ЛИСТКИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Р. К. ГОРДИНА

Часть 1. Признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников. Медиана, биссектриса, высота. Признаки и свойства равнобедренного треугольника. Серединный перпендикуляр к отрезку. Построения с помощью циркуля и линейки.
1.1. Медиана
AM
треугольника
ABC
перпендикулярна его биссектрисе
BK.
Найдите
AB,
если
BC = 12.
1.2. Биссектриса треугольника является его медианой. Докажите, что треугольник равнобедренный.
1.3. Равны ли треугольники: а) по двум сторонам и углу; б) по стороне и двум углам?
1.4. Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников:
а) по двум катетам;
б) по катету и гипотенузе;
в) по катету и прилежащему острому углу;
г) по катету и противолежащему острому углу;
д) по гипотенузе и острому углу.
1.5. Постройте треугольник:
а) по двум сторонам и высоте, проведённым из одной вершины;
б) по стороне и высотам, проведённым к двум другим сторонам;
в) по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла;
г) по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и высоте, опущенной на другую сторону.
1.6. Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
1.7. Диагонали
AC
и
BD
четырёхугольника
ABCD
пересекаются в точке
O
. Периметр треугольника
ABC
равен периметру треугольника
ABD,
а периметр треугольника
ACD~\tire
периметру треугольника
BCD.
Докажите, что
AO = BO.
1.8. Докажите равенство треугольников:
а) по двум сторонам и медиане, выходящим из одной вершины;
б) по медиане и двум углам, на которые разбивает эта медиана угол треугольника.
1.9. Точки
M
и
N~\tire
середины равных сторон
AD
и
BC
четырёхугольника
ABCD.
Серединные перпендикуляры к сторонам
AB
и
CD
пересекаются в точке
P.
Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку
MN
проходит через точку
P.
1.10. Высоты треугольника
ABC,
проведённые из вершин
B
и
C
пересекаются в точке
M.
Известно, что
BM = CM.
Докажите, что треугольник
ABC
равнобедренный.
1.11. Через вершины
A
и
C
треугольника
ABC
проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла
ABC
, пересекающие прямые
CB
и
BA
в точках
K
и
M
соответственно. Найдите
AB,
если
BM = 8,
KC = 1.
1.12. Через данную точку проведите прямую, пересекающую две данные пересекающиеся прямые под равными углами.
1.13. Дана прямая
l
и точки
A
и
B
по разные стороны от неё. Постройте на прямой
l
такую точку
C,
чтобы прямая
l
делила угол
ACB
пополам.
1.14. Дана прямая
l
и точки
A
и
B
по одну сторону от неё. Луч света, выпущенный из точки
A,
отразившись от этой прямой в точке
C,
попадает в точку
B.
Постройте точку
C.
(Угол падения равен углу отражения.)
1.15. Постройте биссектрису угла, вершина которого не помещается на чертеже.
1.16. Докажите, что две различные окружности не могут иметь более двух общих точек.
1.17. Постройте треугольник, если известны сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.
1.18. Постройте треугольник по двум сторонам и разности противолежащих им углов.
1.19. Постройте треугольник, если дана одна его вершина и две прямые, на которых лежат биссектрисы, проведённые из двух других вершин.
1.20. Из точки вне прямой опустите перпендикуляр на эту прямую с помощью циркуля и линейки, проведя не более трёх линий.
1.21. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей.

Дополнительные задачи

1.22. На сторонах
AB,
BC
и
CA
остроугольного треугольника
ABC
взяты точки
C_{1},
A_{1}
и
B_{1}
соответственно. Докажите, что если
\angle B_{1}A_{1}C = \angle BA_{1}C_{1},
\angle A_{1}B_{1}C = \angle AB_{1}C_{1}
и
\angle A_{1}C_{1}B = \angle AC_{1}B_{1},
то точки
A_{1},
B_{1}
и
C_{1}
являются основаниями высот треугольника
ABC.
1.23. Докажите, что, если в треугольнике один угол равен
120^{\circ},
то треугольник, образованный основаниями его биссектрис, прямоугольный.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 2. Параллельность

Признаки и свойства параллельных прямых. Сумма углов треугольника. Угол между двумя биссектрисами треугольника. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в
30^{\circ}.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла.
2.1°. Найдите геометрическое место точек, удалённых от данной прямой на данное расстояние.
2.2.
AD~\tire
биссектриса треугольника
ABC.
Точка
M
лежит на стороне
AB,
причём
AM = MD.
Докажите, что
MD \parallel AC.
2.3°. Две параллельные прямые пересечены третьей. Найдите угол между биссектрисами внутренних односторонних углов.
2.4. а) Дан равнобедренный треугольник
ABC
(AB=AC).
На продолжении стороны
AC
за точку
C
отложен отрезок
CD,
равный
BC.
Оказалось, что
BD=AB.
Найдите углы треугольника
ABC.
б) Треугольник
ABC~\tire
равнобедренный
(AB = BC).
Отрезок
AM
делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями
AB
и
MC.
Найдите угол
B.
2.5°. Два угла треугольника равны
10^{\circ}
и
70^{\circ}.
Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины третьего угла треугольника.
2.6. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. Верно ли обратное?
2.7°. Один из углов треугольника равен
\alpha.
Найдите угол между а) высотами; б) биссектрисами, проведёнными из вершин двух других углов.
2.8°. Докажите, что в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы тогда и только тогда, когда он лежит против угла в
30^{\circ}.
2.9. Острый угол прямоугольного треугольника равен
30^{\circ},
а гипотенуза равна 8. Найдите отрезки, на которые делит гипотенузу высота, проведённая из вершины прямого угла.
2.10. Угол при вершине
B
равнобедренного треугольника
ABC
равен
108^{\circ}.
Перпендикуляр к биссектрисе
AD
этого треугольника, проходящий через точку
D,
пересекает сторону
AC
в точке
E.
Докажите, что
DE =BD.
2.11. Прямая пересекает боковую сторону
AC,
основание
BC
и продолжение боковой стороны
AB
(за точку
B)
равнобедренного треугольника
ABC
в точках
K,
L
и
M
соответственно. При этом треугольники
CKL
и
BML
также равнобедренные. Найдите их углы.
2.12°. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что треугольник — прямоугольный.
2.13. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, проведённой к гипотенузе.
2.14°. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
2.15. Кошка сидит на середине лестницы, прислонённой к стене. Концы лестницы начинают скользить по стене и полу. Какова траектория кошки?
2.16. В прямоугольном треугольнике один из углов равен
30^{\circ}.
Докажите, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведённого к гипотенузе через её середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.
2.17. Высоты
AA'
и
BB'
треугольника
ABC
пересекаются в точке
H.
Точки
X
и
Y~\tire
середины отрезков
AB
и
CH
соответственно. Докажите, что прямые
XY
и
A'B'
перпендикулярны.
2.18. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1, один из острых углов равен
15^{\circ}.
Найдите гипотенузу.
2.19. В треугольнике
ABC
проведены медианы
AA_{1},
BB_{1},
CC_{1}
и высоты
AA_{2},
BB_{2},
CC_{2}.
Докажите, что длина ломаной
A_{1}B_{2}C_{1}A_{2}B_{1}C_{2}A_{1}
равна периметру треугольника
ABC.
2.20. В треугольнике
ABC
проведены биссектриса
AK,
медиана
BL
и высота
CM.
Треугольник
KLM~\tire
равносторонний. Докажите, что треугольник
ABC~\tire
равносторонний.
2.21. В равнобедренном треугольнике
ABC
с основанием
AC
проведена биссектриса
CD.
Прямая, проходящая через точку
D
перпендикулярно
DC,
пересекает
AC
в точке
E.
Докажите, что
EC = 2AD.
2.22. Биссектриса внутреннего угла при вершине
A
и биссектриса внешнего угла при вершине
C
треугольника
ABC
пересекаются в точке
M.
Найдите
\angle BMC,
если
\angle BAC = 40^{\circ}.
2.23. На катетах
AC
и
BC
прямоугольного треугольника
ABC
вне его построены квадраты
ACDE
и
CBFK
(вершины обоих квадратов перечислены против часовой стрелки). Из точек
E
и
F
на прямую
AB
опущены перпендикуляры
EM
и
FN.
Докажите, что
EM+FN=AB.
2.24. На катетах
AC
и
BC
прямоугольного треугольника
ABC
вне его построены квадраты
ACDE
и
CBFK
(вершины обоих квадратов перечислены против часовой стрелки),
P~\tire
середина
KD.
Докажите, что
CP\perp AB.
2.25. Даны точки
A
и
B.
Пользуясь только циркулем, удвойте отрезок
AB,
т. е. постройте такую точку
C,
чтобы точки
A,
B
и
C
лежали на одной прямой и
AC = 2BC.
2.26. Какие значения может принимать: а) наибольший угол треугольника; б) наименьший угол треугольника; в) средний по величине угол треугольника?
2.27°. Найдите сумму внутренних углов: а) четырёхугольника; б) выпуклого пятиугольника; в) выпуклого
n\defis
угольника. Найдите сумму внешних углов при вершинах выпуклого
n\defis
угольника.
2.28. Найдите сумму пяти углов при вершинах пятиконечной звезды.
2.29. Докажите, что в каждом девятиугольнике есть пара диагоналей, угол между которыми меньше
7^{\circ}.
2.30. Продолжения двух противоположных сторон
AB
и
CD
четырёхугольника
ABCD
пересекаются под углом
\alpha,
продолжения двух других противоположных сторон пересекаются под тем же углом. Докажите, что два угла в четырёхугольнике равны и найдите разность двух других его углов.
2.31. В прямоугольном треугольнике
ABC
на гипотенузе
AB
взяты точки
K
и
M,
причём
AK = AC
и
BM = BC.
Найдите угол
MCK.
2.32. На одной из сторон данного острого угла лежит точка
A.
Постройте на этой же стороне угла точку, равноудалённую от второй стороны угла и от точки
A.
2.33. Постройте треугольник, если заданы сторона, противолежащий ей угол и сумма двух других сторон.
2.34. Постройте треугольник по периметру и двум углам.
2.35. На сторонах
BC
и
CD
квадрата
ABCD
построены внешним образом правильные треугольники
BCK
и
DCL.
Докажите, что треугольник
AKL
правильный.
2.36. На каждой стороне правильного треугольника взято по точке. Стороны треугольника с вершинами в этих точках перпендикулярны сторонам исходного треугольника. В каком отношении каждая из взятых точек делит сторону исходного треугольника?
2.37. Точка
K~\tire
середина стороны
AB
квадрата
ABCD,
точка
L
расположена на диагонали
AC,
причём
AL:LC = 3:1.
Найдите угол
KLD.
2.38. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противолежащую сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен его основанию. Докажите, что эта биссектриса также равна основанию треугольника.
2.39. Высота и медиана, проведённые из одной вершины, делят угол треугольника на три равные части. Найдите углы треугольника.
2.40. В треугольнике
ABC
угол
B
равен
20^{\circ},
угол
C
равен
40^{\circ}.
Биссектриса
AD
равна 2. Найдите разность сторон
BC
и
AB.
2.41. Постройте равнобедренный треугольник, если заданы основания его биссектрис.
2.42. Дан треугольник
ABC.
Постройте на стороне
AC
такую точку
D,
чтобы периметр треугольника
ABD
равнялся длине стороны
BC.

Дополнительные задачи

2.43. Диагонали выпуклого четырёхугольника
ABCD
пересекаются в точке
E,
AB=AD,
CA~\tire
биссектриса угла
C,
\angle BAD=140^{\circ},
\angle BEA = 110^{\circ}.
Найдите угол
CDB.
2.44. Сторона
BC
прямоугольника
ABCD
в три раза больше стороны
AB.
Точки
M
и
N
делят сторону
BC
на три равные части. Найдите сумму углов
AMB,
ANB
и
ACB.
2.45. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.
2.46. В выпуклом пятиугольнике
ABCDE
известно, что
AE = AD,
AC =AB
и
\angle DAC = \angle AEB + \angle ABE.
Докажите, что
DC
в два раза больше медианы
AK
треугольника
ABE.
2.47. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, вдвое меньше другой биссектрисы. Найдите углы треугольника.
2.48. Точка
P
расположена внутри квадрата
ABCD,
причём
\angle PAB = \angle PBA = 15^{\circ}.
Докажите, что треугольник
DPC
равносторонний.
2.49. В треугольнике
ABC
с углом
B,
равным
120^{\circ},
биссектрисы
AE,
BD
и
CM
пересекаются в точке
O.
Докажите, что
\angle DMO = 30^{\circ}.
2.50. В равнобедренном треугольнике
ABC
угол при вершине
B
равен
20^{\circ}.
На боковых сторонах
AB
и
CB
взяты соответственно точки
Q
и
P,
причём
\angle QCA = 60^{\circ},
а
\angle PAC = 50^{\circ}.
Найдите
\angle QPA.
2.51. Угол при вершине
A
равнобедренного треугольника
ABC
(AB=AC)
равен
20^{\circ}.
На стороне
AB
отложен отрезок
AD,
равный
BC.
Найдите угол
BCD.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 3. Окружность

Окружность. Диаметр, перпендикулярный хорде. Окружность, описанная около треугольника. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом. Построения с помощью циркуля и линейки.
3.1°. Докажите следующие свойства окружности:
а) диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам;
б) диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде;
в) окружность симметрична относительно каждого своего диаметра;
г) дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны;
д) хорды удалённые от центра окружности на равные расстояния, равны.
3.2. Найдите угол между радиусами
OA
и
OB,
если расстояние от центра
O
окружности до хорды
AB{:}
а) вдвое меньше
AB;
б) вдвое меньше
OA.
3.3. Дана окружность с центром
O.
На продолжении хорды
AB
за точку
B
отложен отрезок
BC,
равный радиусу. Через точки
C
и
O
проведена секущая
CD
(D~\tire
точка пересечения с окружностью, лежащая вне отрезка
CO).
Докажите, что
\angle AOD = 3 \angle ACD.
3.4. Даны две концентрические окружности и пересекающая их прямая. Докажите, что отрезки этой прямой, заключённые между окружностями, равны.
3.5. Равные хорды окружности с центром
O
пересекаются в точке
M.
Докажите, что
MO~\tire
биссектриса угла между ними.
3.6. Прямая, проходящая через общую точку
A
двух окружностей, пересекает вторично эти окружности в точках
B
и
C
соответственно. Расстояние между проекциями центров окружностей на эту прямую равно 12. Найдите
BC,
если известно, что точка
A
лежит на отрезке
BC.
3.7. Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние от точки их пересечения до центра окружности равно расстоянию между их серединами.
3.8. В круге даны две взаимно перпендикулярные хорды. Каждая из них делится другой хордой на отрезки, равные
a
и
b
(a\lt b).
Найдите расстояние от центра окружности до каждой хорды.
3.9. Рассматриваются все хорды окружности, имеющие заданную длину. Найдите геометрическое место их середин.
3.10°. Докажите, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.
3.11°. Найдите геометрическое место точек
M,
из которых данный отрезок
AB
виден под прямым углом (т. е.
\angle AMB = 90^{\circ}).
3.12. Найдите центр данной окружности с помощью чертёжного угольника.
3.13°.
BM
и
CN~\tire
высоты треугольника
ABC.
Докажите, что точки
B,
N,
M
и
C
лежат на одной окружности.
3.14. Через концы диаметра окружности проведены две хорды, пересекающиеся на окружности и равные 12 и 16. Найдите расстояния от центра окружности до этих хорд.
3.15. Известно, что
AB~\tire
диаметр окружности, а хорды
AC
и
BD
параллельны. Докажите, что
AC = BD,
а
CD~\tire
также диаметр.
3.16. Биссектрисы внутреннего и внешнего угла при вершине
A
треугольника
ABC
пересекают прямую
BC
в точках
P
и
Q.
Докажите, что окружность, построенная на отрезке
PQ
как на диаметре, проходит через точку
A.
3.17. Две окружности пересекаются в точках
A
и
B;
AM
и
AN~\tire
диаметры окружностей. Докажите, что точки
M,
N
и
B
лежат на одной прямой.
3.18. На катете
AC
прямоугольного треугольника
ABC
как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу
AB
в точке
K.
Найдите
CK,
если
AC = 2
и
\angle A = 30^{\circ}.
3.19. Докажите, что окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину основания.
3.20. Окружность, построенная на биссектрисе
AD
треугольника
ABC
как на диаметре, пересекает стороны
AB
и
AC
соответственно в точках
M
и
N,
отличных от
A.
Докажите, что
AM = AN.
3.21. Найдите внутри треугольника
ABC
такую точку
P,
чтобы общие хорды каждой пары окружностей, построенных на отрезках
PA,
PB
и
PC
как на диаметрах, были равны.
3.22. Центр описанной окружности треугольника симметричен его центру вписанной окружности относительно одной из сторон. Найдите углы треугольника.
3.23. Докажите, что отличная от
A
точка пересечения окружностей, построенных на сторонах
AB
и
AC
треугольника
ABC
как на диаметрах, лежит на прямой
BC.
3.24. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении
1:3.
Найдите острые углы треугольника.
3.25. Через точку
A
проведена прямая, пересекающая окружность с диаметром
AB
в точке
K,
отличной от
A,
а окружность с центром
B~\tire
в точках
M
и
N.
Докажите, что
MK = KN.
3.26. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на прямые, проходящие через другую данную точку.
3.27. Через данную точку окружности проведите хорду, которая бы делилась данной хордой пополам.
3.28. Впишите в окружность прямоугольный треугольник, катеты которого проходили бы через две данные точки.
3.29. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проекции одного из катетов на гипотенузу.
3.30. Постройте центр данной окружности с помощью двусторонней линейки, если известно, что ширина линейки меньше диаметра окружности.
3.31. Дан острый угол и две точки внутри него. Постройте окружность, проходящую через эти точки и высекающую на сторонах угла равные отрезки.
3.32. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника
ABC,
точки
B
и
C,
а также точка пересечения биссектрис внешних углов с вершинами
B
и
C
лежат на одной окружности.
3.33. Постройте прямую, перпендикулярную данной прямой, и проходящую через данную на ней точку, проведя не более трёх линий.
3.34. Даны две точки
A
и
B.
Найдите геометрическое место точек, каждая из которых симметрична точке
A
относительно некоторой прямой, проходящей через точку
B.
3.35°. Через точку пересечения двух окружностей проведите секущую, часть которой внутри окружностей была бы равна данному отрезку (центры окружностей расположены по разные стороны от общей хорды).
3.36. Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую, на которой окружности высекают хорды, сумма которых наибольшая (центры окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды).
3.37. На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре окружности. Докажите, общая хорда окружностей, построенных на двух соседних сторонах, параллельна общей хорде двух других окружностей.
3.38. На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.

Дополнительные задачи

3.39. Дана окружность, её диаметр
AB
и точка
C
на этом диаметре. Постройте на окружности две точки
X
и
Y,
симметричные относительно диаметра
AB,
для которых прямая
YC
перпендикулярна прямой
XA.
3.40. Даны окружность, её центр
O
и две точки
A
и
B,
не лежащие на окружности. Пользуясь только циркулем, постройте точки пересечения окружности с прямой
AB,
если известно, что эта прямая не проходит через точку
O.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 4. Касательная к окружности

4.1°. Через точку
M
проведены две касательные
MA
и
MB
к окружности
(A
и
B~\tire
точки касания). Докажите, что
MA = MB.
4.2. Хорда большей из двух концентрических окружностей касается меньшей. Докажите, что точка касания делит эту хорду пополам.
4.3°. Докажите, что центр окружности, вписанной в угол, расположен на его биссектрисе.
4.4. Две прямые касаются окружности с центром
O
в точках
A
и
B
и пересекаются в точке
C.
а°) Докажите, что прямая
CO
перпендикулярна отрезку
AB
и делит его пополам.
б) Найдите угол между прямыми
CA
и
CB,
если
\angle ABO= 40^{\circ}.
4.5°. Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Докажите, что отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом.
4.6. Точка
D
лежит на стороне
BC
треугольника
ABC.
В треугольники
ABD
и
ACD
вписаны окружности с центрами
O_{1}
и
O_{2}.
Докажите, что отрезок
O_{1}O_{2}
виден из точки
D
под прямым углом.
4.7. Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с центром вписанной окружности. Найдите углы треугольника.
4.8°. В прямой угол вписана окружность радиуса
R,
касающаяся сторон угла в точках
A
и
B.
Через некоторую точку на меньшей дуге
AB
окружности проведена касательная, отсекающая от данного угла треугольник. Найдите его периметр.
4.9. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной, равной
a,
проведена касательная, пересекающая две его стороны. Найдите периметр отсечённого треугольника.
4.10. Угол при вершине
A
треугольника
ABC
равен
120^{\circ}.
Окружность касается стороны
BC
и продолжений сторон
AB
и
AC.
Докажите, что расстояние от вершины
A
до центра окружности равно периметру треугольника
ABC.
4.11. Прямая, параллельная хорде
AB,
касается окружности в точке
C.
Докажите, что треугольник
ABC~\tire
равнобедренный.
4.12. Точка
A
лежит вне данной окружности с центром
O.
Окружность с диаметром
OA
пересекается с данной в точках
B
и
C.
Докажите, что прямые
AB
и
AC~\tire
касательные к данной окружности.
4.13°. Через данную точку проведите касательную к данной окружности.
4.14. а) Две прямые, проходящие через точку
M,
лежащую вне окружности с центром
O,
касаются окружности в точках
A
и
B.
Отрезок
OM
делится окружностью пополам. В каком отношении отрезок
OM
делится прямой
AB?
б) В равнобедренный треугольник
ABC
(AB=BC)
вписана окружность с центром
O,
которая касается стороны
AB
в точке
E.
На продолжении стороны
AC
за точку
A
выбрана точка
D
так, что
AD=\frac{1}{2}AC.
Докажите, что прямые
DE
и
AO
параллельны.
4.15. Точка
D~\tire
середина гипотенузы
AB
прямоугольного треугольника
ABC.
Окружность, вписанная в треугольник
ACD,
касается отрезка
CD
в его середине. Найдите острые углы треугольника
ABC.
4.16. Постройте хорду данной окружности, равную и параллельную заданному отрезку.
4.17. Окружность вписана в треугольник со сторонами, равными
a,
b
и
c.
Найдите отрезки, на которые точка касания делит сторону, равную
a.
4.18. Окружность вписана в пятиугольник со сторонами, равными
a,
b,
c,
d
и
e.
Найдите отрезки, на которые точка касания делит сторону, равную
a.
4.19. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и радиусу вписанного круга.
4.20. Проведите к данной окружности касательную, от которой данная прямая отсекала бы данный отрезок, т. е., чтобы один конец отрезка лежал на прямой, а второй — на окружности.
4.21°. Докажите, что если окружность касается всех сторон четырёхугольника, то суммы противоположных сторон четырёхугольника равны между собой.
4.22. Окружность касается стороны
BC
треугольника
ABC
в точке
M
и продолжений двух других сторон. Докажите, что прямая
AM
делит периметр треугольника пополам.
4.23. В равнобедренный треугольник с основанием, равным
a,
вписана окружность и к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три маленьких треугольника, сумма периметров которых равна
b.
Найдите боковую сторону данного треугольника.
4.24. Окружность, вписанная в треугольник
ABC,
касается его сторон
AB,
BC
и
AC
соответственно в точках
K,
M
и
N.
Найдите угол
KMN,
если
\angle A = 70^{\circ}.
4.25. Окружность с центром
O,
вписанная в треугольник
ABC,
касается сторон
AB,
BC
и
AC
соответственно в точках
K,
L
и
M.
Известно, что
\angle KLM = \alpha.
Найдите
\angle BOC.
4.26°. Пусть
r~\tire
радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами
a
и
b
и гипотенузой
c.
Докажите, что
r = \frac{a+b-c}{2}.
4.27. Дан прямоугольный треугольник
ABC
с прямым углом при вершине
C.
Проведены две окружности: первая — с центром
A
и радиусом
AC,
вторая — с центром
B
и радиусом
BC.
Они пересекают гипотенузу
AB
в точках
P
и
Q.
Докажите, что отрезок
PQ
равен диаметру вписанной окружности треугольника
ABC.
4.28.
CH~\tire
высота прямоугольного треугольника
ABC,
проведённая из вершины прямого угла. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники
ACH,
BCH
и
ABC,
равна
CH.
4.29°. В треугольник
ABC
вписана окружность, касающаяся стороны
AB
в точке
M.
Пусть
AM=x,
BC=a,
полупериметр треугольника равен
p.
Докажите, что
x=p-a.
4.30.
CD~\tire
медиана треугольника
ABC.
Окружности, вписанные в треугольники
ACD
и
BCD,
касаются отрезка
CD
в точках
M
и
N.
Найдите
MN,
если
AC - BC = 2.
4.31. На основании
AB
равнобедренного треугольника
ABC
взята точка
D,
причём
BD - AD = 4.
Найдите расстояние между точками, в которых вписанные окружности треугольников
ACD
и
BCD
касаются отрезка
CD.
4.32°. Окружность касается стороны
BC
треугольника
ABC
в точке
M,
а продолжения сторон
AB
и
AC~\tire
в точках
N
и
P
соответственно. Вписанная окружность этого треугольника касается стороны
BC
в точке
K,
а стороны
AB~\tire
в точке
L.
Докажите, что: а) отрезок
AN
равен полупериметру треугольника
ABC;
\mbox{б)}~BK = CM;
\mbox{в)}~NL = BC.
4.33. В треугольник со сторонами 6, 10 и 12 вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что она пересекает две большие стороны. Найдите периметр отсечённого треугольника.
4.34. Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного угла треугольник заданного периметра.
4.35. Прямая, проходящая через центры двух окружностей называется их линией центров. Докажите, что общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров этих окружностей.
4.36°. Постройте общие касательные к двум данным окружностям.
4.37°. Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точка касания окружностей). Докажите, что линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания.
4.38. Докажите, что две окружности касаются тогда и только тогда, когда они касаются некоторой прямой в одной и той же точке.
4.39. Две окружности касаются друг друга внешним (внутренним) образом. Докажите, что сумма (разность) их радиусов равна расстоянию между центрами. Верно ли обратное?
4.40. Окружность с центром
O
касается в точке
A
внутренним образом большей окружности. Из
B
точки большей окружности, диаметрально противоположной точке
A,
проведена хорда
BC
большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке
M.
Докажите, что
OM \parallel AC.
4.41°. Окружности с центрами
O_{1}
и
O_{2}
касаются внешним образом в точке
K.
Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках
A
и
B
соответственно и пересекает их общую касательную, проходящую через точку
K,
в точке
M.
Докажите, что:
а)
\angle O_{1}MO_{2} = \angle AKB =90^{\circ};
б) прямые
AK
и
BO_{2}
пересекаются на второй окружности.
4.42. В угол, равный
60^{\circ},
вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен
r.
Найдите радиус большей окружности.
4.43. Две окружности касаются внутренним образом. Известно, что два радиуса большей окружности, угол между которыми равен
60^{\circ},
касаются меньшей окружности. Найдите отношение радиусов окружностей.
4.44°. Две окружности касаются в точке
A.
Прямая, проходящая через точку
A,
пересекает эти окружности вторично в точках
B
и
C
соответственно. Докажите, что касательные, проведённые к этим окружностям в точках
B
и
C,
параллельны.
4.45. Постройте окружность, касающуюся: а) данной прямой и данной окружности в данной на ней точке; б) данной окружности и данной прямой в данной на ней точке.
4.46. Расстояние между центрами непересекающихся окружностей равно
a.
Докажите, что четыре точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности и найдите радиус этой окружности.
4.47. В четырёхугольнике
MNPQ
расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон
MN,
NP
и
PQ,
а другая — сторон
MN,
MQ
и
PQ.
Точки
B
и
A
лежат соответственно на сторонах
MN
и
PQ,
причём отрезок
AB
касается обеих окружностей. Найдите сторону
MQ,
если
NP = b
и периметр четырёхугольника
BAQM
больше периметра четырёхугольника
ABNP
на величину
2p.
4.48. В остроугольный треугольник вписана окружность радиуса
R.
К окружности проведены три касательные, разбивающие треугольник на три прямоугольных треугольника и шестиугольник. Периметр шестиугольника равен
Q.
Найдите сумму диаметров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники.

Дополнительные задачи

4.49. Окружность, вписанная в треугольник
ABC,
касается стороны
BC
в точке
M.
Докажите, что окружности, вписанные в треугольники
ABM
и
ACM,
касаются отрезка
AM
в одной точке.
4.50. На сторонах
BC,
CA,
и
AB
треугольника
ABC
взяты соответственно точки
A_{1},
B_{1}
и
C_{1},
причём
AC_{1}= AB_{1},
BA_{1}= BC_{1}
и
CA_{1}= CB_{1}.
Докажите, что
A_{1},
B_{1}
и
C_{1}~\tire
точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.
4.51. Постройте окружности с центрами в трёх данных точках, попарно касающиеся друг друга внешним образом.
4.52. Даны три точки
A,
B
и
C.
Постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.
4.53. Три окружности попарно касаются друг друга внешним образом в точках
A,
B
и
C.
Докажите, что касательные к этим окружностям в точках
A,
B
и
C
пересекаются в одной точке.
4.54°. Суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны. Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность, т. е. все его стороны касаются некоторой окружности (такой четырёхугольник называется описанным).
4.55. Докажите, что в выпуклый четырёхугольник
ABCD
можно вписать окружность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в треугольники
ABC
и
ADC
касаются диагонали
AC
в одной и той же точке.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 5. Геометрические места точек

Геометрическое место точек, удалённых от данной точки на заданное положительное расстояние, — окружность.
Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, — серединный перпендикуляр к отрезку.
Геометрическое место внутренних точек угла, равноудалённых от его сторон, — биссектриса угла.
Геометрическое место точек, удалённых от данной прямой на данное положительное расстояние, — две параллельные прямые.
Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом, — окружность без двух точек.
5.1. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.
5.2. Найдите геометрическое место центров окружностей, имеющих данный радиус и проходящих через данную точку.
5.3. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
5.4. Постройте окружность, которая проходила бы через две данные точки и центр которой находился бы на данной прямой.
5.5. Постройте окружность с центром в данной точке на стороне данного угла, которая на другой стороне угла отсекала бы хорду данной длины.
5.6. Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой.
5.7. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку и касающуюся данной прямой.
5.8. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой в данной точке.
5.9. Постройте окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой в данной точке.
5.10. Постройте окружность, проходящую через данную точку
A
и касающуюся данной прямой в данной точке
B.
5.11. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.
5.12. Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности.
5.13. Найдите геометрическое место середин хорд окружности, параллельных заданной прямой.
5.14. Дана окружность. Найдите геометрическое место середин её хорд, имеющих заданную длину.
5.15. Найдите геометрическое место центров окружностей, вписанных в данный угол.
5.16. Постройте окружность, касающуюся двух данных прямых, причём одной из них — в данной точке.
5.17. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней точке.
5.18. Постройте окружность с данным центром, касающуюся данной окружности.
5.19. Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, касающихся данной окружности.
5.20. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку и касающуюся данной окружности.
5.21. Постройте окружность данного радиуса, которая касалась бы данной прямой и данной окружности.
5.22. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных параллельных прямых.
5.23. Постройте окружность, которая касалась бы двух данных параллельных прямых и круга, находящегося между ними.
5.24. Постройте окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окружностей.
5.25. Постройте окружность, касательную к двум данным концентрическим окружностями и к данной прямой.
5.26. Постройте окружность, которая проходила бы через данную точку и касалась бы данной окружности в данной точке.
5.27. Впишите в данный треугольник равнобедренный треугольник данной высоты так, чтобы основание его было параллельно одной из сторон данного треугольника.
5.28. Даны точки
A
и
B.
С центром в точке
B
проводятся окружности радиусом, не превосходящим
AB,
а через точку
A~\tire
касательные к ним. Найдите геометрическое место точек касания.
5.29. Дана окружность с центром
O
и точка
A
внутри неё. Постройте окружность, проходящую через точки
A
и
O
и касающуюся данной окружности.
5.30. Постройте треугольник по радиусу описанной окружности, стороне и высоте, проведённой к другой стороне.
5.31. Постройте треугольник по радиусу описанной окружности и высоте и медиане, проведённым из одной вершины.
5.32. На прозрачной бумаге дана дуга некоторой окружности. Постройте без всяких инструментов центр этой окружности.
5.33. Дана линейка постоянной ширины (т. е. с параллельными краями) и без делений. Постройте биссектрису данного угла.
5.34. Разделите данный отрезок пополам с помощью линейки с параллельными краями и без делений.
5.35. Дана линейка с делениями через 1 см. Постройте биссектрису данного угла.
5.36. Точка
O
лежит на отрезке
AC.
Найдите геометрическое место точек
M,
для которых
\angle MOC = 2 \angle MAC.
5.37. Постройте треугольник по стороне и проведённой к ней высоте, если известно, что эта сторона видна из центра вписанной окружности под углом
135^{\circ}.
5.38°. Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден: а) под острым углом; б) под тупым углом.
5.39. Через данную точку проведите прямую, на которой данная окружность высекала бы хорду, равную данному отрезку.
5.40. Постройте прямую, на которой две данные окружности высекали бы хорды, равные двум данным отрезкам.
5.41. Постройте окружность данного радиуса касающуюся данной окружности и высекающую на другой данной окружности хорду, равную данному отрезку.
5.42. Впишите в данный круг три равных круга, которые касались бы попарно между собой и данного круга.
5.43. Впишите в данный круг четыре равных круга, каждый из которых касался бы двух других и данного круга.
5.44. Постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей, причём одной из них — в данной точке.
5.45. Через каждую точку
A,
лежащую на данной окружности, проводится касательная и на ней откладывается отрезок
AM,
равный данному. Найдите геометрическое место точек
M.

