

Пример 5.  Последнее уравнение не имеет решений, так как для каждого левая часть положительна.

Если же то

Итак, если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение не имеет решений; если положителен, то уравнение имеет два различных корня, если равен 0, то один корень.

Хотя полученные формулы верны для любого квадратного уравнения, их не имеет смысла применять при решении неполных квадратных уравнений, т. е. в случаях когда коэффициенты или равны 0 (см. примеры 1 и 2).

Определение. Функция называется квадратным трёхчленом.

Дискриминант квадратного трёхчлена — это дискриминант соответствующего квадратного уравнения

Для доказательства этой теоремы достаточно почти дословно повторить рассуждения, с помощью которых получены формулы для корней квадратного уравнения.

5.8. Найдите наибольшее значение если

5.9. Пусть и отличные от нуля корни квадратного уравнения Докажите, что числа и корни квадратного уравнения

5.11. Известно, что и корни квадратного уравнения Найдите и

б) Докажите тождество

5.19. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку и касающейся параболы

5.20. Решите уравнение где целая часть

Решить квадратное неравенство — это значит найти все его корни (решения), т. е. все числа, удовлетворяющие неравенству.

Геометрический смысл: указать абсциссы всех точек графика квадратного трёхчлена ординаты которых положительны (неотрицательны, отрицательны, неположительны).

Пример 1.  Решите неравенство

Это же неравенство можно решить, используя изученные свойства квадратного трёхчлена.

Запись такого решения должна сопровождаться графической иллюстрацией и необходимыми вспомогательными вычислениями (нахождение корней соответствующего квадратного уравнения и т. п.).

Квадратные неравенства можно решать любым из перечисленных выше способов, но чаще всего мы будем пользоваться последним.

Пример 2.  Решите неравенство

График квадратного трёхчлена парабола, её ветви направлены вверх (коэффицинт при положителен), она не пересекает ось абсцисс, так как уравнение не имеет решений (его дискриминант отрицателен). Поэтому парабола расположена выше оси для всех точек оси абсцисс. Следовательно, данное неравенство истинно для всех

Ответ: любое.

Пример 3.  Решите неравенство

Если то неравенство истинно для всех

Если то неравенство не имеет решений.

Случаи, когда мы не рассматриваем, поскольку можно всегда добиться того, чтобы коэффициент при в квадратном неравенстве был положительным (умножив обе части этого неравенства на и поменяв знак неравенства на противоположный).

Рассмотрите самостоятельно неравенства и

6.10. Парабола пересекает ось абсцисс в точках и Не находя и определите, где на этой оси расположены точки 0; 1; 1996 (т. е. лежат ли они внутри промежутка между корнями или вне).

6.14. Для каких корни квадратного уравнения существуют, причём один из них больше 1, а второй — меньше 1?

6.15. Известно, что Докажите, что квадратное уравнение имеет решение.

 Задачи:

Дробно-линейным неравенством мы будем называть неравенство вида (вместо знака могут стоять знаки

Пример 1.  Решите неравенство

Решение.

Пример 2.  Решите неравенство

Решение.

Ответ:

Пример 3.  Решите неравенство

Решение.

Ответ:

Функция определена для всех отличных от 0. Если она принимает любое отличное от 0 значение, поскольку для каждого фиксированного уравнение имеет единственное решение

Функция нечётная, поскольку для каждого из области определения.

Графики функций при разных изображены на рисунке.

График функции можно получить с помощью уже известных переносов графика функции

Пример 4.  Постройте график функции

Решение. Строим сначала график функции затем переносим его на 3 вправо и на 4 вверх.

Пример 5.  Постройте график функции

Решение. Строим сначала график функции затем переносим его на 2 влево и на 1 вверх.

Если при решении квадратного неравенства удаётся разложить соответствующий квадратный трёхчлен на два различных линейных множителя, то, изобразив схему его графика, мы можем записать ответ, т. е. числовые промежутки оси абсцисс, на которых график выше или ниже оси абсцисс. Рассмотрим теперь случай, когда левая часть неравенства раскладывется в произведение более чем двух линейных сомножителей.

Пример 6.  Решите неравенство

Решение. График функции имеет ровно четыре общих точки с осью абсцисс: 2; 4. Если то каждая скобка нашего произведения положительна, значит, и все произведение положительно. На интервале сомножитель отрицателен, а остальные сомножители положительны, значит всё произведение отрицательно. В таком случае говорят, что при переходе через точку функция меняет знак (а график функции пересекает в этой точке ось абсцисс). Аналогично установим, что при переходе через точки 2, и функция также меняет знак. Следовательно, множеством решений нашего неравенства будет объединение промежутков

Ответ:

Пример 8.  Решите неравенство

Ответ:

Пример 9.  Решите неравенство

Пример 10.  Решите неравенство

Ответ:

7.4. Докажите, что график дробно-линейной функции при можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса. Укажите такое

9.1. Теорема о делении многочленов с остатком. Для любой пары многочленов и существует единственная пара многочленов и таких, что причём либо нулевой многочлен, либо степень многочлена меньше степени многочлена

в) При каких значениях и многочлен делится на многочлен

9.4. Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на многочлен равен значению многочлена при т. е. числу

в) Многочлен степени не может иметь более различных корней.

