ЛИСТКИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ Р. К. ГОРДИНА

Часть 1. Параллельность в пространстве. Отношение отрезков

1.1. На одной из двух скрещивающихся прямых взяли различные точки
A
и
A_{1},
на другой — различные точки
B
и
B_{1}.
Верно ли, что
AB
и
A_{1}B_{1}~\tire
скрещивающиеся прямые?
1.2. Прямые
a
и
b
пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой
b
и пересекающие прямую
a,
лежат в одной плоскости.
1.3. Прямая
a
параллельна плоскости
\alpha.
Прямая
b,
параллельная прямой
a,
проходит через точку
M
плоскости
\alpha.
Докажите, что прямая
b
лежит в плоскости
\alpha.
1.4. Пусть
A,
B,
C
и
D~\tire
четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что плоскость, проходящая через середины отрезков
AD,
BD
и
CD,
параллельна плоскости
ABC.
1.5. Докажите, что если две пересекающиеся плоскости параллельны некоторой прямой, прямая их пересечения параллельна этой же прямой.
1.6. Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Две из трёх прямых пресечения этих плоскостей пересекаются в точке
M.
Докажите, что третья прямая проходит через точку
M.
1.7. Дано несколько прямых в пространстве, каждые две из которых пересекаются. Докажите, что либо все эти прямые лежат в одной плоскости, либо все проходят через одну точку.
1.8. В пространстве проведены три прямые, не лежащие в одной плоскости, но при этом никакие две не являются скрещивающимися. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку либо параллельны.
1.9. Основание пирамиды
SABCD~\tire
параллелограмм
ABCD.
Какая фигура получилась в сечении этой пирамиды плоскостью
ABM,
где
M~\tire
точка на ребре
SC?
1.10. Может ли в сечении параллелепипеда плоскостью получиться правильный пятиугольник?
1.11. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке.
1.12. Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся прямые.
1.13. Докажите, что через данную точку можно провести единственную плоскость, параллельную двум данным скрещивающимся прямым.
1.14. Найдите геометрическое место середин отрезков, концы которых лежат на двух данных скрещивающихся прямых.
1.15. Основание пирамиды
SABCD~\tire
произвольный четырёхугольник
ABCD.
Постройте прямую пересечения плоскостей
ABS
и
CDS.
1.16. Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.
1.17. Точки
M
и
N
лежат соответственно на рёбрах
BC
и
AA_{1}
параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.
Постройте точку пересечения прямой
MN
с плоскостью
A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.
1.18. Докажите, что диагональ
AC_{1}
параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проходит через точку пересечения медиан треугольника
CB_{1}D_{1}
и делится ей в отношении
2:1,
считая от точки
A.
1.19. Дана треугольная призма
ABCA_{1}B_{1}C_{1}.
Точки
M,
N
и
K~\tire
середины рёбер
BC,
AC
и
AB
соответственно. Докажите, что прямые
MA_{1},
NB_{1}
и
KC_{1}
пересекаются в одной точке.
1.20. Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противолежащих граней) пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении
3:1,
считая от вершины.
1.21. Дан произвольный трёхгранный угол. Рассматриваются три плоскости, каждая из которых проведена через ребро и биссектрису противолежащей грани. Верно ли, что эти три плоскости пересекаются по одной прямой?
1.22. Пусть
A,
B,
C
и
D~\tire
четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Через точку пересечения медиан треугольника
ABC
проведена плоскость, параллельная прямым
AB
и
CD.
В каком отношении эта плоскость делит медиану, проведённую к стороне
CD
треугольника
ACD?
1.23. Пусть
A,
B,
C
и
D~\tire
четыре точки, не лежащие в одной плоскости. В каком отношении плоскость, проходящая через точки пересечения медиан треугольников
ABC,
ABD
и
BCD,
делит отрезок
BD?
1.24. Точка
M~\tire
середина ребра
AD
тетраэдра
ABCD.
Точка
N
лежит на продолжении ребра
AB
за точку
B,
точка
K~\tire
на продолжении ребра
AC
за точку
C,
причём
BN=AB
и
CK=2AC.
Постройте сечение тетраэдра плоскостью
MNK.
В каком отношении эта плоскость делит рёбра
DB
и
DC?
1.25. Плоскость, проходящая через середины ребёр
AB
и
CD
треугольной пирамиды
ABCD
делит ребро
AD
в отношении
3:1,
считая от вершины
A.
В каком отношении эта плоскость делит ребро
BC?
1.26. В параллелепипеде
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проведён отрезок, соединяющий вершину
A
с серединой ребра
CC_{1}.
В каком отношении этот отрезок делится плоскостью
BDA_{1}?
1.27. Плоскость пересекает рёбра
AB,
BD,
DC
и
AC
тетраэдра
ABCD
в точках
K,
L,
M
и
N
соответственно. Докажите, что
\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LD}\cdot \frac{DM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}=1.
1.28. Дан тетраэдр
ABCD.
Точки
M,
N
и
K
лежат на рёбрах
AD,
BC
и
DC
соответственно, причём
AM:MD=1:3,
BN:NC=1:1
и
CK:KD=1:2.
Постройте сечение тетраэдра плоскостью
MNK.
В каком отношении эта плоскость делит ребро
AB?
1.29. Дан параллелепипед
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.
Точки
M,
N,
K~\tire
середины рёбер
AB,
BC
и
DD_{1}
соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью
MNK.
В каком отношении эта плоскость делит ребро
CC_{1}
и диагональ
DB_{1}?
1.30. Дана четырёхугольная пирамида
SABCD,
основание которой — трапеция
ABCD.
Отношение оснований
AD
и
BC
этой трапеции равно 2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку
D
и середины рёбер
SA
и
SB.
В каком отношении эта плоскость делит ребро
SC?
1.31. Дана четырёхугольная пирамида
SABCD,
основание которой — параллелограмм
ABCD.
Точки
M,
N
и
K
лежат на рёбрах
AS,
BS
и
CS
соответственно, причём
AM:MS=1:2,
BN:NS=1:3,
CK:KS=1:1.
Постройте сечение пирамиды плоскостью
MNK.
В каком отношении эта плоскость делит ребро
SD?
1.32. Дан параллелепипед
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.
Точки
M,
N,
K
лежат на рёбрах
AB,
CC_{1}
и
A_{1}D_{1}
соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью
MNK.
1.33. На трёх гранях параллелепипеда взято по точке. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.
1.34. На плоскости даны три луча с общим началом. Они делят плоскость на три части, в которых взято по точке. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, вершины которого лежат на данных лучах, а стороны проходят через данные точки.
1.35. Постройте сечение треугольной призмы
ABCA_{1}B_{1}C_{1}
плоскостью, проходящей через точки
A_{1}
и
C
параллельно прямой
BC_{1}.
В каком отношении эта плоскость делит ребро
AB?
1.36. Дана четырёхугольная пирамида
SABCD,
основание которой — параллелограмм
ABCD.
Через середину ребра
AB
проведите плоскость, параллельную прямым
AC
и
SD.
В каком отношении эта плоскость делит ребро
SB?
1.37. Пусть
M
и
N~\tire
точки пересечения медиан граней
ABD
и
BCD
тетраэдра
ABCD.
Найдите
MN,
если известно, что
AC=a.
1.38. Через вершину
C
тетраэдра
ABCD
и середины рёбер
AD
и
BD
проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит отрезок
MN,
где
M
и
N~\tire
середины рёбер
AB
и
CD
соответственно?
1.39. В тетраэдре
ABCD
через середину
M
ребра
AD,
вершину
C
и точку
N
ребра
BD
такую, что
BN:ND=2:1,
проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит отрезок
KP,
где
K
и
P~\tire
середины рёбер
AB
и
CD
соответственно?
1.40. Пусть
M~\tire
точка пересечения медиан основания
ABC
треугольной призмы
ABCA_{1}B_{1}C_{1};
N
и
K~\tire
точки пересечения диагоналей граней
AA_{1}C_{1}C
и
BB_{1}C_{1}C
соответственно. Плоскость
MNK
пересекает прямые
B_{1}C_{1}
и
CC_{1}
в точках
P
и
Q
соответственно. Постройте сечение призмы плоскостью
MNK
и найдите отношения
B_{1}P:B_{1}C_{1}
и
C_{1}Q:CC_{1}.
1.41. Через середины
M
и
N
ребёр
AD
и
CC_{1}
параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проведена плоскость параллельно диагонали
DB_{1}.
Постройте сечение параллелепипеда этой плоскостью. В каком отношении она делит ребро
BB_{1}?
1.42. В параллелепипеде
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
на прямых
AC
и
BA_{1}
взяты точки
K
и
M
так, что
KM \parallel DB_{1}.
Найдите отношение
KM:DB_{1}.
1.43. В треугольной призме
ABCA_{1}B_{1}C_{1}
точки
M
и
N~\tire
середины рёбер
BB_{1}
и
CC_{1}.
Через точку
O
пересечения медиан треугольника
ABC
проведена прямая, пересекающая прямые
MN
и
AB_{1}
в точках
P
и
Q
соответственно. Найдите отношение
PQ:OQ.
1.44. В тетраэдре
ABCD
проведены медианы
AM
и
DN
граней
ACD
и
ADB.
На этих медианах взяты соответственно точки
E
и
F
так, что
EF
параллельно
BC.
Найдите отношение
EF:BC.
1.45. В призме
ABCA_{1}B_{1}C_{1}
медианы оснований
ABC
и
A_{1}B_{1}C_{1}
пересекаются соответственно в точках
O
и
O_{1}.
Через середину отрезка
OO_{1}
проведена прямая, параллельная прямой
CA_{1}.
Найдите длину отрезка этой прямой, лежащего внутри призмы, если
CA_{1}=a.
1.46. На ребре
AD
и диагонали
A_{1}C
параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
взты соответственно точки
M
и
N
так, что прямая
MN
параллельна плоскости
BDC_{1}
и
AM:AD=1:5.
Найдите отношение
CN:CA_{1}.
1.47. Дан тетраэдр
ABCD.
В каком отношении плоскость, проходящая через точки пересечения медиан граней
ABC,
ABD
и
BCD,
делит ребро
BD?
1.48. Основание пирамиды
SABCD~\tire
параллелограмм
ABCD;
M~\tire
середина
AB,
N~\tire
середина
SC.
В каком отношении плоскость
BSD
делит отрезок
MN?
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 2. Элементы правильных пирамид

