ЗАГРУЗКА
е
ТИТУЛЪ.

НОВАЯ ГЕОМЕТРІЯ
ТРЕУГОЛЬНИКА.

Составилъ
кандидатъ физ.-математическихъ наукъ,
преподаватель школы колористовъ
при Иваново-Вознесенскомъ реальномъ училищѣ
Д. Ефремовъ*.

† Д. Д. Ефремовъ@.

(Некрологъ, опубликованный черезъ 10 летъ послѣ выхода книги въ „Вѣстникѣ Опытной Физики и Элементарной Математики“, 1912 г., № 569, стр. 126---128.)

24~-го іюня скончался отъ сердечнаго припадка (паралича сердца) инспекторъ и преподаватель математики Иваново-Вознесенской школы колористовъ Дмитрій Дмитріевичъ Ефремовъ. Д. Д. почти съ основанія „Вѣстника“ былъ однимъ изъ наиболѣе преданныхъ сотрудниковъ журнала; редакція обратилась поэтому къ его близкимъ съ просьбой сообщить біографическія свѣденія объ этомъ несомнѣнно выдающемся преподавателѣ.
Покойный прошелъ суровую школу жизни и достигнутыми успѣхами былъ обязанъ лишь самому себѣ и своимъ выдающимся способностямъ. Сынъ мѣщанина Орловской губ., Д. Д. Ефремовъ родился въ 1859 г. По окончаніи курса въ Елецкой гимназіи съ серебряной медалью, поступилъ въ институтъ инженеровъ путей сообщенія въ С.~-Петербургѣ, откуда черезъ годъ перешелъ въ С.~-Петербургскій Университетъ. По окончаніи курса въ университетѣ съ званіемъ кандидата физико-математическихъ наукъ и съ награжденіемъ золотой медалью (въ 1884 г.) Д. Д. оставался еще въ теченіе года при университетѣ для продолженія занятій раціональной механикой. Въ 1885 г. Д. Д. поступилъ стипендіатомъ Министерства Народнаго Просвѣщенія въ Императорское Московское Техническое училище для подготовленія къ должности преподавателя спеціальныхъ предметовъ въ дополнительномъ классѣ реальныхъ училищъ, откуда, по окончаніи двухъ-лѣтняго курса, назначенъ въ 1887 г. учителемъ математики въ Иваново-Вознесенское реальное училище съ предоставленіемъ ему уроковъ черченія, строительнаго искусства и землемѣрія въ механико~-‍ и химико-техническихъ отдѣленіяхъ VII дополнительнаго класса.
Въ 1897 г. Д. Д. перемещенъ штатнымъ преподавателемъ механики и математики въ школу колористовъ при Иваново-Вознесенскомъ реальномъ училищѣ. Съ 1903 г. ему поручено было временное исполненіе обязанностей инспектирующаго преподавателя школы колористовъ, въ каковой должности онъ былъ утвержденъ въ 1910 г. и пребывалъ въ ней до самой смерти.
Изъ сочиненій покойнаго, кромѣ кандидатской диссертаціи „Объ ударахъ“, извѣстна „Новая геометрія треугольника“. Это сочиненіе, въ настоящее время уже почти распроданное, несомнѣнно представляетъ собою одинъ изъ лучшихъ обзоровъ этой новой дисциплины не только въ русской, но и въ европейской литературѣ. Вмѣсто второго изданія этого сочиненія, издательство „Mathe­sis“ просило покойнаго составить двѣ нѣсколько болѣе доступныя книги, которыя въ совокупности охватывали бы то же содержаніе. Первая изъ нихъ, „Начала новой геометріи на плоскости“, была уже начата покойнымъ, но неожиданная сметрь помѣшала ему ее окончить.
Затѣмъ покойный напечаталъ рядъ статей по математикѣ въ „Вѣстникѣ“ и въ томъ же журналѣ велъ продолжительное время обзоръ иностранныхъ математическихъ журналовъ.
Какъ человѣкъ, покойный отличался замѣчательной отзывчивостью; онъ всегда былъ готовъ сдѣлать все, что было въ его силахъ. Какъ преподаватель, покойный не имелъ соперниковъ. Его лекціи были отдыхомъ для слушавшихъ его. Въ свое дѣло онъ вкладывалъ душу. „Такого преподавателя, какъ покойный Д. Д., у насъ не было и не будетъ“ --- вотъ слова одного изъ сослуживцевъ, точно характеризующія покойнаго.
Онъ умѣлъ заставить заинтересоваться своимъ предметомъ всѣхъ, и его слушали съ восторгомъ. По отзывамъ его учениковъ, никто изъ учителей не давалъ имъ такого яснаго, краткаго, но вмѣстѣ съ тѣмъ и точнаго объясненія, какъ Д. Д. Онъ пользовался большою любовью среди всѣхъ учениковъ, уважавшихъ его справедливость и ласковое, хотя часто и строгое къ нимъ отношеніе.
Вотъ слова законоучителя реальнаго училища, сказанныя за отпѣваніемъ Д. Д. и отлично характеризующія покойнаго: „Это былъ неутомимый труженикъ на жизненномъ пути, болѣе четверти вѣка посвятившій силы свои и здоровье высокому, но далеко не легкому дѣлу --- образованія и воспитанія юношей. Это былъ усердный исполнитель ввѣреннаго ему дѣла и глубоко убѣжденный въ важности принятаго имъ на себя служенія. Чувство долга и происходящія изъ этого чувства уваженіе и любовь къ своему дѣлу, были характеристическими чертами покойнаго.
Онъ совершалъ свое служеніе, какъ бы священнодѣйствуя въ постоянно строгомъ вниманіи къ себѣ, съ сознаніемъ его великаго значенія и съ твердостью въ исполненіи принятыхъ имъ мѣръ и рѣшеній.
И многочисленный сонмъ питомцевъ и учениковъ успѣлъ получить среднее образованіе подъ его добрымъ руководоствомъ и вліяніемъ. Говорить ли еще объ его высокой честности и безкорыстіи? Онъ такъ открыто, ясно и отчетливо проходилъ поприще своего званія и служенія, что кажется и враги, если бы они только могли быть у него, не могли бы бросить здѣсь и тѣни упрека.
И пріятно было видѣть въ немъ эту увѣренность въ соблюденіи долга, это чувство достоинства, не боящагося никому смѣло взгялнуть въ глаза. Онъ старался постоянно ставить и ставилъ себя въ отвѣтъ передъ своей совѣстью. Что касается отношеній почившаго, какъ инспектора, къ питомцамъ школы, то нужно сказать, что всѣ мѣры вразумленія и наставленія, которыя ему приходилось принимать при руководствѣ поведеніемъ учащихся, были проникнуты искренно отеческой любовью и снисходительностью, соединенными со строгою справедливостью“.
Ученики относились къ покойному съ любовью и уваженіемъ и эту любовь выразили въ надписи на вѣнкѣ: „Отъ осиротѣлыхъ учениковъ школы“.
Покойный былъ истинно вѣрующій христіанинъ. Христіанинъ не только по званію, но въ полномъ смыслѣ этого слова. Къ низшимъ служащимъ онъ всегда относился требовательно, но безусловно справедливо.
Д. Д. былъ человѣкъ съ рѣдкой памятью, остроумный и занимательный собесѣдникъ, одаренный ораторскимъ талантомъ.

Къ этимъ строкамъ редакторъ считаетъ себя обязаннымъ прибавить, что Д. Д. Ефремовъ былъ однимъ изъ весьма немногихъ преподавателей, сохранившихъ на трудномъ поприщѣ провинціальнаго учителя глубокій интересъ къ наукѣ; онъ слѣдилъ за наукой, и былъ въ курсѣ литературы тѣхъ отдѣловъ, которыми занимался. Онъ обладалъ живымъ геометрическимъ чутьемъ и, внѣ сомнѣнія, могъ быть очень полезнымъ въ качествѣ научнаго работника. Не его вина въ томъ, что онъ могъ удѣлить наукѣ лишь немногіе часы убогаго досуга.
Миръ праху его!

ОДЕССА.
1902.

Дозволено цензурою. Одесса, 9 іюля 1901 г.

ПРЕДИСЛОВІЕ.

ПРЕДИСЛОВІЕ.

La Géométrie du triangle est le progrès le plus remarquable qu’aient fait les mathé­ma­tiques élémentaires en ces derniers temps.
Vigarié.

Въ послѣдніе 25 лѣтъ геометрія на плоскости обогатилась весьма плодотворными изслѣдованіями фигуръ, такъ или иначе связанныхъ съ треугольникомъ. Систематическое изложеніе результатовъ этихъ изслѣдованій въ настоящее время составляетъ уже цѣлый отдѣлъ планиметріи, извѣстный въ заграничныхъ изданіяхъ подъ заглавіемъ новой геометріи треугольника (Géo­métrie récente du triangle). Помимо многочисленныхъ статей по этому предмету, разбросанныхъ въ различныхъ иностранныхъ математическихъ журналахъ, на французскомъ и англійскомъ языкахъ существуютъ уже съ 1890 г. отдѣльныя сочиненія, представляющія собой сводъ новѣйшихъ изслѣдованій свойствъ треугольника. Въ Россіи до сихъ поръ, сколько мнѣ извѣстно, такихъ сочиненій нѣтъ. Имѣя въ виду сколько-нибудь пополнить этотъ пробѣлъ въ нашей математической литературѣ, я рѣшился предложить читателямъ „Вѣстника Опытной Физики и Элементарной Математики“ рядъ краткихъ статей, подъ вышеприведеннымъ общимъ заглавіемъ, содержащихъ въ сжатой формѣ изложеніе свойствъ различныхъ точекъ и линій, геометрически связанныхъ съ треугольникомъ. Изъ этихъ статей, значительно измѣненныхъ и дополненныхъ, и составилась предлагаемая книга, изданная редакціей упомянутаго журнала, за что считаю долгомъ выразить сердечную благодарность издателю журнала В. А. Гернетъ и его сотруднику В. Ф. Каганъ.

Такъ какъ доказательства многихъ теоремъ „Новой геометріи“ основаны на новыхъ методахъ, не входящихъ въ наши программы и учебники по элементарной геометріи, то я вынужденъ былъ указать главнѣйшія теоремы, лежащія въ основѣ этихъ методовъ.

Съ цѣлью сдѣлать книгу удобною для справокъ, въ концѣ ея прилагается алфавитный указатель. Библіографическія свѣденія по „новой геометріи треугольника“ содержатся въ слѣдующемъ перечнѣ журналовъ и отдѣльныхъ книгъ:

1) Nouvelles annales mathématiques.

2) Journal des mathématiques élémentaires et spéciales.

3) Mathésis.

4) Etude historique de la marche du développement de la géo­métrie du triangle. M. Vigarié. 1889.

5) Traité de Géometrie. Par Rouché et de-Comberousse. 6 ed. Paris, 1891.

6) Trigonométrie rectiligne et Géometrie du triangle. Par Lalbalettrier. Paris, 1889.

7) Principes de la nouvelles Géométrie du triangle. Par A. Poulain. Paris, 1892.

8) Exercices de Géométrie. Par. F. J. Paris 1896.

9) Recueil de problems de mathématiques. Géométrie du triangle. Par C. A. Laisant. Paris, 1896.

10) Die Brochardscheen Gebilde. Dr. A. Em­me­rich. Berlin, 1891.

11) A sequel to the first six books of the Elements of Euclid. J. Casey. Dublin, 1892.

12) A treatise on the Geometry of the Circle. J. M’Clel­land. London, 1891.

13) Supplement to Euclid revised. Nixon. Oxford, 1891.

14) An Elementary Treatise on modern pure Geometry. Lach­lan. London, 1893.

15) La recente Geometria del triangulo. Per il prof. Cris­to­fo­ro Ala­sia. 1900.

Д. Е.

ГЛАВА I.

ГЛАВА I.
О трансверсаляхъ и прямыхъ Чевы.

1. Сѣкущею или трансверсалью какой-либо фигуры называется прямая, пересѣкающая эту фигуру.

При пересѣченіи прямой линіи съ прямолинейной фигурой разсматриваются не только точки пересѣченія этой прямой съ сторонами фигуры, но и съ продолженіями ихъ; поэтому, фигура, составленная изъ n прямыхъ (напр. n~-угольникъ) пересѣкается прямою въ n точкахъ.

Свойства сѣкущихъ выводятся изъ свойствъ подобныхъ тр~-въ.

2. Теорема Ѳалеса. Если углы двухъ тр~-въ попарно равны, то соотвѣтственныя стороны ихъ пропорціональны.

Обратно:

Если стороны тр~-въ пропорціональны, то соотвѣтственные углы ихъ попарно равны.

Эта теорема служитъ основаніемъ метода подобія. Доказательство ея общеизвѣстно.

3. Теорема Пиѳагора. Квадратъ гипотенузы прямоугольнаго тр~-ка равенъ суммѣ квадратовъ его катетовъ.

Эта теорема даетъ количественное соотношеніе между сторонами прямоугольнаго тр~-ка. Доказательство ея, какъ извѣстно, выводится изъ равенства или подобія тр~-въ.

4. Условились отрѣзки прямой считать положительными, когда они откладываются въ одну сторону, --- и отрицательными, когда они откладываются въ стороны противоположныя. Поэтому, если отрѣзокъ AB какой-нибудь прямой считается положительнымъ, когда откладывается отъ A къ B, то тотъ~-же отрѣзокъ, отложенный отъ B къ A (т. е. BA) нужно принимать за отрицательный, такъ что AB=-BA (Möbius).

Изъ этого условія слѣдуетъ, что если A, B, C суть три точки на одной прямой, то AB+BC+CA=0.

5. Положеніе сѣкущей относительно тр~-ка можетъ быть только двоякое: или 1) сѣкущая пересѣкаетъ двѣ стороны тр~-ка и продолженіе третьей, или 2) она пересѣкаетъ продолженіе всѣхъ трехъ сторонъ (не пересѣкая самаго тр~-ка).

Теорема Менелая (Menelaus). Если стороны тр~-ка AB, BC, CA (или ихъ продолженія) пересѣкаются сѣкущей въ точкахъ c, a, b, то \frac{aB\cdot bC\cdot cA}{aC\cdot bA\cdot cB}=1.

Обратно:

Если точки a, b, c, взятыя на сторонахъ тр~-ка BC, CA, AB, образуютъ отрѣзки, удовлетворяющіе условію \frac{aB\cdot bC\cdot cA}{aC\cdot bA\cdot cB}=1, то эти точки лежатъ на одной прямой.

Простѣйшее доказательство основывается на свойствѣ подобныхъ тр~-въ (2).

6. Обобщеніе этой теоремы представляетъ

Теорема Карно (Carnot). Если стороны мног~-ка (или ихъ продолженія) пересѣкаются прямою, то произведеніе отрѣзковъ сторонъ, не имѣющихъ общихъ концовъ, равно произведенію другихъ такихъ~-же отрѣзковъ.

7. Биссектрисы треугольника. Прямыя, дѣлящія пополамъ внутренніе или внѣшніе углы тр~-ка, называются внутренними или внѣшними биссектрисами этого тр~-ка (bissectrices).

Внутренняя и внѣшняя биссектрисы тр~-ка, проходящія чрезъ одну вершину его, взаимно перпендикулярны.

Теорема. Биссектриса тр~-ка (внутренняя или внѣшняя) дѣлитъ противоположную сторону на части, пропорціональныя двумъ другимъ сторонамъ.

Доказательство извѣстно.

8. Теорема. Проэкціи вершины одного изъ угловъ тр~-ка на четыре биссектрисы (внутреннія и внѣшнія) двухъ другихъ угловъ его находятся на одной прямой.

Пусть D и E, F и G суть проэкціи вершины A тр~-ка ABC на биссектрисы угловъ его B и C (фиг. 1). Обозначимъ чрезъ M пересѣченіе стороны AB съ прямою DE. Такъ какъ фигура ADBE --- прямоугольникъ, то AM=MB\quad\mbox{и}\quad \angle MEB=\angle MBE=\angle EBC; слѣдовательно, прямая DE параллельна BC и дѣлитъ пополамъ стороны AB и AC. То~-же справедливо и для прямой FG; а потому точки D, E, F, G находятся на одной прямой.

9. Теорема Симсона (Simson). Основанія перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ какой-нибудь точки окружности на стороны вписаннаго тр~-ка, находятся на одной прямой.

Пусть A_1, B_1, C_1 суть основанія перпендикуляровъ, опущенныхъ на стороны тр~-ка ABC изъ произвольной точки M описанной окружности (фиг. 2₁).

Изъ подобія тр~-въ MC_1B и MB_1C, MA_1B и MB_1A, MA_1C и MC_1A слѣдуетъ, что \frac{CB_1}{BC_1}=\frac{MB_1}{MC_1},\quad \frac{BA_1}{AB_1}=\frac{MA_1}{MB_1},\quad \frac{AC_1}{CA_1}=\frac{MC_1}{MA_1}; перемноживъ эти пропорціи, получимъ \frac{CB_1\cdot BA_1\cdot AC_1}{BC_1\cdot AB_1\cdot CA_1}=1; слѣдовательно, точки A_1, B_1, C_1 лежатъ на одной прямой (5).

Прямая, проходящая чрезъ основанія перпендикуляровъ, опущенныхъ на стороны тр~-ка изъ какой-нибудь точки описанной окружности, называется прямою Симсона.

10. Теорема Сальмона (Salmon). Три окружности, имѣющія діаметрами три хорды четвертой окружности, выходящія изъ одной ея точки, попарно пересѣкаются въ трехъ точкахъ, лежащихъ на одной прямой.

На хордахъ MA, MB, MC окружности MABCM опишемъ как на діаметрахъ три окружности и обозначимъ вторыя точки пересѣченія ихъ чрезъ E, F, G (фиг. 3). Соединивъ точку E съ A и B и замѣтивъ, что углы MEA и MEB прямые, заключаемъ, что E есть основаніе перпендикуляра изъ M на сторону AB тр~-ка ABC; подобнымъ~-же образомъ, точки F и G суть основанія перпендикуляровъ изъ M на стороны AC и BC того~-же тр~-ка; слѣдовательно (9), точки E, F, G лежатъ на одной прямой.

11. Теорема Паскаля (Pascal). Точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ вписаннаго въ кругъ шестиугольника лежатъ на одной прямой.

Обозначимъ чрезъ G, H, K точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ вписаннаго въ кругъ шестиугольника ABCDEF (фиг. 4). Эти точки находятся на продолженныхъ сторонахъ тр~-ка LMN, составленнаго продолженными сторонами AB, CD и EF шестиугольника. Разсматривая прямыя BC, DE и FA, какъ сѣкущія этого тр~-ка и примѣняя къ нимъ теорему Менелая (5), найдемъ, что \frac{LG\cdot MK\cdot NH}{MG\cdot NK\cdot LH}=1; слѣдовательно, точки G, H и K находятся на одной прямой.

Прямая, проходящая чрезъ точки пересѣченія противоположных сторонъ вписаннаго шестиугольника, называется прямою Паскаля.

12. Слѣдствіе. Касательныя къ кругу въ вершинахъ вписаннаго въ него тр~-ка пересѣкаются съ противолежащими сторонами этого тр~-ка въ трехъ точкахъ, расположенныхъ на одной прямой.

13. Теорема Чевы (Céva). Если прямыя, соединяющія какую-нибудь точку съ вершинами тр~-ка ABC, пересѣкаютъ его стороны AB, BC, CA (или продолженія ихъ) въ c, a, b, то отрѣзки сторонъ, взятые съ ихъ знаками, удовлетворяютъ равенству \frac{aB\cdot bC\cdot cA}{aC\cdot bA\cdot cB}=-1.

Обратно:

Если точки a, b, c, взятыя на сторонахъ BC, CA, AB тр~-ка ABC, образуютъ отрѣзки, удовлетворяющіе предыдущему равенству, то прямыя Aa, Bb, Cc пересѣкаются въ одной точкѣ.

Для доказательства можно пользоваться теоремой Менелая (5). Прямыя, проходящія чрезъ вершины тр~-ка, иногда называютъ прямыми Чевы или чевіанами (céviennes, Poulain). Пересѣченія ихъ съ сторонами тр~-ка называютъ основаніями.

14. Слѣдствія. Внутреннія биссектрисы тр~-ка пересѣкаются въ одной точкѣ. (Центръ круга, вписаннаго въ тр~-къ.)

Внутренняя биссектриса одного изъ угловъ тр~-ка и внѣшнія биссектрисы двухъ другихъ его угловъ пересѣкаются въ одной точкѣ. (Центръ круга, внѣвписаннаго въ тр~-къ.)