б) Найдите остаток от деления многочлена на многочлен

9.7. Если и многочлены с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент многочлена равен 1, то частное и остаток от деления многочлена на являются многочленами с целыми коэффициентами.

9.8. Докажите, что многочлен делится на многочлен для любого натурального

9.9. Докажите, что число делится на 13 для любого натурального

9.10. Докажите, что число делится на 11.

9.11. Найдите многочлен вида где и одним из корней которого является число

9.12. Докажите, что

9.14. При каких многочлен делится на многочлен для любых действительных и Определите частное от этого деления при найденном значении

9.15. Если несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то старший коэффициент многочлена делится на а свободный член — на

9.16. Докажите, что многочлен с целыми коэффициентами не имеет целых корней, если и нечётные числа.

9.18. Пусть натуральное число не является полным квадратом. Докажите, что число иррациональное.

9.19. Докажите, что число иррациональное.

12.1. Пятый член арифметической прогрессии равен 22, а сумма седьмого и девятого равна 32. Найдите сумму первых двадцати трёх членов этой прогрессии.

12.2. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, если известно, что сумма четвёртого, пятого, седьмого и шестнадцатого членов этой прогрессии равна 32.

12.3. Первый член геометрической прогрессии равен 3, а пятый член равен 12288. Найдите знаменатель этой прогрессии и сумму первых пяти её членов.

12.4. Последовательность чисел является геометрической прогрессией. Известно, что Найдите

12.5. Последовательность чисел является арифметической прогрессией. Известно, что Найдите

12.6. Углы треугольника составляют арифметическую прогрессию с разностью Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке Точки находятся на продолжениях отрезков за точки соответственно на одинаковом расстоянии от точки Докажите, что углы треугольника также образуют арифметическую прогрессию. Найдите её разность.

12.7. Cтороны и прямоугольного треугольника образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите площадь треугольника если известно, что сторона короче стороны на 2.

12.8. Стороны и треугольника образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель прогрессии, если известно, что отношение высоты треугольника опущенной из вершины к радиусу вписанной окружности равно 3.

12.9. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, делящихся на 5, но не делящихся на 7.

12.10. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, не делящихся на 11 и имеющих последней цифрой 5.

12.11. Первый член геометрической прогрессии, знаменатель которой — натуральное число, равен 8, а разность между удвоенным вторым её членом и половиной третьего её члена больше 15. Найдите знаменатель этой прогрессии.

12.12. Третий член арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, равен 5, а разность между квадратом второго ее члена и квадратом пятого ее члена больше 72. Найдите первый член этой прогрессии.

12.13. Имеются три слитка сплавов, содержащих золото. Масса каждого слитка 1 кг. Если сплавить 500 г первого сплава и 200 г второго сплава, то в получившемся слитке будет содержаться столько же золота, сколько его содержится в 300 г третьего сплава. Количества золота в данных слитках, взятые в порядке номеров сплавов, образуют геометрическую прогрессию. Сколько граммов второго сплава нужно взять, чтобы в них содержалось столько же золота, сколько его содержится в 300 г третьего сплава?

12.14. Маша, Вера, Таня и Нина собирали грибы. Оказалось, что количества грибов, собранных каждой из них, образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Если бы Таня нашла столько же грибов, сколько Нина, а Нина нашла бы 12 грибов больше, то количества грибов, собранных девочками, образовывали бы в том же порядке геометрическую прогрессию. Сколько грибов нашла Вера?

12.15. Натуральные числа взятые в указанном порядке, образуют возрастающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой является целым числом. Числа 2835 и 2646 делятся без остатка на и соответственно. Найдите числа и если известно, что при указанных условиях сумма максимальна.

12.16. Натуральные числа взятые в указанном порядке, образуют возрастающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой является целым числом. Числа 2240 и 4312 делятся без остатка на и соответственно. Найдите числа и если известно, что при указанных условиях сумма максимальна.

12.17. Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии равно 12. Частное от деления второго члена на четвёртый равно 3. Найдите второй член прогрессии.

12.18. Сумма пятого и шестого членов арифметической прогрессии равна частному от деления девятого члена на второй. Найдите девятый член прогрессии, если известно, что второй её член равен 2.

12.19. Бригада лесорубов заготавливает в каждый очередной день на одно и то же количество древесины больше, чем за предыдущий день работы. Известно, что за первый, пятый и шестой дни работы бригада заготовила в сумме древесины. Сколько древесины бригада заготовила за первые семь дней работы?

12.20. Числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел (в том же порядке) составляют геометрическую прогрессию. Найдите если известно, что

12.21. Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны 1, а сумма знаменателей равна Известно, что сумма шестых членов прогрессий равна Найдите сумму пятых членов прогрессий.

12.22. Сумма первых тридцати членов арифметической прогрессии в шесть раз больше суммы первых пятнадцати членов арифметической прогрессии Найдите отношение разности прогрессии к разности прогрессии если известно, что эти разности отличны от нуля и

12.23. Первый член арифметической прогрессии в два раза больше первого члена геометрической прогрессии и в пять раз больше второго члена геометрической прогрессии. Четвёртый член арифметической прогрессии составляет 50% от второго её члена. Найдите первый член арифметической прогрессии, если известно, что второй её член больше третьего члена геометрической прогрессии на 36.