Дополнительные задачи

5.46. Даны прямая и на ней точки
A
и
B.
Найдите геометрическое место точек касания окружностей, одна из которых касается данной прямой в точке
A,
другая — в точке
B.
5.47. Точка
X
движется по окружности с центром
O.
На каждом радиусе
OX
откладывается отрезок
OM,
длина которого равна расстоянию от точки
X
до заданного диаметра окружности. Найдите геометрическое место точек
M.
5.48. Найдите геометрическое место внутренних точек данного угла, сумма расстояний от которых до сторон этого угла равна заданной величине.
5.49. На стороне треугольника постройте точку, сумма расстояний от которой до двух других сторон равна данному отрезку.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 6. Геометрические неравенства

Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
Сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны (неравенство треугольника).
Даны треугольники
ABC
и
A_{1}B_{1}C_{1},
причём
AB = A_{1}B_{1},
AC = A_{1}C_{1},
а угол
BAC
больше угла
B_{1}A_{1}C_{1}.
Тогда
BC
больше
B_{1}C_{1}.
Даны треугольники
ABC
и
A_{1}B_{1}C_{1},
причём
AB = A_{1}B_{1},
AC = A_{1}C_{1},
а
BC
больше
B_{1}C_{1}.
Тогда угол
BAC
больше угла
B_{1}A_{1}C_{1}.
6.1. Докажите, что катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы.
6.2. Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра.
6.3. Сколько можно составить треугольников из отрезков, равных: а) 2, 3, 4 и 5; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7?
6.4. В треугольнике две стороны равны 1 и 6. Найдите третью сторону, если известно, что её длина равна целому числу.
6.5. Докажите, что диаметр есть наибольшая хорда окружности.
6.6°. Даны четыре точки
A,
B,
C
и
D.
Докажите, что
AD \le AB + BC + CD.
6.7. Существует ли четырёхугольник со сторонами, равными: а) 1, 1, 1, 2; б) 1, 2, 3, 6?
6.8. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол на два неравных угла. Докажите, что катет, прилежащий к меньшему из них, меньше другого катета.
6.9. Основание
D
высоты
AD
треугольника
ABC
лежит на стороне
BC,
причём
\angle BAD \gt \angle CAD.
Что больше,
AB
или
AC?
6.10. Докажите, что в треугольнике любая сторона меньше половины периметра.
6.11. Докажите, что в четырёхугольнике любая диагональ меньше половины периметра.
6.12°. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше суммы его двух противоположных сторон.
6.13. Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника. Где нужно вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до четырёх домов была наименьшей?
6.14. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника меньше периметра, но больше полупериметра этого четырёхугольника.
6.15. Докажите, что отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника с точкой, лежащей на основании, не больше боковой стороны треугольника.
6.16. Биссектриса угла при основании
BC
равнобедренного треугольника
ABC
пересекает боковую сторону
AC
в точке
K.
Докажите, что
BK \lt 2CK.
6.17°. Две окружности радиусов
r
и
R
(r \lt R)
пересекаются. Докажите, что расстояние между их центрами: а) меньше, чем
r+R;
б) больше, чем
R-r.
6.18°. а) Точка
M
расположена на расстоянии
a
от центра окружности радиуса
R.
Найдите наибольшее и наименьшее из расстояний от этой точки до точек окружности.
б) Расстояние между центрами окружностей радиусов
r
и
R
равно
a
(a\gt r+R).
Найдите наименьшее и наибольшее из расстояний между точками, одна из которых лежит на первой окружности, а другая — на второй.
6.19. Докажите, что каждая сторона треугольника видна из центра вписанной окружности под тупым углом.
6.20. Верно ли утверждение предыдущей задачи для четырёхугольника, в который можно вписать окружность?
6.21. Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами. Докажите, что чем больше угол при вершине, тем меньше высота, опущенная на основание.
6.22. Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами. Докажите, что чем больше основание, тем меньше проведённая к нему высота.
6.23. Докажите что из двух неравных хорд окружности большая удалена от центра на меньшее расстояние. Верно ли обратное?
6.24. Через данную точку внутри круга проведите наименьшую хорду.
6.25°. Докажите, что медиана треугольника
ABC,
проведённая из вершины
A,
меньше полусуммы сторон
AB
и
AC,
но больше их полуразности.
6.26. Внутри треугольника
ABC
взята точка
M.
Докажите, что
\angle BMC \ge \angle BAC.
6.27. Дан выпуклый
n\defis
угольник, все углы которого тупые. Докажите, что сумма его диагоналей больше периметра.
6.28. Пусть
CK~\tire
биссектриса треугольника
ABC
и
AC \gt BC.
Докажите, что угол
AKC~\tire
тупой.
6.29. Пусть
BD~\tire
биссектриса треугольника
ABC.
Докажите, что
AB \gt AD
и
CB \gt CD.
6.30. В треугольнике
ABC
сторона
AC
длиннее стороны
BC.
Медиана
CD
делит угол
C
на два угла. Какой из них больше?
6.31. Биссектриса треугольника делит его сторону на два отрезка. Докажите, что к большей из двух других сторон треугольника примыкает больший из них.
6.32.
AD~\tire
биссектриса треугольника
ABC,
причём
BD \gt CD.
Докажите, что
AB \gt AC.
6.33. В треугольнике
ABC
известно, что угол
B
прямой или тупой. На стороне
BC
взяты точки
M
и
N
(M
между
B
и
N)
так, что лучи
AN
и
AM
делят угол
BAC
на три равные части. Докажите, что
BM \lt MN \lt NC.
6.34. В треугольнике
ABC
угол
B
прямой или тупой. На стороне
BC
взяты точки
M
и
N
так, что
BM = MN = NC.
Докажите, что
\angle BAM \gt \angle MAN \gt \angle NAC.
6.35. Даны точки
A
и
B.
Найдите геометрическое место точек, расстояние от каждой из которых до точки
A
больше, чем расстояние до точки
B.
6.36. В треугольнике
ABC
с тупым углом
C
точки
M
и
N
расположены соответственно на сторонах
AC
и
BC.
Докажите, что отрезок
MN
короче отрезка
AB.
6.37. Докажите, что если внутри треугольника
ABC
существует точка
D,
для которой
AD = AB,
то
AB \lt AC.
6.38. Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.
6.39. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.
6.40. В треугольнике
ABC
на наибольшей стороне
BC,
равной
b,
выбирается точка
M.
Найдите наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников
BAM
и
ACM.
6.41. На биссектрисе внешнего угла
C
треугольника
ABC
взята точка
M,
отличная от
C.
Докажите, что
MA + MB \gt CA + CB.
6.42. Угол при вершине
A
треугольника
ABC
равен
60^{\circ}.
Докажите, что
AB + AC \le 2BC.
6.43. Пусть
AA_{1}~\tire
медиана треугольника
ABC.
Докажите, что угол
A
острый тогда и только тогда, когда
AA_{1}\gt \frac{1}{2}BC.
6.44. Точки
D
и
E~\tire
середины сторон соответственно
AB
и
BC
треугольника
ABC.
Точка
M
лежит на стороне
AC,
причём
ME \gt EC.
Докажите, что
MD \lt AD.
6.45. Даны точки
A
и
B.
Найдите геометрическое место точек
C
таких, что треугольник
ABC~\tire
остроугольный, причём а) угол
C~\tire
наибольший; б) угол
C~\tire
средний по величине угол треугольника
ABC.
6.46. Два противоположных угла выпуклого четырёхугольника — тупые. Докажите, что диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.
6.47. Диагональ
AC
делит вторую диагональ выпуклого четырёхугольника
ABCD
на две равные части. Докажите, что если
AB \gt AD,
то
BC \lt DC.
6.48. Пусть
ABCD
и
A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}~\tire
два выпуклых четырёхугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если
\angle A \gt \angle A_{1},
то
\angle B \lt \angle B_{1},
\angle C \gt \angle C_{1},
\angle D \lt \angle D_{1}
6.49°. Точки
M
и
N
расположены по одну сторону от прямой
l.
Постройте на прямой
l
такую точку
K,
чтобы сумма
MK + NK
была наименьшей.
6.50. Точка
M
лежит внутри острого угла. Постройте на сторонах этого угла точки
A
и
B,
для которых периметр треугольника
AMB
был бы наименьшим.
6.51. Точки
M
и
N
расположены по разные стороны от прямой
l.
Постройте на прямой
l
такую точку
P,
чтобы разность отрезков
MP
и
NP
была наибольшей.
6.52. Внутри острого угла даны точки
M
и
N.
Постройте на сторонах угла точки
K
и
L
так, чтобы периметр четырёхугольника
MKLN
был наименьшим.
6.53. Точка
C
лежит внутри прямого угла
AOB.
Докажите, что периметр треугольника
ABC
больше
2OC.
6.54. Пусть вписанная окружность касается сторон
AC
и
BC
треугольника
ABC
в точках
B_{1}
и
A_{1}.
Докажите, что если
AC \gt BC,
то
AA_{1} \gt BB_{1}.
6.55. Точка
M
расположена внутри треугольника
ABC.
Докажите, что
BM + CM \lt AB + AC.
6.56. Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до трёх его вершин больше полупериметра, но меньше периметра треугольника.
6.57. Даны
n
точек
A_{1},
A_{2},
\dots,
A_{n}
и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку
M
так, что
MA_{1}+ MA_{2}+\dots + MA_{n} \ge n.
6.58. Высота треугольника в два раза меньше его основания, а один из углов при основании равен
75^{\circ}.
Докажите, что треугольник равнобедренный.
6.59. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен
20^{\circ}.
Докажите, что боковая сторона больше удвоенного основания, но меньше утроенного.
6.60. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?
6.61. В некотором царстве, в некотором государстве есть несколько городов, причём расстояния между ними все попарно различны. В одно прекрасное утро из каждого города вылетает по одному самолёту, который приземляется в соседнем городе. Может ли в одном городе приземлиться более пяти самолётов?
6.62. Шесть кругов расположены на плоскости так, что некоторая точка
O
лежит внутри каждого из них. Докажите, что один из этих кругов содержит центр некоторого другого.
6.63. На плоскости даны
n
красных и
n
синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести
n
отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 7. Параллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
а) углы при соседних вершинах параллелограмма составляют в сумме
180^{\circ},
а углы при противоположных вершинах равны;
б) диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника;
в) противоположные стороны параллелограмма равны;
г) диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Признаки параллелограмма:
а) если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм;
б) если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то это параллелограмм;
в) если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то это параллелограмм;
г) если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то это параллелограмм.
Точку пересечения диагоналей параллелограмма называют его центром.
Параллелограмм, в котором все углы прямые, называется прямоугольником.
Диагонали прямоугольника равны. Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.
Параллелограмм, в котором все стороны равны, называется ромбом.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то это ромб. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то это ромб.
Прямоугольник, являющийся одновременно ромбом, называется квадратом: у него все стороны равны, а все углы прямые.
7.1. Точки
M
и
N~\tire
середины противоположных сторон сторон
BC
и
AD
параллелограмма
ABCD.
Докажите, что четырёхугольник
AMCN~\tire
параллелограмм.
7.2. Из произвольной точки основания равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной
a,
проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося четырёхугольника.
7.3. Биссектриса угла параллелограмма делит сторону параллелограмма на отрезки, равные
a
и
b.
Найдите стороны параллелограмма.
7.4. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, равна 2 и делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол параллелограмма равен
30^{\circ}.
Найдите меньшую диагональ и углы, которые она образует со сторонами.
7.5. Треугольники
ABC
и
AB_{1}C_{1}
имеют общую медиану
AM.
Докажите, что
BC_{1} = B_{1}C.
7.6. Точки
K,
L,
M
и
N~\tire
середины сторон соответственно
AB,
BC,
CD
и
AD
параллелограмма
ABCD.
Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения прямых
AL,
BM,
CN
и
DK~\tire
параллелограмм.
7.7°. В треугольнике
ABC
медиана
AM
продолжена за точку
M
до точки
D
на расстояние, равное
AM
(так что
AM = MD).
Докажите, что
ABDC~\tire
параллелограмм.
7.8. В прямоугольный треугольник впишите прямоугольник с наименьшей диагональю, имеющий с треугольником общий прямой угол.
7.9. а) Докажите, что около любого прямоугольника можно описать окружность. Где расположен её центр?
б) Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. Где расположен её центр?
7.10. Сторона
BC
параллелограмма
ABCD
вдвое больше стороны
AB.
Биссектрисы углов
A
и
B
пересекают прямую
CD
в точках
M
и
N,
причём
MN = 12.
Найдите стороны параллелограмма.
7.11. Квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник, причём одна вершина квадрата расположена на гипотенузе, противоположная ей вершина совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а остальные лежат на катетах. Найдите сторону квадрата, если катет треугольника равен
a.
7.12. Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие — на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна
a.
7.13. На каждой стороне квадрата взяли по одной точке. При этом оказалось, что эти точки являются вершинами прямоугольника, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Найдите периметр прямоугольника, если диагональ квадрата равна 6.
7.14. В данный треугольник
ABC
впишите ромб, имеющий с треугольником общий угол
A.
7.15. Около данной окружности опишите ромб с данным углом.
7.16. Вершины
M
и
N
равностороннего треугольника
BMN
лежат соответственно на сторонах
AD
и
CD
квадрата
ABCD.
Докажите, что
MN\parallel AC.
7.17. Докажите, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через его центр.
7.18. Противоположные стороны шестиугольника попарно равны и параллельны. Докажите, что отрезки, соединяющие противоположные вершины пересекаются в одной точке.
7.19. На сторонах
AB,
BC,
CD,
DA
параллелограмма
ABCD
взяты соответственно точки
M,
N,
K,
L,
делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что
KLMN~\tire
параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма
ABCD.
7.20. Через центр параллелограмма
ABCD
проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны
AB
и
CD
соответственно в точках
M
и
K,
вторая — стороны
BC
и
AD
соответственно в точках
N
и
L.
Докажите, что четырёхугольник
MNKL~\tire
параллелограмм.
7.21°. На сторонах
AB,
BC,
CD,
DA
параллелограмма
ABCD
взяты соответственно точки
M,
N,
K,
L,
причём
MNKL~\tire
также параллелограмм. Докажите, центры параллелограммов
ABCD
и
MNLK
совпадают.
7.22. На сторонах
AB,
BC,
CD,
DA
параллелограмма
ABCD
взяты соответственно точки
M,
N,
K,
L,
делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что при пересечении прямых
AN,
BK,
CL
и
DM
получится параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма
ABCD.
7.23°. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
7.24. Пусть
M~\tire
основание перпендикуляра, опущенного из вершины
D
параллелограмма
ABCD
на диагональ
AC.
Докажите, что перпендикуляры к прямым
AB
и
BC,
проведённые через точки
A
и
C
соответственно, пересекутся на прямой
DM.
7.25°. Через данную точку внутри угла проведите прямую, отрезок которой, заключённый внутри этого угла, делился бы данной точкой пополам.
7.26. Постройте выпуклый четырёхугольник по данным серединам трёх его равных сторон.
7.27. Докажите, что в параллелограмме против большего угла лежит большая диагональ.
7.28. Найдите расстояние от центра ромба до его стороны, если острый угол ромба равен
30^{\circ},
а сторона равна 4.
7.29. Около данной окружности опишите ромб с данной стороной.
7.30. На сторонах
AB
и
CD
прямоугольника
ABCD
взяты точки
K
и
M
так, что
AKCM~\tire
ромб. Диагональ
AC
составляет со стороной
AB
угол
30^{\circ}.
Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника
ABCD
равна 3.
7.31. Через середину диагонали
KM
прямоугольника
KLMN
перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны
KL
и
MN
в точках
A
и
B
соответственно. Известно, что
AB =BM = 6.
Найдите большую сторону прямоугольника.
7.32. В параллелограмме
ABCD
из вершины тупого угла
B
на стороны параллелограмма опущены высоты
BM
и
BN,
а из вершины
D~\tire
высоты
DP
и
DQ.
Докажите, что точки
M,
N,
P,
Q
являются вершинами прямоугольника.
7.33. Окружность, построенная на стороне
AD
параллелограмма
ABCD
как на диаметре, проходит через вершину
B
и середину стороны
BC.
Найдите углы параллелограмма.
7.34. Постройте квадрат по его центру и двум точкам, лежащим на противоположных сторонах.
7.35. Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами ещё одного квадрата.
7.36. На сторонах
AB,
BC,
CD,
DA
квадрата
ABCD
взяты соответственно точки
M,
N,
K,
L,
делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что
KLMN~\tire
также квадрат.
7.37. Через произвольную точку внутри квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противоположные стороны квадрата. Докажите, что:
а) отрезки этих прямых, заключённые внутри квадрата, равны;
б) сумма периметров любых двух образовавшихся противоположных четырёхугольников равна сумме периметров двух других.
7.38. Прямая имеет с параллелограммом
ABCD
единственную общую точку
B.
Вершины
A
и
C
удалены от этой прямой на расстояния, равные
a
и
b.
На какое расстояние удалена от этой прямой вершина
D?
7.39. Докажите, что в любом треугольнике
ABC
середина стороны
BC
лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной вершине
A,
и делит этот отрезок пополам.
7.40. Стороны параллелограмма равны
a
и
b.
Найдите диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями биссектрис: а) внутренних углов параллелограмма; б) внешних углов параллелограмма.
7.41. Докажите, что биссектрисы всех четырёх углов прямоугольника (не являющегося квадратом) при пересечении образуют квадрат.
7.42. Через точку, расположенную внутри треугольника, проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три треугольника и три четырёхугольника. Пусть
a,
b
и
c~\tire
параллельные высоты трёх этих треугольников. Найдите параллельную им высоту исходного треугольника.
7.43. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон постоянна.
7.44. Через каждую вершину параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину. Докажите, что диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями четырёх проведённых прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма.
7.45°. Окружность, построенная на стороне
BC
треугольника
ABC
как на диаметре, пересекает стороны
AB
и
AC
в точках
M
и
N
соответственно. Отрезки
CM
и
BN
пересекаются в точке
P.
Докажите, что
AP
перпендикулярно
BC.
7.46°. С помощью одной линейки опустите перпендикуляр из данной точки на данный диаметр данной окружности (точка не лежит ни на окружности, ни на диаметре).
7.47. Три равных окружности проходят через точку
M
и попарно пересекаются в трёх других точках
A,
B
и
C.
Докажите, что треугольник
ABC
равен треугольнику с вершинами в центрах окружностей, а
M~\tire
точка пересечения высот треугольника
ABC.
7.48. Угол при вершине
A
ромба
ABCD
равен
60^{\circ}.
На сторонах
AB
и
BC
взяты соответственно точки
M
и
N,
причём
AM = BN.
Докажите, что треугольник
DMN
равносторонний.
7.49. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что их центры сами образуют квадрат.
7.50. В прямоугольнике
ABCD
точка
M~\tire
середина стороны
BC,
точка
N~\tire
середина стороны
CD,
P~\tire
точка пересечения отрезков
DM
и
BN.
Докажите, что угол
MAN
равен углу
BPM.
7.51. На прямую, проходящую через вершину
A
и середину стороны
CD
параллелограмма
ABCD,
опущен перпендикуляр
BH.
Докажите, что треугольник
BCH
равнобедренный.
7.52. Сторона
BC
параллелограмма
ABCD
вдвое больше стороны
CD,
P~\tire
проекция вершины
C
на прямую
AB,
M~\tire
середина стороны
AD.
Докажите, что
\angle DMP = 3\angle APM.
7.53. На сторонах
AB
и
AC
треугольника
ABC
постройте соответственно точки
M
и
N
так, что
BM = AN
и
MN\parallel BC.
7.54. На каждой стороне квадрата отметили по точке. Затем всё, кроме этих точек, стёрли. Восстановите квадрат с помощью циркуля и линейки.
7.55. Дана линейка с делениями в 1 см. Проведите какой-нибудь перпендикуляр к данной прямой.
7.56. В выпуклом четырёхугольнике
ABCD
диагонали
AC
и
BD
пересекаются в точке
O.
Точки
K,
L,
M
и
N
лежат на сторонах
AB,
BC,
CD
и
AD
соответственно, причём точка
O
лежит на отрезках
KM
и
LN
и делит их пополам. Докажите, что
ABCD~\tire
параллелограмм.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 8. Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Теорема о средней линии треугольника. Прямая, содержащая среднюю линию треугольника, параллельна третьей стороне треугольника. Средняя линия треугольника равна половине этой стороны.
Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении
2:1,
считая от вершины треугольника.
8.1. Докажите, что три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.
8.2. Постройте треугольник по серединам трёх его сторон.
8.3°. Докажите, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
8.4. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.
8.5. Расстояние от середины хорды
BC
окружности до хорды
AB
равно 1. Найдите хорду
AC,
если
\angle BAC = 30^{\circ}.
8.6. Две окружности пересекаются в точках
A
и
K.
Через точку
A
проведены диаметры
AB
и
AC
этих окружностей. Найдите
BK+KC,
если расстояние между центрами окружностей равно
a.
8.7. Докажите, что отрезок, соединяющий середины сторон
AB
и
AC
треугольника
ABC,
и медиана, проведённая из вершины
A,
делят друг друга пополам.
8.8. Две прямые, проходящие через точку
C,
касаются окружности в точках
A
и
B.
Может ли прямая, проходящая через середины отрезков
AC
и
BC,
касаться этой окружности?
8.9. Сторона треугольника равна
a.
Найдите отрезок, соединяющий середины медиан, проведённых к двум другим сторонам.
8.10. Найдите геометрическое место середин всех отрезков, один конец которых лежит на данной прямой, а второй совпадает с данной точкой, не лежащей на этой прямой.
8.11. Докажите, что середины двух противоположных сторон любого четырёхугольника без параллельных сторон и середины его диагоналей являются вершинами параллелограмма.
8.12. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, равны. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
8.13. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, перпендикулярны. Докажите, что диагонали четырёхугольника равны.
8.14. В выпуклом четырёхугольнике
ABCD
отрезок, соединяющий середины сторон
AB
и
CD,
равен 1. Прямые
BC
и
AD
перпендикулярны. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей
AC
и
BD.
8.15. В выпуклом четырёхугольнике
ABCD
отрезок,соединяющий середины диагоналей, равен отрезку, соединяющему середины сторон
AD
и
BC.
Найдите угол, образованный продолжением сторон
AB
и
CD.
8.16. В треугольнике
ABC
со сторонами
AB=4,
AC=6
проведена биссектриса угла
A.
Из вершины
B
на эту биссектрису опущен перпендикуляр
BH.
Найдите
MH,
где
M~\tire
середина
BC.
8.17. Из вершины
A
треугольника
ABC
опущены перпендикуляры
AM
и
AP
на биссектрисы внешних углов
B
и
C.
Найдите отрезок
PM,
если периметр треугольника
ABC
равен 10.
8.18. Окружность проходит через середины гипотенузы
AB
и катета
BC
прямоугольного треугольника
ABC
и касается катета
AC.
В каком отношении точка касания делит катет
AC?
8.19. Постройте параллелограмм
ABCD\colon
а) по вершине
A
и серединам сторон
BC
и
CD;
б) по серединам высот
BH
и
BP
и середине стороны
AD.
8.20. Докажите, что сумма трёх медиан треугольника меньше периметра, но больше трёх четвертей периметра треугольника.
8.21. Точки
M
и
N~\tire
середины соседних сторон
BC
и
CD
параллелограмма
ABCD.
Докажите, что прямые
DM
и
BN
пересекаются на диагонали
AC.
8.22. Точки
M
и
N~\tire
середины соседних сторон
BC
и
CD
параллелограмма
ABCD.
Докажите, что прямые
AM
и
AN
делят диагональ
BD
на три равные части.
8.23. Высоты остроугольного треугольника
ABC,
проведённые из вершин
B
и
C,
равны 7 и 9, а медиана
AM
равна 8. Точки
P
и
Q
симметричны точке
M
относительно сторон
AC
и
AB
соответственно. Найдите периметр четырёхугольника
APMQ.
8.24. На стороне
AC
треугольника
ABC
взята точка
D
так, что
AD:DC = 1:2.
Докажите что у треугольников
ADB
и
CDB
есть по равной медиане.
8.25. Постройте треугольник по высотам, проведённым из двух вершин, и медиане, проведённой из третьей.
8.26. На боковых сторонах
AB
и
BC
равнобедренного треугольника
ABC
взяты соответственно точки
M
и
N,
причём
BM = CN.
Докажите, что середина отрезка
MN
лежит на средней линии треугольника
ABC,
параллельной его основанию.
8.27. Постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.
8.28. Постройте треугольник по трём медианам.
8.29. Докажите признак равенства треугольников по трём медианам.
8.30. Точки
A_{1},
B_{1}
и
C_{1}~\tire
образы произвольной точки
O
при симметрии относительно середин сторон соответственно
BC,
AC
и
AB
треугольника
ABC.
Докажите, что прямые
AA_{1},
BB_{1}
и
CC_{1}
пересекаются в одной точке.
8.31. В четырёхугольнике
ABCD
точка
E~\tire
середина
AB,
F~\tire
середина
CD.
Докажите, что середины отрезков
AF,
CE,
BF
и
DE
являются вершинами параллелограмма.
8.32. Диагональ
AC
параллелограмма
ABCD
втрое больше диагонали
BD
и пересекается с ней под углом в
60^{\circ}.
Найдите отрезок, соединяющий вершину
D
с серединой стороны
BC,
если
AC = 24,
а угол
BDC~\tire
тупой.
8.33. В выпуклом четырёхугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырёхугольника. Докажите, что диагонали равны.
8.34. Четырёхугольник
ABCD,
диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром
O.
Найдите расстояние от точки
O
до стороны
AB,
если известно, что
CD = a.
8.35. Докажите, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше расстояния от центра описанного круга до противоположной стороны.
8.36. Пусть
H~\tire
точка пересечения высот треугольника
ABC.
Докажите, что расстояние между серединами отрезков
BC
и
AH
равно радиусу описанной окружности треугольника
ABC.
8.37. Окружность, вписанная в треугольник
ABC,
касается его сторон
AB,
BC
и
CA
в точках
M,
N
и
K
соответственно. Прямая, проходящая через вершину
A
и параллельная
NK,
пересекает прямую
MN
в точке
D.
Прямая, проходящая через вершину
A
и параллельная
MN,
пересекает прямую
NK
в точке
E.
Докажите, что прямая
DE
содержит среднюю линию треугольника
ABC.
8.38. Точки
K,
L,
M
и
N~\tire
середины сторон соответственно
AB,
BC,
CD
и
DE
пятиугольника
ABCDE,
а точки
P
и
Q~\tire
середины отрезков соответственно
KM
и
LN.
Докажите, что
PQ \parallel AE
и
PQ = \frac{1}{4}AE.
8.39. Постройте треугольник, зная три точки, симметричные центру его описанной окружности относительно сторон.
8.40. Постройте пятиугольник по серединам его сторон.
8.41. Диагонали выпуклого четырёхугольника
ABCD
взаимно перпендикулярны. Через середины сторон
AB
и
AD
проведены прямые, перпендикулярные противоположным сторонам
CD
и
CB
соответственно. Докажите, что эти прямые и прямая
AC
имеют общую точку.
8.42. Два равносторонних треугольника
ABC
и
CDE
расположены по одну сторону от прямой
AE
и имеют единственную общую точку
C.
Пусть
M,
N
и
K~\tire
середины отрезков
BD,
AC
и
CE
соответственно. Докажите, что треугольник
MNK~\tire
равносторонний.
8.43. Внутри треугольника
ABC
взята точка
P
так, что
\angle PAC = \angle PBC.
Из точки
P
на стороны
BC
и
CA
опущены перпендикуляры
PM
и
PK
соответственно. Пусть
D~\tire
середина стороны
AB.
Докажите, что
DK=DM.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 9. Трапеция. Теорема Фалеса