Примѣняя для доказательства этихъ теоремъ теорему Чевы, слѣдует имѣть въ виду свойство биссектрисъ (7).

Для всякаго тр~-ка существуютъ три внѣвписанныхъ круга; центры ихъ будемъ обозначать чрезъ I_1, I_2, I_3. Центръ круга, вписаннаго внутри тр~-ка, будетъ обозначаться чрезъ I.

15. Медіаны тр~-ка. Прямыя, соединяющія вершины тр~-ка съ срединами противоположныхъ сторонъ его, называются медіанами этого тр~-ка (mé­dia­nes).

Три медіаны тр~-ка пересѣкаются въ одной точкѣ.

Точка пересѣченія медіанъ тр~-ка называется центромъ медіанъ или центромъ тяжести тр~-ка.

Каждая медіана тр~-ка дѣлится его центромъ тяжести такъ, что отрѣзокъ отъ вершины вдвое больше отрѣзка отъ основанія.

16. Высоты тр~-ка. Перпендикуляры изъ вершинъ тр~-ка на противоположныя стороны его называются высотами тр~-ка.

Высоты тр~-ка обратно пропорціональны соотвѣтственнымъ сторонамъ его.

Теорема Архимеда. Высоты тр~-ка пересѣкаются въ одной точкѣ.

Если основанія высотъ тр~-ка на сторонахъ его BC, CA, AB суть a, b, c, то \frac{Ab}{AB}=\frac{Ac}{AC},\quad \frac{Bc}{BC}=\frac{Ba}{BA},\quad \frac{Ca}{CA}=\frac{Cb}{CB}; вслѣдствіе этого, теорема является слѣдствіемъ теоремы Чевы (13).

Точка пересѣченія высотъ тр~-ка называется ортоцентромъ (ortho­centre, Besant).

17. Теорема. Прямыя, соединяющія вершины тр~-ка съ точками касанія вписаннаго или внѣвписаннаго круга, пересѣкаются въ одной точкѣ.

Пусть стороны тр~-ка BC, CA, AB касаются вписаннаго круга (I) въ точкахъ \alpha, \beta, \gamma и внѣвписанныхъ круговъ \table{ (I_1)&&\mbox{въ}&\mbox{точкахъ}&&\alpha_1,&\beta_1,&\gamma_1,\\ (I_2)&&\mbox{„}&\mbox{„}&&\alpha_2,&\beta_2,&\gamma_2,\\ (I_3)&&\mbox{„}&\mbox{„}&&\alpha_3,&\beta_3,&\gamma_3} (фиг. 5₁).

Извѣстно, что \table{ A\beta&=&A\gamma&=&B\alpha_3&=&B\gamma_3&=&C\alpha_2&=&C\beta_2&=&p-a,\\ B\gamma&=&B\alpha&=&C\beta_1&=&C\alpha_1&=&A\beta_3&=&A\gamma_3&=&p-b,\\ C\alpha&=&C\beta&=&A\gamma_2&=&A\beta_2&=&B\gamma_1&=&B\alpha_1&=&p-c,\\ A\beta_1&=&A\gamma_1&=&B\gamma_2&=&B\alpha_2&=&C\alpha_3&=&B\alpha_3&=&p, } гдѣ a=BC, b=CA, c=AB и p=\frac12(a+b+c).

Слѣдовательно, по теоремѣ Чевы (13), прямыя \table{ A\alpha,&B\beta,&C\gamma&\mbox{пересѣкаются}&\mbox{въ}&\mbox{одной}&\mbox{точкѣ}&T,\\ A\alpha_1,&B\beta_1,&C\gamma_1&\mbox{„}&\mbox{„}&\mbox{„}&\mbox{„}&T_1,\\ A\alpha_2,&B\beta_2,&C\gamma_2&\mbox{„}&\mbox{„}&\mbox{„}&\mbox{„}&T_2,\\ A\alpha_3,&B\beta_3,&C\gamma_3&\mbox{„}&\mbox{„}&\mbox{„}&\mbox{„}&T_3} (фиг. 5₂).

Точка T называется точкою Жергона (point de Gergonne), а точки T_1, T_2, T_3 называются добавочными точками (points adjoints) Жергона.

18. Изъ предыдущихъ равенствъ (17) слѣдуетъ также, что прямыя, соединяющія вершины тр~-ка съ точками касанія противоположныхъ сторонъ и внѣвписанныхъ окружностей или вписанной и двухъ внѣвписанныхъ окружностей, пересѣкаются въ одной точкѣ. Именно, прямыя \table{ A\alpha_1,&B\beta_2,&C\gamma_3&\mbox{пересѣкаются}&\mbox{въ}&\mbox{одной}&\mbox{точкѣ}&N,\\ A\alpha,&B\beta_3,&C\gamma_2&\mbox{„}&\mbox{„}&\mbox{„}&\mbox{„}&N_1,\\ A\alpha_3,&B\beta,&C\gamma_1&\mbox{„}&\mbox{„}&\mbox{„}&\mbox{„}&N_2,\\ A\alpha_2,&B\beta_1,&C\gamma&\mbox{„}&\mbox{„}&\mbox{„}&\mbox{„}&N_3} (фиг. 5₃).

Точка N называется точкою Нагеля (Nagel), а точки N_1, N_2, N_3 --- добавочными точками Нагеля.

19. Теорема. Прямыя A\alpha, B\beta, C\gamma, соединяющія вершины тр~-ка съ точками касанія вписаннаго круга, дѣлятся въ точкѣ Жергона T такъ, что \frac{AT\cdot BT\cdot CT}{\alpha T\cdot \beta T\cdot \gamma T}=\frac{4R}r, гдѣ R и r суть радіусы круговъ описаннаго около тр~-ка и вписаннаго въ него.

Разсматривая тр~-къ A\alpha B, пересѣченный прямою CT\gamma, получимъ (5): \frac{A\gamma\cdot BC\cdot \alpha T}{B\gamma\cdot\alpha C\cdot AT}=1; отсюда (17): \frac{AT}{\alpha T}=\frac{A\gamma\cdot BC}{B\gamma\cdot\alpha C}= \frac{a(p-a)}{(p-b)(p-c)}; так~-же найдемъ, что \frac{BT}{\beta T}=\frac{b(p-b)}{(p-c)(p-a)}\quad\mbox{и}\quad \frac{CT}{\gamma T}=\frac{c(p-c)}{(p-a)(p-b)}; слѣдовательно, \frac{AT\cdot BT\cdot CT}{\alpha T\cdot \beta T\cdot \gamma T}= \frac{abc\cdot p}{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

Но извѣстно, что, если площадь тр~-ка обозначить чрезъ S, то S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{abc}{4R}=p\cdot r; поэтому \frac{AT\cdot BT\cdot CT}{\alpha T\cdot \beta T\cdot \gamma T}= \frac{4R}r.

20. Теорема. Если A_1, B_1, C_1 суть основанія перпендикуляровъ изъ нѣкоторой точки M на стороны тр~-ка BC, CA, AB, то \overline{AB_1}{}^2+\overline{BC_1}{}^2+\overline{CA_1}{}^2=\overline{AC_1}{}^2+\overline{BA_1}{}^2 +\overline{CB_1}{}^2.

Дѣйствительно, на основаніи теоремы Пиѳагора (3), легко найдемъ, что \overline{AB_1}{}^2-\overline{CB_1}{}^2=\overline{AM}{}^2-\overline{CM}{}^2, \overline{BC_1}{}^2-\overline{AC_1}{}^2=\overline{BM}{}^2-\overline{AM}{}^2, \overline{CA_1}{}^2-\overline{BA_1}{}^2=\overline{CM}{}^2-\overline{BM}{}^2; сложивъ эти равенства, получимъ то, которое слѣдуетъ доказать.

Обратно:

Если на сторонахъ тр~-ка BC, CA, AB выбраны точки A_1, B_1, C_1 такъ, что AB_1^2+BC_1^2+CA_1^2= AC_1^2+BA_1^2+CB_1^2, то перпендикуляры къ сторонамъ тр~-ка въ точкахъ A_1, B_1, C_1 пересѣкаются въ одной точкѣ.

21. Медіатрисы тр~-ка (médiatrices, Neuberg). Перпендикуляры къ сторонамъ тр~-ка, возставленные въ срединахъ ихъ, называются медіатрисами тр~-ка.

Изъ предыдущей теоремы слѣдует, что медіатрисы тр~-ка пересѣкаются въ одной точкѣ O. (Центръ круга описаннаго около тр~-ка.)

Разстоянія ортоцентра тр~-ка отъ вершинъ его вдвое больше разстояній центра описаннаго круга отъ противоположныхъ сторонъ.

22. Теорема. Перпендикуляры на стороны тр~-ка изъ центровъ внѣвписанныхъ въ него круговъ пересѣкаются въ одной точкѣ.

Дѣйствительно, такъ какъ эти перпендикуляры проходятъ чрезъ точки касанія \alpha_1, \beta_2, \gamma_3 (фиг. 5₄) названныхъ круговъ, то (17) A\beta_2=p-c,\quad B\gamma_3=p-a,\quad C\alpha_1=p-b, A\gamma_3=p-b,\quad B\alpha_3=p-c,\quad C\beta_2=p-a; слѣдовательно (20), они пересѣкаются въ одной точкѣ.

23. Прямая Эйлера (Euler). Прямая, проходящая чрезъ ортоцентръ тр~-ка и центръ описаннаго круга, называется прямою Эйлера.

Теорема. Прямая Эйлера проходитъ чрезъ центръ тяжести тр~-ка.

Пусть H и O суть ортоцентръ и центръ описаннаго круга тр~-ка ABC (фиг. 6₁). Опустимъ изъ O перпендикуляръ OA' на сторону BC и обозначимъ чрезъ G пересѣченіе медіаны AA' съ прямою Эйлера HO. Такъ какъ тр~-ки AGH и A'GO подобны и AH=2OA' (21), то AG=2GA'; слѣдовательно (15), точка G есть центръ тяжести тр~-ка.

Слѣдствіе. Разстояніе центра тяжести тр~-ка отъ ортоцентра вдвое больше разстоянія его отъ центра описаннаго круга.

24. Точки Эйлера (points eulériens, F. J.). Средины отрѣзковъ высотъ тр~-ка отъ вершинъ его до ортоцентра называются точками Эйлера.

Теорема Эйлера. Основанія высотъ тр~-ка (H_1, H_2, H_3), средины сторонъ его (A', B', C') и точки Эйлера (E_1, E_2, E_3) лежатъ на одной окружности.

Соединимъ ортоцентръ тр~-ка H съ центромъ описаннаго круга O и обозначимъ чрезъ O_1 средину HO и чрезъ R радіусъ описаннаго круга (фиг. 6₂). Продолживъ высоту AH_1 до пересѣченія въ D съ описанной окружностью, увидимъ, что \angle DBC=\angle DAC=\angle CBH_2; поэтому HH_1=H_1D и O_1H_1=O_1A'=\frac12OD=\frac R2; а такъ какъ E_1 и O_1 суть средины AH и HO, то и O_1E_1= \frac12OA=\frac R2. Такимъ образомъ, точки H_1, A', E_1 лежатъ на окружности, описанной около O_1 \mbox{радіусомъ}=\frac R2; то~-же справедливо и для точекъ H_2, B', E_2, H_3, C', E_3.

Изъ доказательства видно, что точки, симметричныя съ ортоцентромъ тр~-ка относительно его сторонъ (напр. D), находятся на описанной окружности.

25. Окружность девяти точекъ. Окружность, проходящая чрезъ основанія высотъ тр~-ка, средины сторонъ его и точки Эйлера, называется окружностью девяти точекъ или окружностью Эйлера.

Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что радіусъ окружности Эйлера равенъ половинѣ радіуса круга, описаннаго около тр~-ка, а центръ ея находится на прямой Эйлера и дѣлитъ пополамъ разстояніе между ортоцентромъ и центромъ описаннаго круга.

26. Теорема. Прямая, соединяющая ортоцентръ тр~-ка съ какой-либо точкой описанной окружности, дѣлится пополамъ прямою Симсона, соотвѣтствующей этой точкѣ.

Продолжимъ перпендикуляръ MB_1 до пересѣченія съ описанной окружностью въ D (фиг. 2₂). Не трудно убѣдиться, что прямая Симсона A_1B_1C_1 параллельна BD. Но, отложивъ B_1E=MB_1 и продолживъ BH_2 до пересѣченія съ описанной окружностью въ N, получимъ равнобочную трапецію MNHE; такъ какъ трапеція MNBD также равнобочная, то HE\parallel BD\parallel A_1C_1; слѣдовательно, прямая Симсона дѣлитъ MH пополамъ.

27. Теорема Гамильтона (Hamilton). Если H есть ортоцентръ тр~-ка ABC, то тр~-ки ABC, AHB, BHC и CHA имѣютъ общую окружность Эйлера.

Ибо основанія высотъ тр~-ка ABC суть также основанія высотъ тр~-въ AHB, BHC и CHA (фиг. 6₃).

Вершины тр~-ка ABC суть ортоцентры тр~-въ AHB, BHC, CHA.

Радіусы окружностей, описанныхъ около тр~-въ ABC, AHB, BHC, CHA равны.

28. Теорема Фейербаха (Feuerbach). Окружность Эйлера касается окружностей вписанной и внѣвписанныхъ въ тр~-къ.

Обозначимъ чрезъ I и I_1 центры вписанной и внѣвписанной окружностей, касающихся стороны тр~-ка BC въ \alpha и \alpha_1; чрезъ A', B', C' --- средины сторонъ тр~-ка; чрезъ D, E --- точки пересѣченія второй общей внутренней касательной GH къ окружностямъ I и I_1 съ прямыми A'B' и A'C', и чрезъ K --- точку пересѣченія прямыхъ AI, A'B' и CG (фиг. 7).

Такъ какъ (17) B\alpha_1=C\alpha и \alpha\alpha_1=AB-AC, A'\alpha=A'\alpha_1=\frac{AB-AC}2=\frac{BG}2=A'K и \frac{A'D}{A'K}= \frac{BG}{BA}=\frac{A'K}{A'B'}, то A'D\cdot A'B'=A'K^2=A'\alpha^2= A'\alpha_1^2; также и A'E\cdot A'C'=A'K^2=A'\alpha^2=A'\alpha_1^2; отсюда легко вывести, что окружность A'B'C' касается окружностей I, I_1.

29. Теорема. Если чрезъ центръ тяжести тр~-ка провести прямую, то сумма разстояній этой прямой отъ двухъ вершинъ тр~-ка, находящихся отъ нея по одну сторону, равна разстоянію этой прямой отъ третьей вершины.

Пусть AA_1, BB_1, CC_1 суть перпендикуляры изъ вершинъ тр~-ка ABC на прямую XX', проходящую чрезъ центръ тяжести G. Если A'M есть перпендикуляръ на ту~-же прямую изъ средины A' стороны BC, то BB_1+CC_1=2A'M; но A'M=\frac12AA_1 (15); слѣдовательно BB_1+CC_1=AA_1 (фиг. 8₁).

Слѣдствіе. Сумма разстояній вершинъ тр~-ка отъ какой-нибудь прямой равна утроенному разстоянію центра тяжести отъ той~-же прямой.

Проведемъ прямую YY'\parallel XX' (фиг. 8₂) и обозначимъ чрезъ g разстояніе ея отъ центра тяжести G. Опустимъ на эту прямую перпендикуляры AA_2, BB_2, CC_2 изъ вершинъ тр~-ка, получимъ AA_2=AA_1+g,\quad BB_2=g-BB_1,\quad CC_2=g-CC_1; поэтому, прибавивъ по 3g къ обѣимъ частямъ доказаннаго равенства AA_1-BB_1-CC_1=0, найдемъ, что AA_1+g+g-BB_1+g-CC_1=3g, т. е. AA_2+BB_2+CC_2=3g.

30. Центръ среднихъ разстояній (centre des moyennes distances, Bobilier). Центромъ среднихъ разстояній системы n точекъ A_1, A_2, A_3,\dots,A_n называется такая точка P, разстояніе которой отъ произвольной прямой равно среднему ариѳметическому разстояній точекъ A_1, A_2,\dots,A_n отъ той~-же прямой.

Разстоянія точекъ отъ прямой принимаются съ обратными знаками (+ и -), если точки расположены по обѣ стороны отъ этой прямой.

Изъ предыдущей теоремы слѣдуетъ, что центръ тяжести тр~-ка есть центръ среднихъ разстояній его вершинъ.

Вершины тр~-ка и средины его сторонъ имѣютъ общій центръ среднихъ разстояній.

31. Теорема Паппа (Pappus). Если стороны тр~-ка ABC раздѣлены въ точкахъ D, E, F такъ, что \frac{AD}{BD}=\frac{BE}{CE}=\frac{CF}{AF}=\frac mn, то тр~-ки ABC и DEF имѣютъ общій центръ тяжести.

Проведемъ чрезъ центръ тяжести G тр~-ка ABC прямую XX' (фиг. 8₃) и обозначимъ перпендикуляры на эту прямую изъ вершинъ тр~-ка ABC чрезъ a, b, c, а изъ вершинъ тр~-ка DEF чрезъ d, e, f.

Такъ какъ (29) a=b+c и d=\frac{am-bn}{m+n},\quad e=\frac{bm+cn}{m+n},\quad f=\frac{cm-an}{m+n}, то d=e+f; слѣдовательно, произвольная прямая, проходящая чрезъ центръ тяжести тр~-ка ABC, проходитъ также и чрезъ центръ тяжести тр~-ка DEF, а потому центры тяжести этихъ тр~-въ совпадаютъ.

32. Теорема Карно (Carnot). Если стороны тр~-ка BC, CA, AB пересѣкаются окружностью въ точкахъ a и a', b и b', c и c', то \frac{aB\cdot bC\cdot cA}{aC\cdot bA\cdot cB}=\frac{a'C\cdot b'A\cdot c'B} {a'B\cdot b'C\cdot c'A} (фиг. 9₁).

Изъ извѣстнаго свойства сѣкущихъ и хордъ окружности слѣдуютъ равенства: Ab\cdot Ab'=Ac\cdot Ac', Bc\cdot Bc'=Ba\cdot Ba', Ca\cdot Ca'=Cb\cdot Cb'; перемноживъ ихъ и представивъ новое равенство въ видѣ пропорціи, получимъ то, которое требуется доказать.

33. Теорема Теркема (Terquem). Если стороны тр~-ка BC, CA, AB пересѣкаются съ окружностью въ точкахъ a и a', b и b', c и c', и прямыя Aa, Bb, Cc пересѣкаются въ одной точкѣ, то прямыя Aa', Bb' и Cc' также пересѣкаются въ одной точкѣ.

По предыдущей теоремѣ имѣемъ: \frac{aB\cdot bC\cdot cA}{aC\cdot bA\cdot cB}=\frac{a'C\cdot b'A\cdot c'B} {a'B\cdot b'C\cdot c'A}; такъ какъ прямыя Aa, Bb, Cc пересѣкаются въ одной точкѣ (M, фиг. 9₂), то (13) первая часть этого \mbox{равенства}=-1, а потому и вторая \mbox{часть}=-1; слѣдовательно, прямыя Aa', Bb', Cc' пересѣкаются въ одной точкѣ (13).

34. Теорема. Если окружность пересѣкаетъ стороны тр~-ка BC, CA, AB въ точкахъ A_1 и A_2, B_1 и B_2, C_1 и C_2 и если перпендикуляры къ этимъ сторонамъ въ A_1, B_1, C_1 пересѣкаются въ одной точкѣ M_1, то перпендикуляры къ темъ~-же сторонамъ въ точкахъ A_2, B_2, C_2 также пересѣкаются въ одной точкѣ (M_2).

Соединимъ точку M_1 съ центромъ окружности O и на продолженіи прямой M_1O отложимъ отрѣзокъ OM_2=M_1O (фиг. 10). Перпендикуляръ изъ O на BC раздѣлитъ хорду A_1A_2 пополамъ, поэтому M_2A_2 перпендикулярна къ BC.

Слѣдствіе. Положимъ для сокращенія BC=a,\quad CA=b,\quad AB=c, BA_1=\alpha_1,\quad CB_1=\beta_1,\quad AC_1=\gamma_1, BA_2=\alpha_2,\quad CB_2=\beta_2,\quad AC_2=\gamma_2.