12.24. Первый член геометрической прогрессии равен третьему члену арифметической прогрессии и в девять раз больше первого члена арифметической прогрессии. Второй член арифметической прогрессии больше третьего члена геометрической прогрессии на 12. Найдите первый член арифметической прогрессии, если известно, что он равен третьему члену геометрической прогрессии.

12.25. В арифметической прогрессии с отличной от нуля разностью сумма членов с чётными номерами, не превосходящими 29, равна 168. Найдите номер того члена прогрессии, который равен 12.

12.26. Разность арифметической прогрессии равна 2. Известно, что сумма квадрата первого члена прогрессии и всех её остальных членов не превосходит 160. Найдите максимально возможное число членов этой прогрессии.

12.27. Известно, что сумма пятых степеней первых шести членов возрастающей арифметической прогрессии равна 0, а сумма их четвёртых степеней 101. Найдите первый член прогрессии.

12.28. При каких значениях параметра четыре корня уравнения являются последовательными членами арифметической прогрессии?

13.1. Товарный поезд был задержан в пути на 12 минут, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

13.2. Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 часов. За какое время могла бы обработать этот участок каждая из бригад в отдельности, если скорости выполнения работы бригадами относятся как

13.3. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

13.4. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие — 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

13.5. В одном бассейне имеется воды, а в другом — Открывают краны, через которые наполняются бассейны. Через сколько часов количество воды в бассейнах будет одинаковым, если во второй бассейн вливается в час на воды больше воды, чем в первый?

13.6. Два поезда отправляются из пунктов и навстречу друг другу. Они встретятся на половине пути, если поезд из выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из Если же оба поезда выйдут одновременно, то через 2 ч расстояние между ними составит четверть расстояния между и За какие промежутки времени каждый поезд проходит весь путь?

13.7. Пароход прошёл 4 км вверх против течения реки и затем прошёл ещё 33 км вниз по течению, затратив на всё это 1 ч времени. Найдите скорость парохода в стоячей воде, если скорость реки равна 6,5 км/ч.

13.8. Из пункта в пункт вниз по течению реки одновременно отправились лодка и плот. В тот же самый момент из пункта навстречу им вверх по течению отплыл катер. Скорость плота равна скорости течения реки и равна 4 км/ч. Собственная скорость лодки (т. е. скорость в стоячей воде) на 25% больше скорости течения. Расстояние равно 60 км. Катер встретил лодку и ещё через 2 ч — плот. Найдите собственную скорость катера.

13.9. На дороге, представляющей собой окружность длиной в 36 км, пункты и являются диаметрально противоположными точками этой окружности. Велосипедист выехал из пункта и сделал два круга. Первый круг он прошёл с некоторой постоянной скоростью, после чего уменьшил скорость на 3 км/ч. Известно, что время между двумя его прохождениями через пункт равно 5 ч. Определите скорость, с которой велосипедист прошёл первый круг.

13.10. Три каменщика (разной квалификации) выложили кирпичную стенку, причём первый каменщик работал 6 ч, второй — 4 ч и третий — 7 ч. Если бы первый каменщик работал 4 ч, второй — 2 ч и третий — 5, то было бы выполнено лишь всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали все вместе одно и то же время?

13.11. В бассейн проведены две трубы: через первую трубу вода поступает, через вторую — вытекает из бассейна. Сначала, когда бассейн был пустым, были открыты обе трубы. Когда треть бассейна была заполнениа водой, вторую трубу закрыли. Через пять часов после открытия труб бассейн был наполнен. Найдите пропускную способность первой трубы, если объём бассейна равен а пропускная способность второй трубы равна

13.12. Три бригады, работая вместе, должны выполнить некоторую работу. Известно, что первая и вторая бригады вместе могут выполнить её на 36 мин быстрее, чем одна третья бригада. За то время, за какое могут выполнить эту работу вместе первая и третья бригады, вторая бригада может выполнить только половину работы. За то время, за какое эту работу могут выполнить вместе вторая и третья бригады, первая может выполнить этой работы. За какое время выполнят работу все три бригады?

13.13. Из пункта в пункт находящийся на расстоянии 12 км от по горной дороге со скоростью 6 км/ч поднимается в гору пешеход. Одновременно с ним из пункта в пункт выехал автобус. Доехав до пункта менее чем за один час, автобус поехал обратно навстречу пешеходу и встретил его через 12 мин после начала движения из пункта Найдите скорость автобуса на подъёме, если известно, что она в два раза меньше его скорости на спуске.

13.14. Из пункта в пункт , находящийся на расстоянии 20 км от выехал грузовик. Одновременно с ним из пункта расположенного между и на расстоянии 15 км от в пункт вышел пешеход, а из навстречу им выехал автобус. За какое время грузовик догнал пешехода, если известно, что это произошло через полчаса после встречи грузовика с автобусом, а пешеход до встречи с автобусом находился в пути втрое меньше времени, чем грузовик до своей встречи с автобусом?

13.15. Из пункта по реке отправляется плот. Через час из пункта вниз по течению отправляется катер. Найдите, сколько времени понадобится катеру, чтобы догнать плот и возвратиться в пункт если скорость катера в стоячей воде вдвое больше скорости течения реки.

13.16. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это двузначное число.

13.17. В реку впадает приток. Пароход отходит от пристани на притоке, идёт вниз по течению 80 км до реки, далее по реке вверх против течения до пристани , затратив 18 ч на весь путь от до Затем пароход возвращается обратно. Время обратного движения от к по тому же пути равно 15 ч. Собственная скорость парохода, т. е. скорость парохода в стоячей воде, равна 18 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Каково расстояние от пристани до пристани и какова скорость притока?

