ЛИСТКИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ Р. К. ГОРДИНА

1.1. На одной из двух скрещивающихся прямых взяли различные точки и на другой — различные точки и Верно ли, что и скрещивающиеся прямые?

1.2. Прямые и пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой и пересекающие прямую лежат в одной плоскости.

1.3. Прямая параллельна плоскости Прямая параллельная прямой проходит через точку плоскости Докажите, что прямая лежит в плоскости

1.4. Пусть и четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что плоскость, проходящая через середины отрезков и параллельна плоскости

1.5. Докажите, что если две пересекающиеся плоскости параллельны некоторой прямой, прямая их пересечения параллельна этой же прямой.

1.6. Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Две из трёх прямых пресечения этих плоскостей пересекаются в точке Докажите, что третья прямая проходит через точку

1.7. Дано несколько прямых в пространстве, каждые две из которых пересекаются. Докажите, что либо все эти прямые лежат в одной плоскости, либо все проходят через одну точку.

1.8. В пространстве проведены три прямые, не лежащие в одной плоскости, но при этом никакие две не являются скрещивающимися. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку либо параллельны.

1.9. Основание пирамиды параллелограмм Какая фигура получилась в сечении этой пирамиды плоскостью где точка на ребре

1.10. Может ли в сечении параллелепипеда плоскостью получиться правильный пятиугольник?

1.11. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке.

1.12. Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся прямые.

1.13. Докажите, что через данную точку можно провести единственную плоскость, параллельную двум данным скрещивающимся прямым.

1.14. Найдите геометрическое место середин отрезков, концы которых лежат на двух данных скрещивающихся прямых.

1.15. Основание пирамиды произвольный четырёхугольник Постройте прямую пересечения плоскостей и

1.16. Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

1.17. Точки и лежат соответственно на рёбрах и параллелепипеда Постройте точку пересечения прямой с плоскостью

1.18. Докажите, что диагональ параллелепипеда проходит через точку пересечения медиан треугольника и делится ей в отношении считая от точки

1.19. Дана треугольная призма Точки и середины рёбер и соответственно. Докажите, что прямые и пересекаются в одной точке.

1.20. Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противолежащих граней) пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении считая от вершины.

1.21. Дан произвольный трёхгранный угол. Рассматриваются три плоскости, каждая из которых проведена через ребро и биссектрису противолежащей грани. Верно ли, что эти три плоскости пересекаются по одной прямой?

1.22. Пусть и четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Через точку пересечения медиан треугольника проведена плоскость, параллельная прямым и В каком отношении эта плоскость делит медиану, проведённую к стороне треугольника

1.23. Пусть и четыре точки, не лежащие в одной плоскости. В каком отношении плоскость, проходящая через точки пересечения медиан треугольников и делит отрезок

1.24. Точка середина ребра тетраэдра Точка лежит на продолжении ребра за точку точка на продолжении ребра за точку причём и Постройте сечение тетраэдра плоскостью В каком отношении эта плоскость делит рёбра и

1.25. Плоскость, проходящая через середины ребёр и треугольной пирамиды делит ребро в отношении считая от вершины В каком отношении эта плоскость делит ребро

1.26. В параллелепипеде проведён отрезок, соединяющий вершину с серединой ребра В каком отношении этот отрезок делится плоскостью

1.27. Плоскость пересекает рёбра и тетраэдра в точках и соответственно. Докажите, что

1.28. Дан тетраэдр Точки и лежат на рёбрах и соответственно, причём и Постройте сечение тетраэдра плоскостью В каком отношении эта плоскость делит ребро

1.29. Дан параллелепипед Точки середины рёбер и соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью В каком отношении эта плоскость делит ребро и диагональ

1.30. Дана четырёхугольная пирамида основание которой — трапеция Отношение оснований и этой трапеции равно 2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку и середины рёбер и В каком отношении эта плоскость делит ребро

1.31. Дана четырёхугольная пирамида основание которой — параллелограмм Точки и лежат на рёбрах и соответственно, причём Постройте сечение пирамиды плоскостью В каком отношении эта плоскость делит ребро

1.32. Дан параллелепипед Точки лежат на рёбрах и соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью

1.33. На трёх гранях параллелепипеда взято по точке. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.

1.34. На плоскости даны три луча с общим началом. Они делят плоскость на три части, в которых взято по точке. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, вершины которого лежат на данных лучах, а стороны проходят через данные точки.

1.35. Постройте сечение треугольной призмы плоскостью, проходящей через точки и параллельно прямой В каком отношении эта плоскость делит ребро

1.36. Дана четырёхугольная пирамида основание которой — параллелограмм Через середину ребра проведите плоскость, параллельную прямым и В каком отношении эта плоскость делит ребро

1.37. Пусть и точки пересечения медиан граней и тетраэдра Найдите если известно, что

1.38. Через вершину тетраэдра и середины рёбер и проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит отрезок где и середины рёбер и соответственно?

1.39. В тетраэдре через середину ребра вершину и точку ребра такую, что проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит отрезок где и середины рёбер и соответственно?