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) нет.
Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Трапеция называется равнобокой, если её боковые стороны равны между собой.
Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной из его сторон равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
9.1°. С помощью циркуля и линейки разделите отрезок на
n
 равных отрезков.
9.2°. Докажите следующие утверждения:
а) углы при основании равнобокой трапеции равны;
б) если углы при одном из оснований трапеции равны, то она равнобокая;
в) диагонали равнобокой трапеции равны;
г) если диагонали трапеции равны, то она равнобокая.
9.3. Докажите, что сумма противоположных углов равнобокой трапеции равна
180^{\circ}.
Верно ли обратное: если сумма противоположных углов трапеции равна
180^{\circ},
то она равнобокая?
9.4. Наибольший угол прямоугольной трапеции равен
120^{\circ},
а большая боковая сторона равна
c.
Найдите разность оснований.
9.5. Боковые стороны трапеции равны меньшему основанию, а диагонали — большему. Найдите углы трапеции.
9.6°. Пусть
P~\tire
основание перпендикуляра, опущенного из вершины
C
меньшего основания
BC
равнобокой трапеции
ABCD
на её большее основание
AD.
Найдите
DP
и
AP,
если основания трапеции равны
a
и
b
(a \gt b).
9.7. Найдите углы и стороны четырёхугольника с вершинами в серединах сторон равнобокой трапеции, диагонали которой равны 10 и пересекаются под углом
40^{\circ}.
9.8. Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что средняя линия трапеции равна высоте.
9.9. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а средняя линия равна 5. Найдите отрезок, соединяющий середины оснований.
9.10. Высота равнобокой трапеции, проведённая из вершины меньшего основания, делит её большее основание на отрезки, равные 4 и 8. Найдите основания трапеции.
9.11. Найдите меньшее основание равнобокой трапеции, если высота, проведённая из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых на 5 больше другого.
9.12. В равнобокой трапеции острый угол равен
60^{\circ}.
Докажите, что меньшее основание равно разности большего основания и боковой стороны.
9.13. Диагональ равнобокой трапеции равна 10 и образует угол, равный
60^{\circ},
с основанием трапеции. Найдите среднюю линию трапеции.
9.14.
AB
и
BC~\tire
соответственно боковая сторона и меньшее основание трапеции
ABCD.
Известно, что
AB = 2,6
и
BC = 2,5.
Какой из отрезков пересекает биссектриса угла
A{:}
основание
BC
или боковую сторону
CD?
9.15. Расстояния от концов диаметра окружности до некоторой касательной равны
a
и
b.
Найдите радиус окружности.
9.16. Окружность касается всех сторон равнобокой трапеции. Докажите, что боковая сторона трапеции равна средней линии.
9.17°. Окружность касается всех сторон трапеции. Докажите, что боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
9.18. Боковые стороны трапеции равны 7 и 11, а основания — 5 и 15. Прямая, проведённая через вершину меньшего основания параллельно большей боковой стороне, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его стороны.
9.19. Биссектрисы углов при одном основании трапеции пересекаются на втором её основании. Докажите, что второе основание равно сумме боковых сторон.
9.20°. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
9.21°. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
9.22. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 3, а большая образует угол
30^{\circ},
с одним из оснований. Найдите это основание, если на нём лежит точка пересечения биссектрис углов при другом основании.
9.23. Точки
M
и
N~\tire
середины боковых сторон
AB
и
CD
трапеции
ABCD.
Могут ли прямые
BN
и
DM
быть параллельными?
9.24°. Докажите, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на её средней линии.
9.25. Дана трапеция
ABCD
с основанием
AD.
Биссектрисы внешних углов при вершинах
A
и
B
пересекаются в точке
P,
а при вершинах
C
и
D~\tire
в точке
Q.
Докажите, что отрезок
PQ
равен полупериметру трапеции.
9.26. Дана трапеция
ABCD
с основаниями
AD
и
BC.
Биссектрисы углов при вершинах
A
и
B
пересекаются в точке
M,
а биссектрисы углов при вершинах
C
и
D~\tire
в точке
N.
Найдите
MN,
если известно, что
AB = a,
BC = b,
CD = c
и
AD = d.
9.27°. Основания трапеции равны
a
и
b
(a \gt b).
Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
9.28. Точка
A
лежит на одной из двух параллельных прямых, а точка
B~\tire
на другой. Найдите геометрическое место середин отрезков
AB.
9.29. Один из углов прямоугольной трапеции равен
120^{\circ},
большее основание равно 12. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей, если известно, что меньшая диагональ трапеции равна её большему основанию.
9.30. Найдите отношение оснований трапеции, если её средняя линия делится диагоналями на три равные части.
9.31. Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого. Докажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей трапеции.
9.32. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Одна из них равна 6, а вторая образует с основанием угол
30^{\circ}.
Найдите среднюю линию трапеции.
9.33°. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна
90^{\circ}.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
9.34. Средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны
30^{\circ}
и
60^{\circ}.
Найдите основания и меньшую боковую сторону трапеции.
9.35°. Точка
M~\tire
середина отрезка
AB.
Точки
A_{1},
M_{1}
и
B_{1}
соответственно — проекции точек
A,
M
и
B
на некоторую прямую. Докажите, что
M_{1}~\tire
середина отрезка
A_{1}B_{1}.
9.36. На прямую, проходящую через вершину
A
треугольника
ABC
опущены перпендикуляры
BD
и
CE.
Докажите, что середина стороны
BC
равноудалена от точек
D
и
E.
9.37. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке
K.
Одна прямая касается этих окружностей в различных точках
A
и
B,
а вторая — соответственно в различных точках
C
и
D.
Общая касательная к окружностям, проходящая через точку
K,
пересекается с этими прямыми в точках
M
и
N.
Найдите
MN,
если
AC = a,
BD = b.
9.38. Одна из боковых сторон трапеции равна сумме оснований. Докажите, что биссектрисы углов при этой стороне пересекаются на другой боковой стороне.
9.39. Дана трапеция, в которую можно вписать окружность. Докажите, что окружности, построенные на боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг друга.
9.40. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон. Докажите, что этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.
9.41. Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины боковых сторон и касается меньшего основания. Найдите углы трапеции.
9.42. Окружность, построенная на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается большего основания. Найдите углы трапеции.
9.43. В выпуклом четырёхугольнике
ABCD
противоположные углы
A
и
C
прямые. На диагональ
AC
опущены перпендикуляры
BE
и
DF.
Докажите, что
CE = FA.
9.44. В остроугольном треугольнике
ABC
проведены высоты
BD
и
CE.
Из вершин
B
и
C
на прямую
ED
опущены перпендикуляры
BF
и
CG.
Докажите, что
EF = DG.
9.45. Одним прямолинейным разрезом отрежьте от треугольника трапецию, у которой меньшее основание было бы равно сумме боковых сторон.
9.46. Существуют ли две трапеции, основания первой из которых соответственно равны боковым сторонам второй, а основания второй — боковым сторонам первой?
9.47. На отрезке
AB
взята точка
C.
Прямая, проходящая через точку
C,
пересекает окружности с диаметрами
AC
и
BC
в точках
K
и
L,
а также окружность с диаметром
AB~\tire
в точках
M
и
N.
Докажите, что
KM = LN.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 10. Площадь — 1

Будем считать известными следующие свойства площадей.
1) Площадь есть неотрицательная величина.
2) Равные фигуры имеют равные площади.
3) Если фигура разрезана на две фигуры, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.
4) Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.
Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.
10.1°. Докажите следующие утверждения.
а) Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
б) Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
в) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
г) Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.
10.2°. Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
10.3. Какую часть площади треугольника отсекает от него средняя линия?
10.4°. Диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.
10.5. Диагонали четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника. Известно, что треугольники, прилежащие к двум противоположным сторонам, равновелики. Докажите, что данный четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.
10.6. Докажите, что площадь четырёхугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей.
10.7°. Пусть
M~\tire
точка на стороне
AB
треугольника
ABC,
причём
AM:MB = m:n.
Докажите, что площадь треугольника
CAM
относится к площади треугольника
CBM
как
m:n.
10.8. Площадь трапеции, основания которой относятся как
3:2,
равна 35. Найдите площади треугольников, на которые трапеция разбивается диагональю.
10.9. На сторонах
AB
и
AC
треугольника
ABC,
площадь которого равна 50, взяты соответственно точки
M
и
K
так, что
AM:MB = 1:5,
а
AK:KC = 3:2.
Найдите площадь треугольника
AMK.
10.10. Точки
M
и
N
расположены на стороне
BC
треугольника
ABC,
а точка
K~\tire
на стороне
AC,
причём
BM:MN:NC = 1:1:2
и
CK:AK = 1:4.
Известно, что площадь треугольника
ABC
равна 1. Найдите площадь четырёхугольника
AMNK.
10.11. Площадь треугольника
ABC
равна 1. Точки
M
и
N~\tire
середины сторон
AB
и
AC,
а точка
K
лежит на стороне
BC.
Найдите площадь треугольника
KMN.
10.12°. Докажите, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих частей.
10.13°. Прямая, проведённая через вершину
C
трапеции
ABCD
параллельно диагонали
BD,
пересекает продолжение основания
AD
в точке
M.
Докажите, что треугольник
ACM
равновелик трапеции
ABCD.
10.14. Основания равнобокой трапеции равны
a
и
b
(a \gt b),
острый угол равен
45^{\circ}.
Найдите площадь трапеции.
10.15. Проекция диагонали равнобокой трапеции на её большее основание равна
a,
боковая сторона равна
b.
Найдите площадь трапеции, если угол при её меньшем основании равен
150^{\circ}.
10.16°. Точки
M
и
N
принадлежат соответственно сторонам
AB
и
AC
треугольника
ABC
или их продолжениям, причём
\frac{AM}{AB} = \frac{m}{n},
\frac{AN}{AC} = \frac{p}{q}.
Докажите, что площади треугольников
AMN
и
ABC
относятся как
\frac{m}{n}\cdot \frac{p}{q}.
10.17. Стороны треугольника с площадью, равной 1, разделены в отношении
2:1
по часовой стрелке. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках деления.
10.18. Дан треугольник
ABC.
Найдите геометрическое место таких точек
M,
для которых:
а) треугольники
AMB
и
ABC
равновелики;
б) треугольники
AMB
и
AMC
равновелики;
в) треугольники
AMB,
AMC
и
BMC
равновелики.
10.19. Вершина
E
параллелограмма
DEFG
лежит на стороне
AB
параллелограмма
ABCD,
а вершина
C
параллелограмма
ABCD
лежит на стороне
FG
параллелограмма
DEFG.
Докажите, что параллелограммы
ABCD
и
DEFG
равновелики.
10.20. Точка внутри параллелограмма соединена со всеми его вершинами. Докажите, что суммы площадей треугольников, прилежащих к противоположным сторонам параллелограмма, равны между собой.
10.21°. Через точку на диагонали параллелограмма проведены прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Эти прямые разбивают параллелограмм на четыре параллелограмма. Докажите, что параллелограммы, расположенные по разные стороны от указанной диагонали, равновелики. Верно ли обратное, т. е., если для некоторой точки внутри параллелограмма соответствующие параллелограммы равновелики, то эта точка лежит на диагонали параллелограмма?
10.22. Докажите, что если диагональ какого-нибудь четырёхугольника делит другую диагональ пополам, то она делит пополам и площадь четырёхугольника.
10.23°. Середины сторон выпуклого четырёхугольника последовательно соединены отрезками. Докажите, что площадь полученного четырёхугольника вдвое меньше площади исходного.
10.24. Боковые стороны трапеции лежат на перпендикулярных прямых. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах диагоналей и серединах оснований, если боковые стороны равны
a
и
b.
10.25. Данный параллелограмм разделите на три равновеликие части прямыми, выходящими из одной вершины.
10.26. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. Найдите площадь четырёхугольника.
10.27. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника, если его диагонали равны 8 и 12.
10.28. На продолжениях сторон
AB,
BC,
CD
и
DA
выпуклого четырёхугольника
ABCD
соответственно за точки
B,
C,
D
и
A
отложены отрезки
BB_{1},
CC_{1},
DD_{1}
и
AA_{1},
равные этим сторонам. Найдите площадь четырёхугольника
A_{1}B_{1}C_{1}D_{1},
если площадь четырёхугольника
ABCD
равна
s.
10.29°. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон всегда одна и та же.
10.30°. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки на основании равнобедренного треугольника до его боковых сторон всегда одна и та же.
10.31. Стороны
AB
и
AC
треугольника равны соответственно
a
и
b.
На медиане, проведённой к стороне
BC
взята точка
M.
Сумма расстояний от этой точки до прямых
AB
и
AC
равна
c.
Найдите эти расстояния.
10.32. а) Дана равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. В каком отношении биссектриса тупого угла делит площадь трапеции?
б) Дана прямоугольная трапеция, в которую можно вписать окружность. В каком отношении биссектриса острого угла делит площадь трапеции?
10.33°. Докажите, что площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
10.34. Докажите теорему Пифагора, используя результат предыдущей задачи.
10.35. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые гипотенуза делится точкой касания со вписанной окружностью.
10.36. Окружность с центром на гипотенузе прямоугольного треугольника касается катетов. Найдите радиус окружности, если катеты равны
a
и
b.
10.37°. Окружность касается стороны треугольника, равной
a,
и продолжений двух других сторон. Докажите, что радиус окружности равен площади треугольника, делённой на разность между полупериметром и стороной
a.
10.38. Найдите площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной
c,
и острым углом
15^{\circ}.
10.39. В параллелограмме соединены середина каждой стороны с концом следующей стороны, отчего получился внутренний параллелограмм. Докажите, что его площадь составляет
\frac{1}{5}
площади данного параллелограмма.
10.40°. Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
10.41. Каждая сторона треугольника больше 100. Может ли его площадь быть меньше 0,01?
10.42. Произвольный четырёхугольник разделён диагоналями на четыре треугольника; площади трёх из них равны 10, 20 и 30 и каждая меньше площади четвёртого треугольника. Найдите площадь данного четырёхугольника.
10.43. Центр одного единичного квадрата совпадает с вершиной другого. Найдите площадь общей части квадратов.
10.44. Боковая сторона
AB
и основание
BC
трапеции
ABCD
вдвое меньше её основания
AD.
Найдите площадь трапеции, если
AC=a,
CD=b.
10.45. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разделил его на два четырёхугольника, имеющих равные площади. Докажите, что эти стороны параллельны.
10.46. Через точку
M,
лежащую внутри параллелограмма
ABCD,
проведены прямые
PR
и
QS,
параллельные сторонам
BC
и
AB
(точки
P,
Q,
R
и
S
лежат на сторонах
AB,
BC,
CD
и
DA
соответственно). Докажите, что прямые
BS,
PD
и
MC
пересекаются в одной точке.
10.47. Пусть
P~\tire
середина стороны
AB
выпуклого четырёхугольника
ABCD.
Докажите, что если площадь треугольника
PDC
равна половине площади четырёхугольника
ABCD,
то стороны
BC
и
AD
параллельны.
10.48. Дан треугольник
ABC
площади 1. Из вершины
B
опущен перпендикуляр
BM
на биссектрису угла
C.
Найдите площадь треугольника
AMC.
10.49°. Теорема Пифагора. На катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника как на сторонах построены внешним образом три квадрата. Докажите, что сумма площадей двух меньших квадратов равна площади большего.

Дополнительные задачи

10.50. Дан угол
XAY
и точка
O
внутри него. Проведите через точку
O
прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.
10.51. В квадрате со стороной, равной 1, произвольно берут 101 точку (не обязательно внутри квадрата, возможно, часть на сторонах), причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого не больше 0,01.
10.52. Найдите геометрическое место точек
X,
лежащих внутри трапеции
ABCD
(BC \parallel AD)
или на её сторонах, если известно, что
S_{\Delta XAB} = S_{\Delta XCD}.
10.53. Точки
K
и
L
лежат на стороне
BC
выпуклого четырёхугольника
ABCD,
а точки
M
и
N
на стороне
AD,
причём
BK = KL = LC
и
AN = NM = MD.
Докажите, что площадь треугольника
KNL
равна полусумме площадей треугольников
ABK
и
CML.
10.54. Две прямые делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что между этими прямыми заключена треть площади четырёхугольника.
10.55. В выпуклом четырёхугольнике
ABCD
отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в точке
O
. Докажите, что
S_{\Delta AOD}+S_{\Delta BOC}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.
10.56. Пусть
M
и
N~\tire
середины противоположных сторон
BC
и
AD
выпуклого четырёхугольника
ABCD,
отрезки
AM
и
BN
пересекаются в точке
P,
а отрезки
DM
и
CN~\tire
в точке
Q.
Докажите, что сумма площадей треугольников
APB
и
CQD
равна площади четырёхугольника
MPNQ.
10.57. Середина каждой стороны параллелограмма соединена с концами противоположной стороны. Найдите площадь восьмиугольника, образованного пересечениями проведённых отрезков, если площадь параллелограмма равна 1.
10.58. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади треугольника.
10.59. Перпендикуляры, опущенные из внутренней точки равностороннего треугольника, на его стороны, и отрезки, соединяющие эту точку с вершинами, разбивают треугольник на шесть прямоугольных треугольников. Докажите, что сумма площадей трёх из них, взятых через один, равна сумме площадей трёх остальных.
10.60. На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.
10.61. Три прямые, параллельные сторонам треугольника
ABC
и проходящие через одну точку, отсекают от треугольника
ABC
трапеции. Три диагонали этих трапеций, не имеющие общих концов, делят треугольник на семь частей, из которых четыре — треугольники. Докажите, что сумма площадей трёх из этих треугольников, прилегающих к сторонам треугольника
ABC,
равна площади четвёртого.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 11. Вписанный угол

11.1. Окружность описана около равностороннего треугольника
ABC.
На дуге
BC,
не содержащей точку
A,
расположена точка
M,
делящая эту дугу в отношении
1:2.
Найдите углы треугольника
ABM.
11.2. Точки
A,
B,
C
и
D
последовательно расположены на окружности. Известно, что угловые величины меньших дуг
AB,
BC,
CD
и
DA
относятся как
1:3:5:6.
Найдите углы четырёхугольника
ABCD.
11.3. Точки
A,
B
и
C
расположены на окружности. Биссектриса угла
BAC
пересекает окружность в точке
M.
Докажите, что треугольник
BMC~\tire
равнобедренный.
11.4°. Докажите, что трапеция, вписанная в окружность, — равнобедренная.
11.5°. Докажите, что у четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна
180^{\circ}.
11.6°. Докажите, что угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.
11.7. Окружность касается сторон угла с вершиной
A
в точках
B
и
C.
Найдите угловые величины дуг, на которые окружность делится точками
B
и
C,
если
\angle BAC = 70^{\circ}.
11.8°. Угловые величины противоположных дуг, высекаемых на окружности пересекающимися хордами, равны
\alpha
и
\beta.
Найдите угол между хордами.
11.9°. Угловые величины дуг, заключённых между двумя хордами, продолжения которых пересекаются вне круга, равны
\alpha
и
\beta
(\alpha \gt \beta).
Под каким углом пересекаются продолжения хорд?
11.10. Две окружности пересекаются в точках
M
и
N.
На дуге первой окружности, расположенной вне второй окружности, взята точка
A.
Лучи
AM
и
AN
пересекают вторую окружность в точках
B
и
C.
Докажите, что длина отрезка
BC
не зависит от положения точки
A
на указанной дуге.
11.11. Рассмотрим четыре сегмента, отсекаемых от окружности вписанным в неё четырёхугольником и расположенных вне этого четырёхугольника. Найдите сумму углов, вписанных в эти сегменты.
11.12. В круге провели три хорды
AB,
BC,
CD
и отметили их середины
M,
N,
K.
Докажите, что
\angle BMN = \angle NKC
или
\angle BMN + \angle NKC = 180^{\circ}.
11.13°. Пусть
AA_{1}
и
BB_{1}~\tire
высоты остроугольного треугольника
ABC.
Докажите, что
\angle CA_{1}B_{1} = \angle CAB.
11.14. Из точки
P,
расположенной внутри острого угла
BAC,
опущены перпендикуляры
PC_{1}
и
PB_{1}
на прямые
AB
и
AC.
Докажите, что
\angle C_{1}AP =\angle C_{1}B_{1}P.
11.15. Внутри угла с вершиной
O
взята некоторая точка
M.
Луч
OM
образует со сторонами угла углы, один из которого больше другого на
10^{\circ};
точки
A
и
B~\tire
проекции точки
M
на стороны угла. Найдите угол между прямыми
AB
и
OM.
11.16. Точка
M
симметрична вершине
C
прямоугольного треугольника
ABC
относительно прямой, проходящей через вершину
B
прямого угла и середину гипотенузы
AC.
Найдите угол
AMB,
если известно, что
\angle CAB = \alpha \lt 45^{\circ}.
11.17. Три прямые, проходящие через точку
O,
образуют друг с другом углы в
60^{\circ}.
Докажите, что проекции произвольной точки, отличной от
O,
на эти прямые являются вершинами правильного треугольника.
11.18. Две окружности пересекаются в точках
A
и
B.
Продолжения хорд
AC
и
BD
первой окружности пересекают вторую окружность в точках
E
и
F.
Докажите, что
CD \parallel EF.
11.19. Точки
A,
B,
C,
D
лежат на окружности. Точки
M,
N,
K,
L~\tire
середины дуг
AB,
BC,
CD,
DA
соответственно. Докажите, что
MK \perp NL.
11.20. На одной из сторон острого угла расположен отрезок
AB.
Рассмотрим всевозможные углы, под которыми отрезок
AB
виден из точек, лежащих на второй стороне угла. Докажите, что вершина наибольшего из этих углов — это точка касания окружности, проходящей через точки
A
и
B,
со второй стороной угла.
11.21°. Прямая, проходящая через точку
A
и центр
O
вписанной окружности треугольника
ABC,
вторично пересекает описанную окружность этого треугольника в точке
M.
Докажите, что треугольники
BOM
и
COM
равнобедренные.
11.22. Продолжения биссектрис остроугольного треугольника
ABC
пересекают описанную окружность этого треугольника в точках
A_{1},
B_{1},
C_{1}.
Докажите, что высоты треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
лежат на прямых
AA_{1},
BB_{1},
CC_{1}.
11.23. Продолжения высот остроугольного треугольника
ABC
пересекают описанную окружность этого треугольника в точках
A_{1},
B_{1},
C_{1}.
Докажите, что биссектрисы треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
лежат на прямых
AA_{1},
BB_{1},
CC_{1}.
11.24. Окружность проходит через вершину
A
треугольника
ABC,
касается стороны
BC
в основании
D
биссектрисы
AD
треугольника и пересекает стороны
AB
и
AC
в точках
E
и
F.
Докажите, что
EF \parallel BC.
11.25. К двум окружностям, пересекающимся в точках
K
и
M,
проведена общая касательная. Докажите, что если
A
и
B~\tire
точки касания, то
\angle AMB + \angle AKB = 180^{\circ}.
11.26°. Две прямые, касающиеся данной окружности в точках
A
и
B,
пересекаются в точке
C.
Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник
ABC,
лежит на данной окружности.
11.27. Дан описанный четырёхугольник. Точки касания его вписанной окружности со сторонами последовательно соединены отрезками. В получившиеся треугольники вписаны окружности. Докажите, что диагонали четырёхугольника с вершинами в центрах этих окружностей взаимно перпендикулярны.
11.28. Вписанная окружность касается сторон
BC,
AC
и
AB
треугольника
ABC
в точках
A_{1},
B_{1}
и
C_{1}
соответственно. Точки
A_{2},
B_{2}
и
C_{2}~\tire
центры окружностей, вписанных в треугольники соответственно
AB_{1}C_{1},
BA_{1}C_{1}
и
CA_{1}B_{1}.
Докажите, что прямые
A_{1}A_{2},
B_{1}B_{2}
и
C_{1}C_{2}
пересекаются в одной точке.
11.29. Касательная в точке
A
к описанной окружности треугольника
ABC
пересекает прямую
BC
в точке
E;
AD~\tire
биссектриса треугольника
ABC.
Докажите, что
AE = ED.
11.30. Две окружности пересекаются в точках
A
и
B.
Через точку
K
первой окружности проводятся прямые
KA
и
KB,
пересекающие вторую окружность в точках
P
и
Q.
Докажите, что хорда
PQ
второй окружности перпендикулярна диаметру
KM
первой.
11.31°. Диагонали
AC
и
BD
вписанного четырёхугольника
ABCD
взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке
M.
Докажите, что прямая, проходящая через точку
M
и середину стороны
AD,
перпендикулярна
BC.
11.32°. Докажите, что около четырёхугольника, сумма противоположных углов которого равна
180^{\circ},
можно описать окружность.
11.33. Две окружности пересекаются в точках
A
и
B.
Через точку
B
проводится прямая, пересекающая окружности в точках
C
и
D,
а затем через точки
C
и
D
проводятся касательные к этим окружностям. Докажите, что точки
A,
C,
D
и точка
P
пересечения касательных лежат на одной окружности.
11.34°. Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
11.35. На сторонах
AB
и
AC
остроугольного треугольника
ABC
взяты точки
C_{2}
и
B_{2}
соответственно, причём отрезок
BC_{2}
равен высоте
BB_{1},
а отрезок
CB_{2}~\tire
высоте
CC_{1}.
Докажите, что точки
B_{1},
B_{2},
C_{1}
и
C_{2}
лежат на одной окружности.
11.36. В выпуклом четырёхугольнике
ABCD
известно, что
\angle BCD = 80^{\circ},
\angle ACB = 50^{\circ}
и
\angle ABD = 30^{\circ}.
Найдите
\angle ADB.
11.37. В выпуклом четырёхугольнике
ABCD
известно, что
\angle ACB = 25^{\circ},
\angle ACD = 40^{\circ}
и
\angle BAD = 115^{\circ}.
Найдите
\angle ADB.
11.38. Даны четыре окружности, каждая из которых внешним образом касается двух из трёх остальных. Докажите, что через точки касания можно провести окружность.
11.39. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой из вершины этого угла.
11.40. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и радиусу вписанной окружности.
11.41. Точка
E
лежит на стороне
AC
правильного треугольника
ABC;
точка
K~\tire
середина отрезка
AE.
Прямая, проходящая через точку
E
перпендикулярно прямой
AB,
и прямая, проходящая через точку
C
перпендикулярно прямой
BC,
пересекаются в точке
D.
Найдите углы треугольника
BKD.
11.42. Пусть
O~\tire
центр окружности, описанной около треугольника
ABC,
\angle AOC = 60^{\circ}.
Найдите угол
AMC,
где
M~\tire
центр окружности, вписанной в треугольник
ABC.
11.43. Угол при вершине
A
треугольника
ABC
равен
60^{\circ}.
Биссектрисы
BD
и
CE
пересекаются в точке
M.
Докажите, что
MD = ME.
11.44.
A
и
B~\tire
фиксированные точки окружности,
C~\tire
произвольная точка окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения: а) биссектрис; б) высот треугольника
ABC.
11.45°. Докажите, что точка, симметричная точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника относительно: а) стороны, б) середины стороны, лежит на описанной окружности этого треугольника.
11.46°. Пусть
O~\tire
центр описанной окружности треугольника
ABC,
AH~\tire
высота. Докажите, что
\angle BAH = \angle OAC.
11.47°. Теорема Нагеля. Пусть
AA_{1}
и
BB_{1}~\tire
высоты остроугольного треугольника
ABC,
O~\tire
центр его описанной окружности. Докажите, что
CO \perp A_{1}B_{1}.
11.48. Четырёхугольник
ABCD
с перпендикулярными диагоналями вписан в окружность. Перпендикуляры, опущенные на сторону
AD
из вершин
B
и
C,
пересекают диагонали
AC
и
BD
в точках
E
и
F
соответственно. Найдите
EF,
если
BC = 1.
11.49. Сторона
AD
вписанного четырёхугольника
ABCD
является диаметром описанной окружности,
M~\tire
точка пересечения диагоналей,
P~\tire
проекция
M
на
AD.
Докажите, что
M~\tire
центр окружности, вписанной в треугольник
BCP.
11.50. Вершины чертёжного угольника скользят по сторонам прямого угла. Найдите траекторию вершины прямого угла угольника.
11.51°. В треугольнике
ABC
стороны
AC
и
BC
не равны. Докажите, что биссектриса угла
C
делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины
C,
тогда и только тогда, когда
\angle C = 90^{\circ}.
11.52. Постройте треугольник по точкам пересечения с описанной окружностью продолжений его высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной вершины.
11.53°. Треугольник с вершинами в основаниях высот треугольника
ABC
называется ортотреугольником треугольника
ABC.
Докажите, что высоты остроугольного треугольника
ABC
являются биссектрисами его ортотреугольника. Сформулируйте аналогичное утверждение для тупоугольного треугольника
(\angle A\gt 90^{\circ}).
11.54. Ортотреугольник остроугольного треугольника — прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус описанной окружности исходного треугольника.
11.55. Расстояние от точки пересечения высот треугольника
ABC
до вершины
C
равно стороне
AB.
Найдите угол
ACB.
11.56. Расстояние от точки пересечения высот треугольника
ABC
до вершины
C
равно радиусу описанной окружности этого треугольника. Найдите угол
ACB.
11.57. Из точки
A
проведены к окружности две касательные
AP
и
AQ
и секущая
AKL.
Пусть
M~\tire
середина отрезка
KL.
Докажите, что
\angle AMP = \angle AMQ.
11.58. Три окружности равных радиусов проходят через точку
M
и попарно пересекаются в трёх других точках
A,
B
и
C.
Докажите, что точки
A,
B
и
C
лежат на окружности того же радиуса, а
M~\tire
точка пересечения высот треугольника
ABC.
11.59. Точки касания вписанного в данный треугольник круга соединены отрезками и в полученном треугольнике проведены высоты. Докажите, что прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника.
11.60. Задача Архимеда. В дугу
AB
окружности вписана ломаная
AMB
из двух отрезков
(AM \gt MB).
Докажите, что основание перпендикуляра
KH,
опущенного из середины
K
дуги
AB
на отрезок
AM,
делит ломаную пополам:
AH=HM+MB.