13.18. Имеется два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом слитке в два с половиной раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота. Найдите, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплавке равных по весу частей первого и второго слитков получается слиток, в котором содержится 35% золота.

13.19. Имеются два раствора серной кислоты в воде: первый — 40%, второй — 60%. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20% раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг 80% раствора, то получился бы 70% раствор. Сколько было 40% и 60% растворов?

13.20. Время, затрачиваемое велосипедистом на прохождение каждого очередного километра пути, на одну и ту же величину больше, чем время, затраченное им на прохождение предыдущего километра. Известно, что на прохождение второго и четвёртого километра после старта он затратил в сумме 3 мин 20 с. За какое время велосипедист проехал первые 5 км после старта?

14.1. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые 56 мин. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются каждые 8 мин. За какое время проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль?

14.2. Человек обычно приезжал на станцию одним и тем же поездом. К этому времени за ним приходила машина и отвозила его домой. Однажды он приехал на станцию на час раньше, пошёл пешком, встретил по дороге машину и вернулся домой на 20 мин раньше обычного. Сколько времени он шёл пешком?

14.3. По шоссе в одну сторону с постоянными скоростями движутся автомобиль и мотоциклист, а навстречу им с постоянной скоростью идёт пешеход. Когда автомобиль и мотоциклист были в одной точке, до пешехода было 30 км. Когда автомобиль и пешеход встретились, мотоциклист отстал от автомобиля на 5 км. На сколько километров обогнал автомобиль мотоциклиста на момент встречи мотоциклиста и пешехода?

14.4. Три гонщика стартуют одновременно из одной точки шоссе, имеющего форму окружности, и едут в одном направлении с постоянными скоростями. Первый гонщик впервые после старта догнал второго, делая свой пятый круг, в точке, диаметрально противоположной старту, а через полчаса после этого он вторично обогнал третьего гонщика. Второй гонщик впервые догнал третьего через три часа после старта. Сколько кругов в час делает первый гонщик, если второй гонщик проходит круг не менее, чем за двадцать минут?

14.5. Строительный отряд состоит из 32 бойцов, каждый из которых владеет одной или двумя строительными профессиями: каменщик, бетонщик, плотник. Бойцов, владеющих профессией плотника, в отряде в два раза больше, чем бойцов, владеющих профессией бетонщика, и в раз меньше, чем бойцов, владеющих профессией каменщика, причём целое число). Сколько бойцов в отряде владеет только одной профессией, если число бойцов, владеющих двумя профессиями, на два больше, чем число бойцов, владеющих профессией плотника?

14.6. Жидкость налита в бутыли вместимостью по 40 л, при этом одна из бутылей оказалась не совсем полной. Если эту же жидкость перелить в бутыли вместимостью по 50 л, то такие бутыли будут заполнены жидкостью, но при этом понадобятся на 5 бутылей меньше. Если ту же жидкость разлить по бутылям вместимостью по 70 л, то понадобятся ещё на 4 бутыли меньше, но опять одна бутыль будет не совсем полной. Сколько литров жидкости было?

14.7. Имеется три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и 70% меди, второй — 10% меди и 90% марганца, третий — 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40% марганца. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание меди может быть в этом новом сплаве?

14.8. В двух различных сосудах содержались смеси воды и песка, причём в первом сосуде было 1000 кг смеси, а во втором — 1960 кг. В оба сосуда добавили воды. При этом процентное содержание песка в смесях уменьшилось в раз в первом сосуде и в раз во втором. О числах и известно только, что Найдите наименьшее количество воды, которое могло быть долито в оба сосуда вместе.

14.9. Из пункта одновременно выходят три пешехода и одновременно возвращаются в тот же пункт, обойдя маршрут, состоящий из прямолинейных отрезков которые образуют равнобочную трапецию боковые стороны). На указанных отрезках скорости всех пешеходов постоянны и равны у первого 6, 8, 5 и 8 км/ч соответственно, у второго — 7, 7, 6 и 8 км/ч соответственно. Скорость третьего пешехода на каждом из отрезков равна либо 7 км/ч, либо 8 км/ч, причём на всём пути он меняет скорость один раз. Определите отношение меньшего основания трапеции к боковой стороне.

14.10. Для составления смеси из двух жидкостей и были взяты два сосуда: первый ёмкостью 10 л, второй — 20 л. Сначала в оба сосуда было налито всего 15 л жидкости Затем первый сосуд был дополнен доверху жидкостью и было произведено перемешивание. После этого второй сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда. После того как в первый сосуд было добавлено жидкости столько, сколько было в него её налито сначала, отношения количества жидкости ко всему объёму имеющейся жидкости в сосуде для первого и второго сосудов стали равными. Сколько литров жидкости было налито первоначально в первый сосуд?