2.1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
a,
боковое ребро образует с плоскостью основания угол
45^{\circ}.
Найдите:
а) объём пирамиды;
б) угол боковой грани с основанием;
в) расстояние между скрещивающимися рёбрами;
г) угол между боковыми гранями;
д) радиус описанного шара;
е) радиус вписанного шара;
ж) угол апофемы с соседней боковой гранью.
2.2. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна
a,
боковая грань образует с плоскостью основания угол
60^{\circ}.
Найдите:
а) объём пирамиды;
б) угол бокового ребра с основанием;
в) расстояние между диагональю основания и скрещивающимся с ней боковым ребром;
г) угол между противоположными боковыми гранями;
д) угол между соседними боковыми гранями;
е) радиус вписанного шара;
ж) радиус описанного шара;
з) угол апофемы с соседней боковой гранью.
2.3. Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды равны
a.
Найдите:
а) угол бокового ребра с основанием;
б) угол боковой грани с основанием;
в) плоский угол при вершине пирамиды;
г) угол между соседними боковыми гранями;
д) радиус вписанного шара;
е) радиус описанного шара.
2.4. Сторона основания и апофема правильной треугольной пирамиды равны
a.
Найдите:
а) радиус описанного шара;
б) радиус вписанного шара;
в) угол между боковыми гранями;
г) угол апофемы с соседней гранью.
2.5. Сторона основания и апофема правильной четырёхугольной пирамиды равны
a.
Найдите:
а) радиус описанного шара;
б) радиус вписанного шара;
в) угол между соседними боковыми гранями;
г) угол апофемы с соседней боковой гранью.
2.6. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
a,
а расстояние между скрещивающимися рёбрами равно
\frac{3}{8}a.
Найдите:
а) угол бокового ребра с плоскостью основания;
б) угол боковой грани с плоскостью основания;
в) угол между боковыми гранями;
г) радиус описанного шара;
д) радиус вписанного шара;
е) угол апофемы с соседней боковой гранью.
2.7. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна
a,
а расстояние между диагональю основания и скрещивающимся с ней боковым ребром равно
\frac{a}{4}.
Найдите:
а) угол бокового ребра с плоскостью основания;
б) угол боковой грани с плоскостью основания;
в) угол между соседними боковыми гранями;
г) радиус описанного шара;
д) радиус вписанного шара;
е) угол апофемы с соседней боковой гранью.
2.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
a;
угол апофемы с соседней боковой гранью равен
45^{\circ}.
Найдите:
а) угол бокового ребра с основанием;
б) угол боковой грани с основанием;
в) угол между боковыми гранями;
г) радиус описанного шара;
д) радиус вписанного шара.
2.9. Пусть
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}~\tire
единичный куб. Найдите объём общей части пирамид
ACB_{1}D_{1}
и
A_{1}C_{1}BD.
2.10. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно
b,
а плоский угол при вершине равен
\alpha.
Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
2.11. Найдите радиус шара, касающегося всех рёбер правильного тетраэдра с ребром, равным
a.
2.12. В правильной треугольной пирамиде
SABC
с вершиной
S
сторона основания равна 2. Через сторону основания
BC
проведено сечение, которое пересекает ребро
SA
в точке
M.
Известно, что
SM:MA=1:3,
а площадь сечения равна 3. Найдите объём пирамиды
SABC.
2.13. Сторона основания
ABCD
правильной пирамиды SABCD равна
a,
боковые рёбра равны
2a.
Рассматриваются отрезки с концами на рёбрах
AD
и
SC,
параллельные плоскости
SAB.
а) Один из этих отрезков проведён через точку
M
ребра
AD
такую, что
AM:AD=3:4.
Найдите его длину.
б) Найдите наименьшую длину рассматриваемых отрезков.
2.14. Угол между соседними боковыми гранями правильной шестиугольной пирамиды равен углу, под которым боковое ребро видно из центра описанной сферы. Найдите этот угол.
2.15. В правильной четырёхугольной пирамиде
SABCD
угол между боковым ребром
SA
и плоскостью основания
ABCD
равен углу между ребром
SA
и плоскостью
SBC.
Найдите этот угол.
2.16. Через боковое ребро
SC
правильной треугольной пирамиды
SABC
проведена плоскость, параллельная стороне
AB
основания. Боковое ребро
SA
образует с этой плоскостью угол, равный
\arcsin\frac{\sqrt2}{3}.
Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
2.17. Все грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной
a
и острым углом
60^{\circ}.
Найдите объём параллелепипеда.
2.18. Рассматривается фигура, полученная в пересечении правильного тетраэдра с его образом при центральной симметрии относительно середины высоты. Найдите объём этой фигуры, если ребро тетраэдра равно
a.
2.19. Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен
V,
угол между боковым ребром и плоскостью основания равен
30^{\circ}.
Рассматриваются правильные треугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что одно из боковых рёбер лежит на диагонали основания пирамиды, одна из боковых граней параллельна основанию пирамиды, и вершины этой грани лежат на боковых гранях пирамиды. Найдите:
а) объём той призмы, плоскость боковой грани которой делит высоту пирамиды в отношении
2:3,
считая от вершины;
б) наибольшее значение объёма рассматриваемых призм.
2.20. В правильном тетраэдре точки
M
и
N~\tire
середины противоположных рёбер. Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость, параллельную прямой
MN,
является четырёхугольник площади
S,
один из углов которого равен
60^{\circ}.
Найдите площадь поверхности тетраэдра.
2.21. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра с ребром, равным
a.
2.22. Сторона основания и высота правильной треугольной пирамиды равны
a.
Найдите наибольшую площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через апофему пирамиды.
2.23. Через середину высоты правильной четырёхугольной пирамиды проведено сечение плоскостью, перпендикулярной боковому ребру. Найдите площадь сечения, если боковое ребро равно
b,
а угол между противоположными боковыми рёбрами пирамиды равен
\mbox{а)}~60^{\circ};
\mbox{б)}~120^{\circ}.
2.24. Найдите наибольший возможный угол между плоскостью боковой грани и не принадлежащим ей ребром правильной четырёхугольной пирамиды.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 3. Наклонные и проекции

3.1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13, а диагонали боковых граней равны
4\sqrt{10}
и
3\sqrt{17}.
Найдите его объём.
3.2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна
a
и составляет с одной гранью угол
30^{\circ},
а с другой
45^{\circ}.
Найдите объём параллелепипеда.
3.3. Дан прямоугольный параллелепипед
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1},
в котором
AB=4,
BC=2.
Точка
M~\tire
середина ребра
AA_{1},
K~\tire
центр грани
BB_{1}C_{1}C.
На ребре
AB
взята точка
N,
причём
AN=\frac{1}{2}.
Докажите, что
MK \perp ND_{1}.
3.4°. Боковые рёбра пирамиды равны между собой. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.
3.5. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной
c,
и углом в
30^{\circ}.
Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом в
45^{\circ}.
Найдите объём пирамиды.
3.6. Основание пирамиды — прямоугольник с диагональю, равной
b,
и углом в
60^{\circ}
между диагоналями. Каждое из боковых рёбер образует с плоскостью основания угол в
45^{\circ}.
Найдите объём пирамиды.
3.7. Каждое из боковых рёбер пирамиды равно
\frac{269}{32}.
Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите объём пирамиды.
3.8°. Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Верно ли, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание?
3.9. Каждая из боковых граней треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в
60^{\circ}.
Стороны основания равны 10, 10, 12. Найдите объём пирамиды.
3.10. Основание пирамиды — ромб с острым углом в
30^{\circ}.
Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в
60^{\circ}.
Найдите объём пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен
r.
3.11. Основание пирамиды — параллелограмм
ABCD
с площадью
m^{2}.
Известно, что
BD
перпендикулярно
AD.
Двугранные углы при рёбрах
AD
и
BC
равны
45^{\circ},
а при рёбрах
AB
и
CD~\tire
60^{\circ}.
Найдите боковую поверхность и объём пирамиды.
3.12. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 и 8. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.
3.13°. Дан куб
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром, равным
a.
Найдите расстояние между прямыми
\mbox{а)}~AA_{1}
и
BD_{1};
\mbox{б)}~BD_{1}
и
DC_{1};
\mbox{в)}~A_{1}D
и
D_{1}C.
В каждом случае постройте общий перпендикуляр к указанным прямым.
3.14. Дан прямоугольный параллелепипед
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.
Через прямую
BD_{1}
проведена плоскость, параллельная прямой
AC.
Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если
AB=a,
BC=b,
CC_{1}=c.
3.15. Диагонали прямоугольного параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1},
вписанного в сферу радиуса
R,
наклонены к плоскости основания под углом
45^{\circ}.
Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, которая проходит через диагональ
AC_{1},
параллельна диагонали основания
BD
и образует с диагональю
BD_{1}
угол, равный
\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}.
3.16. Высота треугольной пирамиды
ABCD,
опущенная из вершины
D,
проходит через точку пересечения высот треугольника
ABC.
Кроме того, известно, что
DB=b,
DC=c,
\angle BDC=90^{\circ}.
Найдите отношение площадей граней
ADB
и
ADC.
3.17. В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно 1, а боковые грани равновелики. Найдите объём пирамиды, если известно, что один из двугранных углов при основании — прямой.
3.18. Основание четырёхугольной пирамиды — квадрат, а все боковые грани — прямоугольные треугольники, у которых вершины прямых углов лежат на основании пирамиды. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 1, а один из двугранных углов при вершине равен
120^{\circ}.
3.19. В треугольной пирамиде
SABC
высота
SO
проходит через точку
O~\tire
центр круга, вписанного в основание
ABC
пирамиды. Известно, что
\angle SAC=60^{\circ},
\angle SCA=45^{\circ},
а отношение площади треугольника
AOB
к площади треугольника
ABC
равно
\frac{1}{2+\sqrt{3}}.
Найдите угол
BSC.
3.20. Основанием пирамиды
SABCD
является равнобедренная трапеция
ABCD,
в которой
AB=BC=a,
AD=2a.
Плоскости граней
SAB
и
SCD
перпендикулярны плоскости основания пирамиды. Найдите высоту пирамиды, если высота грани
SAD,
проведённая из вершины
S,
равна
2a.
3.21°. Докажите, что площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на некоторую плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью проекций и плоскостью проектируемого многоугольника.
3.22. Дан куб
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром, равным
a.
Точка
E~\tire
середина ребра
AD.
Вершины
M
и
N
правильного тетраэдра
MNPQ
лежат на прямой
ED_{1},
а вершины
P
и
Q~\tire
на прямой, проходящей через точку
A_{1}
и пересекающей прямую
BC
в точке
R.
Найдите
а) отношение
BR:BC;
б) расстояние между серединами отрезков
MN
и
PQ.
3.23. Ребро куба
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равно 12. Точка
K
лежит на продолжении ребра
BC
на расстоянии, равном 9, от вершины
C.
Точка
L
ребра
AB
удалена от
A
на расстояние, равное 5. Точка
M
делит отрезок
A_{1}C_{1}
в отношении
1:3,
считая от
A_{1}.
Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки
K,
L,
M.
3.24. Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из её боковых граней. Найдите объём пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными рёбрами равно 1.
3.25. Сторона основания
ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды
SABCD
равна
\frac{8}{\sqrt{7}}.
Через основание высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная медианам
SM
и
BN
граней
SAB
и
SBC
соответственно. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если расстояние от вершины пирамиды до этой плоскости равно
\frac{2}{3}.
3.26. Все стороны основания
ABC
пирамиды
TABC
равны 4, боковое ребро
TA
перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины рёбер
AC
и
BT
параллельно медиане
BD
грани
BCT,
если известно, что расстояние от вершины
T
до этой плоскости равно
\frac{1}{2}.
3.27. Катеты прямоугольного треугольника расположены в гранях некоторого острого двугранного угла и образуют с его ребром углы
\alpha
и
\beta
соответственно. Найдите величину двугранного угла.
3.28. В пирамиде
ABCD
двугранный угол при ребре
AC
равен
90^{\circ},
AB=BC=CD,
BD=AC.
Найдите двугранный угол при ребре
AD.
3.29. Все грани треугольной пирамиды — прямоугольные треугольники. Наибольшее ребро равно
a,
а противоположное ребро равно
b.
Двугранный угол при наибольшем ребре равен
\alpha.
Найдите объём пирамиды.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 4. Пирамида и сфера