Дополнительные задачи

11.61. На окружности заданы три различные точки
A,
B
и
C.
Постройте на окружности четвёртую точку
D
так, чтобы в четырёхугольник
ABCD
можно было вписать окружность.
11.62. Окружность
S_{1}
касается сторон угла
ABC
в точках
A
и
C.
Окружность
S_{2}
касается прямой
AC
в точке
C
и проходит через точку
B.
Окружность
S_{1}
она пересекает в точке
M.
Докажите, что прямая
AM
делит отрезок
BC
пополам.
11.63. Лемма Архимеда о сегменте. Две окружности касаются внутренним образом в точке
M.
Пусть
AB~\tire
хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке
T.
Докажите, что
MT~\tire
биссектриса угла
AMB.
11.64. В параллелограмме
ABCD
диагональ
AC
больше диагонали
BD.
Точка
M
на диагонали
AC
такова, что около четырёхугольника
BCDM
можно описать окружность. Докажите, что
BD~\tire
общая касательная окружностей, описанных около треугольников
ABM
и
ADM.
11.65. Вписанная окружность касается сторон
AB
и
AC
треугольника
ABC
в точках
M
и
N,
P~\tire
точка пересечения прямой
MN
с биссектрисой угла
B.
Докажите, что
\angle BPC = 90^{\circ}.
11.66. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона).
11.67. Точка
D
лежит на стороне
AB
треугольника
ABC.
Окружность, вписанная в треугольник
ABC,
касается стороны
AB
в точке
L.
Точки
I_{1}
и
I_{2}~\tire
центры окружностей, вписанных в треугольники
ADC
и
BDC
соответственно. Докажите, что точки
D,
I_{1},
I_{2}
и
L
лежат на одной окружности.
11.68. Докажите, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности (окружность девяти точек). Где находится её центр?
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 12. Теорема Пифагора

Теорема. Косинус острого угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.
Теорема. Каждый катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.
Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
Теорема. Синус и тангенс острого угла зависят только от градусной меры угла и не зависят от расположения и размеров треугольника.
Теорема. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.
12.1. В прямоугольном треугольнике
ABC
(\angle C = 90^{\circ})
известно, что
\angle A = \alpha,
BC = a.
Найдите гипотенузу и второй катет.
12.2. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, если гипотенуза равна 8, а один из острых углов равен
60^{\circ}.
12.3. В равнобедренном треугольнике
ABC
угол при вершине
B
равен
120^{\circ},
а основание равно 8. Найдите боковые стороны.
12.4. Основания прямоугольной трапеции равны 6 и 8. Один из углов при меньшем основании равен
120^{\circ}.
Найдите диагонали трапеции.
12.5. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, равные
a
и
b.
Найдите катеты.
12.6. Прямая, проходящая через точку
M,
удалённую от центра окружности радиуса 10, на расстояние, равное 26, касается окружности в точке
A.
Найдите
AM.
12.7. Прямые, касающиеся окружности с центром
O
в точках
A
и
B
пересекаются в точке
M.
Найдите хорду
AB,
если отрезок
MO
делится ею на отрезки, равные 2 и 18.
12.8. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите гипотенузу и второй катет.
12.9. Найдите высоту трапеции со сторонами, равными 10, 10, 10 и 26.
12.10. Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, если стороны треугольника равны 10, 13, 13.
12.11°. Найдите высоту и радиусы вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника со стороной, равной
a.
12.12. Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.
12.13. Дан отрезок, равный 1. Постройте отрезки
\sqrt{2},
\sqrt{3},
\sqrt{5}.
12.14°. Даны отрезки
a
и
b.
Постройте отрезки
\sqrt{a^{2} + b^{2}},
\sqrt{a^{2} - b^{2}}.
12.15°. Докажите, что произведение стороны треугольника на проведённую к ней высоту для данного треугольника постоянно.
12.16. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.
12.17°. Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведённую к боковой стороне, если основание равно
a,
а боковая сторона равна
b.
12.18. Докажите, что в прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу пропорциональны квадратам катетов.
12.19°. Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора. Верна ли она?
12.20. Найдите высоту трапеции, боковые стороны которой равны 6 и 8, а основания равны 4 и 14.
12.21. Высота ромба, проведённая из вершины тупого угла, делит его сторону на отрезки, равные
a
и
b.
Найдите диагонали ромба.
12.22. Большее основание прямоугольной трапеции вдвое больше её меньшего основания, а боковые стороны равны 4 и 5. Найдите диагонали трапеции.
12.23. В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны
a
и
b.
Найдите сторону квадрата.
12.24. В прямоугольный треугольник с углом
60^{\circ}
вписан ромб со стороной, равной 6, так, что угол в
60^{\circ}
у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите стороны треугольника.
12.25°. Две вершины квадрата расположены на основании равнобедренного треугольника, а две другие — на его боковых сторонах. Найдите сторону квадрата, если основание треугольника равно
a,
а угол при основании равен
30^{\circ}.
12.26. Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, центр её описанной окружности лежит на большем основании.
12.27. Хорда
AC
окружности радиуса
R
образует с диаметром
AB
угол, равный
\alpha.
Найдите расстояние от точки
C
до диаметра
AB.
12.28. Диагональ равнобокой трапеции равна
a,
а средняя линия равна
b.
Найдите высоту этой трапеции.
12.29. Прямые, содержащие боковые стороны трапеции пересекаются под прямым углом. Большая боковая сторона трапеции равна 8, а разность оснований равна 10. Найдите меньшую боковую сторону.
12.30°. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен
r,
а острый угол ромба равен
\alpha.
Найдите сторону ромба.
12.31. Отрезок, соединяющий центры двух пересекающихся окружностей, делится их общей хордой на отрезки, равные 5 и 2. Найдите общую хорду, если известно, что радиус одной окружности вдвое больше радиуса другой.
12.32. Из точки
M
проведены касательные
MA
и
MB
к окружности с центром
O
(A
и
B~\tire
точки касания). Найдите радиус окружности, если
\angle AMB = \alpha
и
AB = a.
12.33. Найдите основание равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна
a,
а высота, опущенная на основание, равна отрезку, соединяющему середину основания с серединой боковой стороны.
12.34. Сторона треугольника равна 2, прилежащие к ней углы равны
30^{\circ}
и
45^{\circ}.
Найдите остальные стороны треугольника.
12.35. Косинус угла при основании равнобедренного треугольника равен
\frac{3}{5},
высота, опущенная на основание, равна
h.
Найдите высоту, опущенную на боковую сторону.
12.36. Вершины
M
и
N
равностороннего треугольника
BMN
лежат соответственно на сторонах
AD
и
CD
квадрата
ABCD
со стороной, равной
a.
Найдите
MN.
12.37°. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен
R.
Угол при основании равен
\alpha.
Найдите стороны треугольника.
12.38°. Даны отрезки
a
и
b.
Постройте отрезок
\sqrt{ab}.
12.39. Высота
CD
треугольника
ABC
делит сторону
AB
на отрезки
AD
и
BD,
причём
AD\cdot BD = CD^{2}.
Верно ли, что треугольник
ABC
прямоугольный?
12.40. Найдите
\sin 15^{\circ}
и
\tg 75^{\circ}.
12.41°. Медианы, проведённые к катетам прямоугольного треугольника, равны
a
и
b.
Найдите гипотенузу треугольника.
12.42. Две стороны треугольника равны
a
и
b.
Медианы, проведённые к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите третью сторону треугольника.
12.43. На катете
BC
прямоугольного треугольника
ABC
как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу
AB
в точке
K.
Найдите
CK,
если
BC = a
и
AC = b.
12.44. На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные
a
и
b.
Найдите основание треугольника.
12.45. На катете
BC
прямоугольного треугольника
ABC
как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу
AB
в точке
D,
причём
AD:DB = 1:3.
Высота, опущенная на гипотенузу, равна 3. Найдите катет
BC.
12.46. В прямоугольном треугольнике
ABC
проведена высота из вершины
C
прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность. Известно, что эта окружность высекает на катетах отрезки, равные 12 и 18. Найдите катеты треугольника
ABC.
12.47. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна
a
и образует угол
\alpha
с медианой, проведённой из той же вершины. Найдите катеты треугольника.
12.48°. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12. Найдите катеты треугольника.
12.49. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании. Найдите все стороны трапеции, если её высота равна 12, а биссектрисы равны 15 и 13.
12.50. Диагональ равнобокой трапеции равна
a
и образует с большим основанием и боковой стороной углы
\alpha
и
\beta
соответственно. Найдите основания трапеции.
12.51. В трапеции
ABCD
основание
AD = 2,
основание
BC = 1.
Боковые стороны
AB = CD = 1.
Найдите диагонали трапеции.
12.52. Основания трапеции равны 3 и 5, одна из диагоналей перпендикулярна боковой стороне, а другая делит пополам угол при большем основании. Найдите высоту трапеции.
12.53. Боковая сторона
AD
и основание
CD
трапеции
ABCD
равны
a,
основание
AB
равно
2a,
а диагональ
AC
равна
b.
Найдите
BC.
12.54°. В прямоугольном треугольнике
ABC
катет
AC
равен 21, а катет
BC
равен 28. Окружность, центр
O
которой лежит на гипотенузе
AB,
касается обоих катетов. Найдите радиус окружности.
12.55. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведён к ней перпендикуляр. Отрезок этого перпендикуляра, заключённый внутри треугольника, равен
c,
а отрезок, заключённый между одним катетом и продолжением другого, равен
3c.
Найдите гипотенузу.
12.56°. Окружность, вписанная в трапецию, делит её боковую сторону на отрезки
a
и
b.
Найдите радиус окружности.
12.57. Окружность радиуса
R
вписана в прямоугольную трапецию, меньшее основание которой равно
\frac{4}{3}R.
Найдите остальные стороны трапеции.
12.58°. Даны окружности радиусов
r
и
R
(R \gt r).
Расстояние между их центрами равно
a
(a \gt R + r).
Найдите отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключённые между точками касания.
12.59. Непересекающиеся окружности
S_{1},
S_{2}
и
S_{3}
последовательно вписаны в угол, равный
60^{\circ}.
Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках пересечения со сторонами этого угла общих внутренних касательных окружностей
S_{1}
и
S_{2}
и окружностей
S_{2}
и
S_{3},
если известно, что радиус окружности
S_{2}
равен
r,
а разность радиусов окружностей
S_{3}
и
S_{1}
равна
a.
12.60°. Окружности радиусов
r
и
R
(R \gt r)
касаются внешним образом в точке
K.
К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью —
A
и
D,
с большей —
B
и
C
соответственно.
а) Найдите
AB
и отрезок
MN
общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.
б) Докажите, что углы
AKB
и
O_{1}MO_{2}~\tire
прямые
(O_{1}
и
O_{2}~\tire
центры окружностей).
в) Найдите радиусы окружностей, касающихся обеих данных окружностей и их общей внешней касательной.
12.61. К двум окружностям, касающимся внешним образом в точке
C,
проведена общая внешняя касательная,
A
и
B~\tire
точки касания. Найдите радиусы окружностей, если
AC = 6,
BC = 8.
12.62. В трапеции
ABCD
меньшая диагональ
BD
перпендикулярна основаниям
AD
и
BC;
сумма острых углов
A
и
C
равна
90^{\circ}.
Основания
AD = a,
BC = b.
Найдите боковые стороны
AB
и
CD.
12.63°. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны
30^{\circ}
и
60^{\circ}.
Найдите высоту трапеции.
12.64°. Стороны параллелограмма равны
a
и
b,
а угол между ними равен
\alpha.
Найдите стороны и диагонали четырёхугольника, образованного пересечением биссектрис внутренних углов параллелограмма.
12.65. Вне прямоугольного треугольника
ABC
на его катетах
AC
и
BC
построены квадраты
ACDE
и
BCFG.
Продолжение медианы
CM
треугольника
ABC
пересекает прямую
DF
в точке
N.
Найдите
CN,
если катеты равны 1 и 4.
12.66. Основание
CD,
диагональ
BD
и боковая сторона
AD
трапеции
ABCD
равны
p.
Боковая сторона
BC
равна
q.
Найдите диагональ
AC.
12.67°. Хорды
AB
и
CD
окружности радиуса
R
пересекаются под прямым углом. Найдите
BD,
если
AC = a.
12.68°. На гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами
a
и
b
во внешнюю сторону построен квадрат. Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра квадрата.
12.69. Высоты треугольника равны 12, 15 и 20. Докажите что этот треугольник прямоугольный.
12.70°. В круге проведены два диаметра
AB
и
CD,
M~\tire
некоторая точка. Известно, что
AM = 15,
BM = 20,
CM = 24.
Найдите
DM.
12.71. Катет прямоугольного треугольника равен 2, а противолежащий ему угол равен
30^{\circ}.
Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые данный треугольник делится медианой, проведённой из вершины прямого угла.
12.72. Найдите расстояние между центром вписанной окружности прямоугольного треугольника с углом
30^{\circ}
и центром его вневписанной окружности, касающейся меньшего катета, если радиус вписанной окружности равен
r.
12.73°. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами: а) 5, 12, 13; б) 10, 10, 12.
12.74. В треугольнике
PQR
угол
QRP
равен
60^{\circ}.
Найдите расстояние между точками касания со стороной
QR
окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон
PQ
и
PR.
12.75. Радиус вписанной в треугольник
ABC
окружности равен
\sqrt{3}-1.
Угол
BAC
этого треугольника равен
60^{\circ},
а радиус окружности, касающейся стороны
BC
и продолжений сторон
AB
и
AC,
равен
\sqrt{3}+1.
Найдите углы
ABC
и
ACB
данного треугольника.
12.76°. Дана окружность с центром в точке
O
и радиусом 2. Из конца отрезка
OA,
пересекающегося с окружностью в точке
M,
проведена касательная
AK
к окружности
(K~\tire
точка касания),
\angle OAK = 60^{\circ}.
Найдите радиус окружности, касающейся отрезков
AK,
AM
и дуги
MK.
12.77. Две окружности касаются внешним образом в точке
C.
Общая внешняя касательная касается первой окружности в точке
A,
а второй — в точке
B.
Прямая
AC
пересекает вторую окружность в точке
D,
отличной от
C.
Найдите
BC,
если
AC=9,
CD=4.
12.78°. Четырёхугольник
ABCD
вписан в окружность радиуса
R.
Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке
P.
Найдите
AP^{2} + BP^{2} + CP^{2} + DP^{2}
и
AB^{2} + BC^{2} + CD^{2} + AD^{2}.
12.79. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей.
12.80. Вершины прямоугольника, не являющегося квадратом, расположены по одной на каждой стороне некоторого квадрата. Докажите, что стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата.
12.81. Могут ли три точки с целыми координатами быть вершинами равностороннего треугольника?
12.82°. Найдите геометрическое место точек
M,
разность квадратов расстояний от которых до двух данных точек
A
и
B
постоянна.
12.83°. Найдите геометрическое место точек, касательные из которых, проведённые к двум данным окружностям, равны между собой.
12.84°. Докажите, что прямые
AB
и
CD
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}.
12.85. Используя результат предыдущей задачи, докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
12.86. В четырёхугольник
ABCD
можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен
R
и
AB = 2BC.
12.87. Прямоугольный треугольник
ABC
(\angle A = 90^{\circ})
и два квадрата
BEFC
и
AMNB
расположены так, что точки
E
и
A
лежат по разные стороны от прямой
BC,
а точки
M
и
C~\tire
по разные стороны от прямой
AB.
Найдите расстояние между центрами квадратов, если
AB=b,
AC=a.
12.88°. На высотах
BB_{1}
и
CC_{1}
остроугольного треугольника
ABC
взяты точки
B_{2}
и
C_{2}
так, что
\angle AB_{2}C = \angle AC_{2}B =90^{\circ}.
Докажите, что
AB_{2} = AC_{2}.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 13. Подобные треугольники

13.1. Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия, а отношение площадей — квадрату коэффициента подобия.
13.2. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника.
13.3°. Докажите, что прямая, параллельная стороне данного треугольника и пересекающая две другие его стороны (или их продолжения), образует с этими сторонами треугольник, подобный данному.
13.4°. Сторона
AB
треугольника
ABC
разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне
BC.
Найдите отрезки этих прямых, заключённые внутри треугольника, если
BC = 12.
13.5. На стороне
AC
треугольника
ABC
отложен отрезок
AM,
равный третьей части стороны
AB,
а на стороне
AB~\tire
отрезок
AN,
равный третьей части стороны
AC.
Найдите
MN,
если
BC = 15.
13.6. Через точку
L
на стороне
BC
треугольника
ABC
проведены прямые, параллельные сторонам
AB
и
AC
и пересекающие эти стороны соответственно в точках
K
и
M.
Известно, что
BL:LC = 1:3,
AB = 12
и
AC = 18.
Найдите стороны четырёхугольника
AKLM.
13.7°. Стороны
AB
и
AC
треугольника
ABC
разделены точками
M
и
N
в отношении
2:3,
считая от точки
A.
Докажите, что
MN \parallel BC
и найдите
MN,
если
BC = 20.
13.8°. Диагонали
AC
и
BD
трапеции
ABCD
с основаниями
AD
и
BC
пересекаются в точке
O.
Докажите, что треугольники
AOD
и
COB
подобны и найдите коэффициент подобия, если
AD = a
и
BC = b.
13.9. Точка
M~\tire
середина стороны
BC
параллелограмма
ABCD.
Найдите отношение, в котором отрезок
AM
делит диагональ
BD.
13.10. Точка
K
лежит на диагонали
BD
параллелограмма
ABCD,
причём
BK:KD = 1:4.
В каком отношении прямая
AK
делит сторону
BC?
13.11. Сторона
AD
параллелограмма
ABCD
разделена на
n
равных частей. Первая точка деления
P
соединена с вершиной
B.
Докажите, что прямая
BP
отсекает на диагонали
AC
часть
AQ,
которая равна
\frac{1}{n+1}
всей диагонали.
13.12. Точка
M
лежит на боковой стороне
AB
трапеции
ABCD,
причём
AM:MB = 1:2.
Прямая, проходящая через точку
M
параллельно основаниям
AD
и
BC,
пересекает боковую сторону
CD
в точке
N.
Найдите
MN,
если
AD = a
и
BC = b.
13.13°. Боковая сторона трапеции разделена на пять равных частей, и через третью точку деления (считая от вершины меньшего основания) проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найдите отрезок прямой, заключённый между сторонами трапеции, если основания трапеции равны
a
и
b.
13.14. Основание треугольника равно 36. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника.
13.15. Через точки, делящие сторону треугольника на три равные части, проведены прямые, параллельные другой стороне треугольника. Найдите площадь четырёхугольника, заключённого между этими прямыми, если площадь треугольника равна 24.
13.16. Точка
M
лежит на боковой стороне
AC
равнобедренного треугольника
ABC
с основанием
BC,
причём
BM = BC.
Найдите
MC,
если
BC = 1
и
AB = 2.
13.17°. С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на
n
равных частей.
13.18°. В треугольнике
ABC
точка
K
на медиане
AM
расположена так, что
AK:KM = 1:3.
Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку
K
параллельно стороне
AC,
делит сторону
BC.
13.19. В прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и 8, вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите сторону квадрата.
13.20. Постройте прямоугольный треугольник по отношению его катетов и высоте, опущенной на гипотенузу.
13.21. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов.
13.22°. На боковых сторонах
AB
и
CD
трапеции
ABCD
отмечены точки
M
и
N
соответственно, причём
AM:MB=DN:NC=m:n.
Найдите
MN,
если основания
AD
и
BC
трапеции равны соответственно
a
и
b.
13.23°. На диагоналях
AC
и
BD
трапеции
ABCD
отмечены точки
K
и
L
соответственно, причём
AK:KC=DL:LB=k:l.
Найдите
KL,
если основания
AD
и
BC
трапеции равны
a
и
b
соответственно.
13.24. Через точку пересечения медиан треугольника
ABC
проходит прямая, пересекающая стороны
AB
и
AC.
Расстояния от вершин
B
и
C
до этой прямой равны
a
и
b
соответственно. Найдите расстояние от вершины
A
до этой прямой.
13.25. Диагонали
AC
и
BD
выпуклого четырёхугольника
ABCD,
площадь которого равна 28, пересекаются в точке
O.
Через середины отрезков
BO
и
DO
проведены прямые, параллельные диагонали
AC.
Найдите площадь части четырёхугольника, заключённой между этими прямыми.
13.26°. Докажите, что медиана
AM
треугольника
ABC
делит пополам любой отрезок с концами на
AB
и
AC,
параллельный стороне
BC.
13.27°. а) Замечательное свойство трапеции. Докажите, что точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований любой трапеции лежат на одной прямой.
б) Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, проходит через точку пересечения диагоналей. Верно ли, что эти стороны параллельны?
13.28°. Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции, разбивается её диагоналями на три части. Докажите, что отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.
13.29°. Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями
a
и
b
проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами трапеции.
13.30. Параллельно основаниям трапеции проведите прямую, отрезок которой, заключённый внутри трапеции, делился бы её диагоналями на три равные части.
13.31. Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найдите отрезок этой прямой, ограниченный продолжениями диагоналей, если основания трапеции равны
a
и
b.
13.32. а°) Даны отрезки
a,
b
и
c.
Постройте такой отрезок
x,
что
x:a = b:c.
б) Даны отрезки
a,
b,
c,
d
и
e.
Постройте отрезок, равный
\frac{abc}{de}.
13.33. Дан угол и точка внутри него. Проведите через эту точку прямую, отрезок которой, заключённый внутри данного угла, делился бы данной точкой в заданном отношении.
13.34. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны 12 и 18 и пересекаются в точке
O.
Найдите стороны четырёхугольника с вершинами в точках пересечения медиан треугольников
AOB,
BOC,
COD
и
AOD.
13.35°.
AA_{1}
и
BB_{1}~\tire
высоты остроугольного треугольника
ABC.
Докажите, что треугольник
AA_{1}C
подобен треугольнику
BB_{1}C,
а треугольник
ABC
подобен треугольнику
A_{1}B_{1}C.
13.36. В треугольнике
ABC
проведены высоты
BB_{1}
и
CC_{1}.
Найдите
B_{1}C_{1},
если
\angle A = 60^{\circ}
и
BC = 6.
13.37. В треугольнике
ABC
провели две высоты
AL
и
BM,
причём точки
L
и
M
оказались лежащими на сторонах
BC
и
AC
соответственно. Затем провели прямую
LM
до пересечения с продолжением стороны
AB.
Какое наибольшее число пар подобных треугольников можно насчитать на этом чертеже, если на нём не образовалось ни одной пары равных треугольников?
13.38. Пусть
M
и
N~\tire
проекции вершины
A
параллелограмма
ABCD
на прямые
BC
и
CD
соответственно. Докажите, что треугольник
MAN
подобен треугольнику
ABC.
13.39. Через середину
M
стороны
BC
параллелограмма
ABCD,
площадь которого равна 1, и вершину
A
проведена прямая, пересекающая диагональ
BD
в точке
O.
Найдите площадь четырёхугольника
OMCD.
13.40. На сторонах
AB
и
AD
параллелограмма
ABCD
взяты точки
M
и
N
так, что прямые
MC
и
NC
делят параллелограмм на три равновеликие части. Найдите
MN,
если
BD = d.
13.41. Дан выпуклый четырёхугольник площади
S.
Внутри него выбирается точка и отображается симметрично относительно середин его сторон. Получаются четыре вершины нового четырёхугольника. Найдите его площадь.
13.42. Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон на три равные части. Вся трапеция разделена ими на три части. Найдите площадь средней части, если площади крайних
S_{1}
и
S_{2}.
13.43°. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны
S_{1}
и
S_{2}.
Найдите площадь трапеции.
13.44. Площадь трапеции равна 27, основания 8 и 16. Найдите площади треугольников, на которые трапеция разделена диагоналями.
13.45. Точка
M
лежит на стороне
BC
треугольника
ABC,
причём
\angle MAB = \angle ACB.
Найдите
AM,
если
AB = c,
BC = a,
AC = b.
13.46. В треугольник
ABC
вписан ромб
DECF
так, что вершина
E
лежит на отрезке
BC,
вершина
F
лежит на отрезке
AC
и вершина
D
лежит на отрезке
AB.
Найдите сторону ромба, если
BC = 12,
AC = 6.
13.47. Каждая сторона треугольника разделена на три равные части. Докажите, что три большие диагонали шестиугольника с вершинами в точках деления пересекаются в одной точке.
13.48. Каждая сторона выпуклого четырёхугольника поделена на три равные части. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены отрезками. Докажите, что эти отрезки делят друг друга на три равные части.
13.49°. Площадь треугольника
ABC
равна
S.
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника
ABC.
13.50. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точки касания делят каждую боковую сторону на отрезки длиной
m
и
n,
считая от вершины. К окружности проведены три касательные, параллельные каждой из сторон треугольника. Найдите отрезки касательных, заключённые между сторонами треугольника.
13.51°. Точки
K
и
M
лежат на сторонах
AB
и
BC
треугольника
ABC,
причём
AK:BK = 3:2,
BM:MC = 3:1.
Через точку
B
проведена прямая
l,
параллельная
AC.
Прямая
KM
пересекает прямую
l
в точке
P,
а прямую
AC
в точке
N.
Найдите
BP
и
CN,
если
AC = a.
13.52°. Дан треугольник
ABC.
На продолжении стороны
AC
за точку
C
взята точка
N
так, что
CN = AC.
Точка
K~\tire
середина стороны
AB.
В каком отношении прямая
KN
делит сторону
BC?
13.53. Дан треугольник
ABC.
На продолжении стороны
AC
за точку
C
взята точка
N
так, что
CN = 3AC.
Точка
K
лежит на стороне
AB,
причём
AK:KB = 1:3.
В каком отношении прямая
KN
делит сторону
BC?
13.54. Дан треугольник
ABC.
На продолжении стороны
AC
за точку
C
взята точка
N
так, что
AC = 2CN.
Точка
M
лежит на стороне
BC,
причём
BM:MC = 1:3.
В каком отношении прямая
MN
делит сторону
AB?
13.55. Точки
K
и
M
лежат соответственно на сторонах
AB
и
BC
треугольника
ABC,
причём
BK:KA = 1:4,
BM:MC = 3:2.
Прямая
MK
пересекает продолжение стороны
AC
в точке
N.
Найдите
AC:CN.
13.56°. Точки
M
и
N
лежат соответственно на сторонах
AB
и
AD
параллелограмма
ABCD,
причём
AM:MB = 1:2,
AN:ND = 3:2.
Отрезки
DM
и
CN
пересекаются в точке
K.
Найдите отношения
DK:KM,
CK:KN.
13.57. Точка
P
лежит на стороне
AB
треугольника
ABC,
причём
AP:PB= 1:2.
Отрезок
CP
пересекает медиану
AD
в точке
M.
Найдите отношения
AM:MD,
CM:MP.
13.58°. Точки
K
и
E
лежат соответственно на сторонах
BC
и
AB
треугольника
ABC.
Отрезки
AK
и
CE
пересекаются в точке
M.
В каком отношении прямая
BM
делит сторону
AC,
если
BK:KC=1:2,
AE:EB=2:3?
13.59. На медиане
AD
треугольника
ABC
взята точка
M,
причём
AM:MD=1:3.
В каком отношении прямая
BM
делит сторону
AC?
13.60°. Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
13.61. Биссектриса внешнего угла
A
треугольника
ABC
пересекает продолжение стороны
BC
и точке
M.
Докажите, что
BM:MC = AB:AC.
13.62°. На стороне
BC
треугольника
ABC
взята точка
D
так, что
BD:AB = DC:AC.
Докажите, что
AD~\tire
биссектриса треугольника
ABC.
13.63°. В треугольнике
ABC
известно, что
AB = c,
BC = a,
AC = b.
В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису угла
C?
13.64. а) В треугольнике
ABC
сторона
AC
равна
b,
сторона
AB
равна
c,
а биссектриса угла
A
пересекается со стороной
BC
в точке
D,
такой, что
DA = DB.
Найдите сторону
BC.
б) Для сторон треугольника
ABC
выполняется равенство
BC^{2}=AC^{2}+AC\cdot AB.
Докажите, что
\angle A=2\angle B.
13.65. Прямая, параллельная основаниям трапеции, равным
a
и
b,
разбивает её на две равновеликие трапеции. Найдите отрезок этой прямой, заключённый внутри трапеции.
13.66°. Около окружности описана равнобедренная трапеция. Боковая сторона трапеции равна
a,
отрезок, соединяющий точки касания боковых сторон с окружностью, равен
b.
Найдите диаметр окружности.
13.67. Точка пересечения медиан треугольника
ABC,
вершина
A
и середины сторон
AB
и
AC
лежат на одной окружности. Найдите медиану, проведённую из вершины
A,
если
BC = a.
13.68. Периметр треугольника
ABC
равен 8. В треугольник вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная стороне
AB.
Отрезок этой касательной, заключённый между сторонами
AC
и
CB,
равен 1. Найдите сторону
AB.
13.69. Через точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых — треугольники с площадями
S_{1},
S_{2},
S_{3}.
Найдите площадь данного треугольника.
13.70. Каждая сторона треугольника поделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна
S.
13.71. В трапеции
ABCD
даны основания
AD = 12
и
BC = 8.
На продолжении стороны
BC
выбрана такая точка
M,
что
CM = 2{,}4.
В каком отношении прямая
AM
делит площадь трапеции
ABCD?
13.72°. На сторонах
AB,
BC
и
AC
треугольника
ABC
взяты соответственно точки
C_{1},
A_{1}
и
B_{1}
так, что
AC_{1}:C_{1}B= BA_{1}:A_{1}C = CB_{1}:B_{1}A = 2:1.
Найдите площадь треугольника, вершины которого — попарные пересечения отрезков
AA_{1},
BB_{1},
CC_{1},
если площадь треугольника
ABC
равна 1.
13.73. На сторонах
AB,
BC,
CD
и
DA
параллелограмма
ABCD
взяты соответственно точки
M,
N,
K
и
L,
причём
AM:MB = CK:KD = 1:2,
а
BN:NC = DL:LA = 1:3.
Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого — пересечения отрезков
AN,
BK,
CL
и
DM,
если площадь параллелограмма
ABCD
равна 1.
13.74. Через точку
K,
данную на стороне
AB
треугольника
ABC,
проведите прямую так, чтобы она разделила площадь треугольника
ABC
пополам.
13.75. В треугольнике со сторонами
a,
b
и
c
проведены биссектрисы, точки пересечения которых с противолежащими сторонами являются вершинами второго треугольника. Докажите, что отношение площадей этих треугольников равно
\frac{2abc}{(a + b)(a + c)(b + c)}.
13.76. В треугольнике
ABC
медиана
AD
и биссектриса
BE
перпендикулярны и пересекаются в точке
F.
Известно, что
S_{\Delta DEF}=5.
Найдите
S_{\Delta ABC}.
13.77. Диагонали выпуклого четырёхугольника
ABCD
пересекаются в точке
O,
а
S_{\Delta ODC}=\sqrt{S_{\Delta BOC}\cdot S_{\Delta AOD}}.
Докажите, что
ABCD~\tire
трапеция или параллелограмм.
13.78. Даны две параллельные прямые
l
и
l_{1}.
С помощью одной линейки:
а) разделите пополам отрезок, расположенный на одной из них;
б) проведите через данную точку
M
прямую, параллельную прямым
l
и
l_{1};
в) удвойте отрезок, расположенный на одной из них.
13.79. Равны ли треугольники по двум сторонам и трём углам?
13.80. В выпуклом четырёхугольнике
ABCD
диагонали пересекаются в точке
E.
Известно, что площадь каждого из треугольников
ABE
и
DCE
равна 1, площадь всего четырёхугольника не превосходит 4,
AD = 3.
Найдите сторону
BC.
13.81. На сторонах
AB,
AC
и
BC
правильного треугольника
ABC
расположены соответственно точки
C_{1},
B_{1}
и
A_{1}
так, что треугольник
A_{1}B_{1}C_{1}
является правильным. Отрезок
BB_{1}
пересекает сторону
C_{1}A_{1}
в точке
O,
причём
\frac{BO}{OB_{1}} = k.
Найдите отношение площади треугольника
ABC
к площади треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}.
13.82°. Теорема Менелая. Точки
A_{1},
C_{1}
и
B_{1}
лежат на прямых соответственно
BC,
AB
и
AC.
Докажите, что эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
\frac{AB_1}{B_1C}\cdot \frac{CA_1}{A_1B}\cdot \frac{BC_1}{C_1A} = -1.
13.83°. Теорема Чевы. Пусть точки
A_{1},
B_{1}
и
C_{1}
принадлежат соответственно сторонам
BC,
AC
и
AB
треугольника
ABC.
Докажите, что отрезки
AA_{1},
BB_{1},
CC_{1}
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
\frac{AB_1}{B_1C}\cdot \frac{CA_1}{A_1B}\cdot \frac{BC_1}{C_1A} = 1.
13.84. С помощью теоремы Чевы докажите, что в одной точке пересекаются: а) медианы треугольника; б) биссектрисы треугольника; в) отрезки соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон треугольника (точка Жергонна); г) отрезки соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вневписанные окружности касается противоположных сторон треугольника (точка Нагеля).
13.85. Через точку
P
медианы
CC_{1}
треугольника
ABC
проведены прямые
AA_{1}
и
BB_{1}
(точки
A_{1}
и
B_{1}
лежат на сторонах
BC
и
CA).
Докажите, что
A_{1}B_{1}\parallel AB.
13.86. Прямая, соединяющая точку
P
пересечения диагоналей четырёхугольника
ABCD
с точкой
Q
пересечения прямых
AB
и
CD,
делит сторону
AD
пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону
BC.
13.87. Сторона неравнобедренного треугольника равна среднему арифметическому двух других сторон. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и точку пересечения биссектрис треугольника, параллельна этой стороне.
13.88°. Докажите, что в любом треугольнике точка
H
пересечения высот (ортоцентр), центр
O
описанной окружности и точка
M
пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причём точка
M
расположена между точками
O
и
H,
и
MH =2MO.
13.89. Даны точки
A
и
B.
С помощью одного циркуля постройте середину отрезка
AB.
13.90. Через центр
O
окружности, описанной около остроугольного треугольника
ABC,
проведена прямая, перпендикулярная
BO
и пересекающая отрезок
AB
в точке
P,
и продолжение отрезка
BC
за точку
C
в точке
Q.
Найдите
BP,
если известны стороны треугольника
AB = c,
BC = a,
а
BQ=p.
13.91. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трём высотам.
13.92. Найдите расстояние от вершины
A
вписанного пятиугольника
ABCDE
до прямой
BE,
если расстояния от
A
до прямых
BC,
DC
и
DE
равны соответственно
a,
b,
c.
13.93. Все стороны выпуклого четырёхугольника площади 1 разделены на три равные части. Отрезки, соединяющие соответствующие точки деления на противоположных сторонах, разбивают четырёхугольник на девять четырёхугольников. Найдите площадь внутреннего четырёхугольника разбиения.
13.94. Лемма биссектрального треугольника. В треугольнике
ABC
проведены биссектрисы
AA_{1}
и
BB_{1}.
Докажите, что расстояние от любой точки
M
отрезка
A_{1}B_{1}
до прямой
AB
равно сумме расстояний от
M
до прямых
AC
и
BC.
13.95. В треугольнике
ABC
проведены высоты
AA_{1},
BB_{1}
и
CC_{1};
B_{2}
и
C_{2}~\tire
середины высот
BB_{1}
и
CC_{1}.
Докажите, что треугольник
A_{1}B_{2}C_{2}
подобен треугольнику
ABC.
13.96. Продолжения сторон
AB
и
CD
четырёхугольника
ABCD
пересекаются в точке
P,
а продолжения сторон
BC
и
AD~\tire
в точке
Q.
Докажите, что середина отрезка
PQ
и середины диагоналей
AC
и
BD
четырёхугольника
ABCD
лежат на одной прямой (прямая Гаусса).
13.97. Теорема Птолемея. Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений двух пар его противоположных сторон равна произведению его диагоналей.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 14. Пропорциональные отрезки в круге