14.11. Согласно расписанию пароход проходит по реке, скорость течения которой 6 км/ч, путь из в длиной 18 км за 1 ч. При этом, выходя из пункта в 10 часов, он прибывает в пункты и отстоящие от на расстоянии 14 км и 17 км соответственно, в 10 ч 12 мин и в 10 ч 18 мин. Известно, что если бы пароход двигался из в без остановок с постоянной скоростью (относительно воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты , не превышала бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого пароходу для прохождения 6 км со скоростью в стоячей воде. Какой из пунктов находится выше по течению: или

14.12. Путь из села в город идёт сначала по грунтовой дороге, а затем по шоссе. Из села в город в 9 часов утра выехал автомобилист и одновременно с ним из города в село выехал мотоциклист. Автомобилист двигался по шоссе быстрее, чем по грунтовой дороге в 1,5 раза, а мотоциклист — в раза (движение обоих по шоссе и по грунтовой дороге считается равномерным). Они встретились в 12 часов, автомобилист приехал в город в 14 часов 20 минут, а мотоциклист приехал в село в 16 часов. Определите, сможет ли автомобилист приехать в город до 14 часов 40 минут, если он весь путь из села в город будет ехать с первоначальной скоростью.

14.13. Два велосипедиста стартовали раздельно в одной точке стадиона в гонке на 20 кругов, причём второй начал движение, когда первый прошёл треть круга. Один из зрителей вышел со стадиона, когда велосипедисты были рядом. Когда через 2 минуты он вернулся, велосипедисты снова были рядом. Если бы первый велосипедист после кругов увеличил скорость в 2 раза, а второй после 9 кругов — в 1,5 раза, то они финишировали бы одновременно. Определите, с какой разницей во времени финишировали велосипедисты, если пришедший первым проезжал за минуту более 4 кругов.

14.14. Из пункта в пункт по железной дороге нужно перевезти 20 больших и 250 малых контейнеров. Один вагон вмещает 30 малых контейнеров, вес каждого из которых 2 т. Большой контейнер занимает место 9 малых и весит 30 т. Грузоподъёмность вагона 80 т. Найдите минимальное число вагонов, достаточное для перевозки всех контейнеров.

14.15. Два вида удобрений — и отличаются весовым содержанием азота, калия и фосфора. В удобрении азота содержится в 1,5 раза, а фосфора в 2,5 раза больше по весу, чем калия. В удобрении соответственно азота и фосфора в раз меньше, чем калия. Можно ли за счёт смешивания удобрений и приготовить удобрение, в котором азота содержится в раз больше, а фосфора в раз меньше, чем калия?

14.16. В магазине имеются три вида наборов игрушек: металлических, пластмассовых и мягких. Детский сад купил по одному набору металлических и пластмассовых игрушек и 4 набора мягких, при этом количество игрушек совпало с числом детей в детском саду. Если бы было куплено 4 набора металлических и один набор мягких игрушек, то 57 детям игрушек бы не досталось. Количество игрушек, составляющих 4 набора пластмассовых и один мягкий, на 41 меньше числа детей. Сколько детей было в саду, если купив по три набора игрушек каждого типа, детский сад не обеспечил бы всех детей игрушками.

14.17. Машины трёх марок должны были перевезти некоторое чётное число панелей. Если бы работали по одной машине каждой марки, то они за два дня не перевезли бы всех панелей. Если бы работали две машины первой марки, а двух других по одной, то после одного дня работы осталось бы 29 панелей. Если бы в первый день работали по одной машине всех трёх марок, а во второй день две машины третьей марки, то они перевезли бы все панели. Сколько панелей должны были перевезти машины, если за день машина второй марки перевозит на 6 панелей больше, чем машина первой марки?

14.18. В расплаве массой 500 кг содержится медь и олово. Из этой смеси отлили часть, по массе превышающей на 100 кг массу меди в расплаве, и добавили количество олова, равное по массе отлитой части расплава. После этого отлили столько же получившейся смеси. В результате последней операции количество меди в расплаве уменьшилось в раз по сравнению с её содержанием в исходном расплаве. Определите процентное содержание олова в исходном расплаве.

14.19. Даны три сплава. Состав первого сплава: 55% хрома и 45% никеля. Состав второго сплава: 60% никеля, 25% хрома и 15% кобальта. Состав третьего сплава: 70% хрома и 30% кобальта. Из них нужно приготовить новый сплав, содержащий 20% кобальта. Какие значения может принимать процентное содержание никеля в этом новом сплаве?

14.20. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем потом 7% и, наконец, 12% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%. Определите срок хранения вклада.

16.1.

16.2.

16.3.

16.4.

16.5.

16.6.

16.7.

16.8.

16.9.

16.10.

16.11.

16.12.

16.13.

16.14.

16.15.

16.16.

16.17.

16.18.

16.19.

16.20.

16.21.

16.22.

16.23.

16.24.

16.25.

16.26.

16.27.

16.28.

16.29.

16.30.

16.31.

16.32.

16.33.

16.34.

16.35.

16.36.

16.37.

16.38.

16.39.

16.40.

16.41.

16.42.

16.43.

16.44.

16.45.

16.46.

16.47. если

16.48.

16.49. если

16.50. если

16.51.

16.52. если

16.53.

16.54.

16.55. если

17.11.

17.12.

17.13.

17.14.

17.15.

17.16.

17.17.

17.18.

17.19.

17.20.

17.21.

17.22.

17.23.

17.24.

17.25.

17.26.

17.27.

17.28.

17.29.

17.30.

17.31.

17.32.

17.33.

17.34.

17.35.

17.36.

17.37.

17.38.

17.39.

18.6. на интервале

18.7. на интервале

18.11. на отрезке

18.12. на отрезке

18.13.