1.40. Пусть точка пересечения медиан основания треугольной призмы и точки пересечения диагоналей граней и соответственно. Плоскость пересекает прямые и в точках и соответственно. Постройте сечение призмы плоскостью и найдите отношения и

1.41. Через середины и ребёр и параллелепипеда проведена плоскость параллельно диагонали Постройте сечение параллелепипеда этой плоскостью. В каком отношении она делит ребро

1.42. В параллелепипеде на прямых и взяты точки и так, что Найдите отношение

1.43. В треугольной призме точки и середины рёбер и Через точку пересечения медиан треугольника проведена прямая, пересекающая прямые и в точках и соответственно. Найдите отношение

1.44. В тетраэдре проведены медианы и граней и На этих медианах взяты соответственно точки и так, что параллельно Найдите отношение

1.45. В призме медианы оснований и пересекаются соответственно в точках и Через середину отрезка проведена прямая, параллельная прямой Найдите длину отрезка этой прямой, лежащего внутри призмы, если

1.46. На ребре и диагонали параллелепипеда взты соответственно точки и так, что прямая параллельна плоскости и Найдите отношение

1.47. Дан тетраэдр В каком отношении плоскость, проходящая через точки пересечения медиан граней и делит ребро

1.48. Основание пирамиды параллелограмм середина середина В каком отношении плоскость делит отрезок

ж) угол апофемы с соседней боковой гранью.

з) угол апофемы с соседней боковой гранью.

е) радиус описанного шара.

г) угол апофемы с соседней гранью.

г) угол апофемы с соседней боковой гранью.

е) угол апофемы с соседней боковой гранью.

е) угол апофемы с соседней боковой гранью.

д) радиус вписанного шара.

2.9. Пусть единичный куб. Найдите объём общей части пирамид и

2.10. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно а плоский угол при вершине равен Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

2.11. Найдите радиус шара, касающегося всех рёбер правильного тетраэдра с ребром, равным

2.12. В правильной треугольной пирамиде с вершиной сторона основания равна 2. Через сторону основания проведено сечение, которое пересекает ребро в точке Известно, что а площадь сечения равна 3. Найдите объём пирамиды

б) Найдите наименьшую длину рассматриваемых отрезков.

2.14. Угол между соседними боковыми гранями правильной шестиугольной пирамиды равен углу, под которым боковое ребро видно из центра описанной сферы. Найдите этот угол.

2.15. В правильной четырёхугольной пирамиде угол между боковым ребром и плоскостью основания равен углу между ребром и плоскостью Найдите этот угол.

2.16. Через боковое ребро правильной треугольной пирамиды проведена плоскость, параллельная стороне основания. Боковое ребро образует с этой плоскостью угол, равный Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

2.17. Все грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной и острым углом Найдите объём параллелепипеда.

2.18. Рассматривается фигура, полученная в пересечении правильного тетраэдра с его образом при центральной симметрии относительно середины высоты. Найдите объём этой фигуры, если ребро тетраэдра равно

б) наибольшее значение объёма рассматриваемых призм.

2.20. В правильном тетраэдре точки и середины противоположных рёбер. Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость, параллельную прямой является четырёхугольник площади один из углов которого равен Найдите площадь поверхности тетраэдра.

2.21. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра с ребром, равным

2.22. Сторона основания и высота правильной треугольной пирамиды равны Найдите наибольшую площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через апофему пирамиды.

2.23. Через середину высоты правильной четырёхугольной пирамиды проведено сечение плоскостью, перпендикулярной боковому ребру. Найдите площадь сечения, если боковое ребро равно а угол между противоположными боковыми рёбрами пирамиды равен

2.24. Найдите наибольший возможный угол между плоскостью боковой грани и не принадлежащим ей ребром правильной четырёхугольной пирамиды.

3.1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13, а диагонали боковых граней равны и Найдите его объём.

3.2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и составляет с одной гранью угол а с другой Найдите объём параллелепипеда.

3.3. Дан прямоугольный параллелепипед в котором Точка середина ребра центр грани На ребре взята точка причём Докажите, что

3.4°. Боковые рёбра пирамиды равны между собой. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

3.5. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной и углом в Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом в Найдите объём пирамиды.

3.6. Основание пирамиды — прямоугольник с диагональю, равной и углом в между диагоналями. Каждое из боковых рёбер образует с плоскостью основания угол в Найдите объём пирамиды.

б) Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13, 14, 15. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углами Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

3.8°. Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Верно ли, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание?

3.9. Каждая из боковых граней треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в Стороны основания равны 10, 10, 12. Найдите объём пирамиды.

3.10. Основание пирамиды — ромб с острым углом в Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в Найдите объём пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен

3.11. Основание пирамиды — параллелограмм с площадью Известно, что перпендикулярно Двугранные углы при рёбрах и равны а при рёбрах и Найдите боковую поверхность и объём пирамиды.

3.12. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 и 8. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.

3.13°. Дан куб с ребром, равным Найдите расстояние между прямыми и и и В каждом случае постройте общий перпендикуляр к указанным прямым.

3.14. Дан прямоугольный параллелепипед Через прямую проведена плоскость, параллельная прямой Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если

3.15. Диагонали прямоугольного параллелепипеда вписанного в сферу радиуса наклонены к плоскости основания под углом Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, которая проходит через диагональ параллельна диагонали основания и образует с диагональю угол, равный

3.16. Высота треугольной пирамиды опущенная из вершины проходит через точку пересечения высот треугольника Кроме того, известно, что Найдите отношение площадей граней и

3.17. В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно 1, а боковые грани равновелики. Найдите объём пирамиды, если известно, что один из двугранных углов при основании — прямой.