Изъ доказанной ранѣе теоремы (20) слѣдуетъ, что \alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2=(a-\alpha_1)^2+(b-\beta_1)^2+(c-\gamma_1)^2, \alpha_2^2+\beta_2^2+\gamma_2^2=(a-\alpha_2)^2+(b-\beta_2)^2+(c-\gamma_2)^2; отсюда: a^2+b^2+c^2=2(a\alpha_1+b\beta_1+c\gamma_1)=2(a\alpha_2+b\beta_2+ c\gamma_2); слѣдовательно, a(\alpha_1-\alpha_2)+b(\beta_1-\beta_2)+c(\gamma_1-\gamma_2)=0.

Итакъ, если окружность пересѣкаетъ стороны тр~-ка a, b, c (или продолженія ихъ) въ A_1 и A_2, B_1 и B_2, C_1 и C_2, и перпендикуляры къ сторонамъ треугольника въ A_1, B_1, C_1 пересѣкаются въ одной точкѣ, то a\cdot A_1A_2+b\cdot B_1B_2+c\cdot C_1C_2=0.

35. Теорема Жергона (Gergonne). Если прямыя, соединяющія вершины тр~-ка ABC съ точками противоположныхъ сторонъ A_1, B_1, C_1, пересѣкаются въ одной точкѣ M, то \frac{MA_1}{AM}+\frac{MB_1}{BM}+\frac{MC_1}{CM}=1.

Такъ какъ площади тр~-въ BMC и BAC относятся какъ высоты ихъ, а высоты эти относятся какъ MA_1 къ AA_1, то \frac{\mbox{площ.}\,BMC}{\mbox{площ.}\,ABC}=\frac{MA_1}{AA_1}, \frac{\mbox{площ.}\,CMA}{\mbox{площ.}\,ABC}=\frac{MB_1}{BB_1}, \frac{\mbox{площ.}\,AMB}{\mbox{площ.}\,ABC}=\frac{MC_1}{CC_1}; сложивъ эти равенства, получимъ то, которое требовалось доказать.

Слѣдствіе. При такихъ~-же условіяхъ \frac{AM}{AA_1}+\frac{BM}{BB_1}+\frac{CM}{CC_1}=2.

36. Треугольникъ, имѣющій вершинами основанія прямыхъ Чевы (13), пересѣкающихся въ одной точкѣ, называется тр~-мъ основаній этихъ прямыхъ (tri­angle pédal).

Теорема. Стороны даннаго тр~-ка ABC пересѣкаются съ противоположными сторонами тр~-ка основаній прямыхъ Чевы въ трехъ точкахъ, расположенныхъ на одной прямой.

Пусть Aa, Bb, Cc суть прямыя Чевы тр~-ка ABC, пересѣкающіяся въ одной точкѣ (фиг. 11). Точки пересѣченія тр~-ка основаній (abc) этихъ прямыхъ съ противоположными сторонами тр~-ка ABC обозначимъ чрезъ a', b', c'. Составивъ (по теоремѣ Менелая) три соотношенія между отрѣзками сторонъ тр~-ка ABC, пересѣченнаго прямыми ab, bc, ca (5), перемноживъ ихъ и замѣтивъ, что по теоремѣ Чевы (13) \frac{aB\cdot bC\cdot cA}{aC\cdot bA\cdot cB}=-1, получимъ \frac{a'B\cdot b'C\cdot c'A}{a'C\cdot b'A\cdot c'B}=1; слѣдовательно (5), точки a', b', c' лежатъ на одной прямой.

Изъ тр~-въ основаній прямыхъ Чевы особенно замѣчательны тр~-къ основаній медіанъ и тр~-къ основаній высотъ.

37. Дополнительный тр~-къ (triangle com­plé­men­tai­re, Neuberg). Тр~-къ основаній медіанъ (A'B'C') даннаго тр~-ка ABC, т. е. тр~-къ, вершины котораго суть средины сторонъ тр~-ка ABC, называется дополнительнымъ для этого тр~-ка (tri­angle médian).

Очевидно, что тр~-къ ABC подобенъ своему дополнительному тр~-ку; соотвѣтственныя стороны ихъ параллельны и относятся какъ 2:1.

Тр~-къ (A''B''C''), стороны котораго проходятъ чрезъ вершины тр~-ка ABC и параллельны противолежащимъ сторонамъ его, называется антидополнительнымъ (anti­com­plé­men­tai­re, Neu­berg) для тр~-ка ABC.

Всякій тр~-къ можно разсматривать какъ дополнительный для тр~-ка антидополнительнаго и какъ антидополнительный для тр~-ка дополнительнаго (фиг. 12₁).

38. Легко доказываются слѣдующія свойства дополнительнаго тр~-ка. Медіаны и центръ тяжести даннаго тр~-ка (ABC) совпадаютъ съ медіанами и центромъ тяжести дополнительнаго тр~-ка (A'B'C').

Окружность Эйлера (девяти точекъ) тр~-ка ABC служитъ описанной окружностью для дополнительнаго тр~-ка (A'B'C') (25). Поэтому медіатрисы дополнительнаго тр~-ка пересѣкаются на прямой Эйлера даннаго тр~-ка. Слѣдовательно (23), данный тр~-къ и его дополнительный имѣютъ общую прямую Эйлера.

Касательныя въ соотвѣтственныхъ вершинахъ даннаго (ABC) и дополнительнаго (A'B'C') тр~-въ къ описаннымъ около нихъ окружностямъ параллельны.

39. Теорема Хузеля (Housel). Центръ тяжести тр~-ка, центръ круга, вписаннаго въ него, и центръ круга, вписаннаго въ дополнительный тр~-къ, лежатъ на одной прямой.

Обозначимъ чрезъ I и I' центры круговъ вписанныхъ въ тр~-къ ABC и въ дополнительный для него тр~-къ A'B'C' (фиг. 12₂) и чрезъ G --- пересѣченіе медіаны AA' тр~-ка ABC съ II'. Изъ подобія тр~-въ AIG и A'I'G слѣдуетъ, что \frac{AG}{A'G}=\frac{IG}{I'G}=\frac{AI}{A'I'}; вслѣдствіе~-же подобія тр~-въ AIB и A'I'B' \frac{AI}{A'I'}=\frac{AB}{A'B'}=2; слѣдовательно, AG=2A'G, а потому (15) центръ тяжести тр~-ка ABC находится въ G.

40. Ортоцентрическій тр~-къ (tri­angle ortho­cen­tri­que или orthi­que, Morel). Тр~-къ основаній (H_1H_2H_3) высотъ даннаго тр~-ка ABC, т. е. тр~-къ, имѣющій вершинами основанія H_1, H_2, H_3 высотъ тр~-ка ABC, называется ортоцентрическимъ тр~-мъ (фиг. 13₁).

Обозначимъ чрезъ H ортоцентръ тр~-ка ABC; тр~-ки ABC, AHB, BHC и CHA имѣютъ общій ортоцентрическій тр~-къ H_1H_2H_3 (27).

Изъ четырехъ точекъ A, B, C, H каждая служитъ ортоцентромъ тр~-ка, имѣющаго вершинами три остальныя точки. Такія четыре точки называются ортоцентрическою группою точекъ (groupe ortho­centrique, Long­champs).

41. Такъ какъ четыреугольникъ BH_1HH_3 вписывается въ окружность, то \angle HH_1H_3~\mbox{или}~\angle AH_1H_3=\angle HBH_3~\mbox{или}~\angle H_2BA; но \angle AH_1H_3=90^\circ-\angle BH_1H_3\quad\mbox{и}\quad \angle H_2BA=90^\circ-\angle A; слѣдовательно, \angle BH_1H_3=\angle A.

Изъ чет~-ка CH_1HH_2 так~-же найдемъ, что \angle CH_1H_2=\angle A.

Если уголъ A тупой, то \angle BH_1H_3=\angle CH_1H_2=180^\circ-\angle A.

Изъ этого слѣдуетъ, что если углы A, B, C острые, то противолежащіе имъ углы ортоцентрическаго тр~-ка суть \angle H_1=180^\circ-2\angle A,\angle H_2=180^\circ-2\angle B, \angle H_3=180^\circ-2\angle C; если~-же уголъ A тупой, то \angle H_1=2\angle A-180^\circ.

42. Теорема. Высоты остроугольнаго тр~-ка суть внутреннія биссектрисы ортоцентрическаго тр~-ка.

Ибо изъ равенствъ угловъ (фиг. 13₁) \angle BH_1H_3=\angle CH_1H_2=\angle A слѣдуетъ, что \angle AH_1H_2=\angle AH_1H_3=90^\circ-\angle A.

Стороны остроугольнаго тр~-ка суть внѣшнія биссектрисы ортоцентрическаго тр~-ка.

Слѣдствія. Если тр~-къ ABC остроугольный, то ортоцентръ его H совпадаетъ съ центромъ круга вписаннаго въ ортоцентрическій тр~-къ; вершины тр~-ка ABC въ этомъ случаѣ суть центры внѣвписанныхъ круговъ ортоцентрическаго тр~-ка.

Если уголъ A тр~-ка ABC тупой, то вершина A совпадаетъ съ центромъ круга, вписаннаго въ ортоцентрическій тр~-къ; центры круговъ внѣвписанныхъ въ ортоцентрическій тр~-къ совпадаютъ въ этомъ случаѣ съ вершинами B и C и ортоцентромъ H.

43. Теорема Нагеля (Nagel). Радіусы круга, описаннаго около тр~-ка, проведенные въ вершины его, перпендикулярны къ сторонамъ ортоцентрическаго тр~-ка.

Касательная въ точкѣ A къ окружности, описанной около тр~-ка ABC, образуетъ съ стороной AB \mbox{уголъ}=\angle C (фиг. 13₂); а такъ какъ (41) \angle AH_2H_3=\angle C, то H_2H_3 параллельна этой касательной и перпендикулярна къ радіусу окружности ABC, проведенному въ A.

Слѣдствіе. Окружность, описанная около тр~-ка H_1H_2H_3, есть окружность Эйлера тр~-ка ABC (24). Обозначимъ центръ этой окружности чрезъ O_1, пересѣченіе ея съ высотой AH_1 чрезъ E_1 (точка Эйлера, фиг. 13₃). Такъ какъ AH=2E_1H (24) и OH=2O_1H (25), то радіусы OA и O_1E_1 параллельны, а потому O_1E_1 перпендикулярна къ H_2H_3 и дѣлитъ ее пополамъ. При продолженіи O_1E_1 проходитъ чрезъ средину A' стороны BC. Такимъ образомъ, медіатрисы ортоцентрическаго тр~-ка H_1H_2H_3 проходятъ чрезъ точки Эйлера и средины сторонъ даннаго тр~-ка ABC.

44. Полный четыреугольникъ (quadrilatère complet). Фигура, получающаяся отъ продолженія противоположныхъ сторонъ четыреугольника до пересѣченія ихъ, называется полнымъ четыреугольникомъ.

Если противоположныя стороны AB и DC, AD и BC чет~-ка ABCD пересѣкаются въ E и F, то эти точки, какъ и A, B, C, D, называются вершинами полнаго чет~-ка.

Прямыя AC, BD, EF, соединяющія по двѣ вершины полнаго чет~-ка, называются его діагоналями.

Полный чет~-къ имѣетъ шесть вершинъ и три діагонали.

Стороны полнаго чет~-ка ABCDEF образуютъ четыре тр~-ка: ADE, BCE, ABF и CDF (фиг. 14₁).

45. Теорема Гаусса (Gauss). Средины діагоналей полнаго четыреугольника находятся на одной прямой.

Обозначимъ чрезъ L, M, N средины діагоналей AC, BD и EF полнаго чет~-ка (фиг. 14₂) и чрезъ B_1, C_1, E_1 --- средины сторонъ тр~-ка BCE.

Точки L, M, N находятся на сторонахъ тр~-ка B_1E_1C_1 и образуютъ на нихъ отрѣзки LE_1, MC_1,\dots, равные половинамъ отрѣзковъ AB, CD,\dots тр~-ка BCE, пересѣченнаго прямою ADF. Поэтому (5) \frac{LE_1\cdot MC_1\cdot NB_1}{LB_1\cdot ME_1\cdot NC_1}=1, и точки L, M, N находятся на одной прямой.

Прямую, проходящую чрезъ средины діагоналей полнаго чет~-ка, будемъ называть прямою Гаусса.

46. Теорема Микеля (Miquel). Окружности, описанныя около четырехъ тр~-въ, составленныхъ сторонами полнаго чет~-ка, пересѣкаются въ одной точкѣ.

Опишемъ окружности около тр~-въ ABF и ADE и точку пересѣченія ихъ P соединимъ съ вершинами полнаго чет~-ка (фиг. 14₃). Такъ какъ \angle CDP~\mbox{или}~\angle EDP=\angle EAP и \angle CFP~\mbox{или}~ \angle BFP=\angle BAP~\mbox{или}~EAP, то \angle CDP=\angle CFP; слѣдовательно, окружность CDF проходитъ чрезъ точку P. То~-же справедливо и для окружности BCE.

47. Точка Микеля. Общая точка четырехъ окружностей, описанныхъ около тр~-въ, составленныхъ сторонами полнаго чет~-ка, называется точкою Микеля (Kantor).

Очевидно, что всѣ тр~-ки, составленные сторонами полнаго чет~-ка, имѣютъ общую прямую Симсона, соотвѣтствующую точкѣ Микеля. Это значитъ, что проэкціи точки Микеля на стороны полнаго чет~-ка расположены на одной прямой.

48. Теорема Обера (Aubert). Ортоцентры четырехъ тр~-въ, составленныхъ сторонами полнаго чет~-ка, находятся на одной прямой.

Если H', H'' суть ортоцентры тр~-въ ABF и CDF, то прямая Симсона, соотвѣтственная точкѣ Микеля P, дѣлитъ пополамъ прямыя PH' и PH'' (26); слѣдовательно, H' и H'' находятся на прямой, параллельной этой прямой Симсона. Это справедливо и для ортоцентровъ тр~-въ ADE и BCE.

49. Прямая Обера. Прямая, проходящая чрезъ ортоцентры четырехъ тр~-въ, составленныхъ сторонами полнаго чет~-ка, называется прямою Обера.

Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что прямая Обера параллельна общей прямой Симсона упомянутыхъ тр~-въ, соотвѣтствующей точкѣ Микеля. Разстояніе прямой Обера отъ точки Микеля вдвое больше разстоянія общей прямой Симсона отъ той~-же точки.

50. Теорема Чевы (13), подобно теоремѣ Менелая, обобщается для всякаго мног~-ка съ нечетнымъ числомъ сторонъ, что выражается слѣдующей теоремой.

Теорема Понселе (Poncelet). Прямыя, соединяющія какую-нибудь точку съ вершинами мног~-ка, имѣющаго нечетное число сторонъ, образуютъ на противоположныхъ сторонахъ его такіе отрѣзки, что произведеніе отрѣзковъ, не имѣющихъ общихъ концовъ, равно произведенію остальныхъ отрѣзковъ.

Упражненія.

1. Основанія трехъ внѣшнихъ биссектрисъ тр~-ка находятся на одной прямой.

Основанія двухъ внутреннихъ и одной внѣшней биссектрисъ тр~-ка находятся на одной прямой.

2. Перпендикуляры къ сторонамъ тр~-ка въ точкахъ касанія ихъ съ внѣвписанными кругами пересѣкаются въ одной точкѣ.

3. Прямыя Симсона, соотвѣтствующія концамъ діаметра круга, описаннаго около тр~-ка, взаимно перпендикулярны и пересѣкаются на окружности Эйлера (Goffart).

4. Изъ всѣхъ тр~-въ, вписанныхъ въ данный тр~-къ, ортоцентрическій имѣетъ наименьшій периметръ (Fagnano).

5. Разстоянія между центрами окружностей, вписанной въ тр~-къ и внѣвписанныхъ въ него, дѣлятся пополамъ окружностью описанной около тр~-ка (Mension).

6. Прямая, соединяющая средины діагоналей описаннаго чет~-ка, проходитъ чрезъ центръ вписаннаго круга (Newton).

7. Если діаметръ MN круга, описаннаго около тр~-ка, проведенный чрезъ центръ вписанной въ тр~-къ окружности, пересѣкается этой окружностью въ P и Q, то MP\cdot NQ=r^2 и MQ\cdot NP=4Rr+r^2.

8. Сумма квадратовъ сторонъ чет~-ка равна суммѣ квадратовъ его діагоналей, сложенной съ учетвереннымъ квадратомъ разстоянія между срединами діагоналей (Euler).

9. Если прямая Чевы AD=l тр~-ка ABC дѣлитъ сторону его BC=a на отрѣзки BD=m и CD=n, то l^2\cdot a=b^2\cdot m+c^2\cdot n-amn\eqno\mbox{(Stewart).}

Отсюда медіана l стороны a тр~-ка опредѣляется изъ формулы l^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}4.

Биссектриса угла A тр~-ка опредѣляется формулой l^2=\frac {4bcp(p-a)}{(b+c)^2}.

10. Разность квадратовъ двухъ сторонъ тр~-ка равна удвоенному произведенію третьей стороны на проэкцію ея медіаны на эту сторону.

11. Сумма квадратовъ медіанъ тр~-ка равна \frac34 суммы квадратовъ его сторонъ.

12. Если S --- площадь тр~-ка, стороны котораго равны a, b, c, то S=\frac{abc}{4R}=\sqrt{rr_1r_2r_3}.

13. Сумма перпендикуляровъ изъ внутренней точки правильнаго мног~-ка на его стороны равна апоѳемѣ мног~-ка, умноженной на число сторонъ его (Viviani).

14. Если d и d_1 суть разстоянія центра (O) круга, описаннаго около тр~-ка отъ центровъ (I, I_1) круговъ вписаннаго и внѣвписаннаго въ него, то d^2=R(R-2r)\quad \mbox{и}\quad d_1^2=R(R+2r_1) \eqno\mbox{(Euler).}

15. Если r, r_1, r_2, r_3 и R суть радіусы круговъ вписанныхъ въ тр~-къ и описаннаго около него, то r_1+r_2+r_3=4R+r.

16. Если m_1, m_2, m_3 суть разстоянія центра круга, описаннаго около тр~-ка, отъ сторонъ его, то m_1+m_2+m_3=R+r\eqno\mbox{(Carnot).}

17. Прямая проходящая черезъ основанія перпендикуляровъ изъ ортоцентра тр~-ка ABC на биссектрисы угла A, дѣлитъ пополамъ сторону BC (Droz-Farny).

18. Если стороны тр~-ка составляютъ ариѳметическую прогрессію, то центръ тяжести тр~-ка и центръ круга, вписаннаго въ него, находятся на прямой, параллельной средней (по величинѣ) сторонѣ (Laisant).

19. Если A', B', C' суть проэкціи центра круга, вписаннаго въ тр~-къ, на его медіатрисы, то прямыя AA', BB', CC' пересѣкаются въ одной точкѣ (Long­champs).

20. Площадь тр~-ка, имѣющаго вершинами средины высотъ тр~-ка, составляетъ \frac14 площади ортоцентрическаго тр~-ка (Hain).

21. Если произвольную точку K соединить съ вершинами тр~-ка ABC и обозначить ортоцентры тр~-въ BKC, CKA, AKB чрезъ H', H'', H''', то тр~-ки H'H''H''' и ABC равновелики (Neuberg).

22. Прямая, проходящая чрезъ основанія внѣшнихъ биссектрисъ тр~-ка ABC, перпендикулярна къ прямой, соединяющей центры вписаннаго и описаннаго круговъ (Hain).

23. Стороны тр~-ка основаній внутреннихъ биссектрисъ тр~-ка ABC перпендикулярны къ прямымъ, соединяющимъ центръ описаннаго круга съ центрами внѣвписанныхъ круговъ. Если основанія внутреннихъ биссектрисъ угловъ A, B, C суть D_1, D_2, D_3, то разстояніе центра описаннаго круга O отъ прямой D_2D_3 равно (R-r_1)\sqrt{\frac{R}{R+2r_1}}\eqno\mbox{(Neuberg).}

24. Перпендикуляры, возставленные въ срединахъ биссектрисъ тр~-ка, пересѣкаютъ его стороны въ трехъ точкахъ, лежащихъ на одной прямой (Long­champs).

25. Если соединить вершины тр~-ка ABC съ произвольной точкой M описанной окружности и обозначить чрезъ A', B', C' точки пересѣченія сторонъ тр~-ка BC, CA, AB съ прямыми AM, BM, CM, то ортоцентръ тр~-ка A'B'C' совпадаетъ съ центромъ круга, описаннаго около тр~-ка ABC (Brocard).