18.14.

18.17.

18.18.

18.20. на отрезке

18.21. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

б) Найдите все корни уравнения удовлетворяющие условию

18.23.

18.24.

18.25. на интервале

18.26. на интервале

18.28.

18.29.

18.30.

18.31.

18.32. Найдите все корни уравнения удовлетворяющие условию

18.36.

18.37.

18.38.

18.44.

18.45.

18.48. Найдите сумму корней уравнения принадлежащих промежутку

18.48. Сколько корней на отрезке имеет уравнение

18.49. Функция такова, что сумма корней уравнения на отрезке равна а сумма корней уравнения на отрезке равна Какова сумма корней второго уравнения на отрезке

18.50.

18.51.

18.52.

18.53.

18.54.

18.55.

18.56.

18.57.

18.58.

18.59.

18.60.

18.61.

18.62.

18.63.

18.64.

18.65.

18.66.

18.67.

18.68. на интервале

18.70. на отрезке

Теорема. Для любого числа по модулю не превосходящего 1, существует единственный арксинус.

Теорема. Для любого числа по модулю не превосходящего 1, существует единственный арккосинус.

Теорема. Для любого числа существуют единственный арктангенс и единственный арккотангенс.

19.16. Найдите наибольшее значение функции

19.18. Найдите все значения при которых хотя бы одна общая точка графиков функций и имеет отрицательную ординату.

е) Известно, что для некоторой тройки чисел выражения и равны одному и тому же числу. Найдите это число.

24.8. Докажите, что числа и иррациональны.

24.9. Выразите через

24.10. Изобразите на комплексной плоскости множество точек удовлетворяющих условию:

24.13. Составьте уравнение пятой степени, имеющее корни

24.14. Составьте уравнение четвёртой степени, имеющее корни

24.15. Составьте уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющее корни

24.16. Сумма кубов корней уравнения равна Найдите и решите это уравнение.

24.17. При делении многочлена на в остатке получается а при делении на в остатке получается Найдите остаток от деления многочлена на многочлен

24.18. Докажите, что число является корнем уравнения и найдите остальные корни этого уравнения.

24.19. Число является корнем уравнения Найдите значение и решите уравнение при найденном значении

24.20. Найдите сумму всех таких чисел что Укажите одно из этих чисел.

24.21. Разложите на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами многочлены:

24.22. Докажите, что при любых натуральных и число делится на

24.23. При каких целых число простое?

24.24. Пусть Докажите, что каждый корень степени из 1 является корнем степени из 1 тогда и только тогда, когда делится на

г) Найдите сумму степеней всех корней степени из 1.

б) Вычислите эту сумму для произвольной точки расположенной на расстоянии от центра указанной окружности.

24.31. Решите уравнения:

24.32. При каких будут действительны:

24.33. Вычислите:

25.2.

25.3.

25.4.

25.6. При каких неравенство верно для всех

25.7. При каких один корень уравнения больше 1, а второй — меньше 1?

25.8. При каких оба корня уравнения больше 3?

25.9. При каких оба корня уравнения лежат между корнями уравнения

25.10. При каких неравенство верно для всех

25.11. При каких неравенство верно для всех

25.12. При каких корни уравнения больше

25.13. При каких неравенство верно для всех по модулю не превосходящих 1?

25.14. При каких любое удовлетворяющее неравенству по модулю не превосходит 2?

25.15.

25.16.

25.17. При каких из неравенства следует неравенство

25.18. При каких из неравенства следует неравенство

25.19. При каких неравенство верно для всех таких, что

25.20. При каких неравенство имеет хотя бы одно решение?

25.21. При каких неравенство справедливо для всех

25.22. При каких неравенство справедливо для всех

25.23. При каких неравенство имеет хотя бы одно решение?

25.27. При каких уравнения и имеют общий корень?

б) При каких уравнение имеет больше отрицательных корней, чем положительных?

25.29. При каких уравнение имеет ровно одно решение?

25.30. квадратный трёхчлен. Известно, что Определите знак

д) Для каждого решите уравнение

25.32. При каких уравнение имеет ровно три корня? Найдите эти корни.

25.33. При каких уравнение имеет единственное решение?

25.35. При каких неравенство верно для всех из отрезка

б) При каких уравнение имеет не менее трёх отрицательных корней?

б) При каких уравнение имеет не менее двух различных отрицательных корней?

25.48. Найдите все значения параметра из интервала при каждом из которых существует хотя бы одно число из отрезка удовлетворяющее уравнению

25.49. Найдите все значения параметра из интервала при каждом из которых существует хотя бы одно число из отрезка удовлетворяющее уравнению

б) Найдите все значения при каждом из которых число решений уравнения не меньше числа решений уравнения

25.56. Найдите все значения при каждом из которых уравнение имеет на отрезке ровно два корня.

г) Для каждого решите неравенство

26.1.

26.2.

26.3.

26.4.

26.5.

26.7.

26.9.

26.11.

26.12.

26.14.

26.15.

26.16.

26.17.

26.18.

26.19.

26.20.

26.21.

26.22.

26.23.

26.27.   

26.28.   

б) Найдите наибольшее из значений, которые принимает выражение если удовлетворяют неравенству

б) Числа таковы, что Какое наибольшее значение может принимать выражение

26.43. Найдите наименьшее значение выражения

27.1. Сколькими нулями оканчивается число: а) 24!; б) 100!; в) 2010!?