3.18. Основание четырёхугольной пирамиды — квадрат, а все боковые грани — прямоугольные треугольники, у которых вершины прямых углов лежат на основании пирамиды. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 1, а один из двугранных углов при вершине равен

3.19. В треугольной пирамиде высота проходит через точку центр круга, вписанного в основание пирамиды. Известно, что а отношение площади треугольника к площади треугольника равно Найдите угол

3.20. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция в которой Плоскости граней и перпендикулярны плоскости основания пирамиды. Найдите высоту пирамиды, если высота грани проведённая из вершины равна

3.21°. Докажите, что площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на некоторую плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью проекций и плоскостью проектируемого многоугольника.

б) расстояние между серединами отрезков и

3.23. Ребро куба равно 12. Точка лежит на продолжении ребра на расстоянии, равном 9, от вершины Точка ребра удалена от на расстояние, равное 5. Точка делит отрезок в отношении считая от Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки

3.24. Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из её боковых граней. Найдите объём пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными рёбрами равно 1.

3.25. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна Через основание высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная медианам и граней и соответственно. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если расстояние от вершины пирамиды до этой плоскости равно

3.26. Все стороны основания пирамиды равны 4, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины рёбер и параллельно медиане грани если известно, что расстояние от вершины до этой плоскости равно

3.27. Катеты прямоугольного треугольника расположены в гранях некоторого острого двугранного угла и образуют с его ребром углы и соответственно. Найдите величину двугранного угла.

3.28. В пирамиде двугранный угол при ребре равен Найдите двугранный угол при ребре

3.29. Все грани треугольной пирамиды — прямоугольные треугольники. Наибольшее ребро равно а противоположное ребро равно Двугранный угол при наибольшем ребре равен Найдите объём пирамиды.

4.1°. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудалённых от концов данного отрезка.

4.2°. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудалённых от вершин данного вписанного многоугольника.

4.3°. Для того, чтобы около пирамиды можно было описать сферу необходимо и достаточно, чтобы около основания этой пирамиды можно было описать окружность.

4.4. Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной, равной Высота пирамиды проходит через середину одной из сторон основания и равна Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

4.5. Дан куб с ребром Точки и середины рёбер и соответственно. Найдите радиус сферы, проходящей через точки и

б) Высота правильного тетраэдра равна 1. Найдите радиус сферы, проходящей через вершины и середины рёбер и

4.7. Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра в котором а синус двугранного угла при ребре равен

4.8°. Известно, что в некоторую пирамиду можно вписать шар. Докажите, что объём этой пирамиды равен произведения радиуса этого шара на полную поверхность пирамиды.

4.9. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 4, а сторона основания равна 6. Точки и середины отрезков и Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду

4.10. Две грани треугольной пирамиды — равносторонние треугольники со стороной, равной Две другие грани — равнобедренные прямоугольные треугольники. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.

4.11. Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу, причём центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что в основание пирамиды можно вписать окружность.

4.12. Шар радиуса касается всех боковых граней треугольной пирамиды в серединах сторон её основания. Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром шара, делится пополам точкой пересечения с основанием пирамиды. Найдите объём пирамиды.

4.13. Основание пирамиды — ромб со стороной 2 и острым углом Шар радиуса касается каждой боковой грани в точке, лежащей на стороне основания пирамиды. Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба, и найдите объём пирамиды.

4.14. Дана правильная четырёхугольная пирамида вершина) со стороной основания и боковым ребром Сфера с центром в точке проходит через точку и касается рёбер и в их серединах. Найдите объём пирамиды

4.15. В треугольной пирамиде боковое ребро равно ребру и наклонено к плоскости основания под углом Известно, что вершины и середины боковых рёбер пирамиды расположены на сфере радиуса 1. Докажите, что центр этой сферы лежит на ребре и найдите высоту пирамиды.

4.16. В треугольной пирамиде известно, что а ребро перпендикулярно грани Сфера радиуса 2 касается грани ребра а также грани в точке пересечения её медиан. Найдите объём пирамиды.

4.17. В треугольной пирамиде боковое ребро перпендикулярно плоскости основания Сфера, центр которой лежит на грани касается плоскостей остальных граней пирамиды. Найдите расстояние от центра сферы до ребра

4.18. Дан куб Сфера касается прямых и продолжения ребра за точку Найдите радиус сферы, если длины ребёр куба равны 1, а точка касания с прямой принадлежит грани куба.

4.19. Основание четырёхугольной пирамиды прямоугольник Известно, что Найдите ребро

4.20. Четырёхугольная пирамида вписана в сферу, центр которой лежит в плоскости основания Диагонали и основания пересекаются в точке причём высота пирамиды. Найдите и если

4.21. Сфера касается рёбер и треугольной пирамиды в точках и соответственно. Найдите если и

4.22. Сфера касается всех рёбер треугольной пирамиды. Докажите, что отрезки, соединяющие точки касания сферы с противоположными рёбрами, пересекаются в одной точке.

4.23. Сфера вписана в четырёхугольную пирамиду основанием которой является трапеция а также вписана в правильный тетраэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды Найдите радиус сферы, если объём пирамиды равен 64.

4.24. В основании пирамиды лежит треугольник у которого а радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен На сторонах треугольника как на диаметрах построены три сферы, пересекающиеся в точке Точка является центром четвёртой сферы, причём вершина пирамиды есть точка касания этой сферы с некоторой плоскостью, параллельной плоскости основания Площадь части четвёртой сферы, которая заключена внутри трёхгранного угла, образованного лучами и равна Найдите объём пирамиды

4.25. Сфера с центром в точке проходит через вершины и треугольной пирамиды и пересекает прямые и в точках и соответственно. Известно, что и Проекции точки на плоскости и середины ребёр и соответственно. Расстояние между серединами рёбер и равно 13. Найдите периметр треугольника

4.26. Через вершину нижнего основания единичного куба проведена плоскость, касающаяся вписанного в куб шара. Эта плоскость отсекает от верхнего основания треугольник площади Найдите площадь сечения куба этой плоскостью.