Теорема. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны.
Теорема. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
14.1. Хорды
AB
и
CD
окружности пересекаются в точке
M,
причём
AM= AC.
Докажите, что продолжения высот
AA_{1}
и
DD_{1}
треугольников
CAM
и
BDM
пересекаются на окружности.
14.2. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как
1:2.
Хорда большей окружности делится меньшей окружностью на три равные части. Найдите отношение этой хорды к диаметру большей окружности.
14.3. Дана точка
P,
удалённая на расстояние, равное 7, от центра окружности, радиус которой равен 11. Через точку
P
проведена хорда, равная 18. Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой
P.
14.4. Во вписанном четырёхугольнике
ABCD,
диагонали которого пересекаются в точке
K,
известно, что
AB = a,
BK = b,
AK = c,
CD=d.
Найдите
AC.
14.5. Точка
M
лежит внутри окружности радиуса
R
и удалена от центра на расстояние
d.
Докажите, что для любой хорды
AB
этой окружности, проходящей через точку
M,
произведение
AM\cdot BM
одно и то же. Чему оно равно?
14.6. Точка
M
лежит вне окружности радиуса
R
и удалена от центра на расстояние
d.
Докажите, что для любой прямой, проходящей через точку
M
и пересекающей окружность в точках
A
и
B,
произведение
AM\cdot BM
одно и то же. Чему оно равно?
14.7. В квадрат
ABCD
со стороной длины
a
вписана окружность, которая касается стороны
CD
в точке
E.
Найдите величину хорды, соединяющей точки, в которых окружность пересекается с прямой
AE.
14.8. В прямоугольном треугольнике
ABC
с прямым углом при вершине
C
катет
BC
равен
a,
радиус вписанной окружности равен
r.
Вписанная окружность касается катета
AC
в точке
D.
Найдите хорду, соединяющую точки пересечения окружности с прямой
BD.
14.9. Из точки
A,
лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая. Расстояние от точки
A
до точки касания равно 16, а расстояние от точки
A
до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32. Найдите радиус окружности, если расстояние от центра окружности до секущей равно 5.
14.10. Диагональ
AC
вписанного в окружность четырёхугольника
ABCD
является биссектрисой угла
BAD.
Докажите, что прямая
BD
отсекает от треугольника
ABC
подобный ему треугольник.
14.11. Пересекающиеся хорды окружности делятся точкой пересечения в одном и том же отношении. Докажите, что эти хорды равны между собой.
14.12. Каждая из двух равных пересекающихся хорд окружности делится точкой пересечения на два отрезка. Докажите, что отрезки первой хорды соответственно равны отрезкам второй.
14.13. В круге проведены две хорды
AB
и
CD,
пересекающиеся в точке
M;
K~\tire
точка пересечения биссектрисы угла
BMD
с хордой
BD.
Найдите отрезки
BK
и
KD,
если
BD = 3,
а площади треугольников
CMB
и
AMD
относятся как
1:4.
14.14°. Две окружности пересекаются в точках
A
и
B.
В каждой из этих окружностей проведены хорды
AC
и
AD
так, что хорда одной окружности касается другой окружности. Найдите
AB,
если
CB = a,
DB= b.
14.15. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.
14.16. В угол вписаны две окружности; одна из них касается сторон угла в точках
K_{1}
и
K_{2},
а другая — в точках
L_{1}
и
L_{2}.
Докажите, что прямая
K_{1}L_{2}
высекает на этих двух окружностях равные хорды.
14.17. Четырёхугольник
ABCD
вписан в окружность. Диагональ
AC
является биссектрисой угла
BAD
и пересекается с диагональю
BD
в точке
K.
Найдите
KC,
если
BC = 4
и
AK = 6.
14.18. Продолжение медианы треугольника
ABC,
проведённой из вершины
A,
пересекает описанную окружность в точке
D.
Найдите
BC,
если
AC = DC = 1.
14.19. Окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части. Докажите, что этот треугольник правильный.
14.20. Сторона
AD
квадрата
ABCD
равна 1 и является хордой некоторой окружности, причём остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Касательная
BK,
проведённая из вершины
B
к этой же окружности, равна 2. Найдите диаметр окружности.
14.21. Через вершину наибольшего угла треугольника со сторонами 6, 8 и 10 проведена касательная к окружности, описанной около этого треугольника. Найдите отрезок касательной, заключённый между точкой касания и точкой пересечения с продолжением наибольшей стороны треугольника.
14.22. В прямоугольном треугольнике
ABC
с катетами
AB = 3
и
BC =4
через середины сторон
AB
и
AC
проведена окружность, касающаяся катета
BC.
Найдите длину отрезка гипотенузы
AC,
который лежит внутри этой окружности.
14.23. Точка
B
расположена между точками
A
и
C.
На отрезках
AB
и
AC
как на диаметрах построены окружности. Прямая, перпендикулярная
AC
и проходящая через точку
B,
пересекает большую окружность в точке
D.
Прямая, проходящая через точку
C
касается меньшей окружности в точке
K.
Докажите, что
CD = CK.
14.24. Точка
M
находится на продолжении хорды
AB.
Докажите, что если точка
C
окружности такова, что
MC^{2} = MA\cdot MB,
то
MC~\tire
касательная к окружности.
14.25°. Постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.
14.26. Окружность касается сторон
AB
и
BC
треугольника
ABC
соответственно в точках
D
и
E.
Найдите высоту треугольника
ABC,
опущенную из точки
A,
если
AB = 5,
AC = 2,
а точки
A,
D,
E,
C
лежат на одной окружности.
14.27. В равнобедренном треугольнике
ABC
(AB = AC)
проведены биссектрисы
AD,
BE,
CF.
Найдите
BC,
если известно, что
AC = 1,
а вершина
A
лежит на окружности, проходящей через точки
D,
E,
F.
14.28. Две окружности внутренне касаются. Прямая, проходящая через центр большей окружности, пересекает её в точках
A
и
D,
а меньшую окружность — в точках
B
и
C.
Найдите отношение радиусов окружностей, если
AB:BC:CD = 3:7:2.
14.29. Точки
A,
B
и
C
лежат на одной прямой (точка
B
расположена между точками
A
и
C).
Через точки
A
и
B
проводятся окружности, а через точку
C~\tire
касательные к ним. Найдите геометрическое место точек касания.
14.30. Окружность и прямая касаются в точке
M.
Из точек
A
и
B
этой окружности опущены перпендикуляры на прямую, равные
a
и
b
соответственно. Найдите расстояние от точки
M
до прямой
AB.
14.31. Из точки
A,
находящейся на расстоянии, равном 5, от центра окружности радиуса 3, проведены две секущие
AKC
и
ALB,
угол между которыми равен
30^{\circ}
(K,
C,
L,
B~\tire
точки пересечения секущих с окружностью). Найдите площадь треугольника
AKL,
если площадь треугольника
ABC
равна 10.
14.32. В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три равные части. Найдите радиус окружности, если одна из хорд равна
a.
14.33. В окружность вписан треугольник. Вторая окружность, концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других сторон на три равные части. Найдите отношение радиусов этих окружностей.
14.34. Хорда
AB
стягивает дугу окружности, равную
120^{\circ}.
Точка
C
лежит на этой дуге, а точка
D
лежит на хорде
AB.
При этом
AD = 2,
BD = 1,
DC = \sqrt{2}.
Найдите площадь треугольника
ABC.
14.35. Окружность касается сторон
AB
и
AD
прямоугольника
ABCD
и проходит через вершину
C.
Сторону
DC
она пересекает в точке
N.
Найдите площадь трапеции
ABND,
если
AB = 9
и
AD = 8.
14.36. Дан угол с вершиной
O
и окружность, касающаяся его сторон в точках
A
и
B.
Из точки
A
параллельно
OB
проведён луч, пересекающий окружность в точке
C.
OC
пересекает окружность в точке
E.
Прямые
AE
и
OB
пересекаются в точке
K.
Докажите, что
OK = KB.
14.37. Точки
A_{1}
и
B_{1}
принадлежат соответственно сторонам
OA
и
OB
угла
AOB
(не равного
180^{\circ})
и
OA\cdot OA_{1} = OB\cdot OB_{1}.
Докажите, что точки
A,
B,
A_{1},
B_{1}
принадлежат одной окружности.
14.38. Через точку
P,
лежащую на общей хорде двух пересекающихся окружностей, проведены хорда
KM
первой окружности и хорда
LN
второй окружности. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках
K,
L,
M
и
N~\tire
вписанный.
14.39. Докажите, что квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.
14.40. Две окружности касаются внешним образом.
A~\tire
точка касания их общей внешней касательной с одной из окружностей,
B~\tire
точка той же окружности, диаметрально противоположная точке
A.
Докажите, что длина касательной, проведённой из точки
B
ко второй окружности, равна диаметру первой окружности.
14.41. В трапеции
ABCD
с основаниями
AD
и
BC
угол
A
равен
45^{\circ},
угол
D
равен
30^{\circ}.
На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках
M
и
N.
Хорда
MN
пересекает основание
BC
в точке
F.
Найдите отношение
\frac{BF}{FC}.
14.42. Постройте окружность, проходящую через две данные точки
A
и
B
и касающуюся данной окружности
S.
14.43. На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Докажите, что три общие хорды каждой пары этих окружностей пересекаются в одной точке.
14.44. На продолжении хорды
KL
окружности с центром
O
взята точка
A,
и из неё проведены касательные
AP
и
AQ;
M~\tire
середина отрезка
PQ.
Докажите, что
\angle MKO = \angle MLO.
14.45. Две окружности, радиусов
r
и
R
(r \lt R),
внешним образом касаются друг друга. Прямая касается этих окружностей в точках
M
и
N.
В точках
A
и
B
окружности касаются внешним образом третьей окружности. Прямые
AB
и
MN
пересекаются в точке
C.
Из точки
C
проведена касательная к третьей окружности
(D~\tire
точка касания). Найдите
CD.
14.46. На боковых сторонах трапеции как на диаметрах построены окружности. Докажите, что отрезки касательных, проведённых из точки пересечения диагоналей трапеции к этим окружностям, равны между собой.
14.47. Из точки
A
проведены две касательные
(M
и
N~\tire
точки касания) и секущая, пересекающая эту окружность в точках
B
и
C,
а хорду
MN~\tire
в точке
P.
Известно, что
AB:BC=2:3.
Найдите
AP:PC.
14.48. Пятиугольник
ABCDE
вписан в окружность. Расстояния от точки
A
до прямых
BC,
DC
и
DE
равны соответственно
a,
b,
c.
Найдите расстояние от вершины
A
до прямой
BE.
14.49. Теорема Птолемея. Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.
14.50. Через данную точку проведите окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности.
14.51. Продолжения противоположных сторон четырёхугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точках
P
и
Q.
Найдите
PQ,
если касательные к окружности, проведённые из точек
P
и
Q,
равны
a
и
b.
14.52. В треугольнике
KLM
проведена биссектриса
MN.
Через вершину
M
проходит окружность, касающаяся стороны
KL
в точке
N
и пересекающая сторону
KM
в точке
P,
а сторону
LM~\tire
в точке
Q.
Длины отрезков
KP,
QM
и
LQ
соответственно равны
k,
m
и
q.
Найдите длину отрезка
MN.
14.53. Дана прямая
l
и точки
A
и
B
по одну сторону от неё. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой
l
такую точку
X,
что
AX + BX = a,
где
a~\tire
данная величина.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 15. Теорема косинусов

Теорема косинусов. Пусть
a,
b,
c~\tire
стороны треугольника;
\alpha~\tire
угол, противолежащий стороне
a.
Тогда
a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cos \alpha.
15.1. Стороны треугольника равны 5, 8, 10. Верно ли, что треугольник остроугольный?
15.2. Сумма квадратов двух сторон треугольника больше квадрата третьей стороны. Докажите, что против третьей стороны лежит острый угол.
15.3. Гипотенуза
AB
прямоугольного треугольника
ABC
равна 9, катет
BC = 3.
На гипотенузе взята точка
M,
причём
AM:MB = 1:2.
Найдите
CM.
15.4. Дан равносторонний треугольник со стороной
a.
Найдите отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении
2:1.
15.5. Одна из сторон треугольника вдвое больше другой, а угол между этими сторонами равен
60^{\circ}.
Докажите, что треугольник прямоугольный.
15.6. Сторона треугольника равна
2\sqrt{7},
а две другие стороны образуют угол в
30^{\circ}
и относятся как
1:2\sqrt{3}.
Найдите эти стороны.
15.7. Одна из сторон параллелограмма равна 10, а диагонали равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диагоналями.
15.8. Угол при вершине
D
трапеции
ABCD
с основаниями
AD
и
BC
равен
60^{\circ}.
Найдите диагонали трапеции, если
AD = 10,
BC = 3
и
CD =4.
15.9. Одна из сторон треугольника равна 6, вторая сторона равна
2\sqrt{7},
а противолежащий ей угол равен
60^{\circ}.
Найдите третью сторону треугольника.
15.10. На продолжении боковой стороны
AB
равнобедренного треугольника
ABC
за вершину
A
взята точка
D,
причём
AD = 2AB.
Известно, что
AB = AC = 1,
\angle BAC = 120^{\circ}.
Докажите, что треугольник
BDC
равнобедренный.
15.11. Точки
M
и
N
лежат соответственно на сторонах
AD
и
BC
ромба
ABCD,
причём
DM:AM = BN:NC = 2:1.
Найдите
MN,
если известно, что сторона ромба равна
a,
а
\angle BAD = 60^{\circ}.
15.12°. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его четырёх сторон.
15.13. Диагональ параллелограмма, равная
b,
перпендикулярна стороне параллелограмма, равной
a.
Найдите вторую диагональ параллелограмма.
15.14. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если эта медиана равна 3.
15.15. Основание равнобедренного треугольника равно
4\sqrt{2},
а медиана, проведённая к боковой стороне, равна 5. Найдите боковые стороны.
15.16°. Стороны треугольника равны
a,
b,
c.
Найдите медиану
m_{c}.
15.17. Стороны треугольника равны 11, 13 и 12. Найдите медиану, проведённую к большей стороне.
15.18. В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведённая к третьей, равна 10. Найдите третью сторону.
15.19. Докажите, что отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон равно
\frac{3}{4}.
15.20. Около четырёхугольника
ABCD
можно описать окружность. Кроме того,
AB = 3,
BC = 4,
CD = 5
и
AD = 2.
Найдите
AC.
15.21. Можно ли около четырёхугольника
ABCD
описать окружность, если
\angle ADC = 30^{\circ},
AB = 3,
BC = 4,
AC = 6?
15.22. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису угла при основании.
15.23. В треугольнике
ABC
известно, что
AC = 13,
AB = 14,
BC = 15.
На стороне
BC
взята точка
M,
для которой
CM:MB = 1:2.
Найдите
AM.
15.24. В треугольнике
ABC
известно, что
AB = 12,
AC = 15,
BC =18.
Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины наибольшего угла.
15.25. Найдите косинусы углов трапеции с основаниями, равными 3 и 7 и боковыми сторонами, равными 2 и 5.
15.26. Медианы треугольника
ABC,
проведённые из вершин
B
и
C,
равны 6 и 9 и пересекаются в точке
M.
Известно, что
\angle BMC = 120^{\circ}.
Найдите стороны треугольника.
15.27. Стороны параллелограмма равны 2 и 4, а угол между ними равен
60^{\circ}.
Через вершину этого угла проведены прямые, проходящие через середины двух других сторон параллелограмма. Найдите косинус угла между этими прямыми.
15.28. Окружность, вписанная в треугольник
ABC,
касается стороны
AB
в точке
M,
при этом
AM = 1,
BM = 4.
Найдите
CM,
если известно, что
\angle BAC = 120^{\circ}.
15.29. Основания трапеции равны 1 и 6, а диагонали — 3 и 5. Под каким углом видны основания из точки пересечения диагоналей?
15.30. В выпуклом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны соответственно
a
и
b
и пересекаются под углом
60^{\circ}.
Найдите диагонали четырёхугольника.
15.31. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны
c
и
d
и пересекаются под углом
45^{\circ}.
Найдите отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника.
15.32. Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удалён от вершин острых углов на расстояния
a
и
b.
Найдите гипотенузу.
15.33. Точка
M
лежит на стороне
BC
параллелограмма
ABCD
с углом
45^{\circ}
при вершине
A,
причём
\angle AMD = 90^{\circ}
и
BM:MC = 2:3.
Найдите отношение соседних сторон параллелограмма.
15.34. На боковой стороне
BC
равнобедренного треугольника
ABC
как на диаметре построена окружность, пересекающая основание этого треугольника в точке
D.
Найдите расстояние от вершины
A
до центра окружности, если
AD = \sqrt{3},
а угол
ABC
равен
120^{\circ}.
15.35. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, касается гипотенузы в точке
M.
Найдите расстояние от точки
M
до вершины прямого угла.
15.36. Точка
M
лежит на стороне
AC
равностороннего треугольника
ABC
со стороной, равной
3a,
причём
AM:MC = 1:2.
Точки
K
и
L
на сторонах
AB
и
BC
являются вершинами другого равностороннего треугольника
MKL.
Найдите его стороны.
15.37. В треугольнике
ABC
проведены высоты
AD
и
CE.
Найдите
AC,
если
BC = a,
AB = b,
\frac{DE}{AC} = k.
15.38. В окружности проведены хорды
AB
и
BC,
причём
AB = \sqrt{3},
BC =3\sqrt{3},
\angle ABC = 60^{\circ}.
Найдите длину той хорды окружности, которая делит угол
ABC
пополам.
15.39. В трапеции
ABCD
основание
AD
равно 16, а боковая сторона
CD
равна
8\sqrt{3}.
Окружность проходящая через точки
A,
B
и
C,
пересекает прямую
AD
в точке
M,
\angle AMB = 60^{\circ}.
Найдите
BM.
15.40. Дан треугольник
ABC.
Известно, что
AB = 4,
AC = 2
и
BC =3.
Биссектриса угла
BAC
пересекает сторону
BC
в точке
K.
Прямая, проходящая через точку
B
параллельно
AC,
пересекает продолжение биссектрисы
AK
в точке
M.
Найдите
KM.
15.41. В треугольник
ABC
вписана окружность, которая касается сторон
AB,
BC,
AC
соответственно в точках
M,
D,
N.
Найдите
MD,
если известно, что
NA = 2,
NC = 3,
\angle BCA = 60^{\circ}.
15.42. В окружности радиуса
R = 4
проведены хорда
AB
и диаметр
AK,
образующий с хордой угол
22{,}5^{\circ}.
В точке
B
проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра
AK
в точке
C.
Найдите медиану
AM
треугольника
ABC.
15.43. В треугольнике
ABC
сторона
AC
больше стороны
AB.
Докажите, что медиана, проведённая из вершины
B,
меньше медианы, проведённой из вершины
C.
15.44. Стороны треугольника равны
a,
b
и
c.
Найдите биссектрису
l_{a}.
15.45. Дана трапеция
ABCD
с основаниями
AD = 3\sqrt{39}
и
BC = \sqrt{39}.
Кроме того дано, что угол
BAD
равен
30^{o},
и угол
ADC
равен
60^{\circ}.
Через точку
D
проходит прямая, делящая трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите длину всего отрезка этой прямой, находящегося внутри трапеции.
15.46. Дан параллелограмм
ABCD,
в котором
AB = a,
BC=b,
\angle ABC =\alpha.
Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников
BCD
и
DAB.
15.47. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин правильного вписанного треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.
15.48. Сторона ромба
ABCD
равна
a,
а острый угол равен
\alpha.
На отрезках
AD
и
BC
построены как на сторонах вне ромба правильные треугольники. Найдите расстояние между центрами этих треугольников.
15.49. В окружность радиуса 2 вписан правильный шестиугольник
ABCDEF.
Из точки
K,
лежащей на продолжении стороны
AF
так, что
KA \lt KF
и
KA = \sqrt{11} - 1,
проведена секущая
KH,
пересекающая окружность в точках
N
и
H.
Известно, что внешняя часть секущей
KN
равна 2
(KN = 2),
а угол
NFH~\tire
тупой. Найдите угол
HKF.
15.50. Окружность, вписанная в треугольник
ABC
делит медиану
BM
на три равные части. Найдите отношение
BC:CA:AB.
15.51. Медиана
AD
остроугольного треугольника
ABC
равна 5. Проекции этой медианы на стороны
AB
и
AC
равны 4 и
2\sqrt{5}
соответственно. Найдите сторону
BC.
15.52. Теорема Стюарта. Точка
D
расположена на стороне
BC
треугольника
ABC.
Докажите, что
AB^{2}\cdot DC + AC^{2}\cdot BD - AD^{2}\cdot BC = BC\cdot DC\cdot BD.
15.53. Около окружности описана равнобедренная трапеция с основаниями
AD
и
BC
(AD \gt BC).
Прямая, параллельная диагонали
AC,
пересекает стороны
AD
и
CD
в точках
M
и
N
соответственно и касается окружности в точке
P.
Найдите углы трапеции, если
\frac{MP}{PN}=k
(k \lt 1).
15.54. Даны отрезки
a
и
b.
Постройте отрезок
\sqrt[4]{a^{4} + b^{4}}.
15.55. Точка
D
лежит на стороне
AC
треугольника
ABC.
Окружность радиуса
\frac{2}{\sqrt{3}},
вписанная в треугольник
ABD,
касается стороны
AB
в точке
M,
а окружность радиуса
\sqrt{3},
вписанная в треугольник
BCD,
касается стороны
BC
в точке
N.
Известно, что
BM = 6,
BN = 5.
Найдите стороны треугольника
ABC.
15.56. Сторона
BC
треугольника
ABC
равна 4, сторона
AB
равна
2\sqrt{19}.
Известно, что центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла
C.
Найдите
AC.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 16. Теорема синусов

Теорема синусов. Пусть
a,
b,
c~\tire
стороны треугольника;
\alpha,
\beta,
\gamma~\tire
противолежащие им углы;
R~\tire
радиус описанной окружности. Тогда
\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} =\frac{c}{\sin \gamma} = 2R.
16.1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, а угол при вершине равен
120^{\circ}.
Найдите диаметр описанной окружности.
16.2. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 и 8 и углом между ними, равным
60^{\circ}.
16.3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными
a,
a
и
b.
16.4. Под каким углом видна из точек окружности хорда, равная радиусу?
16.5. Дан треугольник
ABC,
в котором
AC = \sqrt{2},
BC = 1,
\angle ABC = 45^{\circ}.
Найдите угол
BAC.
16.6. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом, равным
30^{\circ},
если известно, что биссектриса, проведённая из вершины прямого угла, равна
a.
16.7. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 13, 14, 15.
16.8. Боковая сторона равнобокой трапеции равна
a,
средняя линия равна
b,
а один углов при большем основании равен
30^{\circ}.
Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции.
16.9. В треугольнике
ABC
известно, что
\angle A = \alpha,
\angle C = \beta,
AB = a;
AD~\tire
биссектриса. Найдите
BD.
16.10. Основания равнобокой трапеции равны 9 и 21, высота равна 8. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.
16.11. Прямая, пересекающая основание равнобедренного треугольника и проходящая через противоположную вершину, делит этот треугольник на два. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны.
16.12. С помощью теоремы синусов докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
16.13. В треугольнике известны сторона
a
и два прилежащих к ней угла
\beta
и
\gamma.
Найдите биссектрису, проведённую из вершины третьего угла.
16.14. Медиана
AM
треугольника
ABC
равна
m
и образует со сторонами
AB
и
AC
углы, равные
\alpha
и
\beta
соответственно. Найдите эти стороны.
16.15. Дан треугольник
ABC,
в котором
\angle A = \alpha ,
\angle B = \beta.
На стороне
AB
взята точка
D,
а на стороне
AC~\tire
точка
M,
причём
CD~\tire
биссектриса треугольника
ABC,
DM \parallel BC
и
AM = a.
Найдите
CM.
16.16. Углы треугольника равны
\alpha ,
\beta
и
\gamma,
а периметр равен
P.
Найдите стороны треугольника.
16.17. Одна из боковых сторон трапеции образует с большим основанием угол, равный
\alpha,
а вторая равна
a
и образует с меньшим основанием угол, равный
\beta.
Найдите среднюю линию трапеции, если меньшее основание равно
b.
16.18. В круге радиуса 12 хорда
AB
равна 6, а хорда
BC
равна 4. Найдите хорду, соединяющую концы дуги
AC.
16.19. Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около неё, если известно, что эти окружности существуют.
16.20. На стороне
AB
треугольника
ABC
во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник. Найдите расстояние между его центром и вершиной
C,
если
AB = c
и
\angle C = 120^{\circ}.
16.21. В треугольнике
ABC
известно, что
AC = b
и
\angle ABC = \alpha.
Найдите радиус окружности, проходящей через центр вписанного в треугольник
ABC
круга и вершины
A
и
C.
16.22. Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен
60^{\circ}.
Через центр вписанной окружности этого треугольника и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите её радиус.
16.23. Докажите, что если стороны
a,
b
и противолежащие им углы
\alpha
и
\beta
треугольника связаны соотношением
\frac{a}{\cos \alpha} = \frac{b}{\cos \beta},
то треугольник равнобедренный.
16.24. Две стороны треугольника равны
a
и
b.
Найдите третью сторону треугольника, если его угол, лежащий против третьей стороны, в два раза больше угла, лежащего против стороны, равной
b.
16.25. Две окружности пересекаются в точках
A
и
B.
Прямая, проходящая через точку
A,
вторично пересекает эти окружности в точках
C
и
D,
причём точка
A
лежит между
C
и
D,
а хорды
AC
и
AD
пропорциональны радиусам своих окружностей. Докажите, что биссектрисы углов
ADB
и
ACB
пересекаются на отрезке
AB.
16.26. В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.
16.27. Докажите, что для любого треугольника проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного одной стороне треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна третьей стороне.
16.28. Каждое из оснований высот треугольника проецируется на его стороны. Докажите, что длина отрезка, соединяющего проекции, не зависит от выбора высоты.
16.29. На окружности, описанной около треугольника
ABC,
найдите точку
M
такую, что расстояние между её проекциями на прямые
AC
и
BC
максимально.
16.30. Высоты треугольника
ABC
пересекаются в точке
H.
Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников
ABC,
AHB,
BHC
и
AHC,
равны между собой.
16.31. В окружности проведены две хорды
AB = a
и
AC = b.
Длина дуги
AC
вдвое больше длины дуги
AB.
Найдите радиус окружности.
16.32. Из точки
M
на окружности проведены три хорды:
MN = 1,
MP =6,
MQ = 2.
При этом углы
NMP
и
PMQ
равны. Найдите радиус окружности.
16.33. В треугольнике
ABC
известно, что
AB = 2,
AC = 5,
BC = 6.
Найдите расстояние от вершины
B
до точки пересечения высот треугольника
ABC.
16.34. В остроугольном треугольнике
ABC
из вершин
A
и
C
опущены высоты
AP
и
CQ
на стороны
BC
и
AB.
Известно, что площадь треугольника
ABC
равна 18, площадь треугольника
BPQ
равна 2, а
PQ =2\sqrt{2}.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника
ABC.
16.35. Отрезки
AB
и
CD~\tire
диаметры одной окружности. Из точки
M
этой окружности опущены перпендикуляры
MP
и
MQ
на прямые
AB
и
CD.
Докажите, что длина отрезка
PQ
не зависит от положения точки
M.
16.36. Постройте треугольник по углу и радиусам вписанной и описанной окружностей.
16.37. Через вершины
A
и
B
треугольника
ABC
проходит окружность радиуса
r,
пересекающая сторону
BC
в точке
D.
Найдите радиус окружности, проходящей через точки
A,
D
и
C,
если
AB = c
и
AC = b.
16.38. Найдите отношение радиусов вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника с углом
\alpha
при основании.
16.39. Радиус окружности, описанной около остроугольного треугольника
ABC,
равен 1. Известно, что на этой окружности лежит центр другой окружности, проходящей через вершины
A,
C
и точку пересечения высот треугольника
ABC.
Найдите
AC.
16.40. Дан треугольник
ABC,
в котором
\angle BAC = 75^{\circ},
AB = 1,
AC = \sqrt{6}.
На стороне
BC
выбрана точка
M
так, что
\angle BAM = 30^{\circ}.
Прямая
AM
пересекает окружность, описанную около треугольника
ABC
в точке
N,
отличной от
A.
Найдите
AN.
16.41. Даны отрезок
AB
и на нём точка
C.
Найдите геометрическое место точек пересечения двух равных окружностей, одна из которых проходит через точки
A
и
C,
другая — через точки
C
и
B.
16.42. Продолжения высот
AM
и
CN
остроугольного треугольника
ABC
пересекают описанную около него окружность в точках
P
и
Q.
Найдите радиус описанной окружности, если
AC = a,
PQ = \frac{6}{5}a.
16.43. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.
16.44. Две окружности радиусов
R
и
r
пересекаются в точках
A
и
B
и касаются прямой в точках
C
и
D.
N~\tire
точка пересечения прямых
AB
и
CD
(B
между
A
и
N).
Найдите:
1) радиус окружности, описанной около треугольника
ACD;
2) отношение высот треугольников
NAC
и
NAD,
опущенных из вершины
N.
16.45. В треугольник
ABC
помещены три равных окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Все три окружности имеют одну общую точку. Найдите радиусы этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника
ABC
равны
R
и
r.
16.46. В выпуклом четырёхугольнике
ABKC
сторона
AB
равна
\sqrt{3},
диагональ
BC
равна 1, а углы
ABC,
BKA
и
BKC
равны
120^{\circ},
30^{\circ}
и
60^{\circ}
соответственно. Найдите сторону
BK.
16.47. В треугольнике
ABC
известно, что
AB = 20,
AC = 24.
Известно также, что вершина
C,
центр вписанного в треугольник
ABC
круга и точка пересечения биссектрисы угла
A
со стороной
BC
лежат на окружности, центр которой лежит на стороне
AC.
Найдите радиус описанной около треугольника
ABC
окружности.
16.48. В выпуклом четырёхугольнике
ABCD
проведены диагонали
AC
и
BD.
Известно, что
AD = 2,
\angle ABD = \angle ACD = 90^{\circ},
и расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники
ABD
и
ACD,
равно
\sqrt{2}.
Найдите
BC.
16.49. Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении
1:2.
16.50. Четырёхугольник
ABCD
со сторонами
AB=40
и
CD=10
вписан в окружность. Диагонали
AC
и
BD
пересекаются в точке
K,
причём
\angle AKB=60^{\circ}.
Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника
ABCD.
16.51. На окружности, описанной около треугольника
ABC
взята точка
M.
Прямая
MA
пересекается с прямой
BC
в точке
L,
а прямая
CM~\tire
с прямой
AB
в точке
K.
Известно, что
AL = a,
BK = b,
CK = c.
Найдите
BL.
16.52. В треугольнике
ABC
угол
ABC
равен
\alpha,
угол
BCA
равен
2\alpha.
Окружность, проходящая через точки
A,
C
и центр описанной около треугольника
ABC
окружности, пересекает сторону
AB
в точке
M.
Найдите отношение
AM:AB.
16.53. В выпуклом четырёхугольнике
ABCD
известны углы:
\angle BAC =20^{\circ},
\angle BCA = 35^{\circ},
\angle BDC = 40^{\circ},
\angle BDA = 70^{\circ}.
Найдите угол между диагоналями этого четырёхугольника.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 17. Площадь — 2