4.1°. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудалённых от концов данного отрезка.
4.2°. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудалённых от вершин данного вписанного многоугольника.
4.3°. Для того, чтобы около пирамиды можно было описать сферу необходимо и достаточно, чтобы около основания этой пирамиды можно было описать окружность.
4.4. Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной, равной
a.
Высота пирамиды проходит через середину одной из сторон основания и равна
\frac{3a}{2}.
Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.
4.5. Дан куб
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром
a.
Точки
M
и
K~\tire
середины рёбер
AB
и
CD
соответственно. Найдите радиус сферы, проходящей через точки
M,
K,
A_{1}
и
C_{1}.
4.6. Дан правильный тетраэдр
PABC
с ребром, равным
a.
Через точки
C,
E,
M,
P,
где
E~\tire
середина
AB,
а
M~\tire
середина
AC,
проведена сфера. Найдите её радиус.
4.7°. Известно, что в некоторую пирамиду можно вписать шар. Докажите, что объём этой пирамиды равен
\frac{1}{3}
произведения радиуса этого шара на полную поверхность пирамиды.
4.8. Высота
PO
правильной четырёхугольной пирамиды
PABCD
равна 4, а сторона основания
ABCD
равна 6. Точки
M
и
K~\tire
середины отрезков
AB
и
CD.
Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду
PMKC.
4.9. Две грани треугольной пирамиды — равносторонние треугольники со стороной, равной
a.
Две другие грани — равнобедренные прямоугольные треугольники. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.
4.10. Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу, причём центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что в основание пирамиды можно вписать окружность.
4.11. Шар радиуса
r
касается всех боковых граней треугольной пирамиды в серединах сторон её основания. Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром шара, делится пополам точкой пересечения с основанием пирамиды. Найдите объём пирамиды.
4.12. Основание пирамиды — ромб со стороной 2 и острым углом
45^{\circ}.
Шар радиуса
\sqrt{2}
касается каждой боковой грани в точке, лежащей на стороне основания пирамиды. Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба, и найдите объём пирамиды.
4.13. Дана правильная четырёхугольная пирамида
SABCD
(S~\tire
вершина) со стороной основания
a
и боковым ребром
a.
Сфера с центром в точке
O
проходит через точку
A
и касается рёбер
SB
и
SD
в их серединах. Найдите объём пирамиды
OSCD.
4.14. В треугольной пирамиде
SABC
боковое ребро
SC
равно ребру
AB
и наклонено к плоскости основания
ABC
под углом
60^{\circ}.
Известно, что вершины
A,
B,
C
и середины боковых рёбер пирамиды расположены на сфере радиуса 1. Докажите, что центр этой сферы лежит на ребре
AB
и найдите высоту пирамиды.
4.15. В треугольной пирамиде
ABCD
известно, что
DC=9,
DB=AD,
а ребро
AC
перпендикулярно грани
ABD.
Сфера радиуса 2 касается грани
ABC,
ребра
DC,
а также грани
DAB
в точке пересечения её медиан. Найдите объём пирамиды.
4.16. В треугольной пирамиде
PABC
боковое ребро
PB
перпендикулярно плоскости основания
ABC,
PB=6,
AB=BC=\sqrt{15},
AC=2\sqrt{3}.
Сфера, центр
O
которой лежит на грани
ABP,
касается плоскостей остальных граней пирамиды. Найдите расстояние от центра
O
сферы до ребра
AC.
4.17. Дан куб
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.
Сфера касается прямых
AC,
B_{1}C,
AB_{1}
и продолжения ребра
BB_{1}
за точку
B.
Найдите радиус сферы, если длины ребёр куба равны 1, а точка касания с прямой
AC
принадлежит грани куба.
4.18. Основание четырёхугольной пирамиды
SABCD~\tire
прямоугольник
ABCD.
Известно, что
AS=7,
BS=2,
CS=6.
Найдите ребро
DS.
4.19. Четырёхугольная пирамида
SABCD
вписана в сферу, центр которой лежит в плоскости основания
ABCD.
Диагонали
AC
и
BD
основания пересекаются в точке
H,
причём
SH~\tire
высота пирамиды. Найдите
CS
и
CD,
если
CH=4,
AS=3\frac{3}{4},
AD=3,
AB=BS.
4.20. Сфера касается рёбер
AS,
BS,
BC
и
AC
треугольной пирамиды
SABC
в точках
K,
L,
M
и
N
соответственно. Найдите
KL,
если
MN=7,
NK=5,
LN=2\sqrt{29}
и
KL=LM.
4.21. Сфера касается всех рёбер треугольной пирамиды. Докажите, что отрезки, соединяющие точки касания сферы с противоположными рёбрами, пересекаются в одной точке.
4.22. Сфера вписана в четырёхугольную пирамиду
SABCD,
основанием которой является трапеция
ABCD,
а также вписана в правильный тетраэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды
SABCD.
Найдите радиус сферы, если объём пирамиды
SABCD
равен 64.
4.23. Сфера радиуса
\frac{3}{8}
вписана в четырёхугольную пирамиду
SABCD,
у которой основанием служит ромб
ABCD,
такой, что
\angle BAD=60^{\circ};
высота пирамиды, равная 1, проходит через точку
K
пересечения диагоналей ромба. Докажите, что существует единственная плоскость, пересекающая рёбра основания
AB
и
AD
в некоторых точках
M
и
N,
таких, что
MN=\frac{4}{5} \sqrt{3},
касающаяся сферы в точке, удалённой на равные расстояния от точек
M
и
N,
и пересекающая продолжение отрезка
SK
за точку
K
в некоторой точке
E.
Найдите длину отрезка
SE.
4.24. В основании пирамиды
SABC
лежит треугольник
ABC,
у которого
AB=15\sqrt{2},
BC=20,
а радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен
5\sqrt{5}.
На сторонах треугольника
ABC
как на диаметрах построены три сферы, пересекающиеся в точке
O.
Точка
O
является центром четвёртой сферы, причём вершина пирамиды
S
есть точка касания этой сферы с некоторой плоскостью, параллельной плоскости основания
ABC.
Площадь части четвёртой сферы, которая заключена внутри трёхгранного угла, образованного лучами
OA,
OB
и
OC,
равна
8\pi.
Найдите объём пирамиды
SABC.
4.25. Сфера с центром в точке
O
проходит через вершины
A,
B
и
C
треугольной пирамиды
ABCD
и пересекает прямые
AD,
BD
и
CD
в точках
K,
L
и
M
соответственно. Известно, что
AD=10,
BC:BD=3:2
и
AB:CD=4\sqrt{3}:11.
Проекции точки
O
на плоскости
ABD,
BCD
и
CAD~\tire
середины ребёр
AB,
BC
и
AC
соответственно. Расстояние между серединами рёбер
AB
и
CD
равно 13. Найдите периметр треугольника
KLM.
4.26. Через вершину нижнего основания единичного куба проведена плоскость, касающаяся вписанного в куб шара. Эта плоскость отсекает от верхнего основания треугольник площади
S.
Найдите площадь сечения куба этой плоскостью.
4.27°. Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (такой тетраэдр называется ортоцентрическим). Докажите, что точка пересечения медиан, высот и центр описанной сферы лежат на одной прямой.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 5. Пирамида и параллелепипед. Развёртка многогранника