4.27°. Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (такой тетраэдр называется ортоцентрическим). Докажите, что точки пересечения медиан, высот и центр описанной сферы лежат на одной прямой.

5.1. Известно, что в тетраэдре ребро перпендикулярно ребру а ребро ребру Докажите, что ребро перпендикулярно ребру

5.2. Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Докажите, что существуют ровно два тетраэдра, в которых эти отрезки соединяют середины противоположных рёбер.

5.3. Докажите, что сумма квадратов всех рёбер тетраэдра равна учетверённой сумме квадратов расстояний между серединами его противоположных рёбер.

5.4. Докажите, что противоположные рёбра тетраэдра попарно перпендикулярны тогда и только тогда, когда

5.5. Радиус сферы, касающейся всех рёбер правильного тетраэдра, равен 1. Найдите ребро тетраэдра.

5.6. Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны и Найдите радиус описанной сферы.

5.7. Противоположные рёбра тетраэдра попарно равны. Основание тетраэдра — треугольник со сторонами Найдите объём тетраэдра.

б) Пусть объём тетраэдра, и площади двух граней, длина их общего ребра, величина двугранного угла между ними. Докажите, что

б) Точки и являются серединами отрезков и соответственно, а прямая перпендикулярна прямым и Найдите угол между скрещивающимися прямыми и если известно, что угол равен и

5.10. Отрезок являющийся хордой сферы радиуса 1, расположен под углом к диаметру этой сферы. Расстояние от конца диаметра до ближайшего к нему конца хорды равно Найдите

б) В треугольной пирамиде грани и имеют площади и и образуют между собой угол Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро и центр вписанного в пирамиду шара.

б) Две сферы радиуса касаются друг друга. Через точку проведены две прямые, касающиеся данных сфер. Первая прямая касается сфер в точках и вторая — в точках и точки и лежат на одной сфере. Известно, что и Найдите

д) точка пересечения медиан и центр вписанной сферы совпадают.

б) Все рёбра треугольной пирамиды касаются некоторого шара. Три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся рёбер и и и равны. Угол равен а угол больше угла Найдите отношение площадей граней и

5.15. Пусть высота равногранного тетраэдра; и отрезки, на которые одна из высот грани делится точкой пересечения высот этой грани. Докажите, что

5.16. Ребро правильного тетраэдра равно Через вершину тетраэдра проведено сечение, являющееся треугольником. Докажите, что периметр сечения удовлетворяет неравенствам

б) В треугольной пирамиде суммы трёх плоских углов при каждой вершине и равны и Внутри пирамиды взята некоторая точка сумма расстояний от которой до трёх боковых граней и равна 7. Найдите расстояние от центра описанного шара до грани если объёмы пирамид и относятся как

б) На грани куба с ребром, равным 6, задана точка удалённая от ребра на расстояние 1, а от ребра на расстояние 3. На грани дана точка удалённая от ребра на расстояние 1, а от ребра на 2. Найдите длину кратчайшего пути между точками и по поверхности куба.

5.19. Ребро правильного октаэдра равно Найдите кратчайшее расстояние по поверхности октаэдра между серединами двух его параллельных рёбер.

5.20. Сторона основания правильной треугольной призмы равна боковое ребро равно Найдите кратчайшее расстояние по поверхности призмы между вершиной одного основания и серединой противоположной ей стороны другого основания.

5.21. Если поверхность тетраэдра разрезать вдоль рёбер и то его развёрткой на плоскость будет квадрат со стороной, равной Найдите объём тетраэдра.

ж) ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

6.2. Даны три вектора и Докажите, что вектор перпендикулярен вектору

б) Найдите длину отрезка

6.4. Стороны треугольника равны и Найдите а) медиану; б) биссектрису треугольника, проведённую к стороне, равной

6.5. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других вершин.

6.6. Пусть произвольные точки. Докажите, что Пользуясь эти равенством, докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

6.7. Точка середина стороны квадрата а точка лежит на диагонали причём Докажите, что

6.8. На сторонах и треугольника во внешнюю сторону построены квадраты и Докажите, что медиана треугольника перпендикулярна прямой

Когда достигаются равенства?

6.10. Пусть стороны треугольника, радиус описанной окружности. Докажите, что

б)

6.12. Пусть центр описанной окружности треугольника а точка обладает тем свойством, что Докажите, что точка пересечения высот треугольника

6.13. Пусть и радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника, расстояние между их центрами. Докажите, что (формула Эйлера).

6.14. Дан куб Найдите углы между прямыми и и и

6.15. Высота прямоугольного параллелепипеда вдвое больше каждой из сторон основания. Найдите угол между прямыми и где точка пересечения диагоналей грани

6.16. Дан тетраэдр Все плоские углы при вершине прямые; Найдите медиану тетраэдра, проведённую из вершины

6.17. Известно, что в тетраэдре ребро перпендикулярно ребру а ребро перпендикулярно ребру Докажите, что ребро перпендикулярно ребру

6.18. Дан куб На отрезках и взяты точки и причём Докажите, что отрезок перпендикулярен прямым и и найдите его длину, если ребро куба равно

6.19. В тетраэдре известно, что Найдите медиану тетраэдра, проведенную из вершины

6.20. Докажите, что если в тетраэдре противоположные рёбра попарно перпендикулярны, то Верно ли обратное?