Пусть
a,
b,
c~\tire
стороны треугольника;
\alpha ,
\beta ,
\gamma~\tire
противолежащие им углы;
R~\tire
радиус описанной окружности;
r~\tire
радиус вписанной окружности;
p~\tire
полупериметр.
Формулы площади треугольника:
S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma,
S = pr,
S = \frac{abc}{4R},
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
(формула Герона).
17.1. Среди всех треугольников с заданными сторонами
AB
и
AC
найдите тот, у которого наибольшая площадь.
17.2. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.
17.3. Найдите площадь треугольника
ABC,
если известно, что
AB = a,
\angle A = \alpha,
\angle B = \beta.
17.4. В параллелограмме
ABCD
угол
BAD
равен
60^{\circ},
а сторона
AB
равна 3. Биссектриса угла
A
пересекает сторону
BC
в точке
E.
Найдите площадь треугольника
ABE.
17.5. Докажите, что если диагонали выпуклого четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.
17.6. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и
\sqrt{15},
а медиана, проведённая к третьей, равна 2.
17.7. Стороны треугольника равны
a,
b,
b.
Найдите высоту, проведённую к стороне
b.
17.8. В треугольник со сторонами
a
и
b
и углом
\alpha
между ними вписан полукруг с диаметром на третьей стороне. Найдите его радиус.
17.9. а) В треугольнике
ABC
известно, что
AB = 8,
AC = 6,
\angle BAC =60^{\circ}.
Найдите биссектрису
AM.
б) Стороны треугольника равны
a
и
b,
а угол между ними равен
\alpha.
Найдите биссектрису, проведённую из вершины этого угла.
17.10. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
17.11. Найдите площадь трапеции: а) с основаниями 18 и 13 и боковыми сторонами 3 и 4; б) с основаниями 16 и 44 и боковыми сторонами 17 и 25.
17.12. В треугольнике
ABC
известно, что
\angle BAC = \alpha ,
\angle BCA = \gamma ,
AB =c.
Найдите площадь треугольника
ABC.
17.13. Найдите площадь трапеции: а) с основаниями 11 и 4 и диагоналями 9 и 12; б) с основаниями 6 и 3 и диагоналями 7 и 8.
17.14. В равнобедренной трапеции основания равны 40 и 24, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.
17.15. Площадь треугольника
ABC
равна
S,
\angle BAC = \alpha,
AC = b.
Найдите
BC.
17.16. Две стороны треугольника равны
2\sqrt{2}
и 3, площадь треугольника равна 3. Найдите третью сторону.
17.17. Медианы
AN
и
BM
треугольника
ABC
равны 6 и 9 соответственно и пересекаются в точке
K,
причём угол
AKB
равен
30^{\circ}.
Найдите площадь треугольника
ABC.
17.18. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.
17.19. Расстояния от точки
M,
лежащей внутри треугольника
ABC,
до его сторон
AC
и
BC
соответственно равны 2 и 4. Найдите расстояние от точки
M
до прямой
AB,
если
AB = 10,
BC = 17,
AC = 21.
17.20. В треугольник вписан круг радиуса 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 и 8. Найдите две другие стороны треугольника.
17.21. Вершины треугольника соединены с центром вписанного круга. Проведёнными отрезками площадь этого треугольника разделилась на три части: 28, 60 и 80. Найдите стороны треугольника.
17.22. Основание равнобедренного треугольника равно
a,
а высота, опущенная на боковую сторону, равна
h.
Найдите площадь треугольника.
17.23. Найдите высоты треугольника, если его углы равны
\alpha,
\beta
и
\gamma,
а площадь равна
S.
17.24. Найдите стороны треугольника, если его углы равны
\alpha,
\beta
и
\gamma,
а площадь равна
S.
17.25. Точки
B_{1}
и
C_{1}~\tire
основания высот треугольника
ABC,
площадь которого равна
S,
а угол
BAC
равен
\alpha.
Найдите площадь треугольника
AB_{1}C_{1}.
17.26. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 35 и 14, а биссектриса угла между ними равна 12.
17.27. В остроугольном треугольнике
ABC
из вершин
A
и
C
опущены высоты
AP
и
CQ
на стороны
BC
и
AB.
Известно, что площадь треугольника
ABC
равна 18, площадь треугольника
BPQ
равна 2, а
PQ = 2\sqrt{2}.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника
ABC.
17.28. Дан треугольник
ABC.
Из вершины
A
проведена медиана
AM,
а из вершины
B~\tire
медиана
BP.
Известно, что угол
APB
равен углу
BMA.
Косинус угла
ACB
равен 0,8 и
BP = 1.
Найдите площадь треугольника
ABC.
17.29. В трапеции
ABCD
диагонали
AC
и
BD
перпендикулярны,
\angle BAC = \angle CDB.
Продолжения боковых сторон
AB
и
DC
пересекаются в точке
K,
образуя угол
AKD,
равный
30^{\circ}.
Найдите площадь треугольника
AKD,
если площадь трапеции равна
P.
17.30. В параллелограмме
ABCD
точка
E
делит пополам сторону
CD,
биссектриса угла
ABC
пересекает в точке
O
отрезок
AE.
Найдите площадь четырёхугольника
OBCE,
зная, что
AD = a,
DE = b,
\angle ABO = \alpha.
17.31. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Одна из них равна 6. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 4,5. Найдите площадь трапеции.
17.32. Около окружности радиуса
R
описан параллелограмм. Площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности и параллелограмма равна
S.
Найти стороны параллелограмма.
17.33. В треугольнике
ABC
известно, что
AB = 6,
BC = 4,
AC = 8.
Биссектриса угла
C
пересекает сторону
AB
в точке
D.
Через точки
A,
D
и
C
проведена окружность, пересекающая сторону
BC
в точке
E.
Найдите площадь треугольника
ADE.
17.34. В параллелограмме
ABCD
острый угол
BAD
равен
\alpha.
Пусть
O_{1},
O_{2},
O_{3},
O_{4}~\tire
центры окружностей, описанных соответственно около треугольников
DAB,
DAC,
DBC,
ABC.
Найдите отношение площади четырёхугольника
O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
к площади параллелограмма
ABCD.
17.35. В четырёхугольнике
ABCD
острый угол между диагоналями равен
\alpha.
Через каждую вершину проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не содержащей эту вершину. Найдите отношение площади четырёхугольника, ограниченного этими прямыми, к площади четырёхугольника
ABCD.
17.36. Из точки
P,
расположенной внутри остроугольного треугольника
ABC,
опущены перпендикуляры на его стороны. Длины сторон и опущенных на них перпендикуляров соответственно равны
a
и
k,
b
и
m,
c
и
n.
Найдите отношение площади треугольника
ABC
к площади треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.
17.37. Периметр выпуклого четырёхугольника равен 4. Докажите, что его площадь не превосходит 1.
17.38. Стороны треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит
\frac{\sqrt{3}}{4}.
17.39. Около треугольника
ABC
описана окружность. Медиана
AD
продолжена до пересечения с этой окружностью в точке
E.
Известно, что
AB + AD = DE,
\angle BAD = 60^{\circ},
AE = 6.
Найдите площадь треугольника
ABC.
17.40. Задача Люилье. Пусть
r~\tire
радиус вписанной окружности, а
r_{a},
r_{b}
и
r_{c}~\tire
радиусы вневписанных окружностей треугольника
ABC,
касающихся сторон
BC=a,
AC=b,
AB=c
соответственно;
p~\tire
полупериметр треугольника
ABC,
S~\tire
его площадь. Докажите, что:
\mbox{а)}~\frac{1}{r} = \frac{1}{r_{a}} + \frac{1}{r_{b}} + \frac{1}{r_{c}};
\mbox{б)}~S = \sqrt{rr_{a}r_{b}r_{c}}.
17.41. В остроугольном треугольнике
ABC
проведены высоты
AM
и
CN,
O~\tire
центр описанной около
ABC
окружности. Известно, что
\angle ABC = \beta,
а площадь четырёхугольника
NOMB
равна
S.
Найдите
AC.
17.42. Две окружности пересекаются в точках
A
и
K.
Их центры расположены по разные стороны от прямой, содержащей отрезок
AK.
Точки
B
и
C
лежат на разных окружностях. Прямая, содержащая отрезок
AB,
касается одной окружности в точке
A.
Прямая, содержащая отрезок
AC,
касается другой окружности также в точке
A.
Длина отрезка
BK
равна 1, длина отрезка
CK
равна 4, а тангенс угла
CAB
равен
\frac{1}{\sqrt{15}}.
Найдите площадь треугольника
ABC.
17.43. В остроугольном треугольнике
ABC
с углом
C,
равным
30^{\circ},
высоты пересекаются в точке
M.
Найдите площадь треугольника
AMB,
если расстояние от центра окружности, описанной около треугольника
ABC,
до сторон
BC
и
AC
соответственно равны
\sqrt{2}
и
\frac {\sqrt{3}}{3}.
17.44. На отрезке
AB
лежат точки
C
и
D,
причём точка
C~\tire
между точками
A
и
D.
Точка
M
взята так, что прямые
AM
и
MD
перпендикулярны и прямые
CM
и
MB
тоже перпендикулярны. Найдите площадь треугольника
AMB,
если известно, что величина угла
CMD
равна
\alpha,
а площадь треугольников
AMD
и
CMB
равны
S_{1}
и
S_{2}
соответственно.
17.45. Формула Брахмагупты. Докажите, что если стороны вписанного четырёхугольника равны
a,
b,
c
и
d,
то его площадь
S
может быть вычислена по формуле
S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},
где
p = \frac{1}{2}(a+b+c+d)~\tire
полупериметр четырёхугольника.
17.46. Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а противолежащий этой стороне угол равен
120^{\circ}.
Найдите площадь треугольника.
17.47. Площадь треугольника
ABC
равна
15\sqrt{3}.
Угол
BAC
равен
120^{\circ}.
Угол
ABC
больше угла
ACB.
Расстояние от вершины
A
до центра окружности, вписанной в треугольник
ABC,
равно 2. Найдите медиану треугольника
ABC,
проведённую из вершины
B.
17.48. В окружность радиуса 7 вписан четырёхугольник
ABCD.
Известно, что
AB = BC,
площадь треугольника
BCD
в два раза меньше площади треугольника
ABD,
\angle ADC = 120^{\circ}.
Найдите все стороны четырёхугольника
ABCD.
17.49. Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно
k.
17.50. На прямой, проходящей через центр
O
окружности радиуса 12, взяты точки
A
и
B
так, что
OA = 15,
AB = 5
и
A
лежит между
O
и
B.
Из точек
A
и
B
проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой
OB.
Найдите площадь треугольника
ABC,
где
C~\tire
точка пересечения этих касательных.
17.51. Точки
K,
L,
M,
N
и
P
расположены последовательно на окружности радиуса
2\sqrt{2}.
Найдите площадь треугольника
KLM,
если
LM \parallel KN,
KM \parallel NP,
MN \parallel LP,
а угол
LOM
равен
45^{\circ},
где
O~\tire
точка пересечения хорд
LN
и
MP.
17.52. В прямоугольном треугольнике
ABC
с прямым углом
C,
углом
B,
равным
30^{\circ},
и катетом
CA = 1,
проведена медиана
CD.
Кроме того, из точки
D
под углом
15^{\circ}
к гипотенузе проведена прямая, пересекающая отрезок
BC
в точке
F.
Найдите площадь треугольника
CDF.
17.53. Окружность радиуса 3 проходит через вершину
B,
середины сторон
AB
и
BC,
а также касается стороны
AC
треугольника
ABC.
Угол
BAC
острый и
\sin \angle BAC = \frac{1}{3}.
Найдите площадь треугольника
ABC.
17.54. Остроугольный равнобедренный треугольник и трапеция вписаны в окружность. Одно основание трапеции является диаметром окружности, а боковые стороны параллельны боковым сторонам треугольника. Докажите, что трапеция и треугольник равновелики.
17.55. На стороне
AB
треугольника
ABC
выбрана точка
D
так, что
CD=\sqrt{13}
и
\sin \angle ACD : \sin \angle BCD = 4:3.
Через середину отрезка
CD
проведена прямая, пересекающая стороны
AC
и
BC
в точках
M
и
N
соответственно. Известно, что
\angle ACB = 120^{\circ},
площадь треугольника
MCN
равна
3\sqrt{3},
а расстояние от точки
M
до прямой
AB
в два раза больше расстояния от точки
N
до этой же прямой. Найдите площадь треугольника
ABC.
17.56. Внутри правильного треугольника имеется точка, удалённая от его вершин на расстояния 5, 6 и 7. Найдите площадь этого правильного треугольника.
17.57. Стороны четырёхугольника равны
a,
b,
c
и
d.
Известно, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь равна
\sqrt{abcd}.
17.58. Пусть
a,
b,
c,
d~\tire
последовательные стороны четырёхугольника. Докажите, что если
S~\tire
его площадь, то
S \le \frac{1}{2}(ac + bd),
причём равенство имеет место только для вписанного четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
17.59. Каждая диагональ выпуклого пятиугольника
ABCDE
отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника
ABCDE.
17.60. В треугольнике
ABC
на стороне
AC
взята точка
D.
Окружности, вписанные в треугольники
ABD
и
BCD,
касаются стороны
AC
в точках
M
и
N
соответственно. Известно, что
AM = 3,
MD = 2,
DN =2,
NC = 4.
Найдите стороны треугольника
ABC.
17.61. Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного вокруг окружности четырёхугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания сторон первого четырёхугольника с окружностью.
17.62. Все биссектрисы треугольника меньше 1. Докажите, что его площадь меньше
\frac{1}{\sqrt{3}}.
17.63. В трапеции основания равны
a
и
b,
диагонали перпендикулярны, а угол между боковыми сторонами равен
\alpha.
Найдите площадь трапеции.
17.64. На отрезке
AC
взята точка
B
и на отрезках
AB,
BC
и
AC
построены как на диаметрах полуокружности
S_{1},
S_{2}
и
S_{3}
по одну сторону от
AC.
Пусть
D~\tire
точка на
S_{3},
проекция которой на
AC
совпадает с точкой
B.
Общая касательная к
S_{1}
и
S_{2}
касается этих полуокружностей в точках
E
и
F
соответственно.
а) Докажите, что прямая
EF
параллельна касательной к
S_{3}
в точке
D.
б) Докажите, что
BFDE~\tire
прямоугольник.
в) Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей, если известно, что её центр удалён от прямой
AC
на расстояние
a.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 18. Применение формул тригонометрии

18.1. В треугольнике
ABC
угол
ABC
равен
\alpha,
угол
BCA
равен
2\alpha.
Окружность, проходящая через точки
A,
C
и центр описанной около треугольника
ABC
окружности, пересекает сторону
AB
в точке
M.
Найдите отношение
AM
к
AB.
18.2. В равнобедренной трапеции с острым углом
\alpha
при основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны. В каком отношении она делит большее основание трапеции?
18.3. Площадь равнобедренной трапеции равна
\sqrt{3}.
Угол между диагональю и основанием на
20^{\circ}
больше угла между диагональю и боковой стороной. Найдите острый угол трапеции, если её диагональ равна 2.
18.4. Точки
K,
L,
M,
N,
P
расположены последовательно на окружности радиуса
2\sqrt{2}.
Найдите площадь треугольника
KLM,
если
LM \parallel KN,
KM \parallel NP,
MN \parallel LP,
а угол
LOM
равен
45^{\circ},
где
O~\tire
точка пересечения хорд
LN
и
MP.
18.5. Через вершины
A
и
B
треугольника
ABC
проведена окружность, пересекающая стороны
BC
и
AC
в точках
D
и
E
соответственно. Площадь треугольника
CDE
в семь раз меньше площади четырёхугольника
ABDE.
Найдите хорду
DE
и радиус окружности, если
AB = 4
и
\angle C = 45^{\circ}.
18.6. В остроугольном треугольнике
ABC
из основания
D
высоты
BD
опущены перпендикуляры
DM
и
DN
на стороны
AB
и
BC.
Известно, что
MN=a,
BD = b.
Найдите угол
ABC.
18.7. Биссектриса
AD
равнобедренного треугольника
ABC
(AB = BC)
делит сторону
BC
на отрезки
BD = b
и
DC = c.
Найдите биссектрису
AD.
18.8. В окружности проведены две хорды
AB = a
и
AC = b.
Длина дуги
AC
вдвое больше длины дуги
AB.
Найдите радиус окружности.
18.9. На прямой, проходящей через центр
O
окружности радиуса 12, взяты точки
A
и
B
так, что
OA = 15,
AB = 5
и
A
лежит между
O
и
B.
Из точек
A
и
B
проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой
OB.
Найдите площадь треугольника
ABC,
где
C~\tire
точка пересечения этих касательных.
18.10. Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника в точке пересечения с высотой, опущенной на гипотенузу, делится на отрезки, отношение которых равно
1+\sqrt{2},
считая от вершины. Найдите острые углы треугольника.
18.11. Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.
18.12. В треугольнике
ABC
точка
D
лежит на стороне
BC,
прямая
AD
пересекается с биссектрисой угла
ACB
в точке
O.
Известно, что точки
C,
D
и
O
лежат на окружности, центр которой находится на стороне
AC,
AC:AB = 3:2,
а величина угла
DAC
в три раза больше величины угла
DAB.
Найдите косинус угла
ACB.
18.13. На окружности радиуса 12 с центром в точке
O
лежат точки
A
и
B.
Прямые
AC
и
BC
касаются этой окружности. Другая окружность с центром в точке
M
вписана в треугольник
ABC
и касается стороны
AC
в точке
K,
а стороны
BC~\tire
в точке
H.
Расстояние от точки
M
до прямой
KH
равно 3. Найдите величину угла
AOB.
18.14. Биссектриса
AE
угла
A
рассекает четырёхугольник
ABCD
на равнобедренный треугольник
ABE
(AB = BE)
и ромб
AECD.
Радиус круга, описанного около треугольника
ECD,
в 1,5 раза больше радиуса круга, вписанного в треугольник
ABE.
Найдите отношение периметров этих треугольников.
18.15. В треугольнике
ABC
известно, что
AB = 20,
AC = 24.
Известно также, что вершина
C,
центр вписанного в треугольник
ABC
круга и точка пересечения биссектрисы угла
A
со стороной
BC
лежат на окружности, центр которой лежит на стороне
AC.
Найдите радиус описанной около треугольника
ABC
окружности.
18.16. Радиус вписанной в треугольник
ABC
окружности равен 4, причём
AC = BC.
На прямой
AB
взята точка
D,
удалённая от прямых
AC
и
BC
на расстояния 11 и 3 соответственно. Найдите косинус угла
DBC.
18.17. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу описанной окружности равно
\sqrt{\frac{2}{3}}.
Найдите углы трапеции.
18.18. В прямоугольном треугольнике
ABC
из точки
E,
расположенной в середине катета
BC,
опущен перпендикуляр
EL
на гипотенузу
AB.
Найдите углы треугольника
ABC,
если
AE = \sqrt{10}EL
и
BC\gt AC.
18.19. Равнобедренные треугольники
ABC
(AB = BC)
и
A_{1}B_{1}C_{1}
(A_{1}B_{1} = B_{1}C_{1})
подобны и
AC:A_{1}C_{1}= 5:\sqrt{3}.
Вершины
A_{1}
и
B_{1}
расположены соответственно на сторонах
AC
и
BC,
а вершина
C_{1}~\tire
на продолжении стороны
AB
за точку
B,
причём
A_{1}B_{1}
перпендикулярно
BC.
Найдите угол
ABC.
18.20. В прямоугольной трапеции
ABCD
углы
A
и
D
прямые, сторона
AB
параллельна стороне
CD;
длины сторон равны:
AB = 1,
CD = 4,
AD = 5.
На стороне
AD
взята точка
M
так, что угол
CMD
вдвое больше угла
BMA.
В каком отношении точка
M
делит сторону
AD?
18.21. Углы треугольника
ABC
удовлетворяют равенству
\cos^{2}A + \cos^{2}B + \cos^{2}C = 1.
Найдите площадь этого треугольника, если радиусы вписанной и описанной окружностей равны
\sqrt{3}
и
3\sqrt{2}
соответственно.
18.22. В остроугольном треугольнике
ABC
высота
AD,
медиана
BE
и биссектриса
CF
пересекаются в точке
O.
Найдите
\angle C,
если
OE=2OC.
18.23. Высоты равнобедренного остроугольного треугольника, в котором
AB = BC,
пересекаются в точке
O.
Найдите площадь треугольника
ABC,
если
AO = 5,
а высота
AD
равна 8.
18.24. В круге проведены два перпендикулярных диаметра
AE
и
BF.
На дуге
EF
взята точка
C.
Хорды
CA
и
CB
пересекают диаметры
BF
и
AE
в точках
P
и
Q
соответственно. Докажите, что площадь четырёхугольника
APQB
равна квадрату радиуса круга.
18.25. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите площадь треугольника.
18.26. На основании
AB
равнобедренного треугольника
ABC
выбрана точка
D
так, что окружность, вписанная в треугольник
BCD,
имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков
CA
и
CD
и отрезка
AD
(вневписанная окружность треугольника
ACD).
Докажите, что этот радиус равен четверти высоты треугольника, опущенной на её боковую сторону.
18.27. Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина — на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 19. Векторы на плоскости

Для любых трёх точек
A,
B
и
C
верны равенства
\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}
и
\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}.
Два ненулевых вектора
\vec{a}
и
\vec{b}
коллинеарны тогда и только тогда, когда
\vec{a} = k\cdot \vec{b},
где
k~\tire
некоторое число.
Любой вектор можно единственным образом разложить по двум неколлинеарным векторам.
19.1. Пусть
M~\tire
середина отрезка
AB,
O~\tire
произвольная точка. Докажите, что
\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OB}).
19.2. Даны точки
A(1;-1),
B(-5;1),
C(3;2).
Найдите координаты вершины
D
параллелограмма
ABCD,
а также координаты векторов
\vec{AC}
и
\vec{BD}.
19.3. Точки
M
и
N~\tire
расположены соответственно на сторонах
AB
и
AC
треугольника
ABC,
причём
AM:MB = AN:NC = 2:3.
Выразите вектор
\vec{MN}
через вектор
\vec{CB}.
19.4. Точка
M~\tire
середина стороны
BC
параллелограмма
ABCD.
Выразите вектор
\vec{AM}
через векторы
\vec{AC}
и
\vec{BD}.
19.5. Пусть
M~\tire
середина отрезка
AB,
M_{1}~\tire
середина отрезка
A_{1}B_{1}.
Докажите, что
\vec{MM_{1}} = \frac{1}{2}(\vec{AA_{1}} + \vec{BB_{1}}).
19.6. Точка
M
расположена на стороне
BC
треугольника
ABC.
Известно, что
\vec{AB} = \vec{a},
\vec{AC}=\vec{b}.
Найдите вектор
\vec{AM},
если:
\mbox{а)}~BM:MC = 2:5;
\mbox{б)}~BM:MC = m:n.
19.7. В правильном шестиугольнике
ABCDEF
известно, что
\vec{AB} = \vec{a},
\vec{AF} = \vec{b}.
Найдите векторы
\vec{AD},
\vec{BD},
\vec{FD}
и
\vec{BM},
где
M~\tire
середина стороны
EF.
19.8. Две взаимно перпендикулярные хорды
AB
и
CD
окружности с центром
O
пересекаются в точке
M.
Докажите, что
\vec{OM} = \frac{1}{2} (\vec{OA}+\vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}).
19.9. Проведены четыре радиуса
OA,
OB,
OC
и
OD
окружности с центром
O.
Докажите, что если
\vec{OA} + \vec{OB}+\vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0},
то
ABCD~\tire
прямоугольник.
19.10. Пусть
AA_{1},
BB_{1},
CC_{1}~\tire
медианы треугольника
ABC.
Докажите, что
\vec{AA}_{1} + \vec{BB}_{1} + \vec{CC}_{1} = \vec{0}.
19.11. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника.
19.12. Пусть
M~\tire
точка пересечения медиан треугольника
ABC,
O~\tire
произвольная точка. Докажите, что
\vec{OM} = \frac{1}{3} (\vec{OA}+\vec{OB}+ \vec{OC}).
19.13. Докажите что координаты точки пересечения медиан треугольника равны средним арифметическим координат вершин.
19.14. Пусть
M~\tire
точка пересечения диагоналей
AC
и
BD
параллелограмма
ABCD,
O~\tire
произвольная точка. Докажите, что
\vec{OM} = \frac{1}{4} (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}).
19.15. На сторонах треугольника
ABC
построены параллелограммы
ABKL,
BCMN
и
ACFG.
Докажите, что из отрезков
KN,
MF
и
GL
можно составить треугольник.
19.16. Пусть
M_{1},
M_{2},
…,
M_{6}~\tire
середины сторон выпуклого шестиугольника
A_{1}A_{2}\dots A_{6}.
Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам
M_{1}M_{2},
M_{3}M_{4},
M_{5}M_{6}.
19.17. Из медиан
AA_{1},
BB_{1}
и
CC_{1}
треугольника
ABC
составлен треугольник
KMN,
а из медиан
KK_{1},
MM_{1}
и
NN_{1}
треугольника
KMN~\tire
треугольник
PQR.
Докажите, что третий треугольник подобен первому и найдите коэффициент подобия.
19.18. Пусть
M
и
N~\tire
точки пересечения медиан треугольников
ABC
и
PQR
соответственно. Докажите, что
\vec{MN} = \frac{1}{3} (\vec{AP} + \vec{BQ} + \vec{CR}).
19.19. Даны два параллелограмма
ABCD
и
A_{1}B_{1}C_{1}D_{1},
у которых
O
и
O_{1}~\tire
точки пересечения диагоналей. Докажите равенство
\vec{OO_{1}} = \frac{1}{4}(\vec{AA_{1}} + \vec{BB_{1}} + \vec{CC_{1}} + \vec{DD_{1}}).
19.20. Пусть точки
A_{1},
B_{1}
и
C_{1}~\tire
середины сторон
BC,
AC
и
AB
треугольника
ABC.
Докажите, что для любой точки
O
выполняется равенство
\vec{OA_{1}} + \vec{OB_{1}} + \vec{OC_{1}} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}.
19.21. Дан треугольник
ABC
и точка
M.
Известно, что
\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}.
Докажите, что
M~\tire
точка пересечения медиан треугольника
ABC.
19.22. Стороны параллелограмма разделены по обходу в равных отношениях. Докажите, что точки деления служат вершинами параллелограмма, а центры симметрии этих параллелограммов совпадают.
19.23. На сторонах треугольника заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки пересечения медиан данного треугольника и треугольника, имеющего вершинами точки деления, совпадают.
19.24. Из произвольной точки
M
внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры
MK_{1},
MK_{2},
MK_{3}
на его стороны. Докажите, что
\vec{MK_{1}} + \vec{MK_{2}} + \vec{MK_{3}} = \frac{3}{2}\vec{MO},
где
O~\tire
центр треугольника.
19.25. Точки
M,
K,
N
и
L~\tire
середины сторон
AB,
BC,
CD
и
DE
пятиугольника
ABCDE
(не обязательно выпуклого),
P
и
Q~\tire
середины отрезков
MN
и
KL.
Докажите, что отрезок
PQ
в четыре раза меньше стороны
AE
и параллелен ей.
19.26. Докажите, что при произвольном выборе точки
O
равенство
\vec{OC} = k\vec{OA} + (1-k)\vec{OB}
является необходимым и достаточным условием принадлежности различных точек
A,
B,
C
одной прямой.
19.27. В треугольнике
ABC
известно, что
BC = a,
AC = b,
AB = c,
O~\tire
центр вписанной окружности. Разложите вектор
\vec{OC}
по векторам
\vec{CB}
и
\vec{CA}.
19.28. На диагоналях
AC
и
CE
правильного шестиугольника
ABCDEF
взяты точки
M
и
N
соответственно, такие, что
\frac{AM}{AC} = \frac{CN}{CE} = \lambda .
Известно, что точки
B,
M
и
N
лежат на одной прямой. Найдите
\lambda.
19.29. Теорема Гамильтона. Пусть
H~\tire
точка пересечения высот треугольника
ABC,
O~\tire
центр описанной окружности. Докажите, что
\vec{OH} = \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}.
19.30. На берегу круглого озера растут шесть сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого — с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?
19.31. На стороне
AB
треугольника
ABC
с углом
ABC,
равным
\alpha,
расположена точка
K,
причём
AK = BC.
Пусть
P~\tire
середина
BK,
M~\tire
середина
AC.
Найдите угол
APM.
19.32. Докажите, что центр описанной окружности, точка пересечения медиан (центроид) и точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника лежат на одной прямой (прямая Эйлера).
19.33. Пусть
I~\tire
центр вписанной окружности треугольника
ABC
со сторонами
BC = a,
AC = b,
AB = c;
O~\tire
произвольная точка плоскости. Докажите, что
\vec{OI} = \frac{a\vec{OA} + b\vec{OB} + c\vec{OC}}{a+b+c}.
19.34. Пусть
O~\tire
центр правильного многоугольника
A_{1}A_{2}\dots A_{n},
X~\tire
произвольная точка плоскости. Докажите, что:
\mbox{a)}~ \vec{OA_{1}}+\vec{OA_{2}}+\dots + \vec{OA_{n}} = \vec{0};
\mbox{б)}~ \vec{XA_{1}}+\vec{XA_{2}}+\dots + \vec{XA_{n}} = n\vec{XO}.
19.35. Какую линию описывает середина отрезка между двумя пешеходами, равномерно идущими по прямым дорогам?