5.1. Известно, что в тетраэдре
ABCD
ребро
AB
перпендикулярно ребру
CD,
а ребро
BC~\tire
ребру
AD.
Докажите, что ребро
AC
перпендикулярно ребру
BD.
5.2. Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Докажите, что существуют ровно два тетраэдра, в которых эти отрезки соединяют середины противоположных рёбер.
5.3. Докажите, что сумма квадратов всех рёбер тетраэдра равна учетверённой сумме квадратов расстояний между серединами его противоположных рёбер.
5.4. Докажите, что противоположные рёбра тетраэдра
ABCD
попарно перпендикулярны тогда и только тогда, когда
AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}=AD^{2}+BC^{2}.
5.5. Радиус сферы, касающейся всех рёбер правильного тетраэдра, равен 1. Найдите ребро тетраэдра.
5.6. Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и равны
a,
b
и
c.
Найдите радиус описанной сферы.
5.7. Противоположные рёбра тетраэдра попарно равны. Основание тетраэдра — треугольник со сторонами
a,
b,
c.
Найдите объём тетраэдра.
5.8. а) Пусть
V~\tire
объём тетраэдра,
a
и
b~\tire
его противоположные рёбра,
c~\tire
расстояние между ними,
\alpha~\tire
угол между ними. Докажите, что
V=\frac{1}{6}abc\sin\alpha.
б) Пусть
V~\tire
объём тетраэдра,
S_{1}
и
S_{2}~\tire
площади двух граней,
a~\tire
длина их общего ребра,
\varphi~\tire
величина двугранного угла между ними. Докажите, что
V=\frac{2}{3}\cdot\frac{S_{1}S_{2}\sin\varphi}{a}.
5.9. а) Косинус угла между скрещивающимися прямыми
AB
и
CD
равен
\frac{\sqrt{35}}{10}.
Точки
E
и
F
являются серединами отрезков
AB
и
CD
соответственно, а прямая
EF
перпендикулярна прямым
AB
и
CD.
Найдите угол
ACB,
если известно, что
AB=2\sqrt{5},
CD=2\sqrt{7},
EF=\sqrt{13}.
б) Точки
R
и
S
являются серединами отрезков
AB
и
CD
соответственно, а прямая
RS
перпендикулярна прямым
AB
и
CD.
Найдите угол между скрещивающимися прямыми
AB
и
CD,
если известно, что угол
ACB
равен
\arccos\frac{19}{35},
AB=6,
CD=10
и
RS=\sqrt{3}.
5.10. Отрезок
AB
(AB=1),
являющийся хордой сферы радиуса 1, расположен под углом
60^{\circ}
к диаметру
CD
этой сферы. Расстояние от конца
C
диаметра до ближайшего к нему конца
A
хорды
AB
равно
\sqrt{2}.
Найдите
BD.
5.11. а) В треугольной пирамиде
ABCD
известно, что
CD=a,
а перпендикуляр, опущенный из середины ребра
AB
на
CD,
равен
b
и образует равные углы
\alpha
с гранями
ACD
и
BCD.
Найдите объём пирамиды.
б) В треугольной пирамиде
ABCD
грани
ABC
и
ABD
имеют площади
p
и
q
и образуют между собой угол
\alpha.
Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро
AB
и центр вписанного в пирамиду шара.
5.12. а) Сферы с центрами в точках
O_{1}
и
O_{2}
радиусов 3 и 1 соответственно касаются друг друга. Через точку
M,
удалённую от
O_{2}
на расстояние 3, проведены две прямые, каждая из которых касается обеих сфер, причём точки касания лежат на прямых по одну сторону от точки
M.
Найдите угол между касательными, если известно, что одна из них образует с прямой
O_{1}O_{2}
угол
45^{\circ}.
б) Две сферы радиуса
R
касаются друг друга. Через точку
M
проведены две прямые, касающиеся данных сфер. Первая прямая касается сфер в точках
A
и
B,
вторая — в точках
C
и
D,
точки
A
и
C
лежат на одной сфере. Известно, что
\angle BMD=60^{\circ},
AB=3CD
и
MB\gt MA.
Найдите
CD.
5.13. Докажите, что все грани тетраэдра равны (такой тетраэдр называется равногранным) тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
а) отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер, попарно перпендикулярны;
б) центры описанной и вписанной сфер совпадают;
в) точка пересечения медиан и центр описанной сферы совпадают;
г) все грани равновелики;
д) точка пересечения медиан и центр вписанной сферы совпадают.
5.14. а) Дана треугольная пирамида
ABCD.
Скрещивающиеся рёбра
AC
и
BD
этой пирамиды перпендикулярны. Также перпендикулярны скрещивающиеся рёбра
AD
и
BC,
а
AB=CD.
Все рёбра этой пирамиды касаются шара радиуса
r.
Найдите площадь грани
ABC.
б) Все рёбра треугольной пирамиды
ABCD
касаются некоторого шара. Три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся рёбер
AB
и
CD,
AC
и
BD,
AD
и
BC,
равны. Угол
DBC
равен
50^{\circ},
а угол
BCD
больше угла
BDC.
Найдите отношение площадей граней
ABD
и
ABC.
5.15. Пусть
h~\tire
высота равногранного тетраэдра;
h_{1}
и
h_{2}~\tire
отрезки, на которые одна из высот грани делится точкой пересечения высот этой грани. Докажите, что
h^{2}=4h_{1}h_{2}.
5.16. Ребро правильного тетраэдра равно
a.
Через вершину тетраэдра проведено сечение, являющееся треугольником. Докажите, что периметр
P
сечения удовлетворяет неравенствам
2a\lt P\le3a.
5.17. а) В треугольной пирамиде
SABC
суммы трёх плоских углов при каждой из вершин
B
и
C
равны
180^{\circ}
и
SA=CB.
Найдите объём пирамиды, если площадь грани
SBC
равна 100, а расстояние от центра описанного шара до плоскости основания
ABC
равно 3.
б) В треугольной пирамиде
SABC
суммы трёх плоских углов при каждой вершине
A
и
B
равны
180^{\circ}
и
SC=AB.
Внутри пирамиды взята некоторая точка
D,
сумма расстояний от которой до трёх боковых граней
SAB,
SAC
и
SBC
равна 7. Найдите расстояние от центра описанного шара до грани
SAB,
если объёмы пирамид
SABC
и
DABC
относятся как
8:1.
5.18. а) Дан куб
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром, равным 4. На середине ребра
BC
взята точка
M,
а на ребре
A_{1}D_{1}
на расстоянии 1 от вершины
A_{1}
взята точка
N.
Найдите длину кратчайшего пути между точками
M
и
N
по поверхности куба.
б) На грани
ABCD
куба
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром, равным 6, задана точка
P,
удалённая от ребра
BC
на расстояние 1, а от ребра
AB
на расстояние 3. На грани
A_{1}ADD_{1}
дана точка
Q,
удалённая от ребра
A_{1}A
на расстояние 1, а от ребра
A_{1}D_{1}~\tire
на 2. Найдите длину кратчайшего пути между точками
P
и
Q
по поверхности куба.
5.19. Ребро правильного октаэдра равно
a.
Найдите кратчайшее расстояние по поверхности октаэдра между серединами двух его параллельных рёбер.
5.20. Сторона основания правильной треугольной призмы равна
a,
боковое ребро равно
b.
Найдите кратчайшее расстояние по поверхности призмы между вершиной одного основания и серединой противоположной ей стороны другого основания.
5.21. Если поверхность тетраэдра
ABCD
разрезать вдоль рёбер
AD,
BD
и
CD,
то его развёрткой на плоскость
ABC
будет квадрат со стороной, равной
a.
Найдите объём тетраэдра.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 6. Скалярное произведение

Скалярное произведение в планиметрии

6.1. Докажите следующие свойства скалярного произведения:
а)
\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a};
б)
\alpha\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\alpha(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b});
в)
\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c};
г)
|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\overrightarrow{a}^{2}};
д)
(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}=\overrightarrow{a}^{2}+ 2\cdot (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}^{2};
е)
(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})^{2} \le \overrightarrow{a}^{2}\cdot \overrightarrow{b}^{2},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы
\overrightarrow{a}
и
\overrightarrow{b}
коллинеарны;
ж) ненулевые векторы
\overrightarrow{a}
и
\overrightarrow{b}
перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
6.2. Даны три вектора
\overrightarrow{a},
\overrightarrow{b}
и
\overrightarrow{c}.
Докажите, что вектор
\overrightarrow{c}
перпендикулярен вектору
(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}.
6.3. На стороне
BC
треугольника
ABC
взята точка
M,
причём
BM:MC=3:2.
Известно, что
BC=15,
AC=10,
AB=8.
а) Выразите вектор
\overrightarrow{AM}
через векторы
\overrightarrow{AB}
и
\overrightarrow{AC}.
б) Найдите длину отрезка
AM.
6.4. Стороны треугольника равны
a,
b
и
c.
Найдите а) медиану; б) биссектрису треугольника, проведённую к стороне, равной
a.
6.5. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других вершин.
6.6. Пусть
A,
B,
C,
D~\tire
произвольные точки. Докажите, что
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}+ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BD}=0.
Пользуясь эти равенством, докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
6.7. Точка
K~\tire
середина стороны
AB
квадрата
ABCD,
а точка
M
лежит на диагонали
AC,
причём
AM:MC=3:1.
Докажите, что
\angle KMD=90^{\circ}.
6.8. На сторонах
AB
и
AC
треугольника
ABC
во внешнюю сторону построены квадраты
AMNB
и
CKLA.
Докажите, что медиана
AP
треугольника
ABC
перпендикулярна прямой
ML.
6.9. Пусть
\alpha,
\beta,
\gamma~\tire
углы треугольника. Докажите, что
а)
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\le\frac{3}{2};
б)
\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma\ge-\frac{3}{2}.
Когда достигаются равенства?
6.10. Пусть
a,
b,
c~\tire
стороны треугольника,
R~\tire
радиус описанной окружности. Докажите, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}\le9R^{2}.
6.11. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций
а)
f(x)=3\sin x+4\cos x;
б)
f(x)=4\sqrt{1-x}+3\sqrt{x}.
6.12. Пусть
O~\tire
центр описанной окружности треугольника
ABC,
а точка
H
обладает тем свойством, что
\overrightarrow{OH}= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}.
Докажите, что
H~\tire
точка пересечения высот треугольника
ABC.
6.13. Пусть
r
и
R~\tire
радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника,
d~\tire
расстояние между их центрами. Докажите, что
d^{2}=R^{2}-2rR
(формула Эйлера).