26. Если обозначить чрезъ H ортоцентръ тр~-ка ABC, чрезъ M --- произвольную точку и чрезъ H', H'', H''' ортоцентры тр~-въ AMH, BMH, CMH, то окружности, описанныя около тр~-въ AMH', BMH'', CMH''' и ABC, имѣютъ общую точку.

27. Если обозначить чрезъ A', B', C' точки пересѣченія окружности, описанной около тр~-ка ABC, съ прямыми, проходящими чрезъ вершины тр~-ка и параллельными противоположнымъ сторонамъ его и чрезъ C'', A'', B'' --- точки пересѣченія прямыхъ A'B', B'C', C'A' съ сторонами тр~-ка AB, BC, CA, то ортоцентръ тр~-ка A''B''C'' совпадаетъ съ центромъ круга, описаннаго около тр~-ка ABC (Brocard).

28. Если высоты тр~-ка ABC при продолженіи пересѣкаются съ описанной окружностью въ A', B', C', то точки пересѣченія прямыхъ A'B', B'C', C'A' съ сторонами тр~-ка AB, BC, CA расположены на одной прямой (Brocard).

29. Если произвольную точку M окружности, описанной около тр~-ка ABC, соединить съ вершинами этого тр~-ка и возставить перпендикуляры въ этой точкѣ къ прямымъ MA, MB, MC, то они пересѣкутся съ сторонами тр~-ка BC, CA, AB въ точкахъ, расположенныхъ на продолженномъ діаметрѣ описаннаго круга.

30. Если d_1, d_2, d_3 суть разстоянія центра круга, вписаннаго въ тр~-къ, отъ центровъ внѣвписанныхъ круговъ и D разстояніе между центрами вписаннаго и описаннаго круговъ, то d_1^2+d_2^2+d_3^2=12R^2+4D^2\eqno\mbox{(Chadu).}

31. Если разстояніе центра круга, описаннаго около тр~-ка, отъ точки Нагеля равно d, то d=R-2r\eqno\mbox{(Bonbals).}

32. Точка Нагеля служитъ центромъ круга, вписаннаго въ антидополнительный тр~-къ (Bonbals).

33. Если A', B', C' суть вершины тр~-ка антидополнительнаго для тр~-ка ABC, то окружность Эйлера тр~-ка ABC касается окружностей Эйлера тр~-въ A'BC, B'CA, C'AB въ срединахъ сторонъ BC, CA, AB (Griffiths).

34. Если вершины тр~-ка ABC соединить съ центромъ O описаннаго круга, то прямыя, соединяющія вершины A, B, C съ центрами круговъ, описанныхъ около тр~-въ BCO, CAO и ABO пересѣкаются въ одной точкѣ и симметричны относительно биссектрисъ угловъ A, B, C съ прямыми, соединяющими ихъ вершины съ центромъ окружности Эйлера тр~-ка ABC (Neuberg).

35. Во всякій тр~-къ ABC можно вписать два тр~-ка, стороны которыхъ параллельны биссектрисамъ тр~-ка ABC; эти тр~-ки имѣютъ общую окружность Эйлера.

36. Алгебраическая сумма разстояній вершинъ тр~-ка и его ортоцентра отъ прямой, проходящей чрезъ центръ круга Эйлера, равна нулю (Lauvernay).

37. Прямыя Чевы тр~-ка, дѣлящія его стороны на части, пропорціональныя прилежащимъ угламъ, пересѣкаются въ одной точкѣ (De-Coatpont).

38. Площадь тр~-ка, имѣющаго вершинами центры внѣвписанныхъ круговъ, равна произведенію периметра этого тр~-ка на радіусъ описаннаго круга (Barisien).

39. Площадь тр~-ка, имѣющаго вершинами основанія биссектрисъ тр~-ка ABC, равна произведенію этихъ прямыхъ, разделѣнному на удвоенный периметръ (Cesàro).

40. Если стороны тр~-ка ABC суть a, b, c, а площадь этого \mbox{тр~-ка}=S, то площадь тр~-ка, имѣющаго вершинами основанія внутреннихъ биссектрисъ, равна \frac{2S\cdot abc}{(b+c)(c+a)(a+b)}.

Площадь тр~-ка, имѣющаго вершинами основанія внутренней биссектрисы угла A и внѣшнихъ биссектрисъ угловъ B и C, равна \frac{2S\cdot abc}{(b+c)(a-c)(a-b)}\eqno\mbox{(Dostor).}

41. Если стороны тр~-ка ABC дѣлятся въ точкахъ A_1, B_1, C_1 такъ, что \frac{A_1B}{A_1C}=\frac lm,\quad \frac{B_1C}{B_1A}= \frac{l'}{m'},\quad \frac{C_1A}{C_1B}=\frac{l''}{m''}, то площадь тр~-ка A_1B_1C_1 равна \frac{S(ll'l''+mm'm'')}{(l+m)(l'+m')(l''+m'')}, гдѣ S --- площадь тр~-ка ABC (Genty).

42. Если стороны тр~-ка ABC равны a, b, c, а площадь \mbox{его}=S, то площадь тр~-ка, имѣющаго вершинами проэкціи центра тяжести тр~-ка ABC на его стороны, равна \frac49S^3\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2b^2c^2}\eqno\mbox{(Hain).}

43. При тѣхъ~-же обозначеніяхъ площадь ортоцентрическаго тр~-ка для тр~-ка, имѣющаго вершинами точки касанія круга, вписаннаго въ тр~-къ ABC, равна \frac{16S^5}{a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)} \eqno\mbox{(Hain).}

44. Если H, G, O, I суть ортоцентръ, центръ тяжести, центръ описаннаго круга и центръ круга, вписаннаго въ тр~-къ, то \overline{HI}{}^2+2\overline{OI}{}^2=3(\overline{IG}{}^2+2\overline{GO}{}^2) \eqno\mbox{(Barisien).}

45. Во всякомъ тр~-кѣ (при принятыхъ выше обозначеніяхъ) a(b+c)=(r+r_1)(4R+r-r_1) и a(b-c)=(r_2-r_3)(4R-r_2-r_3) \eqno\mbox{(Lemoine).}

46. Если перпендикуляры изъ центра круга, описаннаго около тр~-ка, на его стороны равны l, m, n, то 4\,\left(\frac al+\frac bm+\frac cn\right)=\frac{abc}{lmn} \eqno\mbox{(J. E.).}

47. Прямыя Гаусса и Обера полнаго чет~-ка взаимно перпендикулярны.

ГЛАВА II.

ГЛАВА II.
О рядахъ и пучкахъ.

1. Точки, расположенныя на одной прямой, называются коллинеарными (collinéaires).

Совокупность точекъ на одной прямой называется рядомъ точекъ или просто рядомъ (punctreihe, Steiner).

Прямая, на которой расположенъ рядъ точекъ, называется основаніемъ ряда (base, träger, Steiner).

Относительное положеніе точекъ ряда опредѣляется ихъ разстояніями отъ одной изъ точекъ основанія, которая называется началомъ ряда.

Разстоянія между точками ряда принимаются съ обратными алгебраическими знаками (+ и -), если откладываются въ противоположныхъ направленіяхъ.

При этомъ условіи на прямой есть только одна точка, разстояніе которой отъ данной точки той~-же прямой равно данной величинѣ a, при этомъ a можетъ имѣть всѣ численныя значенія отъ +\infty до -\infty.

2. Теорема Эйлера (Euler). Если четыре точки A, B, C, D находятся на одной прямой, то \overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot\overline{AD}+\overline{CA}\cdot\overline{BD}=0.

Такъ какъ (I, 4) AB+BC+CA=0\quad\mbox{и}\quad CA+AB+BD=0, то AB+BC=AC\quad\mbox{и}\quad DA=DB+BA; перемноживъ эти равенства, получимъ \overline{DA}\cdot\overline{AB}+\overline{DA}\cdot\overline{BC}= \overline{AC}\cdot\overline{DB}+\overline{AC}\cdot\overline{BA}, или \overline{AB}(\overline{DA}+\overline{AC})+\overline{BC}\cdot \overline{DA}+\overline{CA}\cdot\overline{DB}=0; замѣтивъ~-же, что DA+AC=DC, и принимая во вниманіе знаки отрѣзковъ, изъ послѣдняго равенства получимъ равенство Эйлера.

3. Если заданы двѣ точки ряда A и B, то какая-нибудь третья точка того~-же ряда находится или внѣ ихъ, напр. D, или между ними, напр. C. Въ 1~-мъ случаѣ разстоянія точки D отъ A и B опредѣляются одинаковыми знаками и отношеніе \frac{DA}{DB} положительно. Во 2~-мъ случаѣ, разстоянія точки C отъ A и B опредѣляются разными знаками и отношеніе ихъ \frac{CA}{CB} отрицательно.

Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что на прямой есть только одна точка, отношеніе разстояній которой отъ двухъ данныхъ точекъ той~-же прямой равно заданной величинѣ a, при чемъ a можетъ имѣть всѣ значенія отъ +\infty до -\infty.

Иначе это можно выразить такъ: на одной прямой есть только одна точка M, которая дѣлитъ данный отрѣзокъ этой прямой AB въ данномъ отношеніи.

Если точка M находится между точками A и B, то дѣленіе отрѣзка AB называется внутреннимъ; если~-же точка M находится внѣ точекъ A и B, то дѣленіе этого отрѣзка называется внѣшнимъ.

4. Ангармоническое отношеніе точекъ (rap­port an­har­mo­nique, Chas­les). Частное отъ дѣленія отношеній разстояній двухъ точекъ ряда отъ двухъ другихъ точекъ того~-же ряда, называется ангармоническим отношеніемъ точекъ. Напр. выраженіе \frac{CA}{CB}:\frac{DA}{DB} есть ангармоническое отношеніе точекъ A, B, C, D. Его обозначаютъ символомъ (ABCD), такъ что (ABCD)=\frac{CA}{CB}: \frac{DA}{DB}.

На прямой есть только одна точка (D), которая съ тремя данными точками той~-же прямой (A, B, C) составляетъ ангармоническое отношеніе данной величины a, при чемъ a можетъ имѣть всѣ значенія отъ +\infty до -\infty. Ибо изъ условія (ABCD)=\frac{CA}{CB}:\frac{DA}{DB}=a слѣдуетъ, что \frac{DA}{DB}=\frac1a\cdot\frac{CA}{CB}, т. е. что точка D дѣлитъ отрѣзокъ AB въ данномъ отношеніи.

5. Величина символа ангармоническаго отношенія не измѣняется, если, переставивъ въ немъ двѣ буквы одну на мѣсто другой, сдѣлаемъ то~-же съ остальными двумя буквами, т. е. (ABCD)=(BADC)=(CDAB)=(DCBA)=a. Дѣйствительно, (BADC)=\frac{DB}{DA}:\frac{CB}{CA}=\frac{CA}{CB}:\frac{DA}{DB}=(ABCD), (CDAB)=\frac{AC}{AD}:\frac{BC}{BD}=\frac{AC}{BC}:\frac{AD}{BD}==\frac{CA}{CB}:\frac{DA}{DB}=(ABCD), и т. д.

6. Если въ символѣ (ABCD)=a переставить только двѣ первыя буквы (или только двѣ послѣднія), то величина полученнаго символа будетъ \frac1a. Ибо (ABDC)=\frac{DA}{DB}:\frac{CA}{CB}=1:\left(\frac{CA}{CB}:\frac{DA}{DB}\right)= =\frac1{(ABCD)}=\frac1a.

Такимъ образомъ (5): (ABDC)=(BACD)=(DCAB)=(CDBA)=\frac1a.

7. Если въ символѣ (ABCD)=a переставить только среднія (или только крайнія) буквы, то величина полученнаго символа будетъ 1-a.

Такъ какъ по теоремѣ Эйлера (2) AB\cdot CD+BC\cdot AD+CA\cdot BD=0, то \frac{AB\cdot CD}{BC\cdot AD}+1+\frac{CA\cdot BD}{BC\cdot AD}=0, или -\frac{AB\cdot CD}{CB\cdot AD}+1-\frac{AC\cdot BD}{BC\cdot AD}=0, -\frac{AB}{CB}:\frac{AD}{CD}+1-\frac{AC}{BC}:\frac{AD}{BD}=0; отсюда (ACBD)=1-(ABCD)=1-a.

Итакъ (5): (ACBD)=(CADB)=(BDAC)=(DBCA)=1-a.

8. Переставляя въ символѣ (ACBD)=1-a то двѣ послѣднія буквы, то двѣ первыя, получимъ: (ACDB)=(CABD)=(DBAC)=(BDCA)= \frac1{1-a}.

Переставляя среднія или крайнія буквы въ символѣ (ABDC)=\frac1a, получимъ: (ADBC)=(DACB)=(BCAD)=(CBDA)=\frac{a-1}a.

Переставляя, наконецъ, среднія или крайнія буквы въ символѣ (ADBC)=\frac{a-1}a, получимъ: (ADCB)=(DABC)=(CBAD)=(BCDA)=\frac a{a-1}.

Изъ всего этого слѣдует, что для четырехъ точекъ ряда можно составить 24 ангармоническихъ отношеній, изъ которыхъ 6 имѣютъ различныя величины.

9. Проэктивные ряды точекъ. Два ряда точекъ называются проэктивными (projec­tives, Stei­ner) или гомографическими (homo­gra­phi­ques, Chas­les), если ангармоническое отношеніе четырехъ точекъ одного изъ нихъ равно ангармоническому отношенію четырехъ точекъ другого.

Точки, обозначенія которыхъ въ символахъ равныхъ ангармоническихъ отношеній занимаютъ одинаковыя положенія, называются соотвѣтственными точками проэктивныхъ рядовъ.

Если, напр., точки A, B, C, D и A', B', C', D' образуютъ два ряда и (ABCD)=(A'B'C'D'), то ряды эти проэктивны и пары соотвѣтственныхъ точекъ ихъ суть A и A', B и B', C и C', D и D'.

10. Совокупность прямыхъ, пересѣкающихся въ одной точкѣ, называется пучкомъ (faisceau).

Прямыя, составляющія пучокъ, называются лучами, а общая точка ихъ вершиной или центромъ пучка.

Обозначимъ чрезъ O вершину пучка, составленнаго прямыми OA, OB, OC,\dots. Относительное положеніе лучей пучка опредѣляется углами, составляемыми ими съ какимъ-либо однимъ лучомъ, напр. OA, который въ такомъ случаѣ называется начальнымъ. Напр., положеніе лучей OB и OC опредѣляется углами \angle AOB и \angle AOC. Эти углы считаются отъ 0^\circ до 180^\circ и принимаются съ одинаковыми алгебраическими знаками (+ и -), или съ разными, смотря по тому, проводится~-ли начальный лучъ OA въ совпаденіе съ лучами OB и OC чрезъ вращеніе около вершины O въ одну сторону, или въ стороны противоположныя. Это относится и вообще къ угламъ, составляемымъ лучами пучка. Поэтому, напр., \angle AOB=-\angle BOA, или \angle AOB+ \angle BOA=0.

Углы, составленные тремя лучами пучка, всегда удовлетворяютъ равенству: \angle AOB+\angle BOC+\angle COA=0.

11. Прямая, не проходящая чрезъ вершину пучка, называется трансверсалью или сѣкущею пучка.

Теорема. Точки пересѣченія лучей пучка съ двумя сѣкущими образуютъ проэктивные ряды.

Пусть A, B, C, D и A', B', C', D' суть точки пересѣченія пучка, имѣющаго вершину въ O, съ прямыми L и L' (фиг. 15₁). Чрезъ точки C и C' проведемъ прямыя, параллельныя AO, и обозначимъ точки пересѣченія ихъ съ OB и OD чрезъ \alpha, \beta и \alpha', \beta'.

Изъ двухъ паръ подобныхъ тр~-въ ABO и CB\alpha, AOD и C\beta D получаемъ пропорціи: \frac{BA}{BC}=\frac{AO}{C\alpha},\quad\frac{DA}{DC}=\frac{AO}{C\beta}, изъ которыхъ слѣдуетъ, что \frac{BA}{BC}:\frac{DA}{DC}=(ACBD)= \frac{C\beta}{C\alpha}.

Также можно убѣдиться, что (A'B'C'D')=\frac{C'\beta'}{C'\alpha'}.

Но \frac{C\beta}{C\alpha}=\frac{C'\beta'}{C'\alpha'}; слѣдовательно, (ACBD)=(A'C'B'D'), что и тр. док.

Ангармоническое отношеніе точекъ пересѣченія четырехъ лучей пучка съ какой-либо сѣкущей называется ангармоническимъ отношеніемъ этихъ четырехъ лучей. Его обозначаютъ символомъ (O,ABCD), гдѣ O --- вершина пучка и A, B, C, D --- точки пересѣченія лучей съ сѣкущей. Изъ этого опредѣленія слѣдуетъ, что (O,ABCD)=(ABCD).

12. Пучки называются проэктивными, если ангармоническое отношеніе четырехъ лучей одного изъ нихъ равно ангармоническому отношенію четырехъ лучей другого.

Соотвѣтственными лучами проэктивныхъ пучковъ называются тѣ, которые проходятъ чрезъ соотвѣтственныя точки проэктивныхъ рядовъ, получающихся отъ пересѣченія ихъ прямыми.

Очевидно, что пучки проэктивны, если углы, составляемые ихъ лучами, попарно равны.

13. Теорема. Прямыя, соединяющія точки одного ряда съ съ двумя произвольными точками (не входящими въ рядъ), образуютъ проэктивные пучки.

Ибо, соединивъ точки ряда A, B, C, D,\dots съ произвольными точками O, O', получимъ (ABCD)=(O,ABCD)=(O',ABCD).

На основаніи послѣднихъ двухъ теоремъ легко найти на данной прямой рядъ, проэктивный данному ряду, или при данной точкѣ построить пучокъ, проэктивный съ даннымъ пучкомъ.

14. Теорема. Если три прямыя (AA', BB', CC'), соединяющія попарно соотвѣтственныя точки двухъ проэктивныхъ рядовъ (A, B, C, D, E,\dots и A', B', C', D', E',\dots) пересѣкаются въ одной точкѣ (O), то чрезъ ту~-же точку проходятъ всѣ другія прямыя, соединяющія соотвѣтственныя точки этихъ рядовъ.

Обозначимъ чрезъ L и L' основанія рядовъ и чрезъ X пересѣченіе прямыхъ OD и L' (фиг. 15₂). Такъ какъ (11) (A'B'C'X)=(ABCD)=(A'B'C'D'), то точки X и D' совпадаютъ, т. е. прямая DD' проходитъ чрезъ точку O.

15. Теорема. Если три точки (a, b, c) пересѣченія трехъ паръ соотвѣтственныхъ лучей двухъ проэктивныхъ рядовъ (O,ABCD\dots и O',A'B'C'D'\dots) находятся на одной прямой (L), то на той~-же прямой находятся и всѣ другія точки пересѣченія соотвѣтственныхъ лучей этихъ пучковъ.

Обозначимъ чрезъ X пересѣченіе прямыхъ OD и L (фиг. 16). Такъ какъ (O',A'B'C'X)=(a,b,c,X)=(O,ABCD)=(O',A'B'C'D'), то O'X совпадаетъ съ O'D', а потому лучи OD и O'D' пересѣкаются на прямой L.

16. Слѣдствія. Если точка пересѣченія основаній двухъ рядовъ соотвѣтствуетъ сама себѣ, то прямыя, соединяющія попарно соотвѣтственныя точки этихъ рядовъ, пересѣкаются въ одной точкѣ, ибо при совпаденіи соотвѣтственныхъ точекъ проэктивныхъ рядовъ условіе теоремы (14) удовлетворяется.

Слѣдствіе это даетъ рѣшеніе слѣдующей задачи:

По даннымъ четыремъ точкамъ A, B, C, D ряда L и тремъ точкамъ A', B', C' ряда L' найти на прямой L' такую точку D', чтобы ряды L и L' были проэктивными.

При произвольной точкѣ O прямой AA' построимъ пучокъ O,ABCD (фиг. 17); пересѣченіе лучей его съ произвольной прямой, проходящей чрезъ A', образуетъ рядъ A'bcd; чрезъ пересѣченіе O' прямыхъ bB' и cC' проведемъ прямую O'd; эта прямая пересѣкается съ L' въ искомой точкѣ D'; ибо (ABCD)=(A'bcd)=(A'B'C'D').

17. Если прямая, проходящая чрезъ вершины двухъ проэктивныхъ пучковъ, соотвѣтствуетъ сама себѣ, то точки пересѣченія соотвѣтственныхъ лучей ихъ находятся на одной прямой; ибо при совпаденіи соотвѣтственныхъ двухъ лучей проэктивныхъ пучковъ условіе теоремы (15) выполняется.