6.21. Пусть точка пересечения медиан треугольника произвольная точка пространства. Докажите, что

6.22. Даны три попарно перпендикулярные прямые. Четвёртая прямая образует с данными прямыми углы соответственно. Докажите, что

6.23. Даны три некомпланарных вектора. Существует ли четвёртый вектор, перпендикулярный трём данным?

6.24. На диагоналях граней куба взяты соответственно точки причём а прямые и взаимно перпендикулярны. Найдите

6.25. Все рёбра правильной треугольной призмы равны Рассматриваются отрезки с концами на прямых и перпендикулярные прямой Найдите наименьшую длину таких отрезков.

6.26. Ребро куба равно На диагоналях и взяты соответственно точки и причём Найдите расстояние от вершины до прямой

7.1. Через точку проведите плоскость, параллельную плоскости

7.2. Через середину отрезка с концами в точках и проведите плоскость, перпендикулярную прямой, проходящей через точки и

7.3. Проведите плоскость через точки и

7.4. Найдите угол между прямой, проходящей через точки и и прямой, проходящей через точки и

7.5. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости, проходящей через точки и

7.6. Через точку проведите плоскость, перпендикулярную прямой пересечения плоскостей и

7.7. Найдите расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки и

7.8. Составьте параметрические уравнения прямой пересечения плоскостей и

7.9. Найдите угол между плоскостями и

7.10. Найдите угол между прямой пересечения плоскостей и и плоскостью, проходящей через точки и

7.11. Через прямую проведите плоскость, параллельную прямой пересечения плоскостей и

7.12. Найдите расстояние между прямой, проходящей через точки и и прямой, проходящей через точки и

7.13. Найдите координаты проекции точки на прямую

7.14. Прямая пересечение плоскостей и а прямая пересечение плоскостей и Пересекаются ли прямые и

7.15. Через точку проведите прямую, пересекающую прямые и

е) расстояние между прямыми и

7.17. Непересекающиеся диагонали двух смежных граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами и Найдите угол между этими диагоналями.

7.18. В прямоугольном параллелепипеде известно, что что На ребре взята точка причём точка пересечения диагоналей грани Найдите угол и расстояние между прямыми и

7.19. Основание пирамиды равносторонний треугольник со стороной Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку и середину ребра а другая проходит через точку и середину ребра

7.20. Найдите расстояния между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра со стороной

7.21. Дан правильный тетраэдр с ребром, равным 1; высота треугольника Равносторонний треугольник лежит в плоскости, образующей угол с ребром причём точки и расположены по одну сторону от плоскости Найдите

3) расстояние от точки до плоскости треугольника

7.23. Площади проекций некоторого треугольника на координатные плоскости и равны соответственно и а площадь проекции на плоскость целое число. Найдите площадь самого треугольника, если известно, что она также является целым числом.

7.24. Основание прямоугольного параллелепипеда прямоугольник со сторонами и Высота параллелепипеда равна 4 и центры граней и соответственно). Сфера радиуса 3 с центром на высоте касается плоскости основания. Найдите сумму квадратов расстояний от точки, принадлежащей сфере, до всех вершин параллелепипеда при условии, что она максимальна.

7.25. На рёбрах и единичного куба взяты точки и соответственно так, что Определите, какое из рёбер или пересекает плоскость, параллельную отрезку и содержащую отрезок В каком отношении это ребро делится плоскостью?

8.1. На стороне основания треугольной пирамиды расположена точка причём В каком отношении плоскость делит объём пирамиды

8.2. На боковых рёбрах (или на их продолжениях) треугольной пирамиды расположены точки соответственно. Докажите, что отношение объёмов пирамид и равно

8.3. Основание пирамиды параллелограмм В каком отношении плоскость, проведённая через прямую и середину ребра делит объём этой пирамиды?

8.4. На ребре треугольной пирамиды взята точка причём На продолжении ребра за точку и на продолжении ребра за точку расположены точки и соответственно, причём и В каком отношении плоскость делит объём пирамиды

8.5. Основание пирамиды параллелограмм Точка середина ребра точка середина медианы треугольника точка расположена на ребре причём В каком отношении плоскость делит объём пирамиды

8.6. На рёбрах и треугольной пирамиды расположены точки и соответственно, причём и точка пересечения медиан треугольника В каком отношении плоскость делит объём пирамиды

8.7. Основание пирамиды параллелограмм На рёбрах и расположены точки и соответственно, причём В каком отношении плоскость, проходящая через точки и параллельно прямой делит объём пирамиды

8.8. Докажите, что из боковых граней четырёхугольной пирамиды, основание которой является параллелограммом, можно составить треугольную пирамиду, причем её объём вдвое меньше объёма исходной пирамиды.

8.9. На скрещивающихся прямых и взяты отрезки и соответственно. Докажите, что объём пирамиды не зависит от положения отрезков и на этих прямых.

8.10. Докажите, что плоскость, проходящая через середины двух противоположных рёбер треугольной пирамиды, делит её объём пополам.

8.11. Объём пирамиды равен 5. Через середины рёбер и проведена плоскость, пересекающая ребро в точке При этом Найдите площадь сечения пирамиды указанной плоскостью, если расстояние от неё до вершины равно 1.