Дополнительные задачи

19.36. Точки
K,
N,
L,
M
расположены соответственно на сторонах
AB,
BC,
CD
и
AD
выпуклого четырёхугольника
ABCD,
причём
\frac{AK}{KB} = \frac{DL}{LC} = \alpha,
\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC} = \beta.
Докажите, что точка пересечения
P
отрезков
KL
и
MN
делит их в тех же отношениях, т. е.
\frac{MP}{PN} = \alpha ,
\frac{KP}{PL} = \beta.
19.37. На сторонах треугольника
ABC
во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники
ADB,
BEC
и
CFA
({AD}:{DB} = {BE}:{EC} = {CF}:{FA} = k;
\angle ADB = \angle BEC = \angle CFA = \alpha).
Докажите, что:
а) середины отрезков
AC,
DC,
BC
и
EF~\tire
вершины параллелограмма;
б) у этого параллелограмма два угла равны
\alpha,
а отношение сторон равно
k.
19.38. Длины сторон треугольника
ABC
равны
a,
b
и
c
(AB=c,
BC=a,
CA=b
и
a\lt b\lt c).
На лучах
BC
и
AC
отмечены соответственно такие точки
B_{1}
и
A_{1},
что
BB_{1}=AA_{1}=c.
На лучах
CA
и
BA
отмечены соответственно такие точки
C_{2}
и
B_{2},
что
CC_{2}=BB_{2}=a.
Найдите отношение
A_{1}B_{1}:C_{2}B_{2}.
19.39. Докажите, что четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с точкой пересечения медиан треугольника, образованного тремя оставшимися вершинами, пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении
3:1,
причём эта точка — середина отрезка, соединяющего середины противоположных сторон четырёхугольника.
19.40. Четырёхугольник
ABCD~\tire
вписанный. Пусть
H_{a}~\tire
ортоцентр треугольника
BCD,
M_{a}~\tire
середина отрезка
AH_{a}.
Точки
M_{b},
M_{c}
и
M_{d}
определяются аналогично. Докажите, что точки
M_{a},
M_{b},
M_{c}
и
M_{d}
совпадают.
19.41. Вневписанные окружности касаются сторон
AB
и
AC
треугольника
ABC
в точках
P
и
Q
соответственно. Точка
L~\tire
середина
PQ,
точка
M~\tire
середина
BC.
Точки
L_{1}
и
L_{2}
симметричны точке
L
относительно середин отрезков
BM
и
CM
соответственно. Докажите, что
L_{1}P=L_{2}Q.
19.42. Из произвольной точки
M
опущены перпендикуляры
MK_{1},
…,
MK_{n}
на все стороны правильного
n\defis
угольника. Докажите, что
\vec{MK_{1}}+\dots +\vec{MK_{n}}=\frac{n}{2}\cdot \vec{MO},
где
O~\tire
центр
n\defis
угольника.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 20. Скалярное произведение на плоскости

20.1. Докажите следующие свойства скалярного произведения:
а)
\vec{a}\cdot \vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a};
б)
\alpha \vec{a}\cdot \vec{b} = \alpha(\vec{a}\cdot \vec{b});
в)
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})= \vec{a}\cdot \vec{b} +\vec{a}\cdot \vec{c};
г)
|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}{}^{2}};
д) скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:
\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos \varphi;
е)
(\vec{a}+\vec{b})^{2} = \vec{a}{}^{2}+ 2(\vec{a}\cdot \vec{b}) + \vec{b}{}^{2};
ж)
(\vec{a}\cdot \vec{b})^{2} \le \vec{a}{}^{2}\cdot \vec{b}{}^{2},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы
\vec{a}
и
\vec{b}
коллинеарны;
з) ненулевые векторы
\vec{a}
и
\vec{b}
перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
20.2. Даны точки
A(1;5),
B(-3;-3)
и
C(5;1).
Найдите: а) угол между медианами треугольника
ABC,
проведёнными из вершин
A
и
C;
б) угол между медианой
BM
и стороной
AC.
20.3. Угол между векторами
\vec{a}
и
\vec{b}
равен
45^{\circ}.
Известно, что
|\vec{a}|=1
и
|\vec{b}|=\sqrt{2}.
Найдите: а) длину вектора
3\vec{a}-\vec{b};
б) косинус угла между векторами
3\vec{a}-\vec{b}
и
2\vec{a}+\vec{b}.
20.4. Даны три вектора
\vec{a},
\vec{b}
и
\vec{c}.
Докажите, что вектор
\vec{c}
перпендикулярен вектору
(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b}.
20.5. Докажите, что разность квадратов соседних сторон параллелограмма меньше произведения его диагоналей.
20.6. На стороне
BC
треугольника
ABC
взята точка
M,
причём
BM:MC = 3:2.
Известно, что
BC=15,
AC=10,
AB=8.
а) Выразите вектор
\vec{AM}
через векторы
\vec{AB}
и
\vec{AC}.
б) Найдите длину отрезка
AM.
20.7. Стороны треугольника равны
a,
b
и
c.
Найдите: а) медианы треугольника; б) биссектрису треугольника, проведённую к стороне, равной
a.
20.8. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других вершин.
20.9. Пусть
A,
B,
C,
D~\tire
произвольные точки. Докажите, что
\vec{AB}\cdot \vec{CD} +\vec{BC}\cdot \vec{AD} +\vec{CA}\cdot \vec{BD} = 0.
Пользуясь эти равенством, докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
20.10. Точка
K~\tire
середина стороны
AB
квадрата
ABCD,
а точка
M
лежит на диагонали
AC,
причём
AM:MC = 3:1.
Докажите, что
\angle KMD = 90^{\circ}.
20.11. На сторонах
AB
и
AC
треугольника
ABC
во внешнюю сторону построены квадраты
AMNB
и
CKLA.
Докажите, что медиана
AP
треугольника
ABC
перпендикулярна прямой
ML.
20.12.
ABCD~\tire
вписанный четырёхугольник,
AB\gt CD,
BC\gt AD.
На сторонах
AB
и
BC
отмечены точки
X
и
Y
так, что
AX=CD
и
AD=CY;
M~\tire
середина
XY.
Докажите, что угол
AMC~\tire
прямой.
20.13. Пусть
\alpha,
\beta,
\gamma~\tire
углы треугольника. Докажите, что:
\mbox{а)}~ {\cos \alpha} + \cos \beta + \cos \gamma \le \frac{3}{2};
\mbox{б)}~ {\cos 2\alpha} + \cos 2\beta + \cos 2\gamma \ge -\frac{3}{2}.
Когда достигаются равенства?
20.14. Диагонали
AC
и
BD
четырёхугольника
ABCD
равны и перпендикулярны. Точки
P,
Q,
R
и
S
лежат на сторонах
AB,
BC,
CD
и
DA
соответственно, причём
AP:PB=BQ:QC=CR:RD=DS:SA.
Докажите, что
PR \perp QS
и
PR=QS.
20.15. Пусть
a,
b,
c~\tire
стороны треугольника,
R~\tire
радиус описанной окружности. Докажите, что
a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \le 9R^{2}.
20.16. Пусть
O~\tire
центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника
ABC
(AB=AC),
D~\tire
середина стороны
AB,
а
E~\tire
точка пересечения медиан треугольника
ACD.
Докажите, что
OE \perp CD.
20.17. В треугольнике
ABC
известно, что
AA_{1}~\tire
медиана,
AA_{2}~\tire
биссектриса,
K~\tire
такая точка на
AA_{1},
для которой
KA_{2} \parallel AC.
Докажите, что
AA_{2} \perp KC.
20.18. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций:
\mbox{а)}~ f(x) = 3\sin x + 4\cos x;
\mbox{б)}~ f(x) =4\sqrt{1-x} + 3\sqrt{x}.
20.19. Пусть
O~\tire
центр описанной окружности треугольника
ABC,
а точка
H
обладает тем свойством, что
\vec{OH} = \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}.
Докажите, что
H~\tire
точка пересечения высот треугольника
ABC.
20.20. Пусть
r
и
R~\tire
радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника,
d~\tire
расстояние между их центрами. Докажите, что
d^{2} = R^{2} - 2rR
(формула Эйлера).
20.21. Докажите, что точка, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника минимальна, есть точка пересечения медиан треугольника.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 21. Декартовы координаты на плоскости

Если точка
M(x_{0};y_{0})~\tire
середина отрезка с концами в точках
A(x_{1};y_{1})
и
B(x_{2};y_{2}),
то
x_{0}= \frac{x_{1}+x_{2}}{2}
и
y_{0}= \frac{y_{1}+y_{2}}{2}.
Квадрат расстояния между точками
A(x_{1},y_{1})
и
B(x_{2},y_{2})
равен
(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}.
Окружность радиуса
R
с центром в точке
A(a;b)
имеет уравнение вида
(x-a)^{2} + (y-b)^{2} = R^{2}.
Любая прямая в декартовых координатах
xOy
имеет уравнение вида
ax + by + c = 0,
где
a,
b,
c~\tire
некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел
a,
b
отлично от нуля.
Любая прямая, не параллельная оси ординат, имеет уравнение вида
y = kx + l.
Число
k
называется угловым коэффициентом прямой. Угловой коэффициент прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью
Ox.
21.1. Даны точки
A(-1;5)
и
B(3;-7).
Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка
AB.
21.2. Даны точки
A(3;5),
B(-6;-2)
и
C(0;-6).
Докажите, что треугольник
ABC
равнобедренный.
21.3. Даны точки
A(2;4),
B(6;-4)
и
C(-8;-1).
Докажите, что треугольник
ABC
прямоугольный.
21.4. Докажите что точки
A(-1;-2),
B(2;-1)
и
C(8;1)
лежат на одной прямой.
21.5. Даны точки
A(-2;1),
B(2;5)
и
C(4;-1).
Точка
D
лежит на продолжении медианы
AM
за точку
M,
причём четырёхугольник
ABDC~\tire
параллелограмм. Найдите координаты точки
D.
21.6. Дана точка
M(-1;3).
Найдите координаты точки, симметричной точке
M
относительно: а) оси
Ox;
б) оси
Oy;
в) начала координат; г) точки
K(3;1);
д) биссектрисы I и III координатных углов; е) биссектрисы II и IV координатных углов.
21.7. Даны точки
A(-2;0),
B(1;6),
C(5;4)
и
D(2;-2).
Докажите, что четырёхугольник
ABCD~\tire
прямоугольник.
21.8. Даны точки
A(0;-2),
B(-2;1),
C(0;0)
и
D(2;-9).
Укажите те из них, которые лежат на прямой
2x - 3y + 7 = 0.
21.9. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку
M(-3;1)
параллельно: а) оси
Ox;
б) оси
Oy.
21.10. Найдите расстояние между точкой
A(1;7)
и точкой пересечения прямых
x - y - 1 = 0
и
x + 3y - 12 = 0.
21.11. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку
M(-3;2)
параллельно прямой
2x - 3y + 4 = 0.
21.12. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых
3x + 2y - 5 = 0
и
x - 3y + 2 = 0
параллельно оси ординат.
21.13. Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых
2x + y - 6 = 0,
x - y + 4 = 0
и
y + 1 = 0.
21.14. Даны точки
A(-2;2),
B(-2;-2)
и
C(6;6).
Составьте уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника
ABC.
21.15. Даны точки
A(4;1),
B(-8;0)
и
C(0;-6).
Составьте уравнение прямой, на которой лежит медиана
AM
треугольника
ABC.
21.16. Окружность с центром в точке
M(3;1)
проходит через начало координат. Составьте уравнение окружности.
21.17. Найдите радиус и координаты центра окружности, заданной уравнением:
\mbox{а)}~(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16;
\mbox{б)}~x^{2} + y^{2} - 2(x - 3y) - 15= 0;
\mbox{в)}~x^{2} + y^{2} = x + y + \frac{1}{2}.
21.18. Даны точки
A(0;0),
B(4;0)
и
C(0;6).
Составьте уравнение окружности, описанной около треугольника
ABC.
21.19. Найдите длину хорды, которую на прямой
y = 3x
высекает окружность
(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25.
21.20. Докажите, что прямая
3x - 4y + 25 = 0
касается окружности
x^{2} + y^{2} = 25
и найдите координаты точки касания.
21.21. Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку
A(2;1).
21.22. Найдите координаты точек пересечения окружностей
(x - 2)^{2} + (y - 10)^{2} = 50
и
x^{2} + y^{2} + 2(x - y) - 18 = 0.
21.23. Даны точки
A(0;0),
B(-2;1),
C(3;3),
D(2;-1)
и окружность
(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25.
Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.
21.24. Даны точки
A(-6;1)
и
B(4;6).
Найдите координаты точки
C,
делящей отрезок
AB
в отношении
2:3,
считая от точки
A.
21.25. Даны точки
A(5;5),
B(8;-3)
и
C(-4;1).
Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника
ABC.
21.26. Даны точки
A(-6;-1),
B(1;2)
и
C(-3;-2).
Найдите координаты вершины
M
параллелограмма
ABMC.
21.27. Даны точки
A(-1;3),
B(1;-2),
C(6;0)
и
D(4;5).
Докажите, что четырёхугольник
ABCD~\tire
квадрат.
21.28°. Известно, что прямая с угловым коэффициентом
k
проходит через точку
M(x_{0};y_{0}).
Докажите, что её уравнение имеет вид
y - y_{0} = k(x - x_{0}).
21.29°. Известно, что прямая проходит через точки
M(x_{1};y_{1})
и
N(x_{2};y_{2}),
причём
x_{1} \ne x_{2}
и
y_{1} \ne y_{2}.
Докажите, что её уравнение имеет вид
\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}.
21.30. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки
A(-2;1),
B(9;3)
и
C(1;7).
21.31. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку
A(0;7)
и касающейся окружности
(x -15)^{2} + (y - 2)^{2} = 25.
21.32. Докажите, что прямые, заданные уравнениями
y = k_{1}x + l_{1}
и
y = k_{2}x + l_{2},
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
k_{1}k_{2}= -1.
21.33. Даны точки
A(-2;3),
B(2;6),
C(6;-1)
и
D(-3;-4).
Докажите, что диагонали четырёхугольника
ABCD
перпендикулярны.
21.34. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку
M(-1;4)
перпендикулярно прямой
x - 2y + 4 = 0.
21.35. Даны точки
A(6;1),
B(-5;-4),
C(-2;5).
Составьте уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника
ABC,
проведённая из вершины
A.
21.36. Даны точки
A(5;-1),
B(4;-8),
C(-4;-4).
Найдите координаты точки пересечения высот треугольника
ABC.
21.37. С помощью метода координат докажите, что суммы квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до противоположных вершин прямоугольника равны между собой.
21.38. С помощью метода координат найдите геометрическое место точек плоскости, разность квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна.
21.39. Даны точки
A
и
B.
Найдите геометрическое место точек
M,
для которых
AM = 2BM.
21.40. Даны точки
A,
B
и положительное число
d.
Найдите геометрическое место точек
M,
для которых
AM^{2} + BM^{2} = d.
21.41. Докажите, что расстояние от точки
M(x_{0};y_{0})
до прямой, заданной уравнением
ax + by + c = 0,
равно
\frac{|ax_{0}+ by_{0}+ c|}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}.
21.42. Найдите расстояние между параллельными прямыми
y = -3x + 5
и
y = -3x - 4.
21.43. Составьте уравнение окружности с центром в точке
M(3;2),
касающейся прямой
y = 2x + 6.
21.44. Точка
M
лежит на прямой
3x - 4y + 34 = 0,
а точка
N~\tire
на окружности
x^{2} + y^{2} - 8x + 2y - 8 = 0.
Найдите наименьшее расстояние между точками
M
и
N.
21.45. Даны точки
A(x_{1};y_{1}),
B(x_{2};y_{2})
и неотрицательное число
\lambda.
Найдите координаты точки
M
луча
AB,
для которой
AM:AB = \lambda.

Дополнительные задачи

21.46. Даны точки
A(x_{1};y_{1}),
B(x_{2};y_{2})
и прямая
ax + by + c = 0.
Известно, что
ax_{1} + by_{1} + c \gt 0,
а
ax_{2} + by_{2} + c \lt 0.
Докажите, что точки
A
и
B
расположены по разные стороны от этой прямой.
21.47. Найдите наименьшее значение выражения
|a+b| + \sqrt{(a - 1)^{2} + (b - 3)^{2}}.
21.48. Две окружности касаются внешним образом в точке
A.
Прямая, проходящая через точку
A
вторично пересекает окружности в точках
B
и
C.
Найдите геометрическое место середин отрезков
BC.
21.49. На координатной плоскости нарисовали график функции
y =x^{2},
а затем стёрли оси координат. Восстановите их с помощью циркуля и линейки.
21.50. Назовём точку плоскости рациональной, если её обе координаты — рациональные числа. Докажите, что если на окружности
x^{2} + y^{2} = R
(R~\tire
целое) есть хотя бы одна рациональная точка, то на этой окружности бесконечно много рациональных точек.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 22. Центральная симметрия

22.1. Докажите, что при центральной симметрии каждый луч переходит в противоположно направленный с ним луч.
22.2. Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.
22.3. На противоположных сторонах параллелограмма как на сторонах построены вне параллелограмма два квадрата. Докажите, что прямая, соединяющая их центры, проходит через центр параллелограмма.
22.4. Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.
22.5. Найдите координаты образа точки
M(x;y)
при симметрии относительно: а) начала координат; б) точки
A(a;b).
22.6. Пусть
a
и
b~\tire
некоторые числа. Каждой точке
M(x;y)
координатной плоскости поставим в соответствие точку
M'(x';y'),
для которой
x' = 2a-x
и
y' = 2b-y.
Докажите, что это соответствие есть центральная симметрия плоскости. Каковы координаты центра симметрии?
22.7. Выпуклый многоугольник имеет центр симметрии. Докажите, что сумма его углов делится на
360^{\circ}.
22.8. Дан угол и точка внутри него. Проведите через данную точку прямую, отрезок которой, заключённый внутри угла, делился бы этой точкой пополам.
22.9. Дан параллелограмм и точка
M
на одной из его сторон. Постройте ромб, одна вершина которого — точка
M,
а остальные три вершины лежат на трёх других сторонах параллелограмма.
22.10. Проведите через общую точку
A
окружностей
S_{1}
и
S_{2}
прямую так, чтобы эти окружности высекали на ней равные хорды.
22.11. Через данную точку проведите прямую, отрезок которой, заключённый между двумя данными окружностями, делился бы этой точкой пополам.
22.12. Даны две концентрические окружности
S_{1}
и
S_{2}.
Постройте прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.
22.13. Дан параллелограмм
ABCD
и точка
M.
Через точки
A,
B,
C
и
D
проведены прямые, параллельные прямым
MC,
MD,
MA
и
MB
соответственно. Докажите, что они пересекаются в одной точке.
22.14. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно равны и параллельны. Докажите, что он имеет центр симметрии.
22.15. При симметрии относительно точки пересечения медиан треугольник
ABC
переходит в треугольник
A_{1}B_{1}C_{1}.
Треугольники
ABC
и
A_{1}B_{1}C_{1}
при пересечении образуют шестиугольник
KLMNOP.
Докажите, что диагонали
KN,
LO
и
MP
этого шестиугольника пересекаются в одной точке и найдите стороны шестиугольника, если стороны треугольника
ABC
равны
a,
b
и
c.
22.16. Докажите, что противоположные стороны шестиугольника, образованного сторонами треугольника и касательными к его вписанной окружности, параллельными сторонам, равны между собой.
22.17. Диагонали
AC
и
BD
параллелограмма
ABCD
пересекаются в точке
O.
Докажите, что окружности, описанные около треугольников
AOB
и
COD,
касаются.
22.18. Существуют фигуры, имеющие бесконечное множество центров симметрии (например, полоса между двумя параллельными прямыми). Может ли фигура иметь более одного, но конечное число центров симметрии?
22.19. Теорема Монжа. Докажите, что прямые, проведённые через середины сторон вписанного четырёхугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.
22.20. Две окружности пересекаются в точках
A
и
B.
Через точку
A
проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке
C,
а вторую — в точке
D.
Пусть
M
и
N~\tire
середины дуг
BC
и
BD,
не содержащих точку
A,
а
K~\tire
середина отрезка
CD.
Докажите, что угол
MKN
равен
90^{\circ}.
(Можно считать, что точки
C
и
D
лежат по разные стороны от точки
A.)
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 23. Осевая симметрия

23.1. Докажите, что диагональ ромба является его осью симметрии.
23.2. Существует ли фигура, не имеющая осей симметрии, но переходящая в себя при некотором повороте?
23.3. Существует ли фигура, не имеющая ни осей симметрии, ни центров симметрии, но переходящая в себя при некотором повороте?
23.4. Найдите координаты точки, симметричной точке
M(x;y)
относительно: а) оси ординат; б) оси абсцисс; в) прямой
x = a;
г) прямой
y = b;
д) прямой
y = x;
е) прямой
y = -x.
23.5. Фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии. Докажите, что она имеет центр симметрии.
23.6. Существует ли фигура, имеющая ровно две оси симметрии, но не имеющая центра симметрии?
23.7. Четырёхугольник имеет ровно две оси симметрии. Верно ли, что он либо прямоугольник, либо ромб?
23.8. Может ли пятиугольник иметь ровно две оси симметрии?
23.9. Может ли фигура иметь центр симметрии и ровно одну ось симметрии?
23.10. Докажите, что всякий выпуклый четырёхугольник с осью симметрии либо вписанный, либо описанный.
23.11. Точки
A
и
B
лежат по разные стороны от прямой
l.
Постройте на этой прямой точку
M
так, чтобы прямая
l
делила угол
AMB
пополам.
23.12. Внутри острого угла даны точки
M
и
N.
Как из точки
M
направить луч света, чтобы он, отразившись последовательно от сторон угла, попал в точку
N?
23.13.
AB~\tire
диаметр окружности;
C,
D,
E~\tire
точки на одной полуокружности
ACDEB.
На диаметре
AB
взяты: точка
F
так, что
\angle CFA = \angle DFB,
и точка
G
так, что
\angle DGA = \angle EGB.
Найдите
\angle FDG,
если дуга
AC
равна
60^{\circ},
а дуга
BE
равна
20^{\circ}.
23.14. Внутри острого угла даны точки
M
и
N.
Постройте на сторонах угла точки
K
и
L
так, чтобы периметр четырёхугольника
MKLN
был наименьшим.
23.15. Постройте треугольник по данным серединам двух его сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведённая к одной из этих сторон.
23.16. Постройте треугольник по основаниям двух его биссектрис и прямой, на которой лежит третья биссектриса.
23.17. Точки
M
и
N
расположены по разные стороны от прямой
l.
Постройте на прямой
l
такую точку
K,
чтобы разность отрезков
MK
и
NK
была наибольшей.
23.18. На плоскости даны прямая
l
и две точки
A
и
B
по одну сторону от неё. На прямой
l
выбраны точка
M,
сумма расстояний от которой до точек
A
и
B
наименьшая, и точка
N,
для которой расстояния от
A
и
B
равны:
AN = BN.
Докажите, что точки
A,
B,
M,
N
лежат на одной окружности.
23.19. Постройте четырёхугольник
ABCD
по четырём сторонам, если известно, что его диагональ
AC
является биссектрисой угла
A.
23.20. Постройте четырёхугольник
ABCD
по двум сторонам
AB
и
AD
и двум углам
B
и
D,
если известно, что в него можно вписать окружность.
23.21. Постройте треугольник, если даны одна его вершина и три прямые, на которых лежат его биссектрисы.
23.22. Постройте треугольник по двум сторонам и разности углов, прилежащих к третьей.
23.23. Постройте треугольник по двум углам и разности противолежащих им сторон.
23.24. Постройте треугольник по разности двух сторон, углу между ними и стороне, противолежащей этому углу.
23.25.
AD~\tire
биссектриса угла
A
в треугольнике
ABC.
Через точку
A
проведена прямая, перпендикулярная к
AD,
и из вершины
B
опущен перпендикуляр
BB_{1}
на эту прямую. Докажите, что периметр треугольника
BB_{1}C
больше периметра треугольника
ABC.
23.26. Среди всех треугольников
ABC
с данным углом
C
и стороной
AB
найдите треугольник с наибольшим возможным периметром.
23.27. Найдите среди всех треугольников с данным основанием и данной площадью треугольник наименьшего периметра.
23.28. Постройте остроугольный треугольник по основаниям двух его высот и прямой, содержащей третью высоту.
23.29. Постройте треугольник по центру его описанной окружности и двум прямым, на которых лежат высоты.
23.30. Задача Фаньяно. Впишите в данный остроугольный треугольник
ABC
треугольник наименьшего периметра.
23.31. На плоскости заданы две пересекающиеся прямые, и на них отмечено по одной точке
(D
и
F)
. Постройте треугольник
ABC,
у которого биссектрисы
CD
и
AF
лежат на данных прямых, а их основания — данные точки
D
и
F.
23.32. Восстановите треугольник, если на плоскости отмечены три точки:
O~\tire
центр описанной окружности,
P~\tire
точка пересечения медиан и
H~\tire
основание одной из высот этого треугольника.
23.33. Найдите углы остроугольного треугольника
ABC,
если известно, что его биссектриса
AD
равна стороне
AC
и перпендикулярна отрезку
OH,
где
O~\tire
центр описанной окружности,
H~\tire
точка пересечения высот треугольника
ABC.
23.34. Даны прямая
l
и точки
A
и
B
по одну сторону от неё. Пусть
A_{1}
и
B_{1}~\tire
проекции этих точек на прямую
l.
Постройте на прямой
l
такую точку
M,
чтобы угол
AMA_{1}
был вдвое меньше угла
BMB_{1}.
23.35. На плоскости дан треугольник
ABC
и точка
M,
отличная от его вершин. Известно, что точки, симметричные точке
M
относительно двух сторон треугольника
ABC
попадают на окружность, описанную около треугольника
ABC.
Докажите, что точка, симметричная точке
M
относительно третьей стороны, также попадает на эту окружность.
23.36. Внутри треугольника
ABC
с углами
\angle A = 50^{\circ},
\angle B = 60^{\circ},
\angle C = 70^{\circ}
дана точка
M
такая, что
\angle AMB = 110^{\circ},
\angle BMC = 130^{\circ}.
Найдите
\angle MBC.
23.37. Постройте равнобедренный треугольник, основание которого лежало бы на одной стороне данного острого угла, вершина — на другой стороне того же угла, а боковые стороны проходили бы через две данные точки внутри этого угла.
23.38. Дана прямая
l
и точки
A
и
B
по одну сторону от неё. Постройте на прямой
l
точку
X
такую, что
AX + BX = a,
где
a~\tire
данная величина.
23.39. Задача Эрдёша. Точка
P,
лежащая на одной из двух дуг
AB
окружности, соединена с серединой
M
второй дуги
AB.
Хорды
PL
и
PM
пересекают хорду
AB
соответственно в её середине
K
и в некоторой точке
N.
Сравните отрезки
KL
и
MN.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 24. Параллельный перенос

24.1. Дан угол
ABC
и прямая
l.
Параллельно прямой
l
проведите прямую, на которой стороны угла
ABC
высекают отрезок данной длины.
24.2. Постройте хорду данной окружности, равную и параллельную данному отрезку.
24.3. Постройте отрезок, равный и параллельный данному, так, чтобы его концы лежали на данной прямой и на данной окружности.
24.4. Постройте отрезок, равный и параллельный данному, так, чтобы его концы лежали на двух данных окружностях.
24.5. Внутри прямоугольника
ABCD
взята точка
M.
Докажите, что существует выпуклый четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями длины
AB
и
BC,
стороны которого равны
AM,
BM,
CM,
DM.
24.6. Две окружности радиуса
R
касаются в точке
K.
На одной из них взята точка
A,
а на другой — точка
B,
причём
\angle AKB = 90^{o}.
Докажите, что
AB = 2R.
24.7. Две окружности радиуса
R
пересекаются в точках
M
и
N.
Пусть
A
и
B~\tire
точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку
MN
с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой
MN.
Докажите, что
MN^{2} + AB^{2} = 4R^{2}.
24.8. В каком месте следует построить мост
MN
через реку, разделяющую две данные деревни
A
и
B,
чтобы путь
AMNB
из деревни
A
в деревню
B
был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).
24.9. Через точку пересечения двух окружностей проведите секущую так, чтобы часть её, заключённая внутри окружностей, имела данную длину.
24.10. Параллельно данной прямой проведите прямую, на которой две данные окружности высекали бы хорды равной длины.
24.11. Параллельно данной прямой проведите прямую, на которой две данные окружности высекали бы хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину
a.
24.12. Постройте четырёхугольник
ABCD
по четырём углам и сторонам
AB = a
и
CD = b.
24.13. Постройте четырёхугольник по трём сторонам и углам, прилежащим к четвёртой.
24.14. Постройте четырёхугольник по диагоналям, углу между ними и двум каким-нибудь сторонам.
24.15. Постройте выпуклый четырёхугольник по четырём сторонам и отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон.
24.16. Среди всех четырёхугольников с данными диагоналями и данным углом между ними найдите четырёхугольник наименьшего периметра.
24.17. Дан отрезок
AB.
Найдите на плоскости множество точек
C
таких, что в треугольнике
ABC
медиана проведённая из вершины
A,
равна высоте, проведённой из вершины
B.
24.18. Из вершины
B
параллелограмма
ABCD
проведены его высоты
BK
и
BH.
Известны отрезки
KH = a
и
BD = b.
Найдите расстояние от точки
B
до точки пересечения высот треугольника
BKH.
24.19. Даны непересекающиеся хорды
AB
и
CD
некоторой окружности. Постройте на этой окружности такую точку
X,
чтобы хорды
AX
и
BX
высекали на хорде
CD
отрезок
EF,
имеющий данную длину
a.
24.20. Даны окружность, две точки
P
и
Q
этой окружности и прямая. Найдите на окружности такую точку
M,
чтобы прямые
MP
и
MQ
отсекали на данной прямой отрезок
AB
данной величины.
24.21. Через данную точку проведите прямую, на которой две данные окружности высекали бы равные хорды.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 25. Поворот