На этомъ основано рѣшеніе слѣдующей задачи:

По даннымъ четыремъ лучамъ OA, OB, OC, OD при вершинѣ O и тремъ лучамъ O'A', O'B', O'C' при вершинѣ O' построить при точкѣ O' такой лучъ O'D', чтобы пучки O,ABCD и O',A'B'C'D' были проэктивны.

Произвольная прямая, проходящая чрезъ пересѣченіе a лучей OA и O'A', пересѣкаясь съ лучами пучка O,ABCD, образуетъ рядъ a, b, c, d (фиг. 18); соединивъ эти точки съ произвольной точкой o прямой O'A', получимъ пучокъ o,abcd; прямая, соединяющая точки пересѣченія лучей ob и O'B', oc и O'C', пересѣкаетъ od въ точкѣ D'; лучъ O'D' --- искомый; ибо (O,ABCD)=(o,abcd)=(O',A'B'C'D').

18. Конциклическія точки (points con­cyc­li­ques). Четыре точки (или болѣе), находящіяся на одной окружности, называются конциклическими или гомоциклическими (homo­cycli­ques, Neu­berg).

Если четыре конциклическія точки A, B, C, D соединить съ точками O и O' той~-же окружности, то (O,ABCD)=(O',ABCD), т. е. ангармоническое отношеніе четырехъ лучей пучка O,ABCD не зависитъ отъ положенія точки O на окружности, а зависитъ только отъ относительнаго положенія точекъ A, B, C, D.

Ангармоническое отношеніе четырехъ лучей пучка съ вершиной на окружности называется ангармоническимъ отношеніемъ четырехъ конциклическихъ точекъ, чрезъ которыя проходятъ лучи этого пучка.

19. Если въ точкахъ A и B окружности, имѣющей центръ въ O, провести касательныя и обозначить точки пересѣченія ихъ съ произвольной касательной къ той~-же окружности чрезъ a и b, то \angle aOb=\frac12\angle AOB.

Поэтому, если касательныя въ четырехъ данныхъ точкахъ окружности (A, B, C, D) пересѣкаются съ произвольной пятой касательной L къ той~-же окружности въ точкахъ a, b, c, d, то ангармоническое отношеніе этихъ четырехъ точекъ не зависитъ отъ положенія касательной L, а зависитъ только отъ относительнаго положенія точекъ A, B, C, D или касательныхъ въ этихъ точкахъ.

Ангармоническое отношеніе точекъ пересѣченія четырехъ касательныхъ къ окружности съ пятой касательной называется ангармоническимъ отношеніемъ четырехъ касательныхъ.

Ангармоническое отношеніе четырехъ касательныхъ къ окружности равно ангармоническому отношенію четырехъ точекъ касанія; ибо соединивъ центръ окружности съ точками a, b, c, d и точку касанія произвольной касательной (L) съ точками A, B, C, D, получимъ пучки, соотвѣтственные лучи которыхъ взаимно перпендикулярны.

20. Предположимъ, что основанія двухъ рядовъ A, B, C,\dots и A', B', C',\dots совпадаютъ, такъ что оба ряда расположены на одной прямой L.

Если для одного ряда заданы четыре точки A, B, C, D, а для другого три A', B', C', то для втораго ряда можно найти такую четвертую точку D', что ряды будутъ проэктивны, т. е. (ABCD)=(A'B'C'D').

Соединимъ какую-нибудь точку S произвольно взятой окружности съ данными точками рядовъ и обозначимъ точки пересѣченія этой окружности съ лучами пучковъ S,ABCD и S,A'B'C' чрезъ a, b, c, d и a', b', c' (фиг. 19). Соединивъ a' съ b, c, d и a съ b', c', чрезъ пересѣченія прямыхъ ab' и a'b, ac' и a'c проведемъ прямую l. Точку пересѣченія l съ a'd соединимъ съ a и пересѣченіе полученной прямой съ окружностью обозначимъ чрезъ d'. Прямая Sd' пересѣчетъ основаніе рядовъ въ искомой точкѣ D'. Ибо (ABCD)=(S,abcd)=(a',abcd)= =(a,a'b'c'd')=(S,a'b'c'd')=(A'B'C'D').

21. Если точки a и a' соединить съ какой-нибудь точкой прямой l и обозначить точки пересѣченія окружности съ полученными прямыми чрезъ e и e', то прямыя Se и Se' пересѣкутъ общее основаніе рядовъ въ соотвѣтственныхъ точкахъ ихъ E и E', удовлетворяющихъ условію проэктивности, такъ что (ABCE)=(A'B'C'E').

Если прямая l пересѣкается съ окружностью въ u_1 и u_2, то пересѣченія прямыхъ au_1 и a'u_1 съ окружностью совпадутъ съ точкою u_1, а потому прямая Su_1 пересѣчетъ основаніе рядовъ въ общей точкѣ ихъ U_1, такъ что (ABCU_1)=(A'B'C'U_1).

Пересѣченіе прямой Su_2 съ основаніемъ рядовъ даетъ другую общую точку ихъ U_2.

Такимъ образомъ, проэктивные ряды съ общимъ основаніемъ могутъ имѣть двѣ общія точки.

22. Свойствами проэктивныхъ рядовъ и пучковъ удобно пользоваться въ такихъ случаяхъ, когда требуется доказать, что нѣсколько точекъ находятся на одной прямой, или что нѣсколько прямыхъ пересѣкаются въ одной точкѣ.

Пояснимъ это примѣрами.

Теорема Бріаншона (Brianchon). Діагонали, соединяющія противоположныя вершины шестиугольника, описаннаго около круга, пересѣкаются въ одной точкѣ.

Обозначимъ точки пересѣченія продолженныхъ сторонъ шестиугольника: AB съ EF и DE чрезъ I и M, CD съ AF и FE чрезъ L и N (фиг. 20₁). Разсматривая стороны шестиугольника BC, AF, FE и ED какъ касательныя, пересѣченныя касательными AB и CD, получимъ (19): (BAIM)=(CLND), или (E,BAIM)=(F,CLND); но эти два пучка имѣютъ общій лучъ IN, поэтому (17) соотвѣтственные лучи ихъ EB и FC, EA и FL, EM и FD пересѣкаются въ точкахъ O, A, D на одной прямой; слѣдовательно, діагонали AD, BE и CF пересѣкаются въ одной точкѣ O. Эта точка называется точкою Бріаншона.

23. Теорема Ньютона (Newton). Діагонали описаннаго четыреугольника и прямыя, соединяющія точки касанія противоположныхъ сторонъ его, пересѣкаются въ одной точкѣ.

Если (въ предѣльномъ случаѣ) стороны шестиугольника (фиг. 20₂—20₇) AB и BC, ED и EF составляютъ углы въ 180^\circ и точки B и E суть точки касанія прямыхъ AC и DF, то шестиугольникъ ABCDEF обращается въ описанный четыреугольникъ ACDF. По предыдущей теоремѣ, прямая BE, соединяющая точки касанія противоположныхъ сторонъ этого чет~-ка, проходитъ чрезъ пересѣченіе его діагоналей AD и CF.

24. Теорема Дезарга (Desargues). Если прямыя AA', BB', CC', соединяющія вершины тр~-въ ABC и A'B'C', пересѣкаются въ одной точкѣ, то точки пересѣченія сторонъ BC и B'C', CA и C'A', AB и A'B' этихъ тр~-въ находятся на одной прямой.

И обратно:

Если точки пересѣченія сторонъ BC и B'C', CA и C'A', AB и A'B' тр~-въ ABC и A'B'C' находятся на одной прямой, то прямыя AA', BB', CC', соединяющія ихъ вершины, пересѣкаются въ одной точкѣ.

Пусть D и D' суть точки пересѣченія сторонъ AB и A'B' съ прямою CC'. Обозначимъ чрезъ O общую точку прямыхъ AA', BB' и CC'; чрезъ a, b, c --- точки пересѣченія сторонъ BC и B'C', CA и C'A', AB и A'B' (фиг. 21). Такъ какъ (cBAD)=(cB'A'D'), то (C,cBAD)=(C',cB'A'D'); но лучи CD и C'D' этихъ пучковъ совпадаютъ; слѣдовательно (17), точки пересѣченія другихъ соотвѣтственныхъ лучей ихъ Cc и C'c, CB и C'B', CA и C'A', т. е. точки c, a и b, расположены на одной прямой.

Обратно, если точки a, b, c лежатъ на одной прямой, то, обозначивъ пересѣченіе этой прямой съ CC' чрезъ E, получимъ (C,acEb)=(C',acEb), поэтому (11) (cBAD)=(cB'A'D'); но эти ряды имѣютъ общую точку c; слѣдовательно (16), прямыя BB', AA' и DD' или CC' пересѣкаются въ одной точкѣ.

25. Гомологичные треугольники. Тр~-ки (ABC и A'B'C'), вершины которыхъ по двѣ лежатъ на трехъ прямыхъ, пересѣкающихся въ одной точкѣ (O), или стороны которыхъ пересѣкаются по двѣ въ трехъ точкахъ на одной прямой, называются гомологичными (ho­mo­lo­gi­ques, Pon­ce­let) или перспективными (Clebsch).

Точка пересѣченія (O) прямыхъ (AA', BB', CC'), проходящихъ чрезъ соотвѣтственныя вершины гомологичныхъ тр~-въ, называется центромъ гомологіи (centre d’ho­mo­lo­gie) или центромъ перспективы.

Прямая, проходящая чрезъ точки пересѣченія (a, b, c) соответственныхъ сторонъ гомологичныхъ тр~-въ, называется осью гомологии (axe d’ho­mo­lo­gie) или осью перспективы.

26. Всякій тр~-къ (ABC) съ треугольникомъ основаній его чевіанъ составляютъ пару гомологичныхъ тр~-въ (I, 36), имѣющихъ центромъ гомологіи точку пересѣченія чевіанъ. Поэтому:

Всякій тр~-къ ABC гомологиченъ съ тр~-мъ основаній его биссектрисъ; центръ гомологіи этихъ тр~-въ совпадаетъ съ центромъ круга, вписаннаго въ тр~-къ ABC (I, 14).

Тр~-къ ABC гомологиченъ съ тр~-мъ основаній двухъ внѣшнихъ биссектрисъ его и одной внутренней; центромъ гомологіи этихъ тр~-въ служитъ центръ одного изъ внѣвписанныхъ круговъ тр~-ка ABC (I, 14).

Тр~-къ ABC гомологиченъ съ тр~-мъ, имѣющимъ вершинами точки касанія круга, вписаннаго въ тр~-къ ABC; въ этомъ случаѣ центръ гомологіи совпадаетъ съ точкой Жергона (I, 17).

Тр~-къ ABC гомологиченъ съ тр~-мъ, имѣющимъ вершинами точки касанія сторонъ тр~-ка ABC съ внѣвписанными кругами; для этихъ тр~-въ центромъ гомологии служитъ точка Нагеля (I, 18).

Тр~-къ ABC и его дополнительный и антидополнительный тр~-ки (I, 37) гомологичны и имѣютъ центромъ гомологіи центръ медіанъ тр~-ка ABC (I, 15).

Тр~-къ ABC и ортоцентрическій его тр~-къ гомологичны; центръ гомологіи совпадаетъ съ ортоцентромъ H тр~-ка ABC (I, 16).

27. Теорема. Если три треугольника попарно гомологичны и имѣютъ общую ось гомологіи, то ихъ центры гомологіи находятся на одной прямой.

Если прямая L (фиг. 22) служитъ общею осью гомологіи гомологичныхъ тр~-въ ABC, A'B'C' и A''B''C'', то соотвѣтственныя стороны этихъ тр~-въ пересѣкаются по три въ точкахъ a, b, c на прямой L. Такъ какъ прямыя AB, A'B', A''B'', соединяющія по двѣ вершины тр~-въ AA'A'' и BB'B'', пересѣкаются въ одной точкѣ c, то точки пересѣченія сторонъ ихъ AA' и BB', A'A'' и B'B'', A''A и B''B находятся на одной прямой L' (24), что и тр. док.

Слѣдствіе. Центры гомологіи тр~-въ AA'A'', BB'B'', CC'C'' находятся на общей оси гомологіи L тр~-въ ABC, A'B'C', A''B''C''. Общая ось гомологіи L' тр~-въ AA'A'', BB'B'', CC'C'' проходитъ чрезъ центры гомологіи тр~-въ ABC, A'B'C', A''B''C''.

28. Теорема. Если три тр~-ка попарно гомологичны и имѣютъ общій центръ гомологіи, то три оси гомологіи этихъ тр~-въ пересѣкаются въ одной точкѣ.

Если O есть общій центръ гомологіи тр~-въ ABC, A'B'C', A''B''C'' (фиг. 23), то, обозначивъ оси гомологіи ихъ чрезъ a''b''c'', abc и a'b'c', замѣчаемъ, что тр~-ки cc'c'' и bb'b'', составленные прямыми AB, A'B', A''B'' и AC, A'C', A''C'' гомологичны (соотвѣтственныя стороны ихъ пересѣкаются по двѣ въ точкахъ A, A', A'' на одной прямой), а потому (24) прямыя bc, b'c', b''c'' пересѣкаются въ одной точкѣ, что и тр. док.

Слѣдствіе. Три оси гомологіи тр~-въ ABC, A'B'C', A''B''C'' пересѣкаются въ общемъ центрѣ гомологіи тр~-въ aa'a'', bb'b'', cc'c'', и наоборотъ.

29. Гомологичныя фигуры (figures homologiques, Poncelet). Двѣ фигуры ABCD\dots и A'B'C'D'\dots называются гомологичными, если прямыя AA', BB', CC',\dots, соединяющія ихъ соотвѣтственныя точки, пересѣкаются въ одной точкѣ.

Общая точка прямыхъ, проходящихъ чрезъ соотвѣтственныя точки гомологичныхъ фигуръ, называется центромъ гомологіи.

Соотвѣтственныя прямыя AB и A'B', BC и B'C', CD и C'D',\dots гомологичныхъ фигуръ пересѣкаются на одной прямой, называемой осью гомологіи.

30. Гомотетичныя фигуры (figures ho­mo­thé­ti­ques). Гомологичныя фигуры ABC\dots и A'B'C'\dots называются гомотетичными, если разстоянія соотвѣтственныхъ точекъ ихъ A и A', B и B',\dots отъ центра гомологіи O пропорціональны, т. е. если \frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{OC}{OC'}=\dots=k ~\mbox{(пост.)}.

Центръ гомологіи O гомотетичныхъ фигуръ называется центромъ гомотетіи (centre d’ho­mo­thé­tie), а постоянная величина (k) отношеній разстояній его отъ соотвѣтственныхъ точекъ гомотетичныхъ фигуръ называется отношеніемъ гомотетіи (rap­port d’ho­mo­thé­tie).

Если соотвѣтственныя точки A и A', B и B',\dots гомотетичныхъ фигуръ находятся по одну сторону отъ центра гомотетіи O, то фигуры называются прямо гомотетичными (ho­mo­thé­ti­ques di­rects) и отношеніе гомотетіи ихъ k положительно (1).

Если~-же точки A и A', B и B',\dots находятся въ противоположныхъ направленіяхъ отъ центра гомотетіи (O), то фигуры называются обратно гомотетичными (ho­mo­thé­ti­ques in­ver­ses).

31. Центръ гомотетіи есть общая точка гомотетичныхъ фигуръ.

Соотвѣтственныя прямыя гомотетичныхъ фигуръ или параллельны, или совпадаютъ; послѣднее имѣетъ мѣсто, когда эти прямыя проходятъ чрезъ центръ гомотетіи. Поэтому ось гомологіи гомотетичныхъ фигуръ безконечно удалена.

Изъ этого слѣдуетъ также, что \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\dots=\frac{OA}{OA'}=k.

Поэтому гомотетичныя фигуры подобны. Обратно, если сходственныя стороны подобныхъ фигуръ параллельны, то фигуры гомотетичны.

32. Теорема. Двѣ фигуры F_1 и F_2, гомотетичныя съ третьей фигурой F, гомотетичны между собою.

Обозначимъ чрезъ A, B,\dots, A_1, B_1,\dots, A_2, B_2,\dots соотвѣтственныя точки фигуръ F, F_1, F_2 и чрезъ k_1 и k_2 --- отношенія гомотетіи F и F_1, F и F_2 (фиг. 24). Такъ какъ \frac{AB}{A_1B_1}=k_1\quad\mbox{и}\quad\frac{AB}{A_2B_2}=k_2, то \frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{k_2}{k_1}~\mbox{(пост.)}; кромѣ того A_1B_1\parallel AB\parallel A_2B_2; слѣдовательно (31), фигуры F_1 и F_2 гомотетичны.

Если фигура F прямо или обратно гомотетична съ обѣими фигурами F_1 и F_2, то F_1 и F_2 прямо гомотетичны.

Если~-же фигура F прямо гомотетична съ одной изъ фигуръ F_1 и F_2 и обратно гомотетична съ другой, то F_1 и F_2 обратно гомотетичны.

33. Теорема. Центры гомотетіи трехъ попарно гомотетичныхъ фигуръ находятся на одной прямой.

Пусть O, O_1, O_2 суть центры гомотетіи фигуръ F_1 и F_2, F_2 и F, F и F_1 (фиг. 24). Прямая O_1O_2 служитъ общею прямою какъ для фигуръ F и F_1, такъ и для фигуръ F и F_2, такъ какъ она проходитъ чрезъ центры гомотетіи O_2 и O_1 этихъ двухъ паръ гомотетичныхъ фигуръ (31); поэтому O_1O_2 служитъ общею прямою и для фигуръ F_1 и F_2, а слѣдовательно, эта прямая проходитъ чрезъ O.

Прямая, проходящая чрезъ центры гомотетіи трехъ фигуръ, называется осью гомотетіи этихъ фигуръ.

34. Теорема. Двѣ окружности прямо и обратно гомотетичны, при чемъ центры и концы параллельныхъ діаметровъ суть соотвѣтственныя точки ихъ.

Пусть O и O', r и r' суть центры и радіусы двухъ окружностей.

Проведемъ параллельные діаметры окружностей AB и A'B' и обозначимъ чрезъ S_1 и S_2 точки пересѣченія прямыхъ AA' и AB' съ линіей центровъ OO' (фиг. 25).

Такъ какъ \frac{S_1O}{S_1O'}=\frac{S_1A}{S_1A'}=\frac r{r'}\quad \mbox{и}\quad \frac{S_2O}{S_2O'}=\frac{S_2A}{S_2B'}=-\frac r{r'}, то S_1 и S_2 суть центры прямой и обратной гомотетіи окружностей.

Слѣдствія. Центры гомотетіи двухъ окружностей суть точки пересѣченія линіи центровъ съ общими внѣшними и внутренними касательными.

Точка касанія двухъ соприкасающихся окружностей есть одинъ изъ центровъ гомотетіи ихъ.

Центры гомотетіи концентрическихъ окружностей совпадаютъ съ общимъ центромъ ихъ.

35. Теорема Даламбера (d’Alembert). Три окружности имѣютъ шесть центровъ гомотетіи, изъ которыхъ три центра прямой гомотетіи находятся на одной прямой; каждые два центра обратной гомотетіи и одинъ центръ прямой также находятся на одной прямой.

Теорема эта есть слѣдствіе ранѣе доказанной общей теоремы (33). Прямая, проходящая чрезъ центры прямой гомотетіи трехъ окружностей, называется осью прямой гомотетіи. Прямая, проходящая чрезъ два центра обратной гомотетіи и одинъ прямой, называется осью обратной гомотетіи.

Три окружности имѣютъ четыре оси гомотетіи.

36. Гармоническія точки (points har­mo­ni­ques). Четыре точки, ангармоническое отношеніе которыхъ равно -1, называются гармоническими точками. Такъ, если (ABCD)=-1, то A, B, C, D суть гармоническія точки.

Изъ четырехъ гармоническихъ точекъ двѣ точки, означенныя въ символѣ (ABCD) первыми двумя буквами (A и B), или двумя послѣдними (C и D), называются гармонически сопряженными (con­ju­gués har­mo­ni­ques).

Такъ какъ при a=-1 (5---6) только 8 преобразованій символа равны: (ABCD)=(ABDC)=(BACD)=(BADC)==(CDAB)=(DCAB)=(CDBA)= (DCBA)=-1, то изъ четырехъ гармоническихъ точекъ всегда только двѣ пары гармонически сопряженныхъ (A и B, C и D).