8.12. Точки и середины соответственно рёбер и параллелепипеда Прямые и попарно перпендикулярны. Найдите объём параллелепипеда, если

8.13. На продолжениях рёбер параллелепипеда за точки и соответственно отложены отрезки и равные и В каком отношении плоскость делит объём параллелепипеда?

8.14. В каком отношении делит объём куба плоскость, перпендикулярная его диагонали и делящая диагональ в отношении

8.15. Две плоскости, параллельные противоположным рёбрам и тетраэдра делят ребро на три равные части. Какая часть объёма тетраэдра заключена между этими плоскостями?

8.16. Отношение длин двух скрещивающихся рёбер тетраэдра равно Параллельно этим рёбрам проведена плоскость, причём в сечении получился ромб. В каком отношении эта плоскость делит объём тетраэдра?

8.17. Точки расположены на сфере радиуса Отрезки и пересекаются в точке находящейся на расстоянии 1 от центра сферы. Объёмы пирамид и относятся как пирамид и как пирамид и как Найдите отрезки и

8.18. В основании пирамиды лежит параллелограмм. Все боковые рёбра равны. Плоскость пересекает боковые рёбра пирамиды, отсекая на них отрезки и (в порядке обхода и считая от общей вершины). Докажите, что

8.19. На рёбрах и пирамиды взяты точки и причём В каком отношении плоскость делит отрезок, соединяющий середины рёбер и

8.20. В основании четырёхугольной пирамиды лежит параллелограмм На рёбрах и взяты соответственно точки и причём Пусть плоскость пересекает прямую в точке Найдите отношение

8.21. Площади граней и тетраэдра равны и Докажите, что биссекторная плоскость двугранного угла с ребром делит ребро в отношении

8.22. Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, а площади боковых граней равны и Найдите радиус вписанного шара. Найдите также радиус шара, касающегося основания и продолжений боковых граней пирамиды.

8.23. В правильной четырёхугольной пирамиде вершина) высота пирамиды равна 8. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку а другая — через точки и имеют равные площади. В каком отношении делят ребро плоскости сечений? Найдите расстояние между плоскостями сечений и объёмы многогранников, на которые пирамида разбивается этими плоскостями.

9.1. Вершины и единичного куба лежат на боковой поверхности цилиндра, ось которого параллельна прямой Найдите радиус цилиндра.

9.2. Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса под углом к его оси, равна площади осевого сечения. Найдите угол при вершине осевого сечения.

9.3. Через вершину конуса и хорду основания проведена плоскость. Известно, что в сечении получился равнобедренный треугольник наибольшей возможной площади. Найдите угол при его вершине, если угол в развёртке боковой поверхности конуса равен

б) Противоположные рёбра тетраэдра попарно равны. Основание тетраэдра — треугольник со сторонами Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра, и медианы тетраэдра.

9.5. Три шара попарно касаются друг друга внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом, равным 1. и противолежащим углом в Найдите радиусы шаров.

б) В закрытой коробке, имеющей форму куба со стороной 8, лежат два шара. Радиус первого из них равен 2. Этот шар касается плоскости основания и двух соседних боковых граней. Второй шар радиуса 3 касается двух других боковых граней куба и первого шара. На какой высоте над дном коробки находится центр второго шара?

9.7. Сфера радиуса касается всех рёбер треугольной пирамиды, центр этой сферы лежит внутри пирамиды на её высоте. Докажите, что пирамида правильная, и найдите её высоту, если известно, что центр сферы удалён от вершины пирамиды на расстояние

9.8. Радиус цилиндра равен равен а высота его равна Около цилиндра описан параллелепипед, отношение обьёма которого к объёму цилиндра равно Найдите длину отрезка большой диагонали параллелепипеда, лежащего внутри цилиндра.

9.9. В треугольной пирамиде высота проходит через точку центр круга, вписанного в основание пирамиды. Известно, что а отношение площади треугольника к площади треугольника равно Найдите угол

9.10. Конус с вершиной вписан в треугольную пирамиду так, что окружность основания конуса вписана в основание пирамиды. Известно, что Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания пирамиды.

9.11. В правильной треугольной пирамиде расположен шар радиуса 1. В точке, делящей пополам высоту пирамиды, он касается внешним образом полушара. Полушар опирается на круг, вписанный в основание пирамиды, шар касается боковых граней пирамиды. Найдите боковую поверхность пирамиды и угол между боковыми гранями пирамиды.

9.12. В правильной четырёхугольной пирамиде расположены два шара и Шар вписан в пирамиду и имеет радиус 2, шар касается внешним образом шара и боковых граней пирамиды. Его радиус равен 1. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и угол между соседними боковыми гранями.

9.13. В трёхгранный угол, все плоские углы которого равны помещена сфера так, что она касается всех рёбер трёхгранного угла. Грани трёхгранного угла пересекают сферу по окружностям радиуса Найдите радиус сферы.

9.14. Правильная треугольная призма описана около шара радиуса Точки и середины рёбер и В шар вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскости Найдите объём цилиндра.

9.15. Три сферы радиуса попарно касаются друг друга и плоскости Найдите радиус четвёртой сферы, которая внешним образом касается каждой из данных и плоскости

9.16. Две сферы радиуса касаются друг друга и граней двугранного угла, равного Найдите радиус сферы, касающейся каждой из данных сфер и граней двугранного угла.

9.17. Три конуса, радиусы основания которых равны и составляют их высоты, расположены по одну сторону от плоскости а их основания лежат в этой плоскости. Окружности оснований каждых двух из этих конусов касаются. Найдите радиус шара, лежащего между конусами и касающегося как плоскости так и боковых поверхностей всех трёх конусов.