25.1°. Докажите, что треугольник
ABC
является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на
60^{\circ}
(либо по часовой стрелке, либо против) относительно точки
A
вершина
B
переходит в
C.
25.2. Через центр квадрата проведены две перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата образуют квадрат.
25.3. Пусть две прямые пересекаются в точке
O
под углом
\alpha.
Докажите, что при повороте на угол
\alpha
(в одном из направлений) относительно произвольной точки, отличной от
O,
одна из этих прямых перейдёт в прямую, параллельную другой.
25.4. На сторонах
BC
и
CD
параллелограмма
ABCD
постройте точки
M
и
N
так, чтобы угол при вершине
A
равнобедренного треугольника
MAN
имел данную величину
\alpha.
25.5. Пусть
M
и
N~\tire
середины сторон
CD
и
DE
правильного шестиугольника
ABCDEF.
Найдите угол между прямыми
AM
и
BN.
25.6. Шестиугольник
ABCDEF~\tire
правильный,
K
и
M~\tire
середины отрезков
BD
и
EF.
Докажите, что треугольник
AMK~\tire
правильный.
25.7. Постройте равносторонний треугольник
ABC
так, чтобы его вершины лежали на трёх данных параллельных прямых.
25.8. Постройте равносторонний треугольник, одна вершина которого лежала бы на данной окружности, другая — на данной прямой, а третья — в данной точке.
25.9. Постройте квадрат три вершины которого лежали бы на трёх данных параллельных прямых.
25.10. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник с вершиной прямого угла в данной точке и с вершинами острых углов на двух данных окружностях.
25.11. Точка
P
лежит внутри равностороннего треугольника
ABC.
Докажите, что существует треугольник стороны которого равны отрезкам
PA,
PD
и
PC.
25.12. Впишите квадрат в данный параллелограмм.
25.13. На отрезке
AE
по одну сторону от него построены равносторонние треугольники
ABC
и
CDE;
M
и
P~\tire
середины отрезков
AD
и
BE.
Докажите, что треугольник
CPM~\tire
равносторонний.
25.14. Дан ромб
ABCD
с острым углом
A,
равным
60^{\circ}.
Прямая
MN
отсекает от сторон
AB
и
BC
отрезки
MB
и
NB,
сумма которых равна стороне ромба. Найдите углы треугольника
MDN.
25.15. Теорема Помпею. На дуге
BC
окружности, описанной около равностороннего треугольника
ABC,
взята произвольная точка
M.
Докажите, что
AM = BM + CM.
25.16. Два квадрата
BCDA
и
BKMN
имеют общую вершину
B.
Докажите, что медиана
BE
треугольника
ABK
и высота
BF
треугольника
CBN
лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке).
25.17. На сторонах
BC
и
CD
квадрата
ABCD
взяты точки
M
и
K
соответственно, причём
\angle BAM = \angle MAK.
Докажите, что
BM + KD = AK.
25.18. Дан правильный треугольник
ABC.
Некоторая прямая, параллельная прямой
AC,
пересекает прямые
AB
и
BC
в точках
M
и
P,
соответственно. Точка
D~\tire
центр правильного треугольника
PMB,
точка
E~\tire
середина отрезка
AP.
Найдите углы треугольника
DEC.
25.19. На сторонах треугольника
ABC
внешним образом построены правильные треугольники
ABC_{1},
AB_{1}C
и
A_{1}BC.
Пусть
P
и
Q~\tire
середины отрезков
A_{1}B_{1}
и
A_{1}C_{1}.
Докажите, что треугольник
APQ~\tire
правильный.
25.20. Внутри квадрата
A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}
взята точка
P.
Из вершины
A_{1}
опущен перпендикуляр на
A_{2}P,
из
A_{2}~\tire
на
A_{3}P,
из
A_{3}~\tire
на
A_{4}P,
из
A_{4}~\tire
на
A_{1}P.
Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекается в одной точке.
25.21. Из вершины
A
квадрата
ABCD
внутрь квадрата проведены два луча, на которые опущены перпендикуляры
BK,
BL,
DM,
DN
из вершин
B
и
D.
Докажите, что отрезки
KL
и
MN
равны и перпендикулярны друг другу.
25.22. Даны две точки и окружность. через данные точки проведите две секущие, отрезки которых внутри данной окружности были бы равны и пересекались бы под данным углом
\alpha.
25.23. На сторонах треугольника
ABC
построены вне треугольника равносторонние треугольники
BCA_{1},
CAB_{1},
ABC_{1},
и проведены отрезки
AA_{1},
BB_{1}
и
CC_{1}.
Докажите, что эти отрезки равны между собой.
25.24. Точка
M
лежит внутри квадрата
ABCD,
а точка
K~\tire
вне, причём треугольники
AMD
и
CKD~\tire
равносторонние. Докажите, что точки
B,
M
и
K
лежат на одной прямой.
25.25. Точка
P
расположена внутри квадрата
ABCD,
причём
AP:BP:CP = 1:2:3.
Найдите угол
APB.
25.26. Вокруг квадрата описан параллелограмм (вершины квадрата лежат на разных сторонах параллелограмма). Докажите, что перпендикуляры, опущенные их вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют новый квадрат.
25.27. Дан треугольник
ABC.
На его сторонах
AB
и
BC
построены внешним образом квадраты
ABMN
и
BCPQ.
Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков
MQ
и
AC
образуют квадрат.
25.28. Задача Ферма. Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 26. Композиция движений

26.1. На плоскости дан угол
\alpha
с вершиной в точке
O.
Докажите, что композиция симметрий относительно сторон угла является поворотом вокруг точки
O
на угол
2\alpha.
26.2. Через точку
O
на плоскости проходят
2n
прямых. Могут ли они служить серединными перпендикулярами к сторонам некоторого
2n\defis
угольника?
26.3. Дан вписанный
2n\defis
угольник с углами
\beta_{1},
\beta_{2},
…,
\beta_{2n}.
Докажите, что
\beta_{1}+ \beta_{3}+\dots + \beta_{2n-1}= \beta_{2}+ \beta_{4}+\dots + \beta_{2n}.
Верно ли обратное?
26.4. На плоскости даны прямые
l_{1},
l_{2},
…,
l_{2n},
пересекающиеся в одной точке. Блоха сидит в некоторой точке
M
плоскости и прыгает через прямую
l_{1},
попадая в точку
M_{1},
так, что
M
и
M_{1}
симметричны относительно прямой
l_{1},
далее — через прямую
l_{2}
и т. д. Докажите, что если через
2n
 прыжков блоха оказалась в точке
M,
то, начиная движение из любой точки плоскости, через
2n
 прыжков блоха окажется на прежнем месте.
26.5. На плоскости даны точки
O,
M
и прямая
l,
проходящая через точку
O.
Прямую
l
повернули вокруг точки
O
против часовой стрелки на угол
\alpha,
получив прямую
l_{1}.
Докажите, что точка, симметричная точке
M
относительно прямой
l_{1},
получается из точки, симметричной точке
M
относительно прямой
l,
поворотом вокруг точки
O
против часовой стрелки на угол
2\alpha.
26.6. Прямые
l
и
m
пересекаются в точке
O,
прямые
l_{1}
и
m_{1}
получены из прямых
l
и
m
поворотом на некоторый угол относительно точки
O.
Докажите, что композиция симметрий относительно
l
и
m
и композиция симметрий относительно
l_{1}
и
m_{1}~\tire
одно и то же преобразование.
26.7. Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные
360^{\circ},
является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна
360^{\circ}.
26.8. Круг поделили хордой
AB
на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки
A.
Пусть при этом повороте точка
B
перешла в точку
D.
Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка
BD,
перпендикулярны друг другу.
26.9. Дана прямая
l
и точка
O
на ней. Докажите, что композиция поворота вокруг точки
O
на угол
\alpha
и симметрии относительно прямой
l
есть осевая симметрия относительно прямой, проходящей через точку
O
и составляющей с прямой
l
угол
\frac{\alpha }{2}.
26.10. Докажите, что три прямые, симметричные относительно сторон треугольника прямой, проходящей через точку пересечения высот треугольника, пересекаются в одной точке.
26.11. Докажите, что композиция двух симметрий относительно параллельных прямых есть параллельный перенос в направлении, перпендикулярном к этим прямым, на величину, равную удвоенному расстоянию между ними.
26.12. На плоскости даны прямая
l
и точка
M.
Пусть
M_{1}~\tire
точка, симметричная точке
M
относительно прямой
l.
При параллельном переносе прямой
l
в перпендикулярном ей направлении на расстояние
h
прямая
l
перешла в прямую
l_{1}.
Докажите, что образ
M_{2}
точки
M
при симметрии относительно прямой
l_{1}
получается из точки
M_{1}
параллельным переносом в том же направлении на расстояние
2h.
26.13. На плоскости даны две параллельные прямые
l
и
m.
Их параллельно перенесли на некоторое расстояние
h,
получив прямые
l_{1}
и
m_{1}.
Докажите, что композиция симметрий относительно прямых
l
и
m
и композиция симметрий относительно прямых
l_{1}
и
m_{1}~\tire
одно и то же преобразование.
26.14. Докажите, что композиция трёх симметрий относительно прямых
l_{1},
l_{2}
и
l_{3}
есть осевая симметрия.
26.15. Докажите, что композиция параллельного переноса в направлении, перпендикулярном некоторой прямой, и симметрии относительно этой прямой есть осевая симметрия.
26.16. Докажите, что композиция
n
 осевых симметрий относительно прямых
l_{1},
l_{2},
…,
l_{n},
проходящих через точку
O,
есть:
а) поворот, если
n
чётно;
б) осевая симметрия, если
n
нечётно.
26.17. Докажите, что композиция симметрий относительно
n
 параллельных прямых
l_{1},
l_{2},
…,
l_{n}
есть:
а) параллельный перенос, если
n
чётно;
б) осевая симметрия, если
n
нечётно.
26.18. Из центра
O
окружности проведено
n
прямых
(n~\tire
нечётно). Постройте вписанный в окружность
n\defis
угольник, для которого данные прямые являются серединными перпендикулярами.
26.19. На плоскости дано
n
прямых
(n~\tire
нечётно), пересекающихся в одной точке. Постройте
n\defis
угольник, для которого эти прямые являются биссектрисами внешних или внутренних углов.
26.20. Впишите в данную окружность
n\defis
угольник, стороны которого соответственно параллельны
n
данным прямым.
26.21. В интервале
(0,\pi)
дано
n
чисел
\alpha_{1},
\alpha_{2},
…,
\alpha_{n},
при этом
\alpha_{1}+\alpha_{2}+\dots+ \alpha_{n}= \pi (n-2).
Впишите в данную окружность
n\defis
угольник, внутренние углы которого равны соответственно
\alpha_{1},
\alpha_{2},
…,
\alpha_{n}.
Когда построение возможно?
26.22. На плоскости даны
2n-1
прямых, окружность и точка
K
внутри окружности. Впишите в окружность
2n\defis
угольник, у которого одна сторона проходит через точку
K,
а остальные параллельны данным прямым.
26.23. На плоскости даны
2n
прямых, окружность и точка
K
внутри неё. Впишите в окружность
(2n+1)\defis
угольник, одна сторона которого проходит через точку
K,
а остальные стороны параллельны данным прямым.
26.24. Существует ли а) ограниченная, б) неограниченная фигура на плоскости, имеющая среди своих осей симметрии две параллельные несовпадающие прямые?
26.25. Через центр
O
окружности проведено
n
прямых. Постройте описанный около этой окружности
n\defis
угольник, вершины которого лежат на этих прямых.
26.26.
ABC~\tire
данный разносторонний треугольник,
A_{1},
B_{1},
C_{1}~\tire
точки касания его вписанной окружности со сторонами
BC,
AC,
AB
соответственно,
A_{2},
B_{2},
C_{2}~\tire
точки, симметричные точкам
A_{1},
B_{1},
C_{1}
относительно биссектрис соответствующих углов треугольника
ABC.
Докажите, что
A_{2}C_{2} \parallel AC.
26.27. Дан треугольник
ABC.
На его сторонах
AB
и
BC
построены внешним образом квадраты
ABMN
и
BCPQ.
Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков
MQ
и
AC
образуют квадрат.
26.28. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что их центры сами образуют квадрат.
26.29. На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.
26.30. Постройте многоугольник с нечётным числом сторон, зная середины его сторон.
26.31. На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.
26.32. Пусть
P,
Q
и
R~\tire
центры равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах
AB,
BC
и
AC
треугольника
ABC,
а
M,
N,
и
K~\tire
центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника
ABC
внутренним образом. Докажите, что разность площадей треугольников
PQR
и
MNK
равна площади треугольника
ABC.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 27. Гомотетия

27.1. На сторонах
AB
и
AC
треугольника
ABC
взяты точки
M
и
N
так, что
MN \parallel BC.
На отрезке
MN
взята точка
P
так, что
MP = \frac{1}{3}MN.
Прямая
AP
пересекает сторону
BC
в точке
Q.
Докажите, что
BQ = \frac{1}{3}BC.
27.2. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов.
27.3. Постройте прямоугольный треугольник по данному отношению одного катета к гипотенузе и второму катету.
27.4. На плоскости даны точки
A
и
B
и прямая
l.
По какой траектории движется точка пересечения медиан треугольников
ABC,
если точка
C
движется по прямой
l?
27.5. На основаниях трапеции как на сторонах построены во внешнюю сторону два квадрата. Докажите, что отрезок, соединяющий центры квадратов, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
27.6. Постройте трапецию, если даны: отношение её оснований, два угла при одном из этих оснований и высота.
27.7. Даны два отрезка, лежащие либо на одной прямой, либо на двух параллельных. Сколько существует гомотетий, переводящих эти отрезки друг в друга?
27.8. Докажите, что две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания.
27.9. Две окружности касаются в точке
K.
Прямая, проходящая через точку
K,
пересекает эти окружности в точках
A
и
B.
Докажите , что касательные к окружностям, проведённые через точки
A
и
B,
параллельны.
27.10. Сколько существует гомотетий, переводящих друг в друга две окружности?
27.11. Постройте общую касательную к двум данным окружностям.
27.12. Найдите геометрическое место середин отрезков, соединяющих данную точку, лежащую вне данной окружности, с точками этой окружности.
27.13. Через данную точку проведите секущую к данной окружности так, чтобы внешняя часть секущей была равна внутренней.
27.14. Постройте хорду данной окружности, которую два данных радиуса разделили бы на три равные части.
27.15. Через точку
M,
лежащую на данной окружности, проведите хорду, которая данной хордой
AB
делилась бы пополам.
27.16. Постройте окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности в данной на ней точке.
27.17. Постройте окружность, касающуюся данной окружности и данной прямой в данной на ней точке.
27.18. Через данную точку проведите окружность, касающуюся данных прямой и окружности.
27.19. В данный треугольник впишите квадрат так, чтобы одна сторона квадрата была расположена на стороне треугольника, а остальные вершины квадрата лежали на двух других сторонах треугольника.
27.20. Два треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
и
A_{2}B_{2}C_{2},
площади которых равны
S_{1}
и
S_{2},
расположены так, что лучи
A_{1}B_{1}
и
A_{2}B_{2},
B_{1}C_{1}
и
B_{2}C_{2},
C_{1}A_{1}
и
C_{2}A_{2}
параллельны, но противоположно направлены. Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков
A_{1}A_{2},
B_{1}B_{2},
C_{1}C_{2}.
27.21. На окружности фиксированы точки
A
и
B,
а точка
C
движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников
ABC.
27.22. Вершины
K
и
N
треугольника
KMN
перемещаются соответственно по сторонам
AB
и
AC
угла
BAC,
а стороны треугольника
KMN
соответственно параллельны трём данным прямым. Найдите геометрическое место вершин
M.
27.23. Через точку
D,
взятую на стороне
AB
треугольника
ABC,
проведена прямая, параллельная
AC,
и пересекающая сторону
BC
в точке
E.
Докажите, что
AE,
CD
и медиана, проведённая через вершину
B,
пересекаются в одной точке.
27.24. В данный параллелограмм впишите ромб так, чтобы стороны ромба были параллельны диагоналям параллелограмма, а вершины ромба лежали бы на сторонах параллелограмма.
27.25. В данный треугольник впишите другой треугольник, стороны которого соответственно параллельны трём данным прямым.
27.26. На сторонах
AB
и
AC
треугольника
ABC
постройте соответственно точки
M
и
N
так, что
AM = MN = NC.
27.27. Впишите в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.
27.28. Постройте треугольник
ABC,
если заданы его наименьший угол
\angle A
и отрезки длин
d = AB - BC
и
e = AC - BC.
27.29. Впишите в данный угол окружность, проходящую через данную внутри угла точку.
27.30. Впишите в данный угол окружность, касающуюся данной окружности.
27.31. Прямая Эйлера. Докажите, что точка пересечения медиан, ортоцентр и центр описанной окружности треугольника лежат на одной прямой. (Рассмотрите
\mathrm{H}_{M}^{1/2},
где
M~\tire
точка пересечения медиан.)
27.32. Медианы
AA_{1},
BB_{1}
и
CC_{1}
треугольника
ABC
пересекаются в точке
M;
P~\tire
произвольная точка. Прямая
l_{a}
проходит через точку
A
параллельно прямой
PA_{1},
прямые
l_{b}
и
l_{c}
определяются аналогично. Докажите, что:
а) прямые
l_{a},
l_{b}
и
l_{c}
пересекаются в одной точке
Q;
б) точка
M
лежит на отрезке
PQ,
причём
PM:MQ = 1:2.
27.33. Сторона
C_{1}C_{2}
прямоугольника
C_{1}C_{2}PR
расположена на стороне
AB
треугольника
ABC,
сторона
B_{1}B_{2}
прямоугольника
B_{1}B_{2}QP~\tire
на стороне
AC,
сторона
A_{1}A_{2}
прямоугольника
A_{1}A_{2}RQ~\tire
на стороне
BC,
причём точки
P,
Q
и
R
лежат внутри треугольника
ABC.
Докажите, что прямые
AP,
BR
и
CQ
пересекаются в одной точке.
27.34. Вписанная окружность треугольника
ABC
касается стороны
AC
в точке
D,
DM~\tire
её диаметр. Прямая
BM
пересекает сторону
AC
в точке
K.
Докажите, что
AK = DC.
27.35. В треугольник площади
S
вписан второй треугольник площади
P
и описан третий треугольник площади
Q,
причём стороны третьего треугольника соответственно параллельны сторонам второго. Докажите, что
S=\sqrt{PQ}.
27.36. В треугольнике
ABC
через середину
M
стороны
BC
и центр
O
вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая
MO,
которая пересекает высоту
AH
в точке
E.
Докажите, что отрезок
AE
равен радиусу вписанной окружности.
27.37. Рассмотрим всевозможные пары касающихся внешним образом окружностей, вписанных в круговой сегмент. Докажите, что общие внутренние касательные каждой такой пары проходят через одну точку.
27.38. Две окружности радиусов
r
и
R
(r \lt R)
внешним образом касаются друг друга. Прямая касается этих окружностей в точках
M
и
N.
В точках
A
и
B
окружности касаются внешним образом третьей окружности. Прямые
AB
и
MN
пересекаются в точке
C.
Из точки
C
проведена касательная к третьей окружности
(D~\tire
точка касания). Найдите
CD.
27.39. В полукруг помещены две окружности диаметром
d
и
D
(d \lt D)
так, что каждая окружность касается дуги и диаметра полукруга, а также другой окружности. Через центры окружностей проведена прямая, пересекающая продолжение диаметра полукруга в точке
M.
Из точки
M
проведена касательная к дуге полукруга
(N~\tire
точка касания). Найдите
MN.
27.40. Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшего возможного периметра.
27.41. Опустим из любой точки
P
биссектрисы угла
A
треугольника
ABC
перпендикуляры
PA_{1},
PB_{1},
PC_{1}
на его стороны
BC,
CA
и
AB
соответственно. Пусть
R~\tire
точка пересечения прямых
PA_{1}
и
B_{1}C_{1}.
Докажите, что прямая
AR
делит сторону
BC
пополам.
27.42. Равные окружности
S_{1}
и
S_{2}
касаются внутренним образом окружности
S
в точках
A_{1}
и
A_{2}.
Пусть
C~\tire
некоторая точка окружности
S,
прямые
A_{1}C
и
A_{2}C
пересекают окружности
S_{1}
и
S_{2}
в точках
B_{1}
и
B_{2}
соответственно. Докажите, что
B_{1}B_{2} \parallel A_{1}A_{2}.
27.43. На плоскости расположены три окружности
S_{1},
S_{2},
S_{3}
радиусов
r_{1},
r_{2},
r_{3}~\tire
каждая вне двух других, причём
r_{1}\gt r_{2}
и
r_{1}\gt r_{3}.
Из точки пересечения внешних касательных к окружностям
S_{1}
и
S_{2}
проведены касательные к окружности
S_{3},
а из точки пересечения внешних касательных к окружностям
S_{1}
и
S_{3}
проведены касательные к окружности
S_{2}.
Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.
27.44. На отрезках
AB,
BC
и
CA
треугольника
ABC
построены во внешнюю сторону квадраты
ABB_{1}A_{2},
BCC_{1}B_{2}
и
CAA_{1}C_{2}.
Докажите, что перпендикуляры к отрезкам
A_{1}A_{2},
B_{1}B_{2}
и
C_{1}C_{2},
воставленные в их серединах, пересекаются в одной точке.
27.45. Пусть
M~\tire
точка пересечения медиан треугольника,
S~\tire
его описанная окружность,
S'~\tire
окружность, проходящая через середины сторон треугольника. Докажите, что
\mathrm{H}_{M}^{-1/2}(S) = S'.
27.46. Докажите, что три прямые, проведённые через середины сторон треугольника параллельно биссектрисам противолежащих углов, пересекаются в одной точке.
27.47. Три прямые, каждая из которых проходит через вершину треугольника и точку касания вневписанной окружности с противоположной стороной, пересекаются в одной точке (почему?). Она называется точкой Нагеля треугольника. Пусть
Q~\tire
центр вписанной окружности треугольника,
M~\tire
точка пересечения медиан,
N~\tire
точка Нагеля. Докажите, что точки
Q,
M
и
N
лежат на одной прямой, причём
MN:MQ=2:1.
27.48. Пусть
S~\tire
описанная окружность треугольника,
H~\tire
его ортоцентр,
M~\tire
точка пересечения медиан. Докажите, что
\mathrm{H}_{H}^{1/2}(S) = \mathrm{H}_{M}^{-1/2}(S).
27.49. Пусть
s~\tire
вписанная окружность треугольника,
N~\tire
точка Нагеля,
M~\tire
точка пересечения медиан. Докажите, что
\mathrm{H}_{N}^{1/2}(s) = \mathrm{H}_{M}^{-1/2}(s).
27.50. Докажите, что окружность
s'=\mathrm{H}_{N}^{1/2}(s)
касается средних линий треугольника
ABC,
а также сторон треугольника с вершинами в серединах отрезков
AN,
BN
и
CN.
27.51. Теорема о центрах трёх гомотетий. Общие внешние касательные к окружностям
S_{1}
и
S_{2},
S_{2}
и
S_{3},
S_{1}
и
S_{3}
пересекаются в точках
A,
B
и
C
соответственно. Докажите, что точки
A,
B
и
C
лежат на одной прямой.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 28. Инверсия

В этом листке нам удобно будет иметь дело с расширенной плоскостью, т. е. к обычной плоскости мы добавим одну точку, которую будем называть бесконечно удалённой и обозначать
O_{\infty}.
Инверсией относительно данной окружности с центром
O
и радиусом
R
называется отображение расширенной плоскости на себя, при котором точка
O
переходит в точку
O_{\infty},
точка
O_{\infty}~\tire
в точку
O,
а любая другая точка
M~\tire
в такую точку
M'
на луче
OM,
что
OM' = \frac{R^{2}}{OM}.
Ясно, что инверсия есть взаимно однозначное отображение расширенной плоскости на себя.
28.1. Докажите, что при инверсии:
а) точки, расположенные на окружности инверсии, переходят сами в себя;
б) точки, лежащие внутри окружности инверсии, переходят в точки, лежащие вне этой окружности, и наоборот.
28.2. Докажите, что при инверсии:
а) прямая, проходящая через центр инверсии переходит сама в себя;
б) прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии;
в) окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, не проходящую через центр инверсии.
28.3. Докажите, что при инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.
28.4. Постройте образ данной точки при инверсии относительно данной окружности.
28.5. Докажите, что при инверсии сохраняется касание прямых и окружностей, если только точка касания не совпадает с центром инверсии (а что будет, если совпадает?).
28.6. Даны четыре окружности, каждая из которых касается внешним образом двух других. Докажите, что четыре точки касания лежат на одной окружности.
28.7. Постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой или данной окружности. (Рассмотрите инверсию относительно любой окружности с центром в одной из двух данных точек.)
28.8. Известно, что при инверсии относительно некоторой окружности точки
A
и
B
данной окружности
S
переходят друг в друга. Докажите, что тогда окружность
S
переходит сама в себя.
28.9. Теорема Птолемея. Докажите, что в любом вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
28.10. Проведите через данную точку окружность, касающуюся данных прямой и окружности.
28.11*. Задача Аполлония. Постройте окружность, касающуюся трёх данных окружностей.
Углом между окружностями, пересекающимися в точке
A,
называется угол между касательными к этим окружностям, проведёнными в точке
A.
28.12. Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между двумя прямыми).
28.13. Докажите, что две непересекающиеся окружности (или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
28.14. Проведите через данную точку окружность, перпендикулярную двум данным окружностям.
28.15. Точки
A,
M
и
B
последовательно расположены на одной прямой. Полуокружности с диаметрами
AB,
AM
и
BM
расположены по одну сторону от прямой
AB.
Рассмотрим окружность радиуса
r,
касающуюся всех трёх полуокружностей (фигуру, в которую вписана эта окружность, называют арбелосом Архимеда). Найдите расстояние от центра этой окружности до прямой
AB.
28.16. С помощью одного циркуля постройте отрезок: а) в два раза длиннее данного отрезка; б) в
n
 раз длиннее данного отрезка.
28.17. С помощью одного циркуля разделите данный отрезок: а) на две равные части; б) на
n
 равных частей.
28.18. С помощью одного циркуля постройте образ данной точки относительно данной окружности с данным центром.
28.19. С помощью одного циркуля постройте центр данной окружности.

Литература

[1] Бакельман И. Я. Инверсия. — (Популярные лекции по математике; вып. 44). — М.: Наука, 1966. — [djvu].
[2] Жижилкин И. Д. Инверсия. — (Библиотека «Математическое просвещение»; вып. 35). — М.: МЦНМО, 2009. — [pdf].
[3] Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией: Пер. с англ. — (Библиотека математического кружка; вып. 14). — М.: Наука, 1978. — [djvu].
[4] Костовский А. Н. Геометрические построения одним циркулем. — (Популярные лекции по математике; вып. 29). — М.: Наука, 1984. — [djvu].
[5] Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?: Пер. с англ. — М.: МЦНМО, 2001. — [pdf].
[6] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2006. — [pdf].
[7] Савин А. П. Инверсия и задача Аполлония // Квант. 1971. №8. — [html/gif].
[8] Соловьёв Ю. П. Инверсоры // Квант. 1990. №4. — [html/gif].
[9] Уроев В. М. Инверсия // Квант. 1984. №5. — [html/gif].
[10] Фукс Д. Б. Построения одним циркулем // Квант. 1987. №6. — [html/gif].
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 29. Степень точки относительно окружности

29.1. Найдите геометрическое место точек, разность квадратов расстояний от каждой из которых до двух данных точек постоянна.
Пусть прямая, проходящая через точку
M,
имеет с окружностью
(O,r)
общие точки
A
и
B.
Степенью точки
M
относительно окружности
(O, r)
называется число
MA\cdot MB,
если точка
M
лежит вне или на окружности, и число
-MA\cdot MB,
если точка
M
лежит внутри окружности.
29.2. Докажите, что степень точки относительно окружности не зависит от выбора прямой
AB.
29.3. Пусть точка
M
лежит вне окружности. Докажите, что её степень относительно этой окружности равна квадрату касательной, проведённой к окружности из точки
M.
29.4. Докажите, что степень точки
M
относительно окружности
(O,r)
равна
OM^{2} - r^{2}.
29.5. Докажите, что геометрическое место точек, имеющих одну и ту же степень относительно двух данных неконцентрических окружностей, есть прямая, перпендикулярная линии центров этих окружностей.
Эта прямая (см. задачу 29.5) называется радикальной осью двух окружностей.
29.6. Постройте радикальную ось двух а) пересекающихся; б) касающихся окружностей.
29.7. Докажите, что радикальная ось двух окружностей делит пополам их общую внешнюю касательную.
29.8. Докажите, что радикальные оси трёх окружностей, взятых попарно, пересекаются в одной точке, если центры этих окружностей не лежат на одной прямой.
Эта точка (см. задачу 29.8) называется радикальным центром трёх окружностей.
Общие хорды трёх попарно пересекающихся окружностей (или их продолжения) пересекаются в одной точке или параллельны.
29.9. Даны две неконцентрические окружности
S_{1}
и
S_{2}.
Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом (касательные, проведённые через точку пересечения, взаимно перпендикулярны), является их радикальная ось, из которой (если окружности
S_{1}
и
S_{2}
пересекаются) выброшена их общая хорда.
29.10. Докажите, что середины четырёх общих касательных к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой.
29.11. Докажите, что радикальная ось окружностей, построенных на двух чевианах треугольника как на диаметрах, проходит через ортоцентр этого треугольника.
29.12. В трапеции
ABCD
известно, что
\angle A = 45^{\circ}
и
\angle D =60^{\circ}.
На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках
M
и
N.
Хорда
MN
пересекает основание
AD
в точке
E.
Найдите отношение
AE:ED.
СВЕРНУТЬ ↑

Часть 30. Задачи на максимум и минимум

30.1. В прямоугольном треугольнике
ABC
катет
BC
равен
a
и образует с гипотенузой
AC
угол
\alpha.
Точка
D
расположена на катете
BC
и имеет наименьшую по сравнению с остальными точками отрезка
BC
сумму квадратов расстояний до прямых
AC
и
AB.
Найдите
BD.
30.2. При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом
30^{\circ}
и периметром 6 имеет наибольшую площадь?
30.3. Докажите, что среди всех треугольников с заданным основанием и высотой, опущенной на это основание, наибольший противоположный угол имеет равнобедренный треугольник.
30.4. Через вершину
A
остроугольного треугольника
ABC
проведите прямую так, чтобы она не пересекала сторону
BC
и чтобы сумма расстояний до неё от вершин
B
и
C
была наибольшей.
30.5. На продолжении биссектрисы
AL
треугольника
ABC
за точку
A
взята такая точка
D,
что
AD=10,
и
\angle BDC = \angle BAL = 60^{\circ}.
Найдите площадь треугольника
BDC.
Какова наименьшая площадь треугольника
BDC
при данных условиях?
30.6. Периметр треугольника
ABC
равен
2p.
Касательная к вписанной окружности треугольника, проведённая параллельно стороне
BC,
пересекает стороны
AB
и
AC
в точках
M
и
N.
Найдите наименьшую длину отрезка
MN.
Каковы при этом стороны треугольника?
30.7. Рассматриваются треугольники
KLM,
у которых радиус описанной окружности равен 10, сторона
KL
равна 16, высота
MH
равна
\frac{39}{10}.
Найдите угол
KLM
того треугольника, медиана
MN
которого наименьшая.
30.8. Площадь треугольника
ABC
равна 10. Какое наименьшее значение может принимать радиус окружности, описанной около треугольника
ABC,
если известно, что середины высот этого треугольника лежат на одной прямой?
30.9. Пусть
R
и
r~\tire
радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что
R \ge 2r.
Для какого треугольника достигается равенство?
30.10. Постройте точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин данного треугольника минимальна.
30.11. Дана окружность и её хорда
AB.
Постройте на дуге
AB
точку, для которой периметр треугольника
ABC
наибольший.
30.12. а) Точки
A
и
B
лежат по разные стороны от прямой. Постройте на этой прямой точку
M,
для которой сумма
AM+MB
минимальна.
б) Точки
A
и
B
лежат по разные стороны от прямой. Постройте на этой прямой точку
M,
для которой величина
|AM-BM|
максимальна.
30.13. Через данную точку, лежащую внутри данного угла, проведите прямую, отсекающую от данного угла треугольник: а) наименьшей возможной площади; б) наименьшего возможного периметра.