37. Отрѣзки AB и CD, ограниченные каждый двумя гармонически сопряженными точками, называются также гармонически сопряженными. Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что четыре гармоническія точки образуютъ на прямой только два отрѣзка гармонически сопряженныхъ.

Изъ условія (ABCD)=\frac{CA}{CB}:\frac{DA}{DB}=-1 слѣдуетъ, что \frac{CA}{CB}=-\frac{DA}{DB}\quad\mbox{или}\quad \frac{AC}{AD}=-\frac{BC}{BD},т. е. что отрѣзокъ AB дѣлится въ точкахъ C и D въ одномъ и томъ~-же отношеніи (4). Такое дѣленіе называютъ гармоническимъ (di­vi­sion har­mo­ni­que).

38. Разсматривая только абсолютную величину отрѣзковъ, изъ пропорціи \frac{CA}{CD}=-\frac{DA}{DB} находимъ, что при CA\gt CB и DA\gt DB; слѣдовательно, двѣ точки (C и D), дѣлящія гармонически данный отрѣзокъ (AB), находятся по одну сторону отъ средины этого отрѣзка.

Если одна изъ точекъ (C или D), дѣлящихъ гармонически данный отрѣзокъ (AB), находится въ срединѣ его, то другая безконечно удалена.

Ибо, если C совпадаетъ съ срединой AB, то \frac{CA}{CB}=-1, а потому \frac{DA}{DB}=1; но \frac{DA}{DB}=\frac{DB+BA}{DB}=1+\frac{BA}{DB}; слѣдовательно, равенство \frac{DA}{DB}=1 возможно только при DB=\infty.

39. Примемъ какую-нибудь точку O за начало (1) гармоническаго ряда точекъ A, B, C, D, изъ которыхъ A и B, C и D суть сопряженныя, такъ что \frac{CA}{CB}=-\frac{DA}{DB}.

Такъ какъ (I, 4) CA=OA-OC,\quad CB=OB-OC, DA=OA-OD,\quad DB=OB-OD, то предыдущая пропорція преобразуется въ равенство: 2(OA\cdot OB+OC\cdot OD)=(OA+OB)(OC+OD).

Обратно, если точки A, B, C, D удовлетворяютъ такому равенству при произвольной точке O, то A и B, C и D суть двѣ пары гармонически сопряженныхъ точекъ.

40. Если начало O совпадаетъ съ срединой I отрѣзка AB, то OA=IA=-OB=-IB и OA\cdot OB=-\overline{IA}{}^2{,}\quad OA+OB=0; поэтому предыдущее равенство преобразуется въ слѣдующее: \overline{IA}{}^2=\overline{IB}{}^2=IC\cdot ID.

Обратно, если точки A, B, C, D удовлетворяютъ этому равенству, то A и B, C и D суть двѣ пары сопряженныхъ точекъ.

Если за начало гармоническаго ряда A, B, C, D принять одну изъ этихъ точекъ, напр. A, то въ общемъ равенствѣ (39) придется положить OA=0{,}~~OB=AB{,}~~OC=AC~~\mbox{и}~~OD=AD; получимъ \frac1{AB}=\frac12\,\left(\frac1{AC}+\frac1{AD}\right).

41. Центръ среднихъ гармоническихъ (centre des moyennes harmoniques, Poncelet). Если точка O служитъ началомъ ряда A_1, A_2, A_3,\dots,A_n и точка M того~-же ряда удовлетворяетъ равенству \frac1{OM}=\frac1n\,\left(\frac1{OA_1}+\frac1 {OA_2}+\dots+\frac1{OA_n}\right), гдѣ n --- число точекъ A_1, A_2, A_3,\dots,A_n, то отрѣзокъ OM называется среднимъ гармоническимъ отрѣзковъ OA_1, OA_2,\dots,OA_n (Mac­lau­rin).

Точка M въ этомъ случаѣ называется центромъ среднихъ гармоническихъ точекъ A_1, A_2,\dots,A_n относительно точки O (Poncelet).

Такимъ образомъ, изъ равенства \frac1{AB}=\frac12\,\left(\frac1{AC}+ \frac1{AD}\right) слѣдуетъ, что:

Разстояніе одной изъ четырехъ гармонически сопряженныхъ точекъ до другой есть среднее гармоническое разстояній той~-же точки отъ двухъ другихъ гармонически сопряженныхъ точекъ.

Каждая изъ четырехъ гармоническихъ точекъ, относительно сопряженной съ ней точки, есть центръ среднихъ гармоническихъ остальныхъ двухъ точекъ.

42. Гармоническіе пучки (fai­sce­aux har­mo­ni­ques). Пучокъ изъ четырехъ прямыхъ называется гармоническимъ, если ангармоническое отношеніе его равно -1 (11).

Если точки пересѣченія лучей гармоническаго пучка съ какою-либо прямою образуютъ рядъ гармоническихъ точекъ A, B, C, D, такъ что (O,ABCD)=(ABCD)=-1, то лучи OA и OB, а также OC и OD, называются гармонически сопряженными.

По аналогіи съ гармоническимъ дѣленіемъ отрѣзка прямой (37) говорятъ, что угол (AOB), составленный двумя гармонически сопряженными лучами, дѣлится гармонически двумя другими лучами гармоническаго пучка.

43. Изъ опредѣленія гармонически сопряженныхъ лучей слѣдуетъ, что одинъ изъ нихъ проходитъ между двумя другими сопряженными лучами, а другой --- внѣ ихъ.

Два гармонически сопряженные луча взаимно перпендикулярны, если одинъ изъ нихъ дѣлитъ пополамъ уголъ между двумя другими сопряженными лучами.

Пусть OA и OB, OC и OD суть двѣ пары гармонически сопряженныхъ лучей пучка O,ABCD. Пересѣкая этотъ пучокъ прямою L, получимъ гармоническій рядъ точекъ A, B, C, D. Если лучъ OC дѣлитъ уголъ AOB пополамъ и прямая L перпендикулярна къ OC, то C дѣлитъ пополамъ отрѣзокъ AB, а точка D дѣлается безконечно удаленной (38); поэтому лучъ OD\parallel L \mbox{и}\perp OC.

Обратно:

Если два луча гармоническаго пучка взаимно перпендикулярны, то одинъ изъ нихъ дѣлитъ пополамъ уголъ между двумя другими лучами.

44. Изъ двухъ сопряженныхъ лучей гармоническаго пучка (O,ABCD) одинъ (OC) называется полярой (polaire) точекъ сопряженнаго съ нимъ луча (OD) относительно двухъ другихъ (OA и OB).

Каждая точка одного изъ двухъ сопряженныхъ лучей (OD) называется полюсомъ (pôle) сопряженнаго съ нимъ луча (OC) относительно двухъ другихъ лучей гармоническаго пучка.

45. Изъ свойствъ биссектрисъ тр~-ка (I, 7) слѣдуетъ, что:

Каждая сторона тр~-ка дѣлится гармонически внутренней и внѣшней биссектрисой противолежащего угла.

Поэтому каждый уголъ тр~-ка дѣлится гармонически его внутренней и внѣшней биссектрисами. Это свойство биссектрисъ можно выразить еще такъ:

Каждая изъ биссектрисъ угла тр~-ка есть поляра точекъ другой биссектрисы относительно его сторонъ и каждая точка одной изъ биссектрисъ угла тр~-ка есть полюсъ другой биссектрисы того~-же угла относительно его сторонъ (44).

46. Разстояніе между центрами двухъ окружностей дѣлится гармонически ихъ центрами гомотетіи.

Ибо, если центры окружностей обозначить чрезъ O и O', центры гомотетіи --- чрезъ S_1 и S_2 и радиусы --- чрезъ r и r', то (34): \frac{S_1O}{S_1O'}=\frac r{r'}\quad\mbox{и}\quad \frac{S_2O}{S_2O'}=-\frac r{r'}, а потому (OO'S_1S_2)=\frac{S_1O}{S_1O'}:\frac{S_2O}{S_2O'}=-1.

47. Теорема Сальмона (Salmon). Разстоянія между ортоцентромъ (H) тр~-ка и центромъ тяжести его (G) дѣлится гармонически центромъ описаннаго круга (O) и центромъ окружности Эйлера (O_1).

Такъ какъ (I, 23---25) \frac{OH}{OG}=3\quad\mbox{и}\quad O_1H=O_1O=\frac{OH}2, то O_1G=HG-O_1H=\frac23HO-\frac12HO=\frac16HO; поэтому (HGOO_1)=\frac{OH}{OG}:\frac{O_1H}{O_1G}=-1.

48. Теорема Паппа (Pappus). Каждая діагональ полнаго чет~-ка дѣлится гармонически двумя другими его діагоналями.

Положимъ, что діагональ EF полнаго четыреугольника ABCDEF (фиг. 26) пересѣкается діагоналями AC и BD въ P и Q.

Обозначимъ чрезъ R пересѣченіе діагоналей AC и BD и чрезъ P' и R' --- точки, гармонически сопряженныя съ P и R относительно EF и BD. Такъ какъ каждая изъ прямыхъ CP' и CR' должна быть гармонически сопряженной съ прямой AC относительно прямыхъ BF и DE (42), то CP' и CR', а слѣдовательно и точки P' и R', должны совпадать; поэтому точки P' и R' совпадаютъ съ Q, такъ что діагонали BD и EF дѣлятся гармонически въ R и Q, P и Q.

49. Конциклическія гармоническія точки. Четыре точки окружности называются конциклическими гармоническими точками, если хорды, соединяющія ихъ съ произвольной пятой точкой той~-же окружности, образуютъ гармоническій пучокъ.

Вписанный въ кругъ четыреугольникъ, вершины котораго суть гармоническія точки окружности, называется гармоническимъ чет~-мъ (quad­ri­la­tère har­mo­ni­que).

50. Центры проэктивныхъ рядовъ. Обозначимъ чрезъ L и L' основанія проэктивныхъ рядовъ A, B, C, D,\dots и A', B', C', D',\dots, такъ что (ABCD)=(A'B'C'D').

Если точка O_1 ряда L соотвѣтствуетъ безконечно удаленной точкѣ O_1' ряда L' и точка O_2 ряда L' соотвѣтствуетъ безконечно удаленной точкѣ O_2' ряда L, такъ что (ABCO_1)=(A'B'C'O_1')\quad\mbox{и}\quad(ABCO_2')=(A'B'C'O_2), то точки O_1 и O_2 называются центрами проэктивныхъ рядовъ L и L'.

Центры двухъ проэктивныхъ рядовъ суть точки вполнѣ опредѣленныя и находятся по общему способу построенія соотвѣтственныхъ точекъ проэктивныхъ рядовъ (16).

51. Такъ какъ O_1 и O_1', O_2' и O_2 суть двѣ пары соотвѣтственныхъ точекъ рядов L и L', то (ABO_1O_2')=(A'B'O_1'O_2), или \frac{O_1A}{O_1B}:\frac{O_2'A}{O_2'B}=\frac{O_1'A}{O_1'B}: \frac{O_2A'}{O_2B'}; но при удаленіи точекъ O_2' и O_1' въ безконечность, каждое изъ отношеній \frac{O_2'A}{O_2'B}~\mbox{и}~\frac{O_1'A'}{O_1'B'}~\mbox{въ предѣлѣ}=1, поэтому \frac{O_1A}{O_1B}=1: \frac{O_2A'}{O_2B'}\quad\mbox{или}\quad\frac{O_1A}{O_1B}\cdot \frac{O_2A'}{O_2B'}=1; а отсюда O_1A\cdot O_2A'=O_1B\cdot O_2B'.

Такъ какъ A и A', B и B' суть произвольно взятыя двѣ пары соотвѣтственныхъ точекъ рядовъ L и L', то вообще O_1A\cdot O_2A'=O_1B\cdot O_2B'=O_1C\cdot O_2C'=\dots=k~\mbox{(пост.)}.

Такимъ образомъ, произведеніе разстояній соотвѣтственныхъ точекъ проэктивныхъ рядовъ отъ ихъ центровъ есть величина постоянная (k).

Эта постоянная величина называется степенью (puis­sance) проэктивности рядовъ (Stei­ner).

52. Гомографія (homo­graphie, Chasles). Если основанія L и L' проэктивныхъ рядовъ совпадаютъ, то образуется одинъ рядъ, точки котораго суть суть соотвѣтственныя точки A и A', B и B', C и C',\dots проэктивныхъ рядовъ.

Ряд, состоящій изъ соотвѣтственныхъ точекъ двухъ проэктивныхъ рядовъ на общемъ основаніи, называется гомографическимъ рядомъ (homo­gra­phique), или гомографическимъ дѣленіемъ (divi­sion homo­gra­phique).

Совокупность точекъ, составляющихъ гомографическій рядъ, называютъ также гомографіей.

Соотвѣтственныя точки проэктивныхъ рядовъ, образующихъ гомографическій рядъ, называются соотвѣтственными точками гомографическаго ряда или гомографіи. Центры проэктивныхъ рядовъ (O_1 и O_2) въ этомъ случаѣ называются центрами гомографіи.

53. Двойныя точки проэктивныхъ рядовъ, образующихъ гомографію, называются двойными точками (points doubles) гомографическаго ряда.

Положеніе двойныхъ точекъ U гомографическаго ряда опредѣляется изъ условія O_1U\cdot O_2U=k, гдѣ k --- степень гомографіи. Изъ этого условія видно, что гомографическій рядъ или имѣетъ двѣ двойныхъ точки (U_1 и U_2), или совсемъ ихъ не имѣетъ.

Двойныя точки гомографическаго ряда (U_1 и U_2) симметрично расположены относительно средины разстоянія (O_1O_2) между центрами гомографіи. Въ частномъ случаѣ двойныя точки могутъ совпадать въ одну; въ такомъ случаѣ онѣ обѣ находятся въ срединѣ отрѣзка O_1O_2.

Двойныя точки гомографіи могутъ быть найдены по общему способу построенія двойныхъ точекъ проэктивныхъ рядовъ (21).

54. Если отъ пересѣченія лучей пучка прямою получается гомографическій рядъ, то пучокъ называютъ гомографическимъ (faisceau homo­gra­phique). Лучи, проходящіе чрезъ центры гомографическаго ряда, называютъ центральными лучами гомографическаго пучка, а лучи, проходящіе чрезъ двойныя точки гомографическаго ряда, называютъ двойными лучами пучка.

Прямыя, соединяющія соотвѣтственныя точки гомографическаго ряда съ какой-либо точкой внѣ этого ряда, суть соотвѣтственные лучи гомографическаго пучка.

55. Инволюція (involution, Chasles). Если центры гомографіи O_1 и O_2 совпадаютъ въ одну точку O, то условіе гомографіи (51) O_1A\cdot O_2A'=O_1B\cdot O_2B'=O_1C\cdot O_2C'=\dots=k обращается въ слѣдующее: OA\cdot OA'=OB\cdot OB'=OC\cdot OC'=\dots=k.

Рядъ точекъ A, A', B, B', C, C',\dots, удовлетворяющихъ этому условію, называется инволюціей. Прямая L, на которой расположены точки A, A', B, B', C, C',\dots называется основаніемъ инволюціи; точки A и A', B и B', C и C',\dots называются соотвѣтственными точками инволюціи, а точка O --- центромъ инволюціи.

56. Инволюція вполнѣ опредѣляется двумя парами соотвѣтственныхъ точекъ A и A', B и B'.

Дѣйствительно, если двѣ произвольныя окружности, имѣющія хордами отрезки AA' и BB', пересѣкаются въ точкахъ M и N, а прямая MN пересѣкается съ основаніемъ инволюціи L въ точкѣ O, то OA\cdot OA'=OB\cdot OB'=OM\cdot ON~\mbox{(пост.)}; слѣдовательно, точка O есть центръ инволюціи, а произведеніе OM\cdot ON --- степень инволюціи (k).

Если какая-либо окружность, проходящая чрезъ точки M и N, пересѣкается съ основаніемъ инволюціи L въ C и C', то C и C' суть соотвѣтственныя точки инволюціи (фиг. 27₁).

57. Если двѣ соотвѣтственныя точки инволюціи совпадаютъ въ одну, то такая точка называется двойною точкою инволюціи.

Двойная точка инволюціи U опредѣляется условіемъ \overline{OU}{}^2=k.

Если соотвѣтственныя точки инволюціи расположены по разныя стороны отъ центра O, то степень инволюціи k --- величина отрицательная, и двойныхъ точекъ нѣтъ (онѣ мнимы).

Если~-же соотвѣтственныя точки инволюціи расположены по одну сторону отъ центра O, то степень k --- величина положительная; въ этомъ случаѣ существуютъ двѣ двойныя точки инволюціи U_1 и U_2, симметрично расположенныя относительно центра O въ разстояніяхъ OU_1=+\sqrt k\quad\mbox{и}\quad OU_2=-\sqrt k.

Двойныя точки инволюціи U_1 и U_2 суть точки касанія основанія инволюціи L съ касательными къ нему окружностями, проходящими чрезъ M и N (фиг. 27₂). Понятно, что эти точки находятся въ пересѣченіи основанія L съ окружностью, описанной около центра O радіусомъ OU=\sqrt k=\sqrt{OM\cdot ON}.

58. Изъ равенствъ \overline{OU_1}{}^2=\overline{OU_2}{}^2=OA\cdot OA'=OB\cdot OB'=\dots слѣдуетъ, что соотвѣтственныя точки и двойныя точки (U_1 и U_2) инволюціи суть точки гармонически сопряженныя.

Обратно, если точки A и A', B и B', C и C',\dots суть гармонически сопряженныя съ двумя точками U_1 и U_2, то рядъ точекъ A, A', B, B', C, C',\dots образуетъ инволюцію.

59. Такъ какъ инволюція есть частный случай гомографіи, то соотвѣтственныя точки инволюціи A и A', B и B', C и C',\dots суть соотвѣтственныя точки проэктивныхъ рядовъ L (A, B, C,\dots) и L' (A', B', C', D',\dots). Но условіе инволюціи OA\cdot OA'=OB\cdot OB'=OC\cdot OC'=\dots=k не нарушается, если какую-либо точку M ряда L отнести къ ряду L', а соотвѣтственную ей точку M' ряда L' отнести къ ряду L.

Поэтому, если изъ трехъ паръ соотвѣтственныхъ точекъ инволюціи A и A', B и B', C и C' точки A, A', B, C отнести къ ряду L, то соотвѣтственными точками ряда L' будутъ A', A, B', C', а потому (AA'BC)=(A'AB'C').

Подобнымъ~-же образомъ (ABA'C')=(A'B'AC)\quad\mbox{и т. п.}, т. е. ангармоническое отношеніе какихъ-нибудь четырехъ точекъ изъ трехъ паръ соотвѣтственныхъ точекъ инволюціи равно ангармоническому отношенію четырехъ соотвѣтственныхъ точекъ.

Обратно, шесть точекъ ряда, удовлетворяющихъ этому условію, образуютъ инволюцію.

60. Соотношенія Дезарга. Раскрывъ обѣ части равенства (AA'BC)=(A'AB'C'), получимъ \frac{BA}{BA'}:\frac{CA}{CA'}=\frac{B'A'}{B'A}:\frac{C'A'}{C'A}; выполнивъ дѣленіе и сдѣлавъ круговое перемѣщеніе буквъ, получимъ первую группу соотношеній Дезарга, которыя могутъ быть представлены въ слѣдующемъ видѣ: \frac{AB\cdot AB'}{AC\cdot AC'}=\frac{A'B\cdot A'B'}{A'C\cdot A'C'}, \frac{BC\cdot BC'}{BA\cdot BA'}=\frac{B'C\cdot B'C'}{B'A\cdot B'A'}, \frac{CA\cdot CA'}{CB\cdot CB'}=\frac{C'A\cdot C'A'}{C'B\cdot C'B'},

Изъ этихъ равенствъ, чрезъ умноженіе ихъ и сокращеніе, получимъ: AB'\cdot BC'\cdot CA'=A'B\cdot B'C\cdot C'A.

Такимъ~-же путемъ изъ равенства (ABA'C')=(A'B'AC) получимъ вторую группу соотношеній Дезарга: AB'\cdot BC'\cdot CA'=A'B\cdot B'C\cdot C'A, BC'\cdot CA'\cdot AB'=B'C\cdot C'A\cdot A'B, CA'\cdot AB'\cdot BC'=C'A\cdot A'B\cdot B'C.

Отрѣзки прямыхъ, удовлетворяющіе этимъ соотношеніямъ, образуютъ инволюцію.