Скалярное произведение. Перпендикулярность в пространстве

6.14. Дан куб
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.
Найдите углы между прямыми
\mbox{а)}~AA_{1}
и
BD_{1};
\mbox{б)}~BD_{1}
и
DC_{1};
\mbox{в)}~AD_{1}
и
DC_{1}.
6.15. Высота
AA_{1}
прямоугольного параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
вдвое больше каждой из сторон основания. Найдите угол между прямыми
BD_{1}
и
A_{1}M,
где
M~\tire
точка пересечения диагоналей грани
DCC_{1}D_{1}.
6.16. Дан тетраэдр
ABCD.
Все плоские углы при вершине
D~\tire
прямые;
DA=1,
DB=2,
DC=3.
Найдите медиану тетраэдра, проведённую из вершины
D.
6.17. Известно, что в тетраэдре
ABCD
ребро
AB
перпендикулярно ребру
CD,
а ребро
BC
перпендикулярно ребру
AD.
Докажите, что ребро
AC
перпендикулярно ребру
BD.
6.18. Дан куб
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.
На отрезках
AB_{1}
и
BC_{1}
взяты точки
P
и
Q,
причём
AP:PB_{1}=C_{1}Q:QB=2:1.
Докажите, что отрезок
PQ
перпендикулярен прямым
AB_{1}
и
C_{1}B,
и найдите его длину, если ребро куба равно
a.
6.19. В тетраэдре
ABCD
известно, что
AB=3,
BC=4,
AC=5,
AD=DB=2,
DC=4.
Найдите медиану тетраэдра, проведенную из вершины
D.
6.20. Докажите, что если в тетраэдре противоположные рёбра попарно перпендикулярны, то
AB^{2}+CD^{2}=AC^{2}+BD^{2}=AD^{2}+BC^{2}.
Верно ли обратное?
6.21. Пусть
M~\tire
точка пересечения медиан треугольника
ABC,
O~\tire
произвольная точка пространства. Докажите, что
OM^{2}=\frac{1}{3}(OA^{2}+OB^{2}+OC^{2})-\frac{1}{9}(AB^{2}+BC^{2}+AC^{2}).
6.22. Даны три попарно перпендикулярные прямые. Четвёртая прямая образует с данными прямыми углы
\alpha,
\beta,
\gamma
соответственно. Докажите, что
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1.
6.23. Даны три некомпланарных вектора. Существует ли четвёртый вектор, перпендикулярный трём данным?
6.24. На диагоналях
D_{1}A,
A_{1}B,
B_{1}C,
C_{1}D
граней куба
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
взяты соответственно точки
M,
N,
P,
Q,
причём
D_{1}M:D_{1}A=BN:BA_{1}=B_{1}P:B_{1}C=DQ:DC_{1}=\mu,
а прямые
MN
и
PQ
взаимно перпендикулярны. Найдите
\mu.
6.25. Все рёбра правильной треугольной призмы
ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равны
a.
Рассматриваются отрезки с концами на прямых
AB_{1}
и
BC_{1},
перпендикулярные прямой
AC_{1}.
Найдите наименьшую длину таких отрезков.
6.26. Ребро куба
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равно
a.
На диагоналях
D_{1}A
и
A_{1}B
взяты соответственно точки
M
и
N,
причём
D_{1}M:D_{1}A=NB:A_{1}B=1:3.
Найдите расстояние от вершины
C
до прямой
MN.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 7. Метод координат в пространстве

7.1. Через точку
M(-2;0;3)
проведите плоскость, параллельную плоскости
2x-y-3z+5=0.
7.2. Через середину отрезка с концами в точках
P(-1;2;5)
и
Q(3;-4;1)
проведите плоскость, перпендикулярную прямой, проходящей через точки
A(0;-2;-1)
и
B(3;2;-1).
7.3. Проведите плоскость через точки
A(-3;0;1),
B(2;1;-1)
и
C(-2;2;0).
7.4. Найдите угол между прямой, проходящей через точки
A(-3;0;1)
и
B(2;1;-1),
и прямой, проходящей через точки
C(-2;2;0)
и
D(1;3;2).
7.5. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
M(-2;0;3)
перпендикулярно плоскости, проходящей через точки
A(-3;0;1),
P(-1;2;5)
и
Q(3;-4;1).
7.6. Через точку
M(-1;-1;2)
проведите плоскость, перпендикулярную прямой пересечения плоскостей
x-2y+z-13=0
и
x+2y-2z+2=0.
7.7. Найдите расстояние от точки
D(1;3;2)
до плоскости, проходящей через точки
A(-3;0;1),
B(2;1;-1)
и
C(-2;2;0).
7.8. Составьте параметрические уравнения прямой пересечения плоскостей
2x-y-3z+5=0
и
x+y-2=0.
7.9. Найдите угол между плоскостями
2x-y-3z+5=0
и
x+y-2=0.
7.10. Найдите угол между прямой пересечения плоскостей
2x-y-3z+5=0
и
x+y-2=0
и плоскостью, проходящей через точки
M(-2;0;3),
N(0;2;2)
и
K(3;-3;1).
7.11. Через прямую
\frac{x-1}{2}=-\frac{y}{3}=3-z
проведите плоскость, параллельную прямой пересечения плоскостей
4x+5z-3=0
и
x+y+2z=0.
7.12. Найдите расстояние между прямой, проходящей через точки
A(-3;0;1)
и
B(2;1;-1),
и прямой, проходящей через точки
C(-2;2;0)
и
D(1;3;2).
7.13. Найдите координаты проекции точки
P(0;2;1)
на прямую
\frac{x-4}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{3}.
7.14. Прямая
a~\tire
пересечение плоскостей
2x-y-z-2=0
и
x-y+2z-2=0,
а прямая
b~\tire
пересечение плоскостей
x+3y-z-2=0
и
x+2y-2=0.
Пересекаются ли прямые
a
и
b?
7.15. Через точку
M(-2;0;3)
проведите прямую, пересекающую прямые
x=2-t,
y=3,
z=-2+t
и
\syst{2x-2y-z-4=0,\\x+3y+2z+1=0.\\}
7.16. В пространстве даны точки
A(-1;2;0),
B(5;2;-10),
C(2;-1;4)
и
D(-2;2;-1).
Найдите:
а) расстояние от вершины
D
тетраэдра
ABCD
до точки пересечения медиан основания
ABC;
б) уравнение плоскости
ABC;
в) высоту тетраэдра, проведённую из вершины
D;
г) угол между прямыми
BD
и
AC;
д) угол между гранями
ABC
и
ACD;
е) расстояние между прямыми
BD
и
AC.
7.17. Непересекающиеся диагонали двух смежных граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами
\alpha
и
\beta.
Найдите угол между этими диагоналями.
7.18. В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
известно, что что
AB=3,
BC=2,
CC_{1}=4.
На ребре
AB
взята точка
M,
причём
AM:MB=1:2;
K~\tire
точка пересечения диагоналей грани
CC_{1}D_{1}D.
Найдите угол и расстояние между прямыми
D_{1}M
и
B_{1}K.
7.19. Основание пирамиды
ABCS~\tire
равносторонний треугольник
ABC
со стороной
4\sqrt{2}.
Боковое ребро
SC
перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку
S
и середину ребра
BC,
а другая проходит через точку
C
и середину ребра
AB.
7.20. Найдите расстояния между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра со стороной
a.
7.21. Дан правильный тетраэдр
SABC
с ребром, равным 1;
BD~\tire
высота треугольника
ABC.
Равносторонний треугольник
BDE
лежит в плоскости, образующей угол
\varphi
с ребром
AC,
причём точки
S
и
E
расположены по одну сторону от плоскости
ABC.
Найдите
SE.
7.22. В кубе
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1},
ребро которого равно 6, точки
M
и
N~\tire
середины рёбер
AB
и
B_{1}C_{1}
соответственно, а точка
K
расположена на ребре
DC
так, что
DK=2KC.
Найдите:
1) расстояние от точки
N
до прямой
AK;
2) расстояние между прямыми
MN
и
AK;
3) расстояние от точки
A_{1}
до плоскости треугольника
MNK.
7.23. Площади проекций некоторого треугольника на координатные плоскости
Oxy
и
Oyz
равны соответственно
\sqrt{6}
и
\sqrt{7},
а площадь проекции на плоскость
Oxz~\tire
целое число. Найдите площадь самого треугольника, если известно, что она также является целым числом.
7.24. Основание прямоугольного параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}~\tire
прямоугольник
ABCD
со сторонами
AB=2
и
BC=4.
Высота
OO_{1}
параллелепипеда равна 4
(O
и
O_{1}~\tire
центры граней
ABCD
и
A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно). Сфера радиуса 3 с центром на высоте
OO_{1}
касается плоскости основания. Найдите сумму квадратов расстояний от точки, принадлежащей сфере, до всех вершин параллелепипеда при условии, что она максимальна.
7.25. На рёбрах
A_{1}B_{1},
AB,
A_{1}D_{1}
и
DD_{1}
единичного куба
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
взяты точки
K,
L,
M
и
N
соответственно так, что
A_{1}K=\frac{2}{3},
AL=\frac{1}{5},
A_{1}M=\frac{1}{3}.
Определите, какое из рёбер
A_{1}D_{1}
или
D_{1}C_{1}
пересекает плоскость, параллельную отрезку
ML
и содержащую отрезок
KN.
В каком отношении это ребро делится плоскостью?
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 8. Отношение объёмов