27.2. Докажите признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11.

в)* Может ли сумма цифр точного квадрата быть равной 2010?

27.4. Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

в)* Докажите, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел (например:

г) Докажите, что существует степень числа 29, оканчивающаяся цифрами 00001.

27.9. Докажите, что выражение принимает целые значения при всех целых тогда и только тогда, когда числа и целые.

в) Пусть простое число, Докажите, что делится на 2880.

г) Докажите что сумма квадратов целых чисел делится на 7 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 7.

б)* Докажите, что натуральное число, десятичная запись которого состоит из одинаковых цифр не может быть точным квадратом.

в) Докажите, что число делится на 7.

27.15. Сумма трёх целых положительных чисел больше, чем их произведение, а сумма двух из этих чисел равна 33. Найдите все такие числа.

27.16. Сумма квадратов четырёх целых положительных чисел больше, чем половина квадрата их произведения, а сумма первых степеней этих чисел равна 42. Найдите все такие числа.

в) Докажите, что дробь несократима ни при каком целом

б) Сумма обратных величин трёх натуральных чисел равна 1. Каковы эти числа?

28.7. Найдите наибольшее значение если

28.8. Пусть и отличные от нуля корни квадратного уравнения Докажите, что числа и корни квадратного уравнения

28.10. Известно, что и корни квадратного уравнения Найдите и

29.1.

29.2.

29.3.

29.4.

29.5.

29.6.

29.7.

29.8.

29.9.

29.10.

29.11.

29.12.

29.13.

29.14.

29.15.

29.16.

29.17.

29.18.

29.19.

29.20.

29.21.

При решении систем уравнений в 7 классе мы пользовались методом подстановки и методом алгебраического сложения. Вспомним эти методы.

Если и не равны нулю одновременно, то линейное уравнение это уравнение прямой. Поэтому при решении системы двух таких уравнений может возникнуть один из трёх случаев:

Сформулируем окончательный результат нашего исследования.

Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение

Если главный определитель системы равен нулю и при этом один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то второй вспомогательный определитель также отличен от нуля и система не имеет решений, или несовместна.

Если главный определитель системы равен нулю и при этом один из вспомогательных определителей равен нулю, то второй вспомогательный определитель также равен нулю и система имеет прямую решений.

при система несовместна.

30.2. Стороны треугольника лежат на прямых Найдите координаты вершин треугольника. Определите, где лежит начало координат: внутри треугольника или вне его.

Задача решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными нами полностью решена. Займёмся теперь системами, содержащими более сложные уравнения. Мы не будем стремиться к полному исследованию таких систем. Рассмотрим лишь некоторые частные случаи.

Ответ:

Определение. Пусть многочлен от двух переменных не изменяется, если и поменять местами, т. е. Тогда называется симметрическим многочленом.

Примеры симметрических многочленов: и т. д.

Первые два из этих симметрических многочленов называются элементарными симметрическими многочленами. Мы будем обозначать их так: Иногда их по понятным причинам называют коэффициентами Виета.

Оказывается, любой симметрический коэффициент можно выразить через элементарные симметрические многочлены. Например,

Ответ:

Ответ:

Рассмотрим окружность радиуса с центром в начале координат. Если точка лежит на этой окружности, то Верно и обратное: если числа и удовлетворяют уравнению то точка принадлежит исходной окружности. В таком случае говорят, что уравнение окружности.

Таким образом, мы решили систему уравнений и дали геометрическое истолкование решения.

б) Докажите, что любой симметрический многочлен можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.

31.8. Составьте уравнение прямой, касающейся двух парабол: и

32.2. Исследуйте на экстремум функцию: 

32.3. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

32.4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

32.5. Найдите точки минимума функции заданной на отрезке и её наибольшее значение на этом отрезке.

32.6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

32.7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

32.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

32.9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

32.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

32.11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

32.12. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

32.13. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

32.14. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

32.15. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

б) Найдите наименьшее значение функции

32.17. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

32.18. Найдите точки минимума функции

32.20. Найдите наименьшее значение функции

32.21. Найдите наименьшее значение функции

32.22. Найдите максимум и минимум функции

б) Найдите все значения для каждого из которых функция принимает наибольшее значение.

32.24. Найдите наименьшее из расстояний от точки с координатами до точек таких, что

32.25. Докажите, что для функции на отрезке справедливо неравенство

32.26. На графике функции найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику отсекает от положительной полуоси вдвое меньший отрезок, чем от отрицательной полуоси Определите длины отсекаемых отрезков.

32.27. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку с координатами касающейся графика функции и пересекающей в двух различных точках график функции

32.28. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку с координатами касающуюся графика функции и пересекающей в двух различных точках график функции

32.29. Найдите координаты точек пересечения с осью тех касательных к графику функции которые образуют угол с осью

32.30. Найдите координаты точек пересечения с осями координат тех касательных к графику функции у которых угловой коэффициент равен 9.

32.31. К параболе в точке с абсциссой проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью

32.32. На координатной плоскости рассматриваются всевозможные треугольники у каждого из которых вершина имеет координаты вершина лежит на отрезке оси а вершина лежит на параболе Какие координаты должна иметь вершина чтобы площадь треугольника была наибольшей?