61. Лучи пучка составляютъ инволюцію, если отъ пересѣченія ихъ съ прямой образуется рядъ точекъ, составляющихъ инволюцію.

Шесть точекъ окружности образуютъ инволюцію, если хорды, соединяющія ихъ съ произвольной точкой той~-же окружности, составляютъ инволюцію.

Если A и A', B и B', C и C' суть концы хордъ окружности, пересѣкающихся въ одной точкѣ, то эти точки образуютъ инволюцію (Casey).

Прямыя, соединяющія эти шесть точекъ окружности съ произвольной точкой той~-же окружности, образуютъ инволюцію.

62. Теорема. Точки пересѣченія прямой съ противоположными сторонами четыреугольника и его діагоналями суть соотвѣтственныя точки инволюціи.

Пусть нѣкоторая прямая пересѣкается съ сторонами и діагоналями чет~-ка ABCD въ точкахъ L, L', M, M', N, N'. Обозначивъ чрезъ O пересѣченіе діагоналей, получимъ (фиг. 28): (A,L'MNN')=(A,DBON')=(C,DBON')==(C,M'LNN')=(C,LM'N'N); слѣдовательно, (L'MNN')=(LM'N'N), что и тр. док.

На основаніи этой теоремы, пользуясь соотношеніями Дезарга, находимъ: LM'\cdot MN'\cdot NL'=L'M\cdot M'N\cdot N'L.

Слѣдствіе. Если сѣкущая чет~-ка проходитъ чрезъ пересѣченіе его діагоналей или противоположныхъ сторонъ, то эти точки суть двойныя точки инволюціи.

63. Теорема Дезарга (Desargues). Точки пересѣченія прямой съ окружностью и сторонами (и діагоналями) вписаннаго чет~-ка составляютъ инволюцію.

Обозначимъ точки пересѣченія прямой съ сторонами и діагоналями вписаннаго чет~-ка съ описанной окружностью чрезъ L, L', M, M' и R, R'.

Соединивъ A съ R и R', получимъ (фиг. 29): (A,LRMR')=(A,DRBR')=(C,DRBR')==(C,M'RL'R')=(C,L'R'M'R); слѣдовательно, (LRMR')=(L'R'M'R), что и тр. док.

Слѣдствіе. Точки пересѣченія касательной къ кругу съ сторонами вписаннаго чет~-ка и его діагоналями образуютъ инволюцію, двойная точка которой находится въ точкѣ касанія.

Упражненія.

1. Если лучи пучка пересѣкаются прямыми L и L' въ точкахъ A и A', B и B', C и C', D и D',\dots то точки пересѣченія прямыхъ AB' и BA', BC' и CB', CD' и DC',\dots находятся на одной прямой, проходящей чрезъ пересѣченіе прямыхъ L и L'.

2. Діаметръ окружности дѣлится гармонически прямыми, соединяющими произвольную точку окружности съ концами хорды, перпендикулярной діаметру.

3. Окружность, имѣющая діаметромъ медіану AA_1 тр~-ка ABC, пересѣкаетъ описанную около тр~-ка окружность въ такой точкѣ M, что стороны тр~-ка AB и AC, высота его AH_1 и прямая AM образуютъ гармоническій пучокъ.

4. Если діаметръ окружности AB дѣлится гармонически въ точкахъ C и D, то для всѣхъ точекъ M окружности отношеніе \frac{MC}{MD} имѣетъ одну и ту~-же величину.

5. Если чет~-къ ABCD дѣлится прямою на чет~-ки AEFD и EBCF, то точки пересѣченія діагоналей трехъ этихъ четыреугольниковъ находятся на одной прямой.

6. Прямыя, соединяющія средины діагоналей каждаго изъ пяти чет~-въ, составленныхъ пятью прямыми, пересѣкаются въ одной точкѣ (Talbot).

7. Касательная къ кругу дѣлится гармонически сторонами описаннаго квадрата (Graham).

8. Если въ чет~-кѣ ABCD сумма двухъ противоположныхъ \mbox{углов}=90^\circ, то \overline{AB}{}^2\cdot \overline{CD}{}^2+\overline{BC}{}^2\cdot \overline{AD}{}^2= \overline{AC}{}^2\cdot \overline{BD}{}^2\qquad\eqno \mbox{(Bellavitis).}

9. Если H_1, H_2, H_3 суть основанія высотъ тр~-ка ABC, A_1, B_1, C_1 --- средины его сторонъ и E_1, E_2, E_3 --- точки Эйлера, то: 1) прямыя Симсона, соотвѣтствующія вершинамъ одного изъ тр~-въ H_1H_2H_3 и A_1B_1C_1 относительно другого, пересѣкаются въ центрѣ круга, вписаннаго въ тр~-къ дополнительный для тр~-ка H_1H_2H_3; 2) прямыя Симсона, соотвѣтствующія точкамъ Эйлера относительно тр~-ка H_1H_2H_3, образуютъ тр~-къ гомологичный съ ABC; центр гомологіи этихъ тр~-въ совпадаетъ съ центромъ тяжести тр~-ка H_1H_2H_3; 3) ортоцентръ тр~-ка, составленнаго тѣми~-же прямыми Симсона, совпадаетъ съ центромъ круга, вписаннаго въ тр~-къ дополнительный для тр~-ка H_1H_2H_3 (Van-Aubel).

10. Перпендикуляры въ срединахъ биссектрисъ тр~-ка пересѣкаются съ противоположными сторонами въ трехъ точкахъ на одной прямой (De Long­champs).

11. Если прямыя, соединяющія вершины тр~-ка ABC съ произвольными точками M' и M'' пересѣкаются съ описанной окружностью въ A', B', C' и A'', B'', C'', то тр~-къ, составленный прямыми A'A'', B'B'', C'C'', гомологиченъ съ тр~-мъ ABC (Jeràbek).

12. Чрезъ вершины тр~-ка ABC проводятся прямыя, параллельные оси гомологіи этого тр~-ка и тр~-ка \alpha\beta\gamma, имѣющаго вершинами точки касанія вписаннаго круга. Если эти прямыя пересѣкаются съ сторонами тр~-ка BC, CA, AB въ x, y, z, то проэкція центра вписаннаго круга \alpha\beta\gamma на ось гомологіи тр~-въ ABC и xyz служитъ точкой касанія круга \alpha\beta\gamma и окружности Эйлера тр~-ка ABC.

13. Если тр~-къ A'B'C' имѣетъ вершинами основанія чевіанъ тр~-ка ABC, пересѣкающихся въ одной точкѣ, то прямыя, соединяющія вершины тр~-ка ABC съ произвольной точкой, образуютъ на сторонахъ тр~-ка A'B'C' шесть отрѣзковъ, составляющихъ инволюцію (Catalan).

14. Если A'B'C' и A''B''C'' суть тр~-ки, вписанные въ тр~-къ ABC и гомологичные съ нимъ, и если соотвѣтственныя стороны этихъ тр~-въ пересѣкаются въ точкахъ A''', B''', C''', то тр~-къ A'''B'''C''' гомологиченъ съ каждымъ изъ тр~-въ ABC, A'B'C', A''B''C'' (Lachlan).

15. Прямыя, соединяющія центръ тяжести тр~-ка съ центрами внѣвписанныхъ круговъ образуютъ на сторонахъ его шесть отрѣзковъ, составляющихъ инволюцію (Catalan).

16. Если A, B, C, D, E суть пять точекъ на одной прямой, то (ABCD)\cdot (ABDE)\cdot (ABEC)=1\eqno \mbox{(Möbius).}

17. Если O есть начало ряда A, B, C, D и OA=a,~OB=b,~OC=c,~OD=d, то (ABCD)=\frac{a-c}{b-c}:\frac{a-d}{b-d}.

18. Если A, B, C, D, M, N суть точки одного ряда и \frac{MA}{NA}=a,~\frac{MB}{NB}=b,~\frac{MC}{NC}=c,~\frac{MD}{ND}=d, то (ABCD)=\frac{a-c}{b-c}:\frac{a-d}{b-d}.

ГЛАВА III.

ГЛАВА III.
О полярахъ и радикальныхъ осяхъ.

1. Полюсъ и поляра. Если діаметръ окружности AB дѣлится гармонически (II, 37) въ точкахъ P и Q (фиг. 30₁—30₂), то прямая QL, перпендикулярная къ этому діаметру въ точкѣ Q, называется полярою (polaire), а точка P --- полюсомъ (pôle) этой прямой относительно разсматриваемой окружности (Servois).

Такъ какъ точки P и Q находятся по одну сторону отъ средины отрѣзка AB (II, 38), то полюсъ и поляра окружности всегда расположены по одну сторону отъ центра ея.

Обозначимъ чрезъ O и R центръ и радіусъ окружности, получимъ (II, 40) OP\cdot OQ=R^2; слѣдовательно произведеніе разстояній полюса и поляры отъ центра окружности равно квадрату ея радіуса.

2. Изъ равенства OP\cdot OQ=R^2 слѣдуетъ, что:

Если полюсъ находится внѣ окружности, то поляра пересѣкается съ нею; если~-же полюсъ находится внутри окружности, то поляра проходитъ внѣ ея.

Если полюсомъ служитъ точка на окружности, то поляра совпадаетъ съ касательной къ ней въ этой точкѣ.

Поляра центра окружности и полюсъ діаметра ея безконечно удалены.

3. Теорема. Полюсъ и поляра дѣлятъ гармонически хорду окружности, проходящую чрезъ полюсъ.

Положимъ, что хорда A'B' проходитъ чрезъ полюсъ P прямой QL (фиг. 30₃—30₄). Такъ какъ прямыя A'A, A'B, A'Q, A'P составляютъ гармоническій пучокъ и A'A\perp A'B, то (II, 43), обозначивъ пересѣченіе окружности съ прямой A'Q чрезъ B'', получимъ: \angle BA'B'=\angle BA'B'' и B'B''\perp AB, а потому \angle B'QB=\angle B''QB; слѣдовательно QP и QL суть биссектрисы угла Q тр~-ка A'QB', а потому (II, 45) хорда A'B' дѣлится гармонически въ P и Q'.

4. Слѣдствія. Если полюсъ P находится внѣ окружности, то поляра QL проходитъ чрезъ точки касанія окружности съ прямыми, проведенными чрезъ P (фиг. 30₃).

Отрѣзокъ произвольной прямой между полюсомъ P и полярой QL дѣлится гармонически въ точкахъ пересѣченія этой прямой съ хордами AA' и BB'.

Полюсомъ хорды окружности служитъ точка пересѣченія касательныхъ, проходящихъ чрезъ концы этой хорды.

Такъ какъ (ABPQ)=(A'B'PQ)=-1, то (II, 16) поляра QL проходитъ чрезъ пересѣченіе хордъ AA' и BB'.

5. Теорема. Поляры точекъ, расположенныхъ на одной прямой, проходятъ чрезъ полюсъ этой прямой, и полюсы прямыхъ, пересѣкающихся въ одной точкѣ, находятся на поляре этой точки.

Пусть P и QL суть полюсъ и поляра относительно окружности O. Чрезъ произвольную точку Q' прямой QL проведемъ діаметръ окружности AB (фиг. 31); опустивъ изъ P перпендикуляръ PP' на AB, изъ подобія тр~-въ OPP' и OQQ' получимъ OP'\cdot OQ'=OP\cdot OQ=R^2; слѣдовательно, PP' есть поляра точки Q' (1). Такимъ образомъ, поляра PP' точки Q', взятой на прямой QL, проходитъ чрезъ полюсъ P этой прямой, и полюсъ Q' прямой PP' находится на полярѣ QL точки P, что и тр. док.

6. Слѣдствія. Всякая прямая имѣетъ полюсомъ точку пересѣченія поляръ какихъ-либо двухъ ея точекъ.

Всякая точка имѣетъ полярою прямую, проходящую чрезъ полюсы двухъ произвольныхъ прямыхъ, проходящихъ чрезъ эту точку.

Поляры точекъ, составляющихъ рядъ, образуютъ пучокъ.

Полюсы лучей одного пучка составляютъ одинъ рядъ.

7. Точки и прямыя, сопряженныя относительно окружности. Двѣ точки называются сопряженными относительно окружности (conjugate points with respect to the circle, Casey), если поляра одной изъ нихъ проходитъ чрезъ другую.

Поляры двухъ точекъ, сопряженныхъ относительно окружности, называютъ прямыми сопряженными относительно той~-же окружности.

Изъ предыдущаго видно, что полюсъ и произвольная точка поляры составляютъ пару точекъ, сопряженныхъ относительно окружности. Поляра и произвольная прямая, проходящая чрезъ полюсъ, суть двѣ сопряженныя прямыя относительно окружности.

8. Теорема. Ангармоническое отношеніе четырехъ точекъ ряда равно ангармоническому отношенію пучка, составленнаго ихъ полярами относительно одной окружности.

Обозначимъ чрезъ P полюсъ прямой L, на которой лежатъ точки ряда A, B, C, D, относительно окружности X, имѣющей центръ въ O. Такъ какъ поляры точекъ A, B, C, D относительно окружности X суть перпендикуляры PA', PB', PC', PD' изъ P на OA, OB, OC, OD (5), то (фиг. 32) (P,A'B'C'D')=(O,ABCD)=(ABCD).

9. Слѣдствія. Поляры гармонически сопряженныхъ точекъ одной прямой образуютъ пучокъ гармонически сопряженныхъ прямыхъ.

Полюсы четырехъ гармонически сопряженныхъ прямыхъ составляютъ рядъ гармонически сопряженныхъ точекъ.

Поляры точекъ двухъ проэктивныхъ рядовъ образуютъ проэктивные пучки, и обратно.

Поляры точекъ, составляющихъ инволюцію, также составляютъ инволюцію.

10. Теорема. Поляра точки пересѣченія двухъ противоположныхъ сторонъ описаннаго чет~-ка проходитъ чрезъ точки пересѣченія его діагоналей и двухъ другихъ противоположныхъ сторонъ.

Обозначимъ точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ и діагоналей вписаннаго въ кругъ чет~-ка ABCD чрезъ P, Q и R (фиг. 33₁). Если прямая QR пересѣкается съ AB и CD въ E и F, то, примѣняя свойство діагоналей полнаго чет~-ка къ чет~-ку CQDR (II, 48), замѣтимъ, что точки P, E и P, F суть гармонически сопряженныя съ A, B и C, D; поэтому поляра точки P совпадаетъ съ прямой QR (3).

По доказанной теоремѣ прямая PR есть поляра точки Q, а слѣдовательно (6) точка R служитъ полюсомъ прямой PQ.

11. Автополярный треугольникъ. Тр~-къ, каждая сторона котораго служитъ полярой противоположной вершины его относительно одной окружности, называется автополярнымъ (auto­polaire, self-conjugate).

Изъ предыдущей теоремы слѣдуетъ, что точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ вписаннаго чет~-ка и точка пересѣченія его діагоналей суть вершины автополярнаго тр~-ка.

Автополярный тр~-къ PQR называютъ также гармоническимъ тр~-мъ четыреугольника ABCD (фиг. 33₂) (Casey).

Кругъ и тр~-къ автополярный относительно его называютъ сопряженными.

12. Слѣдствія. При совпаденіи сѣкущихъ PAB и PCD прямыя DAQ и CBQ дѣлаются касательными къ окружности; поэтому касательныя къ кругу въ вершинахъ вписаннаго чет~-ка пересѣкаются на сторонахъ соотвѣтственнаго гармоническаго тр~-ка. Отсюда слѣдуетъ:

Теорема Ньютона (Newton). Діагонали описаннаго чет~-ка и хорды, соединяющія точки касанія противоположныхъ сторонъ, пересѣкаются въ одной точкѣ.

Внутреннія и внѣшняя діагонали описаннаго чет~-ка образуютъ автополярный тр~-къ.

Если стороны описаннаго чет~-ка касаются круга въ вершинахъ вписаннаго чет~-ка, то внутреннія діагонали этихъ чет~-въ образуютъ гармоническій пучокъ, а внѣшнія діагонали ихъ суть гармонически сопряженные отрѣзки одной прямой (фиг. 33₃).

13. Теорема Сальмона (Salmon). Разстоянія двухъ точекъ отъ центра круга пропорціональны разстояніямъ каждой изъ нихъ отъ поляры другой.

Пусть L и L' суть поляры точекъ A и A' относительно круга, имѣющаго центръ въ O. Обозначимъ чрезъ C и C' точки пересѣченія прямыхъ OA и OA' съ L и L'. Опустивъ перпендикуляры AB, AX изъ точки A на L', OA' и A'B', A'X' изъ точки A' на L, OA, замѣтимъ, что чет~-къ AXA'X' вписывается въ кругъ, поэтому (фиг. 34): OA\cdot OX'=OA'\cdot OX; но (1) OA\cdot OC=OA'\cdot OC'; вычитая это равенство изъ предыдущаго, находимъ, что AO\cdot X'C=A'O\cdot XC'~~\mbox{или}~~AO\cdot A'B'=A'O\cdot AB; отсюда \frac{AO}{A'O}=\frac{AB}{A'B'}.

14. Теорема. Точки, расположенныя на одномъ діаметрѣ окружности, и точки пересѣченія ихъ поляръ относительно этой окружности съ тѣмъ~-же діаметром образуютъ инволюцію.

Ибо, если O есть центръ окружности и поляры точекъ A, B, C,\dots, находящихся на діаметрѣ ея U_1U_2 пересѣкаются съ этимъ діаметромъ въ A', B', C',\dots, то (1) OA\cdot OA'=OB\cdot OB'=OC\cdot OC'=\dots=R^2, гдѣ R --- радіусъ окружности; слѣдовательно, точки A и A', B и B', C и C',\dots образуютъ инволюцію (II, 55).

Очевидно, что въ этомъ случаѣ R^2 есть степень инволюціи, а центръ окружности O и концы U_1 и U_2 ея діаметра суть центръ и двойныя точки инволюціи.

15. Взаимно полярныя фигуры. Два многоугольника (или вообще двѣ фигуры) называются взаимно полярными (po­lai­res ré­ci­pro­ques) относительно окружности, если стороны одного изъ нихъ суть поляры вершинъ другого относительно этой окружности.

Изъ предыдущаго (4) ясно, что мног~-къ, вписанный въ окружность, и мног~-къ, описанный около той~-же окружности, суть мног~-ки взаимно полярные, если стороны второго мног~-ка проходятъ чрезъ вершины перваго.

Окружность, относительно которой двѣ фигуры взаимно полярны, называютъ направляющей окружностью (cercle directeur).

Уголъ, составленный двумя прямыми одной изъ взаимно полярныхъ фигуръ, равенъ углу, составленному прямыми, соединяющими центръ направляющей окружности съ соотвѣтственными точками другой фигуры.

16. Теорема. Взаимно полярные тр~-ки гомологичны (перспективны).

Пусть ABC и A'B'C' (фиг. 35) суть тр~-ки взаимно полярные. Обозначимъ точки пересѣченія соотвѣтственныхъ сторонъ ихъ чрезъ X, Y, Z. Такъ какъ AB и B'C' суть поляры точекъ C' и A, то пересѣченіе D этихъ прямыхъ есть полюсъ прямой AC' (6). Подобнымъ~-же образомъ пересѣченіе X прямыхъ BC и B'C' есть полюсъ прямой AA' и, по предположенію, точки B' и C' суть полюсы прямыхъ AC и AB. Поэтому (8) (B'C'DX)=(A,CBC'A')=(A,YZC'A')=(Z,YAC'A'); съ другой стороны, (B'C'DX)=(Z,A'C'AX)=(Z,XAC'A'); слѣдовательно, (Z,YAC'A')=(Z,XAC'A'); а потому ZY и ZX составляютъ одну прямую, т. е. тр~-ки ABC и A'B'C' --- гомологичны.

17. Теорема Паппа (Pappus). Произведеніе разстояній какой-либо точки окружности отъ двухъ противоположныхъ сторонъ вписаннаго чет~-ка равно произведенію разстояній той~-же точки отъ двухъ другихъ сторонъ его.

Обозначимъ перпендикуляры изъ точки M окружности на стороны вписаннаго чет~-ка AB, BC, CD, DA чрезъ x, y, z, u.

Извѣстно, что произведеніе двухъ сторонъ тр~-ка равно высотѣ, соотвѣтствующей третьей сторонѣ его, умноженной на діаметръ описаннаго круга.

Поэтому (фиг. 36₁) x=\frac{MA\cdot MB}{2R},\quad y=\frac{MB\cdot MC}{2R}, z=\frac{MC\cdot MD}{2R},\quad u=\frac{MD\cdot MA}{2R}; отсюда xz=yu.