8.1. На стороне
AB
основания
ABC
треугольной пирамиды
ABCD
расположена точка
M,
причём
AM:MB=1:3.
В каком отношении плоскость
DMC
делит объём пирамиды
ABCD?
8.2. На боковых рёбрах
SA,
SB,
SC
(или на их продолжениях) треугольной пирамиды
SABC
расположены точки
A_{1},
B_{1},
C_{1}
соответственно. Докажите, что отношение объёмов пирамид
SA_{1}B_{1}C_{1}
и
SABC
равно
\frac{SA_{1}}{SA}\cdot\frac{SB_{1}}{SB}\cdot\frac{SC_{1}}{SC}.
8.3. Основание пирамиды
SABCD~\tire
параллелограмм
ABCD.
В каком отношении плоскость, проведённая через прямую
AD
и середину ребра
SC,
делит объём этой пирамиды?
8.4. На ребре
DC
треугольной пирамиды
ABCD
взята точка
N,
причём
CN=2DN.
На продолжении ребра
CA
за точку
A
и на продолжении ребра
CB
за точку
B
расположены точки
K
и
M
соответственно, причём
AC=2AK
и
BM=2BC.
В каком отношении плоскость
MNK
делит объём пирамиды
ABCD?
8.5. Основание пирамиды
SABCD~\tire
параллелограмм
ABCD.
Точка
N~\tire
середина ребра
AS,
точка
K~\tire
середина медианы
SP
треугольника
BSC,
точка
M
расположена на ребре
SB,
причём
SM=5MB.
В каком отношении плоскость
MNK
делит объём пирамиды
SABCD?
8.6. На рёбрах
BC
и
DC
треугольной пирамиды
ABCD
расположены точки
N
и
K
соответственно, причём
CN=2BN
и
DK:KC=3:2;
M~\tire
точка пересечения медиан треугольника
ABD.
В каком отношении плоскость
MNK
делит объём пирамиды
ABCD?
8.7. Основание пирамиды
SABCD~\tire
параллелограмм
ABCD.
На рёбрах
AB
и
SC
расположены точки
K
и
M
соответственно, причём
AK:KB=CM:MS=1:2.
В каком отношении плоскость, проходящая через точки
K
и
M
параллельно прямой
BD,
делит объём пирамиды
SABCD?
8.8. Докажите, что из боковых граней четырёхугольной пирамиды, основание которой является параллелограммом, можно составить треугольную пирамиду, причем её объём вдвое меньше объёма исходной пирамиды.
8.9. На скрещивающихся прямых
a
и
b
взяты отрезки
AB
и
CD
соответственно. Докажите, что объём пирамиды
ABCD
не зависит от положения отрезков
AB
и
CD
на этих прямых.
8.10. Докажите, что плоскость, проходящая через середины двух противоположных рёбер треугольной пирамиды, делит её объём пополам.
8.11. Объём пирамиды
ABCD
равен 5. Через середины рёбер
AD
и
BC
проведена плоскость, пересекающая ребро
CD
в точке
M.
При этом
DM:MC=2:3.
Найдите площадь сечения пирамиды указанной плоскостью, если расстояние от неё до вершины
A
равно 1.
8.12. Точки
M
и
N~\tire
середины соответственно рёбер
AA_{1}
и
CC_{1}
параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.
Прямые
A_{1}C,
B_{1}M
и
BN
попарно перпендикулярны. Найдите объём параллелепипеда, если
A_{1}C=a,
B_{1}M=b,
BN=c.
8.13. На продолжениях рёбер
AB,
AA_{1},
AD
параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
за точки
B,
A_{1}
и
D
соответственно отложены отрезки
BP,
A_{1}Q
и
DR,
равные
\frac{3}{2}AB,
\frac{3}{2}AA_{1}
и
\frac{3}{2}AD.
В каком отношении плоскость
PQR
делит объём параллелепипеда?
8.14. В каком отношении делит объём куба плоскость, перпендикулярная его диагонали и делящая диагональ в отношении
\mbox{а)}~2:1,
\mbox{б)}~3:1?
8.15. Две плоскости, параллельные противоположным рёбрам
AB
и
CD
тетраэдра
ABCD,
делят ребро
BC
на три равные части. Какая часть объёма тетраэдра заключена между этими плоскостями?
8.16. Отношение длин двух скрещивающихся рёбер тетраэдра равно
k.
Параллельно этим рёбрам проведена плоскость, причём в сечении получился ромб. В каком отношении эта плоскость делит объём тетраэдра?
8.17. Точки
A,
B,
C,
D,
E,
F
расположены на сфере радиуса
\sqrt{2}.
Отрезки
AD,
BE
и
CF
пересекаются в точке
S,
находящейся на расстоянии 1 от центра сферы. Объёмы пирамид
SABC
и
SDEF
относятся как
1:9,
пирамид
SABF
и
SDEC~\tire
как
4:9,
пирамид
SAEC
и
SDBF~\tire
как
9:4.
Найдите отрезки
SA,
SB
и
SC.
8.18. В основании пирамиды лежит параллелограмм. Все боковые рёбра равны. Плоскость пересекает боковые рёбра пирамиды, отсекая на них отрезки
a,
b,
c
и
d
(в порядке обхода и считая от общей вершины). Докажите, что
\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}+\frac{1}{d}.
8.19. На рёбрах
AB,
BD
и
DC
пирамиды
ABCD
взяты точки
M,
L
и
K,
причём
AM=\frac{1}{3}AB,
BL=\frac{1}{4}BD,
DK=\frac{2}{5}DC.
В каком отношении плоскость
KLM
делит отрезок, соединяющий середины рёбер
AD
и
BC?
8.20. В основании четырёхугольной пирамиды
SABCD
лежит параллелограмм
ABCD.
На рёбрах
SA,
SB
и
SC
взяты соответственно точки
K,
L
и
M,
причём
SK=\frac{1}{2}SA,
SL=\frac{1}{3}SB,
SM=\frac{3}{5}SC.
Пусть плоскость
KLM
пересекает прямую
SD
в точке
P.
Найдите отношение
SP:SD.
8.21. Площади граней
ABC
и
ADC
тетраэдра
ABCD
равны
P
и
Q.
Докажите, что биссекторная плоскость двугранного угла с ребром
AC
делит ребро
BD
в отношении
P:Q.
8.22. Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, а площади боковых граней равны
S,
Q
и
P.
Найдите радиус вписанного шара. Найдите также радиус шара, касающегося основания и продолжений боковых граней пирамиды.
8.23. В правильной четырёхугольной пирамиде
SABCD
(S~\tire
вершина)
AB=3\sqrt{2},
высота пирамиды равна 8. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку
A,
а другая — через точки
B
и
D,
имеют равные площади. В каком отношении делят ребро
SC
плоскости сечений? Найдите расстояние между плоскостями сечений и объёмы многогранников, на которые пирамида разбивается этими плоскостями.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 9. Круглые тела