9.18. Цилиндр описан около шара радиуса Точка расположена внутри цилиндра, на его оси и удалена на от нижнего основания. Через эту точку проведена плоскость имеющая с окружностью нижнего основания только одну общую точку. В шар вписан конус, основание которого лежит в плоскости а вершина расположена выше этой плоскости. Найдите обьём этого конуса.

9.19. В правильной пирамиде сторона основания равна боковое ребро — Точки и лежат на боковой поверхности конуса, имеющего вершину в точке Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

9.20. Все вершины правильной пирамиды с вершиной лежат на боковой поверхности цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости Найдите радиус основания цилиндра, если

9.21. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна боковое ребро — Одно основание цилиндра лежит в плоскости другое вписано в сечение пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

9.22. Вершина правильной призмы совпадает с вершиной конуса, вершины и лежат на боковой поверхности этого конуса, а вершины и на окружности его основания. Найдите отношение объёмов конуса и призмы, если

9.23. Высота цилиндра равна Внутри цилиндра расположены три сферы радиуса так, что каждая сфера касается двух других и боковой поверхности цилиндра. Две сферы касаются нижнего основания цилиндра, а третья сфера — верхнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.

9.24. В правильной призме длина каждого ребра равна Вершины и лежат на боковой поверхности цилиндра, плоскость касается этой поверхности. Ось цилиндра параллельна прямой Найдите радиус цилиндра.

9.25. На сфере, радиус которой равен 2, расположены три окружности радиуса 1, каждая из которых касается двух других. Найти радиус окружности меньшей, чем данная, которая также расположена на данной сфере и касается каждой из данных окружностей.

9.26. Одна вершина правильного тетраэдра расположена на оси цилиндра радиуса а другие вершины — на боковой поверхности этого цилиндра. Найдите ребро тетраэдра.

9.27. Вершина основания правильной пирамиды совпадает с вершиной конуса, вершины лежат на его боковой поверхности, вершина на окружности основания этого конуса, а вершина в плоскости его основания. Найдите отношение обьёмов конуса и пирамиды.

9.28. Через ребро треугольной пирамиды и точку середину ребра проведено сечение Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды, а окружность основания вписана в треугольник касаясь стороны в её середине. Точки касания окружности с отрезками и являются точками пересечения медиан граней и Высота конуса в два раза больше радиуса основания. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади основания пирамиды.

9.29. Угол при вершине осевого сечения конуса равен Внутри конуса расположены три сферы радиуса 1. Каждая сфера касается двух других, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите радиус основания конуса.

9.30. Через точку, лежащую на оси цилиндра радиуса и отстоящую от ближайшего к ней основания цилиндра на расстояние 1, проведена плоскость. Найдите объём меньшей части цилиндра, отсекаемой этой плоскостью, если угол между осью цилиндра и плоскостью равен

в) высоту конуса, содержащего эти сферы так, что все они касаются боковой поверхности, а три из них — основания конуса.

9.32. В конус помещены пять равных шаров. Четыре из них лежат на основании конуса, причём каждый из этих четырёх шаров касается двух других, лежащих на основании, и боковой поверхности конуса. Пятый шар касается боковой поверхности конуса и остальных четырёх шаров. Найдите объём конуса, если радиус каждого шара равен

9.33. Можно ли точку в пространстве заслонить четырьмя шарами?

9.34. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если известно, что на его поверхности можно провести три попарно перпендикулярные образующие.

9.35. Два равных конуса с общей вершиной, с высотами, равными 2, и радиусами оснований, равными 1, касаются по некоторой образующей, а также касаются боковой поверхностью некоторой плоскости. Пусть прямая, по которой пересекаются плоскости основания конусов. Найдите угол между прямой и плоскостью

9.36. Два равных конуса имеют общую вершину и касаются по общей образующей. Угол в осевом сечении каждого из конусов равен Найдите угол между двумя плоскостями, каждая из которых касается конусов, но не проходит через общую образующую.

9.37. На плоскости лежат три равных конуса с общей вершиной. Каждый из них касается двух рядом лежащих. Найдите угол при вершине каждого конуса.

9.38. Три равных конуса с углом при вершине осевого сечения имеют общую вершину и касаются друг друга внешним образом по образующим Найдите угол между и

9.39. Два равных конуса с общей вершиной расположены по разные стороны от плоскости и касаются этой плоскости по образующим и соответственно. Известно, что угол равен а угол между прямой пересечения оснований конусов и плоскостью равен Найдите угол между высотой и образующей каждого конуса.

9.40. Два конуса имеют общую вершину, и образующая первого конуса является высотой второго. Угол при вершине осевого сечения первого конуса равен а второго — Найдите угол между образующими, по которым пересекаются боковые поверхности конусов.

9.41*. Вершины прямоугольника лежат на боковой поверхности конуса. Докажите, что две параллельные стороны прямоугольника перпендикулярны оси конуса.

б) Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объём каждого из которых равен а одна из боковых граней является квадратом. Найдите среди них параллелепипед с наименьшим периметром основания и вычислите величину этого периметра.

г) В конусе расположены два шара единичного радиуса, касающиеся основания конуса в точках, симметричных относительно центра основания. Каждый из шаров касается боковой поверхности конуса и другого шара. Найдите величину угла между образующей конуса и основанием, при котором объём конуса наименьший.