32.33. Касательная к графику функции такова, что абсцисса точки касания принадлежит отрезку При каком значении площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью и вертикальной прямой будет наибольшей? Чему равна эта наибольшая площадь?

32.34. Вычислите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции в точке с абсциссой

32.35. Найдите уравнения тех касательных к графику функции каждая из которых вместе с осями координат ограничивает треугольник площади

32.36. Найдите уравнения тех касательных к графику функции каждая из которых вместе с осями координат ограничивает треугольник площади 2.

32.37. К графику функции проводятся две касательные в точках с абсциссами и Найдите площадь треугольника, образованного осью ординат и этими двумя касательными.

б) Найдите координаты точки пересечения двух касательных, проведённых к графику функции первая в точке с абсциссой а вторая в точке с абсциссой

32.39. На координатной плоскости рассматривается прямоугольник у которого сторона лежит на оси ординат, вершина лежит на параболе вершина лежит на параболе а абсцисса вершины принадлежит отрезку Какое значение должна иметь абсцисса вершины чтобы площадь прямоугольника была наибольшей?

32.40. Найдите все значения из интервала при которых производная функции

32.41. Найдите площадь треугольника, образованного осью ординат и двумя касательными, проведёнными из точки к графику функции

32.42. Найдите координаты точки, лежащей на прямой и наименее удалённой от начала координат.

32.43. Найдите координаты точки, лежащей на графике функции при и наименее удалённой от прямой

32.44. Найдите такое значение из промежутка что точка с абсциссой и ординатой удалена на наименьшее расстояние от начала координат.

32.45. Найдите точку графика функции ближайшую к точке

32.46. Стороны треугольника лежат на осях координат и на касательной к графику функции в точке, абсцисса которой удовлетворяет условию Найдите значение при котором площадь треугольника будет наибольшей.

32.47. Вычислите площадь и периметр треугольника, образованного осями координат и касательной, проведённой к графику функции в точке

32.48. Рассматриваются всевозможные трапеции, вписанные в окружность радиуса такие, что центр окружности лежит внутри трапеции, а одно из оснований равно Найдите боковую сторону той из этих трапеций, которая имеет наибольшую площадь.

32.49. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр, равный 6. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объёмом и вычислите величину этого объёма.

32.50. Найдите высоту и радиус основания конуса наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса

32.51. Найдите высоту и радиус основания наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса

32.52. Найдите высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в конус с радиусом основания и высотой так, что основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса.

32.53. Найдите высоту и радиус основания конуса наибольшего объёма, окружность основания которого лежит на сфере радиуса и вершина которого совпадает с центром сферы.

32.54. В конусе расположены два шара единичного радиуса, касающиеся основания конуса в точках, симметричных относительно центра основания. Каждый из шаров касается боковой поверхности конуса и другого шара. Найдите величину угла между образующей конуса и основанием, при котором объём конуса наименьший.

32.55. Из заготовки, имеющей форму круглого цилиндра с диаметром основания 20 и высотой вытачивается шар с диаметром При каком значении объём удаляемой части заготовки максимален?

32.56. В правильной четырёхугольной пирамиде расположены два одинаковых шара радиуса центры которых находятся на оси симметрии пирамиды. Один из шаров касается всех боковых граней пирамиды, а другой — основания пирамиды и первого шара. Найдите высоту пирамиды, при которой объём пирамиды наименьший.

32.57. В две бочки были налиты растворы соли, причём в первую бочку налито 16 кг, а во вторую — 25 кг. Оба раствора разбавили водой так, что процентное содержание соли уменьшилось в раз в первой бочке и в раз во второй. О числах и известно только, что Найдите наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе.

32.58. Найдите все значения параметра при каждом из которых функция возрастает и не имеет критических точек на всей прямой.

33.1. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это двузначное число.

33.2. Остаток от деления некоторого числа на 6 равен 4, остаток от деления на 15 равен 7. Чему равен остаток от деления на 30?

33.6. Сумма квадратов четырех целых положительных чисел больше, чем половина квадрата их произведения, а сумма первых степеней этих чисел равна 42. Найдите все такие числа.

33.7. Найдите все целые числа и для которых и

33.10. Определите, сколько точек с целочисленными координатами находится внутри криволинейной трапеции, образованной осью абсцисс, прямыми и графиком функции Точки, лежащие на границе указанной криволинейной трапеции, не учитывать.

33.11. Найдите все значения параметра при которых неравенство не имеет ни одного целочисленного решения.

33.13. Найдите все пары целых чисел и удовлетворяющие одновременно двум неравенствам и

33.16. Найдите все значения при каждом из которых существует единственная пара целых чисел удовлетворяющая уравнению и двум неравенствам

33.17. На заводе было несколько одинаковых прессов, штампующих детали, и завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все прессы заменили на более производительные, но также одинаковые, а их количество увеличилось на три. Завод стал выпускать в день 11 200 деталей. Сколько прессов было первоначально?

33.18. Совокупность состоит из различных натуральных чисел. Количество чисел в больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из равно 210. Для любых двух чисел из их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найдите числа, из которых состоит

— сумма самого числа с числом, получающимся из него перестановкой второй и третьей его цифр, делится на 8 без остатка.

33.30. Найдите все целочисленные решения уравнения

33.31. Натуральные числа и среди которых нет равных, удовлетворяют условию Найдите все такие числа.