9.1. Вершины
A,
B
и
D_1
единичного куба
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
лежат на боковой поверхности цилиндра, ось которого параллельна прямой
DC_{1}.
Найдите радиус цилиндра.
9.2. Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса под углом
30^{\circ}
к его оси, равна площади осевого сечения. Найдите угол при вершине осевого сечения.
9.3. Через вершину конуса и хорду основания проведена плоскость. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания конуса, если известно, что в сечении получился треугольник наибольшей возможной площади, а угол в развёртке боковой поверхности конуса равен:
\mbox{а)}~120^{\circ};
\mbox{б)}~320^{\circ}.
9.4. а) Все плоские углы при вершине
S
пирамиды
SABC
прямые. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды, если
SA=a,
SB=b,
SC=c.
б) Противоположные рёбра тетраэдра попарно равны. Основание тетраэдра — треугольник со сторонами
a,
b,
c.
Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра, и медианы тетраэдра.
9.5. Три шара попарно касаются друг друга внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом, равным 1. и противолежащим углом в
30^{\circ}.
Найдите радиусы шаров.
9.6. а) В куб с ребром
a
вписан шар. Найдите радиус другого шара, касающегося трёх граней куба и первого шара.
б) В закрытой коробке, имеющей форму куба со стороной 8, лежат два шара. Радиус первого из них равен 2. Этот шар касается плоскости основания и двух соседних боковых граней. Второй шар радиуса 3 касается двух других боковых граней куба и первого шара. На какой высоте над дном коробки находится центр второго шара?
9.7. Сфера радиуса
r
касается всех рёбер треугольной пирамиды, центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что пирамида правильная и найдите её высоту, если известно, что центр сферы удалён от вершины пирамиды на расстояние
r\sqrt{3}.
9.8. Радиус цилиндра равен равен
r,
а высота его равна
5r.
Около цилиндра описан параллелепипед, отношение обьёма которого к объёму цилиндра равно
\frac{5}{\pi}.
Найдите длину отрезка большой диагонали параллелепипеда, лежащего внутри цилиндра.
9.9. В треугольной пирамиде
SABC
высота
SO
проходит через точку
O~\tire
центр круга, вписанного в основание
ABC
пирамиды. Известно, что
\angle SAC=\frac{\pi}{3},
\angle SCA=\frac{\pi}{4},
а отношение площади треугольника
AOB
к площади треугольника
ABC
равно
\frac{1}{2+\sqrt{3}}.
Найдите угол
BSC.
9.10. Конус с вершиной
S
вписан в треугольную пирамиду
SPQR
так, что окружность основания конуса вписана в основание
PQR
пирамиды. Известно, что
\angle PSR=\frac{\pi}{2},
\angle SQR=\frac{\pi}{4},
\angle PSQ=\frac{7\pi}{12}.
Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания
PQR
пирамиды.
9.11. В правильной треугольной пирамиде расположен шар радиуса 1. В точке, делящей пополам высоту пирамиды, он касается внешним образом полушара. Полушар опирается на круг, вписанный в основание пирамиды, шар касается боковых граней пирамиды. Найдите боковую поверхность пирамиды и угол между боковыми гранями пирамиды.
9.12. В правильной четырёхугольной пирамиде расположены два шара
Q_{1}
и
Q_{2}.
Шар
Q_{1}
вписан в пирамиду и имеет радиус 2, шар
Q_{2}
касается внешним образом шара
Q_{1}
и боковых граней пирамиды. Его радиус равен 1. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и угол между соседними боковыми гранями.
9.13. В трёхгранный угол, все плоские углы которого равны
\alpha,
помещена сфера так, что она касается всех рёбер трёхгранного угла. Грани трёхгранного угла пересекают сферу по окружностям радиуса
R.
Найдите радиус сферы.
9.14. Правильная треугольная призма
ABCA_{1}B_{1}C_{1}
описана около шара радиуса
R.
Точки
M
и
N~\tire
середины рёбер
BB_{1}
и
CC_{1}.
В шар вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскости
AMN.
Найдите объём цилиндра.
9.15. Три сферы радиуса
R
попарно касаются друг друга и плоскости
\alpha.
Найдите радиус четвёртой сферы, которая внешним образом касается каждой из данных и плоскости
\alpha.
9.16. Две сферы радиуса
R
касаются друг друга и граней двугранного угла, равного
2\alpha.
Найдите радиус сферы, касающейся каждой из данных сфер и граней двугранного угла.
9.17. Три конуса, радиусы основания которых равны
R
и составляют
\frac{3}{4}
их высоты, расположены по одну сторону от плоскости
\alpha,
а их основания лежат в этой плоскости. Окружности оснований каждых двух из этих конусов касаются. Найдите радиус шара, лежащего между конусами и касающегося как плоскости
\alpha,
так и боковых поверхностей всех трёх конусов.
9.18. Цилиндр описан около шара радиуса
R.
Точка
C
расположена внутри цилиндра, на его оси и удалена на
\frac{3}{4}R
от нижнего основания. Через эту точку проведена плоскость
\alpha,
имеющая с окружностью нижнего основания только одну общую точку. В шар вписан конус, основание которого лежит в плоскости
\alpha,
а вершина расположена выше этой плоскости. Найдите обьём этого конуса.
9.19. В правильной пирамиде
SABC
сторона основания
ABC
равна
a,
боковое ребро —
2a.
Точки
S,
B
и
C
лежат на боковой поверхности конуса, имеющего вершину в точке
A.
Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
9.20. Все вершины правильной пирамиды
SABCD
с вершиной
S,
лежат на боковой поверхности цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости
SAB.
Найдите радиус основания цилиндра, если
AB=a.
9.21. В правильной четырёхугольной пирамиде
SABCD
сторона основания равна
a,
боковое ребро —
\frac{5}{2}a.
Одно основание цилиндра лежит в плоскости
SAB,
другое вписано в сечение пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
9.22. Вершина
A
правильной призмы
ABCA_{1}B_{1}C_{1}
совпадает с вершиной конуса, вершины
B
и
C
лежат на боковой поверхности этого конуса, а вершины
B_{1}
и
C_{1}~\tire
на окружности его основания. Найдите отношение объёмов конуса и призмы, если
AB_{1}:AB=5:1.
9.23. Высота цилиндра равна
3r.
Внутри цилиндра расположены три сферы радиуса
r
так, что каждая сфера касается двух других и боковой поверхности цилиндра. Две сферы касаются нижнего основания цилиндра, а третья сфера — верхнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.
9.24. В правильной призме
ABCA_{1}B_{1}C_{1}
длина каждого ребра равна
a.
Вершины
A
и
A_{1}
лежат на боковой поверхности цилиндра, плоскость
BCC_{1}
касается этой поверхности. Ось цилиндра параллельна прямой
B_{1}C.
Найдите радиус цилиндра.
9.25. На сфере, радиус которой равен 2, расположены три окружности радиуса 1, каждая из которых касается двух других. Найти радиус окружности меньшей, чем данная, которая также расположена на данной сфере и касается каждой из данных окружностей.
9.26. Одна вершина правильного тетраэдра расположена на оси цилиндра радиуса
R,
а другие вершины — на боковой поверхности этого цилиндра. Найдите ребро тетраэдра.
9.27. Вершина
A
основания
ABCD
правильной пирамиды
SABCD
совпадает с вершиной конуса, вершины
B,
D
лежат на его боковой поверхности, вершина
S~\tire
на окружности основания этого конуса, а вершина
C~\tire
в плоскости его основания. Найдите отношение обьёмов конуса и пирамиды.
9.28. Через ребро
BC
треугольной пирамиды
PABC
и точку
M~\tire
середину ребра
PA,
проведено сечение
BCM.
Вершина конуса совпадает с вершиной
P
пирамиды, а окружность основания вписана в треугольник
BCM,
касаясь стороны
BC
в её середине. Точки касания окружности с отрезками
BM
и
CM
являются точками пересечения медиан граней
APB
и
APC.
Высота конуса в два раза больше радиуса основания. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади основания пирамиды.
9.29. Угол при вершине осевого сечения конуса равен
60^\circ.
Внутри конуса расположены три сферы радиуса 1. Каждая сфера касается двух других, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите радиус основания конуса.
9.30. Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются друг друга. Найдите:
а) радиус сферы, касающейся всех четырёх данных сфер;
б) высоту цилиндра, содержащего эти сферы так, что три из них касаются одного основания и боковой поверхности, а четвёртая — другого основания цилиндра;
в) высоту конуса, содержащего эти сферы так, что все они касаются боковой поверхности, а три из них — основания конуса.
9.31. В конус помещены пять равных шаров. Четыре из них лежат на основании конуса, причём каждый из этих четырёх шаров касается двух других, лежащих на основании, и боковой поверхности конуса. Пятый шар касается боковой поверхности конуса и остальных четырёх шаров. Найдите объём конуса, если радиус каждого шара равен
r.
9.32. Можно ли точку в пространстве заслонить четырьмя шарами?
9.33. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если известно, что на его поверхности можно провести три попарно перпендикулярные образующие.
9.34. Два равных конуса с общей вершиной, с высотами, равными 2, и радиусами оснований, равными 1, касаются по некоторой образующей, а также касаются боковой поверхностью некоторой плоскости. Пусть
l~\tire
прямая, по которой пересекаются плоскости основания конусов. Найдите угол между прямой
l
и плоскостью
\alpha.
9.35. Два равных конуса имеют общую вершину и касаются по общей образующей. Угол в осевом сечении каждого из конусов равен
60^{\circ}.
Найдите угол между двумя плоскостями, каждая из которых касается конусов, но не проходит через общую образующую.
9.36. На плоскости лежат три равных конуса с общей вершиной. Каждый из них касается двух рядом лежащих. Найдите угол при вершине каждого конуса.
9.37. Три равных конуса с углом
\alpha
\left(\alpha\lt\frac{2\pi}{3}\right)
при вершине осевого сечения имеют общую вершину и касаются друг друга внешним образом по образующим
k,
l,
m.
Найдите угол между
l
и
k.
9.38. Два равных конуса с общей вершиной
D
расположены по разные стороны от плоскости
\alpha
и касаются этой плоскости по образующим
DE
и
DF
соответственно. Известно, что угол
EDF
равен
\gamma,
а угол между прямой пересечения оснований конусов и плоскостью
\alpha
равен
\beta.
Найдите угол между высотой и образующей каждого конуса.
9.39. Два конуса имеют общую вершину, и образующая первого конуса является высотой второго. Угол при вершине осевого сечения первого конуса равен
\arccos\frac{1}{3},
а второго —
\frac{2\pi}{3}.
Найдите угол между образующими, по которым пересекаются боковые поверхности конусов.
9.40*. Вершины прямоугольника лежат на боковой поверхности конуса. Докажите, что две параллельные стороны прямоугольника перпендикулярны оси конуса.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 10. Задачи на максимум и минимум