10.3. Найдите высоту и радиус основания: а) конуса; б) цилиндра наибольшего объёма вписанного в шар радиуса

б) наибольшее значение объёма рассматриваемых призм.

б) Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4, угол боковой грани с плоскостью основания равен Точки и расположены на рёбрах и соответственно, причём и Какое наибольшее значение может иметь объём пирамиды

10.6. Ребро тетраэдра является диагональю основания четырёхугольной пирамиды, ребро параллельно другой диагонали этого основания, и концы его лежат на боковых рёбрах пирамиды. Найдите наименьший возможный объём пирамиды, если объём тетраэдра равен

10.7. Конус описан около куба следующим образом: четыре вершины куба лежат в плоскости основания конуса, а четыре другие вершины — на его боковой поверхности. Какой наименьший объём может иметь такой конус, если ребро куба равно

10.8. В сферу радиуса вписана правильная четырёхугольная пирамида. Каков наибольший возможный объём этой пирамиды?

б) В правильной четырёхугольной пирамиде с высотой, не меньшей расположена полусфера радиуса 1 так, что её касаются все боковые грани пирамиды, а центр полусферы лежит на основании пирамиды. Найдите наименьшее возможное значение полной поверхности такой пирамиды.

10.10. Периметр равнобедренного треугольника равен Каковы должны быть длины его сторон, чтобы объём фигуры, полученной вращением этого треугольника вокруг основания, был наибольшим?

10.11. Плоскость проходит через сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды и делит пополам двугранный угол при этой стороне. Найдите площадь основания пирамиды наименьшего объёма, если известно, что указанная плоскость пересекает высоту пирамиды в точке, удалённой на расстояние от плоскости основания.

б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.

б) В правильной шестиугольной пирамиде найдите наибольшую возможную величину угла между прямой и плоскостью

10.14. Основание прямоугольного параллелепипеда прямоугольник со сторонами и Высота параллелепипеда равна 4 и центры граней и соответственно). Сфера радиуса 3 с центром на высоте касается плоскости основания. Найдите сумму квадратов расстояний от точки, принадлежащей сфере, до всех вершин параллелепипеда при условии, что она максимальна.

б) На ребре куба взята точка так, что на ребре точка так, что Какое наибольшее значение может принимать отношение где точка лежит на луче а точка на прямой

10.16. Основание пирамиды — квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наименьший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.

10.17. Рассматриваются всевозможные параллелепипеды с четырьмя рёбрами длины 3 и остальными рёбрами длины 2, в которые можно вписать шар. Найдите максимальное значение радиуса этих шаров.

11.1. Дан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше

11.2. Пусть и длины сторон параллелепипеда, одна из его диагоналей. Докажите, что

11.3. Докажите, что общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых есть наикратчайшее расстояние между точками этих прямых.

11.4. В пространстве рассматриваются два отрезка и не лежащие в одной плоскости. Пусть и середины этих отрезков. Докажите, что

11.5. Докажите, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей трёх остальных его граней.

11.6. Ребро правильного тетраэдра равно Через вершину тетраэдра проведено сечение, являющееся треугольником. Докажите, что периметр сечения удовлетворяет неравенствам

11.7. Докажите, что угол наклонной с плоскостью есть наименьший из углов, образованных этой наклонной с прямыми плоскости.

11.8. Докажите, что сумма двух плоских углов трёхгранного угла больше третьего.

11.9. Докажите, что плоский угол четырёхгранного угла меньше суммы трёх остальных.

11.10. Докажите, что сумма углов пространственного четырёхугольника не превосходит

11.11. Докажите, что сумма внутренних двугранных углов трёхгранного угла больше и меньше

11.12. Пусть перпендикуляр к плоскости треугольника Верно ли, что

11.13. Докажите, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше

11.14. Верно ли, что в сечении любого трёхгранного угла плоскостью можно получить правильный треугольник?

11.15. В тетраэдре все плоские углы при вершине равны по Докажите, что

11.16. Основание пирамиды правильный треугольник Известно, что Докажите, что пирамида — правильная.

11.17. Один выпуклый многогранник лежит внутри другого. Докажите, что площадь поверхности внешнего многогранника больше площади поверхности внутреннего.

11.18. Можно ли в кубе вырезать отверстие, сквозь которое пройдёт куб того же размера?

11.19. Теорема косинусов для трёхгранного угла. Пусть плоские углы трёхгранного угла с вершиной противолежащие рёбрам соответственно, двугранные углы при этих рёбрах. Тогда

11.20. Плоские углы трёхгранного угла равны и Через его вершину проведена прямая, перпендикулярная одной из граней, плоский угол которой равен Найдите угол между этой прямой и ребром двугранного угла, не лежащим в этой грани.

11.21. Выразите косинусы плоских углов трёхгранного угла через тригонометрические функции двугранных углов.

11.22. Все двугранные углы некоторого трёхгранного угла — острые. Докажите, что все плоские углы этого трёхгранного угла — также острые.

11.23. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с рёбрами и углы и Докажите, что

11.24. Теорема косинусов для тетраэдра. Квадрат площади каждой грани тетраэдра равен сумме квадратов площадей трёх остальных граней без удвоенных попарных произведений площадей этих граней на косинусы двугранных углов между ними, т. е.

11.25. В основании четырёхугольной пирамиды лежит параллелограмм Известно, что плоскости треугольников и перпендикулярны друг другу. Найдите площадь грани если площади граней и равны соответственно 5, 6 и 7.