10.1. а) Рассматриваются всевозможные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объёмом и вычислите этот объём.
б) Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объём каждого из которых равен
\frac{1}{2},
а одна из боковых граней является квадратом. Найдите среди них параллелепипед с наименьшим периметром основания и вычислите величину этого периметра.
10.2. а) Рассматриваются всевозможные правильные четырёхугольные пирамиды, описанные около шара радиуса
r.
Найдите высоту такой пирамиды с наименьшим объёмом.
б) Рассматриваются всевозможные правильные треугольные пирамиды, все боковые рёбра которых и плоскости оснований касаются шара радиуса
r.
Найдите высоту такой пирамиды с наименьшим объёмом.
в) В правильной четырёхугольной пирамиде расположены два одинаковых шара радиуса
r,
центры которых находятся на оси симметрии пирамиды. Один из шаров касается всех боковых граней пирамиды, а второй — основания пирамиды и первого шара. Найдите высоту пирамиды, при которой объём пирамиды наименьший.
г) В конусе расположены два шара единичного радиуса, касающиеся основания конуса в точках, симметричных относительно центра основания. Каждый из шаров касается боковой поверхности конуса и другого шара. Найдите величину угла между образующей конуса и основанием, при котором объём конуса наименьший.
10.3. Найдите высоту и радиус основания: а) конуса; б) цилиндра наибольшего объёма вписанного в шар радиуса
R.
10.4. Высота правильной треугольной пирамиды равна высоте её основания, объём пирамиды равен
V.
Рассматриваются правильные треугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что боковое ребро лежит на высоте основания пирамиды, противоположная этому ребру боковая грань параллельна основанию пирамиды, и вершины этой грани лежат на боковой поверхности пирамиды. Найдите:
а) объём той призмы, плоскость боковой грани которой делит высоту пирамиды в отношении
3:1,
считая от вершины пирамиды;
б) наибольшее значение объёма рассматриваемых призм.
10.5. а) Сторона основания
ABC
правильной пирамиды
PABC
равна
a,
боковое ребро равно
b.
На каком расстоянии от прямой
BC
следует провести сечение пирамиды, параллельное рёбрам
BC
и
PA,
чтобы площадь его была наибольшей из возможных?
б) Сторона основания
ABC
правильной треугольной пирамиды
SABC
равна 4, угол боковой грани с плоскостью основания равен
\arctg \sqrt{23}.
Точки
F,
D
и
E
расположены на рёбрах
SA,
AB
и
BC
соответственно, причём
SF:AF=1:2
и
BD=BE.
Какое наибольшее значение может иметь объём пирамиды
CDEF?
10.6. Ребро
AB
тетраэдра
ABCD
является диагональю основания четырёхугольной пирамиды, ребро
CD
параллельно другой диагонали этого основания, и концы его лежат на боковых рёбрах пирамиды. Найдите наименьший возможный объём пирамиды, если объём тетраэдра равен
V.
10.7. Конус описан около куба следующим образом: четыре вершины куба лежат в плоскости основания конуса, а четыре другие вершины — на его боковой поверхности. Какой наименьший объём может иметь такой конус, если ребро куба равно
a?
10.8. В сферу радиуса
R
вписана правильная четырёхугольная пирамида. Каков наибольший возможный объём этой пирамиды?
10.9. а) Около шара объёма
V
описана правильная треугольная пирамида. Каков наименьший возможный объём этой пирамиды?
б) В правильной четырёхугольной пирамиде с высотой, не меньшей
h,
расположена полусфера радиуса 1 так, что её касаются все боковые грани пирамиды, а центр полусферы лежит на основании пирамиды. Найдите наименьшее возможное значение полной поверхности такой пирамиды.
10.10. Периметр равнобедренного треугольника равен
P.
Каковы должны быть длины его сторон, чтобы объём фигуры, полученной вращением этого треугольника вокруг основания, был наибольшим?
10.11. Плоскость проходит через сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды и делит пополам двугранный угол при этой стороне. Найдите площадь основания пирамиды наименьшего объёма, если известно, что указанная плоскость пересекает высоту пирамиды в точке, удалённой на расстояние
d
от плоскости основания.
10.12. Сторона основания
ABCD
правильной призмы
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
имеет длину
2a,
боковое ребро — длину
a.
Рассматриваются отрезки с концами на диагонали
AD_{1}
грани
AA_{1}D_{1}D
и диагонали
DB_{1}
призмы, параллельные плоскости
AA_{1}B_{1}B.
а) Один из таких отрезков проведён через точку
M
диагонали
AD_{1}
такую, что
AM:AD_{1}=2:3.
Найдите его длину.
б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.
10.13. а) Основание прямоугольного параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}~\tire
квадрат
ABCD.
Найдите наибольшую возможную величину угла между прямой
BD_{1}
и плоскостью
BDC_{1}.
б) В правильной шестиугольной пирамиде
SABCDEF
найдите наибольшую возможную величину угла между прямой
SA
и плоскостью
SBC.
10.14. Основание прямоугольного параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}~\tire
прямоугольник
ABCD
со сторонами
AB=2
и
BC=4.
Высота
OO_{1}
параллелепипеда равна 4
(O
и
O_{1}~\tire
центры граней
ABCD
и
A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно). Сфера радиуса 3 с центром на высоте
OO_{1}
касается плоскости основания. Найдите сумму квадратов расстояний от точки, принадлежащей сфере, до всех вершин параллелепипеда при условии, что она максимальна.
10.15. а) Сторона основания правильной треугольной призмы
ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равна 4, а боковое ребро равно 3. На ребре
BB_{1}
взята точка
F,
а на ребре
CC_{1}~\tire
точка
G
так, что
B_{1}F=1,
CG=\frac{2}{3}.
Точки
E
и
D~\tire
середины рёбер
AC
и
B_{1}C_{1}
соответственно. Найдите наименьшее возможное значение суммы
EP+PQ,
где точка
P
принадлежит отрезку
A_{1}D,
а точка
Q~\tire
отрезку
FG.
б) На ребре
BB_{1}
куба
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
взята точка
F
так, что
B_{1}F=\frac{1}{3}BB_{1},
на ребре
C_{1}D_{1}~\tire
точка
E
так, что
D_{1}E=\frac{1}{3}C_{1}D_{1}.
Какое наибольшее значение может принимать отношение
\frac{AP}{PQ},
где точка
P
лежит на луче
DE,
а точка
Q~\tire
на прямой
A_{1}F?
10.16. Основание пирамиды — квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наименьший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.
10.17. Рассматриваются всевозможные параллелепипеды с четырьмя рёбрами длины 3 и остальными рёбрами длины 2, в которые можно вписать шар. Найдите максимальное значение радиуса этих шаров.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 11. Геометрические неравенства. Элементы трёхгранного угла

11.1. Дан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше
4\sqrt{3}.
11.2. Пусть
a,
b
и
c~\tire
длины сторон параллелепипеда,
d~\tire
одна из его диагоналей. Докажите, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge\frac{1}{3}d^{2}.
11.3. Докажите, что общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых есть наикратчайшее расстояние между точками этих прямых.
11.4. В пространстве рассматриваются два отрезка
AB
и
CD,
не лежащие в одной плоскости. Пусть
M
и
K~\tire
середины этих отрезков. Докажите, что
MK\lt\frac{AD+BC}{2}.
11.5. Докажите, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей трёх остальных его граней.
11.6. Ребро правильного тетраэдра равно
a.
Через вершину тетраэдра проведено сечение, являющееся треугольником. Докажите, что периметр
P
сечения удовлетворяет неравенствам
2a\lt P\le3a.
11.7. Докажите, что угол наклонной с плоскостью есть наименьший из углов, образованных этой наклонной с прямыми плоскости.
11.8. Докажите, что сумма двух плоских углов трёхгранного угла больше третьего.
11.9. Докажите, что плоский угол четырёхгранного угла меньше суммы трёх остальных.
11.10. Докажите, что сумма углов пространственного четырёхугольника не превосходит
360^{\circ}.
11.11. Докажите, что сумма внутренних двугранных углов трёхгранного угла больше
\pi
и меньше
3\pi.
11.12. Пусть
MC~\tire
перпендикуляр к плоскости треугольника
ABC.
Верно ли, что
\angle AMB\lt\angle ACB?
11.13. Докажите, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше
360^{\circ}.
11.14. Верно ли, что в сечении любого трёхгранного угла плоскостью можно получить правильный треугольник?
11.15. В тетраэдре
ABCD
все плоские углы при вершине
A
равны по
60^{\circ}.
Докажите, что
AB+AC+AD\le BC+CD+DB.
11.16. Основание пирамиды
ABCD~\tire
правильный треугольник
ABC.
Известно, что
\angle BAD=\angle CBD=\angle ACD.
Докажите, что пирамида — правильная.
11.17. Один выпуклый многогранник лежит внутри другого. Докажите, что площадь поверхности внешнего многогранника больше площади поверхности внутреннего.
11.18. Можно ли в кубе вырезать отверстие, сквозь которое пройдёт куб того же размера?
11.19. Теорема косинусов для трёхгранного угла. Пусть
\alpha,
\beta,
\gamma~\tire
плоские углы трёхгранного угла
SABC
с вершиной
S,
противолежащие рёбрам
SA,
SB,
SC
соответственно,
A,
B,
C~\tire
двугранные углы при этих рёбрах. Тогда
\cos A=\frac{\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma},
\cos B=\frac{\cos\beta-\cos\alpha\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\gamma},
\cos C=\frac{\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}.
11.20. Плоские углы трёхгранного угла равны
45^{\circ},
45^{\circ}
и
60^{\circ}.
Через его вершину проведена прямая, перпендикулярная одной из граней, плоский угол которой равен
45^{\circ}.
Найдите угол между этой прямой и ребром двугранного угла, не лежащим в этой грани.
11.21. Выразите косинусы плоских углов трёхгранного угла через тригонометрические функции двугранных углов.
11.22. Все двугранные углы некоторого трёхгранного угла — острые. Докажите, что все плоские углы этого трёхгранного угла — также острые.
11.23. Диагональ
AC_{1}
прямоугольного параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
образует с рёбрами
AB,
AD
и
AA_{1}
углы
\alpha,
\beta
и
\gamma.
Докажите, что
\alpha+\beta+\gamma\lt180^{\circ}.
11.24. Теорема косинусов для тетраэдра. Квадрат площади каждой грани тетраэдра равен сумме квадратов площадей трёх остальных граней без удвоенных попарных произведений площадей этих граней на косинусы двугранных углов между ними, т. е.
S^{2}_{0}=S^{2}_{1}+S^{2}_{2}+S^{2}_{3}- 2S_{1}S_{2}\cos\alpha_{12}-2S_{1}S_{3}\cos\alpha_{13}-2S_{2}S_{3}\cos\alpha_{23}.
11.25. В основании четырёхугольной пирамиды
SABCD
лежит параллелограмм
ABCD.
Известно, что плоскости треугольников
ASC
и
BSD
перпендикулярны друг другу. Найдите площадь грани
ASD,
если площади граней
ASB,
BSC
и
CSD
равны соответственно 5, 6 и 7.
СВЕРНУТЬ ↑