Подобнымъ~-же образомъ можно убѣдиться, что произведеніе разстояній какой-нибудь точки окружности отъ двухъ противоположныхъ сторонъ вписаннаго чет~-ка равно произведенію разстояній той~-же точки отъ діагоналей чет~-ка.

18. Слѣдствія. При совпаденіи точки D съ C чет~-къ ABCD обращается въ тр~-къ ABC, а хорда CD --- въ касательную къ описанному кругу; въ этомъ случаѣ доказанная теорема выразится такъ:

Произведеніе разстояній какой-нибудь точки окружности отъ двухъ сторонъ вписаннаго тр~-ка равно произведенію разстояній той~-же точки отъ третьей стороны тр~-ка и отъ касательной къ кругу, проведенной чрезъ противоположную вершину.

Если точки D и C совпадаютъ соотвѣтственно съ A и B, то хорды AD и BC обращаются въ касательныя къ кругу въ точкахъ A и B, и та~-же теорема выражается такъ:

Произведеніе разстояній какой-нибудь точки окружности отъ двухъ касательныхъ къ ней равно квадрату разстоянія той~-же точки отъ хорды касанія.

19. Теорема Шаля (Chasles). Произведенія разстояній произвольной касательной къ кругу отъ противоположныхъ вершинъ описаннаго чет~-ка пропорціональны произведеніямъ разстояній тѣхъ~-же вершинъ отъ центра круга.

Проведя чрезъ вершины вписаннаго чет~-ка ABCD касательныя къ кругу, получимъ описанный чет~-къ A'B'C'D' (фиг. 36₂), взаимно полярный съ чет~-мъ ABCD (15). Обозначимъ чрезъ x', y', z', u' разстоянія вершинъ A', B', C', D' отъ касательной MT, проведенной чрезъ точку M. Такъ какъ точки A' и M суть полюсы прямыхъ AB и MT, то (13) \frac{MO}{A'O}=\frac x{x'}; отсюда x=x'\cdot \frac{MO}{A'O}; и, по аналогіи, y=y'\cdot\frac{MO}{B'O},\quad z=z'\cdot\frac{MO}{C'O},\quad u=u'\cdot\frac{MO}{D'O}; поэтому равенство (17) xz=yu принимаетъ видъ \frac{x'z'}{A'O\cdot C'O}=\frac{y'u'}{B'O\cdot D'O}, что и тр. док.

20. Понятія о полюсахъ и полярахъ относительно окружности распространяются и на тѣ предѣльные случаи, когда радіусъ окружности равенъ нулю и окружность обращается въ точку, или когда радіусъ окружности безконечно возрастаетъ и окружность обращается въ прямую линію.

Разстоянія d и d' полюса и поляры отъ центра окружности радіуса r связаны равенствомъ (2): dd'=r^2; поэтому, если r=0, то или d=0, или d'=0; т. е. поляра точки P относительно точки O, не совпадающей съ P, проходитъ чрезъ O (и перпендикулярна къ PO); полюсъ прямой относительно точки O, не лежащей на этой прямой, совпадаетъ съ этой точкой.

21. Такъ какъ разстояніе PQ между полюсомъ и полярою относительно окружности дѣлится гармонически концами діаметра ея AB, проходящего чрезъ полюсъ P (3), то при безконечно большомъ радіусѣ, когда окружность обращается въ прямую, проходящую чрезъ A (и перпендикулярную къ PQ), такъ что точка B дѣлается безконечно удаленной, точка A, гармонически сопряженная съ B относительно P и Q, совпадаетъ съ срединой отрѣзка PQ. Такимъ образомъ, поляра точки относительно прямой параллельна этой прямой и разстояніе между полюсомъ и полярой относительно прямой дѣлится этой прямой пополамъ.

Тѣмъ~-же соотношеніемъ опредѣляется положеніе полюса данной прямой относительно другой прямой, параллельной ей.

22. Степень точки относительно окружности. Обозначимъ чрезъ d разстояніе точки M отъ центра O окружности радіуса r. Если прямая, проходящая чрезъ M, пересѣкается съ окружностью въ A и B, то, независимо отъ положенія этой прямой, произведеніе MA\cdot MB=d^2-r^2 называютъ степенью точки M относительно разсматриваемой окружности (puissance, potenz, Steiner).

Если точка M находится внѣ окружности (d\gt r), то степень ея положительна и равна квадрату касательной къ окружности, проведенной чрезъ точку M.

Если точка M находится внутри окружности (d\lt r), то степень ея отрицательна; абсолютная величина ея въ этомъ случаѣ равна квадрату половины меньшей хорды окружности, проходящей чрезъ M, т. е. хорды, перпендикулярной къ MO въ точкѣ M.

Степень точки окружности относительно этой окружности (d=r) равна нулю.

23. Степень точки относительно другой точки, разсматриваемой какъ окружность (r=0), равна квадрату разстоянія между этими точками (d^2).

Степень точки относительно прямой (разсматриваемой какъ окружность съ радіусомъ r=\infty), не проходящей чрезъ эту точку, безконечно велика. Степень точки относительно прямой, проходящей чрезъ эту точку, равна нулю.

24. Центральная точка. Точка на линіи центровъ двухъ окружностей, степени которой относительно этихъ окружностей равны, называется центральной точкой (point central) этихъ окружностей.

Обозначивъ радіусы окружностей чрезъ r_1 и r_2, а центры ихъ и центральную точку чрезъ O_1, O_2 и O, и положивъ OO_1=d_1,\quad OO_2=d_2, получимъ d_1^2-r_1^2=d_2^2-r_2^2{,}~~\mbox{или}~~d_1^2-d_2^2=r_1^2-r_2^2; слѣдовательно, при r_1\gt r_2 и d_1\gt d_2; т. е. центральная точка двухъ окружностей далѣе отстоитъ отъ центра большей изъ нихъ, чѣмъ отъ центра меньшей.

Центральная точка двухъ равныхъ окружностей (или точекъ) находится на срединѣ прямой, соединяющей ихъ центры.

25. Обозначимъ разстояніе центральной точки O отъ средины линіи центровъ O_1O_2 чрезъ x и положимъ, что O_1O_2=d. Такъ какъ d_1+d_2=d\quad\mbox{и}\quad d_1-d_2=2x, то r_1^2-r_2^2=d_1^2-d_2^2=(d_1+d_2)(d_1-d_2)=2dx, т. е. x=\frac{r_1^2-r_2^2}{2d}; значитъ, для двухъ окружностей всегда существуетъ центральная точка и при томъ только одна.

Центральная точка двухъ концентрическихъ окружностей безконечно удалена, ибо, при d=0, x=\infty.

26. Теорема. Центральная точка двухъ окружностей равно отстоитъ отъ поляръ каждаго изъ центровъ гомотетіи этихъ окружностей.

При прежнихъ обозначеніяхъ обозначимъ еще одинъ изъ центровъ гомотетіи окружностей чрезъ S и пересѣченія поляръ точки S относительно разсматриваемыхъ окружностей съ линіей центровъ ихъ O_1O_2 чрезъ P_1 и P_2.

Такъ какъ (II, 25) \frac{r_1}{O_1S}=\frac{r_2}{O_2S}= \frac{r_1-r_2}{O_1S-O_2S}=\frac{r_1-r_2}{O_1O_2}, то x=\frac{r_1^2-r_2^2}{2d}=\frac{r_1(r_1-r_2)}{2O_1O_2}+ \frac{r_2(r_1-r_2)}{2O_1O_2}==\frac{r_1^2}{2O_1S}+ \frac{r_2^2}{2O_2S}; но (1) \frac{r_1^2}{O_1S}=O_1P_1\quad \mbox{и}\quad \frac{r_2^2}{O_2S}=O_2P_2; поэтому x=\frac{r_1^2-r_2^2}{2d}=\frac{O_1P_1+O_2P_2}2.

Слѣдовательно, разстояніе центральной точки O отъ центра O_1 большей окружности равно O_1O=\frac d2+x= \frac{O_1O_2+O_1P_1+O_2P_2}2==\frac{O_1P_1+(O_1O_2+O_2P_2)}2= \frac{O_1P_1+O_1P_2}2, а потому точка O есть средина отрѣзка P_1P_2.

27. Слѣдствія. Центральная точка точки и окружности равно отстоитъ отъ этой точки и ея поляры относительно окружности.

Если большая изъ окружностей (O_1) пересѣкается съ линіей центровъ ихъ O_1O_2 въ точкѣ A, то разстояніе центральной точки O отъ A равно AO=O_1O-r_1=\frac d2+\frac{r_1^2-r_2^2}{2d}-r_1==\frac {(d-r_1)^2-r_2^2}{2d}=\frac{\overline{O_2A}{}^2-r_2^2}{2d}.

При r_1=\infty окружность (O_1) обращается въ прямую, перпендикулярную въ A къ O_1O_2, а центръ ея O_1 безконечно удаляется, такъ что d=\infty и AO=0; слѣдовательно, центральная точка окружности (или точки, при r_2=0) и прямой находится въ пересѣченіи этой прямой съ перпендикулярнымъ къ ней діаметромъ окружности.

28. Радикальная ось. Прямая, проходящая чрезъ центральную точку двухъ окружностей и перпендикулярная къ линіи центровъ ихъ, называется радикальной осью этихъ окружностей (axe radical, Gaultier; potenz­linie, Steiner).

Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что:

Радикальная ось двухъ окружностей равно отстоитъ отъ поляръ каждаго изъ центровъ гомотетіи этихъ окружностей.

Радикальная ось точки и окружности дѣлитъ пополамъ разстояніе этой точки отъ ея поляры относительно этой~-же окружности.

Радикальная ось окружности (или точки) и прямой совпадаетъ съ этой прямой.

Радикальная ось равныхъ окружностей равно отстоитъ отъ ихъ центровъ.

Разстояніе радикальной оси двухъ окружностей отъ центра большей изъ нихъ больше, чѣмъ отъ центра меньшей.

Радикальная ось концентрическихъ окружностей безконечно удалена.

29. Теорема. Степени каждой точки радикальной оси двухъ окружностей относительно этихъ окружностей равны.

Дѣйствительно, соединивъ какую-нибудь точку M радикальной оси двухъ окружностей съ центрами ихъ O_1 и O_2 и обозначивъ центральную точку этихъ окружностей чрезъ O, получимъ (фиг. 37₁): \overline{MO}{}^2=\overline{MO_1}{}^2-\overline{OO_1}{}^2= \overline{MO_2}{}^2-\overline{OO_2}{}^2, или \overline{MO_1}{}^2-\overline{MO_2}{}^2=\overline{OO_1}{}^2- \overline{OO_2}{}^2=r_1^2-r_2^2; отсюда, полагая MO_1=d_1 и MO_2=d_2, находимъ, что d_1^2-r_1^2=d_2^2-r_2^2; слѣдовательно, степени точки M относительно разсматриваемыхъ окружностей равны.

30. Слѣдствія. Имѣя въ виду геометрическое значеніе степени точки относительно окружности (22), получаемъ слѣдующіе выводы:

Касательныя къ двумъ окружностямъ (или наименьшія хорды ихъ), проведенныя чрезъ какую-нибудь точку радикальной оси, равны.

Общія касательныя двухъ окружностей дѣлятся пополамъ ихъ радикальной осью.

Радикальная ось двухъ пересѣкающихся окружностей проходитъ чрезъ точки пересѣченія ихъ.

Радикальная ось окружностей, не имѣющихъ общихъ точекъ, не пересѣкается ни съ одной изъ нихъ.

31. Теорема. Разность квадратовъ касательныхъ къ двумъ окружностямъ, проведенныхъ изъ какой-либо точки P, равна удвоенному произведенію разстоянія между центрами ихъ на разстояніе точки P отъ радикальной оси окружностей.

Пусть OD и PD суть радикальная ось двухъ окружностей (O_1) и (O_2) и перпендикуляръ на нее изъ точки P. Опустимъ изъ P перпендикуляръ PG на линію центровъ O_1O_2 (фиг. 37₂), получимъ \overline{PO_1}{}^2-\overline{O_1G}{}^2=\overline{PO_2}{}^2- \overline{O_2G}{}^2; отсюда \overline{PO_1}{}^2-\overline {PO_2}{}^2=\overline{O_1G}{}^2-\overline{O_2G}{}^2= (O_1G+O_2G)(O_1G-O_2G); но O_1G+O_2G=O_1O_2\quad\mbox{и} \quad O_1G-O_2G=2IG, гдѣ I --- средина линіи O_1O_2; слѣдовательно, \overline{PO_1}{}^2-\overline {PO_2}{}^2=2O_1O_2\cdot IG.

Но (25) \overline{OO_1}{}^2-\overline{OO_2}{}^2=O_1O_2\cdot IO=r_1^2-r_2^2; поэтому (\overline{PO_1}{}^2-r_1^2)-(\overline {PO_2}{}^2-r_2^2)=2O_1O_2(IG-IO)=2O_1O_2\cdot OG; изъ этого равенства, полагая PO_1=d_1 и PO_2=d_2 и замѣчая, что OG=DP, получаемъ (d_1^2-r_1^2)-(d_2^2-r_2^2)=2O_1O_2\cdot PD, что и тр. док.

32. Слѣдствія. Послѣднее равенство обнаруживаетъ, что разность степеней какой-либо точки относительно двухъ окружностей по абсолютной величине равна удвоенному произведенію разстоянія между центрами этихъ окружностей на разстояніе точки отъ радикальной оси ихъ.

Степень какой-либо точки одной окружности относительно другой равна удвоенному произведенію разстоянія между центрами ихъ на разстояніе точки отъ радикальной оси.

Квадратъ касательной (или наименьшей хорды) къ окружности изъ точки на другой окружности равенъ удвоенному произведенію разстоянія между центрами этихъ окружностей на разстояніе точки отъ радикальной оси ихъ.

33. Теорема. Если линія центровъ O_1O_2 двухъ окружностей, изъ которыхъ одна проходитъ чрезъ центръ другой, пересѣкается съ первой въ точкѣ P, то радикальная ось этихъ окружностей совпадаетъ съ полярой точки P относительно второй окружности.

Дѣйствительно, обозначивъ чрезъ O центральную точку окружностей и чрезъ r_1 и r_2 ихъ радіусы, получимъ (фиг. 38): \overline{OO_1}{}^2-r_1^2=\overline{OO_2}{}^2-r_2^2; но OO_2=OO_1-r_2; поэтому \overline{OO_1}{}^2-r_1^2=(OO_1-r_2)^2-r_2^2=\overline{OO_1}{}^2- 2OO_1\cdot r_2, отсюда 2r_2\cdot OO_1=r_1^2\quad\mbox{или} \quad OO_1\cdot PO_1=r_1^2, а потому (1) поляра точки P относительно окружности O_1 проходитъ чрезъ O, т. е. совпадаетъ съ радикальной осью окружностей.

34. Теорема Монжа (Monge). Радикальныя оси трехъ окружностей, центры которыхъ не лежатъ на одной прямой, пересѣкаются въ одной точкѣ.

Положимъ, что радикальныя оси окружностей O_1 и O_3, O_2 и O_3 пересѣкаются въ точкѣ O (фиг. 39). Обозначивъ разстоянія точки O отъ центровъ окружностей чрезъ d_1, d_2, d_3, а радіусы окружностей чрезъ r_1, r_2, r_3, получимъ (29) d_1^2-r_1^2=d_3^2-r_3^2,\quad d_2^2-r_2^2=d_3^2-r_3^2, поэтому d_1^2-r_1^2=d_2^2-r_2^2, т. е. степени точки O относительно окружностей O_1 и O_2 равны, а потому точка O находится на радикальной оси этихъ окружностей.

Теорема эта даетъ простой способъ построенія радикальной оси двухъ непересѣкающихся окружностей при помощи третьей вспомогательной окружности, пересѣкающей обѣ первыя.

35. Слѣдствія. Общія хорды трехъ пересѣкающихся окружностей пересѣкаются въ одной точкѣ.

Касательныя въ общихъ точкахъ трехъ соприкасающихся окружностей пересѣкаются въ одной точкѣ.

Касательная въ общей точкѣ двухъ соприкасающихся окружностей и общія хорды ихъ съ третьей пересѣкающей ихъ окружностью пересѣкаются въ одной точкѣ.

Общая хорда двухъ пересѣкающихся окружностей и касательныя въ точкахъ касанія ихъ съ третьей окружностью пересѣкаются въ одной точкѣ.

36. Радикальный центръ. Точка пересѣченія радикальныхъ осей трехъ окружностей называется радикальнымъ центромъ этихъ окружностей (centre radical, potenz­punct, Steiner).

Степени радикальнаго центра трехъ окружностей относительно этихъ окружностей равны.

Радикальный центръ трехъ окружностей находится или внѣ или внутри каждой изъ нихъ.

Касательныя (или наименьшія хорды) трехъ окружностей, проведенныя чрезъ радикальный центръ ихъ, равны.

37. Ортогональныя окружности (cerc­les or­tho­go­naux). Двѣ пересѣкающіяся окружности называются ортогональными, если касательныя къ нимъ въ точкѣ пересѣченія взаимно перпендикулярны.

Касательныя къ ортогональнымъ окружностямъ въ точке пересѣченія ихъ проходятъ чрезъ ихъ центры. Обратно, если касательныя въ общей точкѣ пересѣкающихся окружностей проходятъ чрезъ ихъ центры, то окружности ортогональны. Поэтому радіусъ каждой изъ двухъ ортогональныхъ окружностей равенъ касательной изъ центра этой окружности къ другой.

Квадратъ разстоянія между центрами двухъ ортогональныхъ окружностей равенъ суммѣ квадратовъ ихъ радіусовъ.

38. Теорема. Если двѣ окружности ортогональны, то концы каждаго діаметра одной изъ нихъ суть сопряженныя точки относительно другой.

Пусть X и Y суть двѣ ортогональныя окружности, пересѣкающіяся въ точкахъ A и B. Обозначимъ чрезъ O и r центръ и радіусъ окружности X и проведемъ какой-нибудь діаметръ CD окружности Y (фиг. 40). Если OC пересѣкается съ окружностью Y въ точкѣ E, то OE\cdot OC=\overline{OA}{}^2=r^2; вмѣстѣ съ тѣмъ OC перпендикулярна къ DE; слѣдовательно (1), прямая DE служитъ полярой точки C относительно окружности X, т. е. поляра точки C относительно окружности X проходитъ чрезъ точку D, что и тр. док.

39. Проведя изъ какой-нибудь точки M радикальной оси окружностей O_1 и O_2 касательныя къ нимъ MT_1 и MT_2, получимъ (30): MT_1=MT_2; но радіусы O_1T_1 и O_2T_2 перпендикулярны къ касательнымъ MT_1 и MT_2, поэтому окружность, описанная около точки M радіусомъ MT_1, ортогональна съ окружностями O_1 и O_2 (37). Такимъ образомъ, радикальная ось двухъ окружностей есть геометрическое мѣсто центровъ окружностей, ортогональныхъ съ первыми.

Изъ этого слѣдуетъ, что радикальный центръ трехъ окружностей есть центръ окружности, ортогональной съ каждой изъ нихъ.

40. Теорема. Двѣ окружности ортогональны, если діаметры ихъ образуютъ гармоническое дѣленіе.

Ибо, если діаметры AB и CD (фиг. 41) окружностей O_1 и O_2 образуютъ гармоническое дѣленіе (II, 37), то, обозначивъ чрезъ E одну изъ точекъ пересѣченія этихъ окружностей, получимъ (II, 40): O_1C\cdot O_1D=\overline{O_1B}{}^2=\overline{O_1E}{}^2; слѣдовательно, O_1E есть касательная къ окружности O_2, а потому окружности ортогональны.

Обратно, если двѣ окружности ортогональны, то діаметры ихъ образуютъ гармоническое дѣленіе.

41. Окружность гомотетіи (cercle d’homothetie, cercle de si­mi­li­tude). Окружность, имѣющая діаметромъ отрѣзокъ между центрами гомотетіи SS' окружностей O_1 и O_2, называется окружностью подобія или окружностью гомотетіи этихъ окружностей.

Такъ какъ отрѣзки O_1O_2 и SS' (фиг. 42₁) образуютъ гармоническое дѣленіе (II, 46), то окружность гомотетіи двухъ окружностей (O_1 и O_2) ортогональна съ окружностью, имѣющей діаметромъ разстояніе между центрами ихъ.

42. Теорема. Разстоянія центровъ двухъ окружностей отъ любой точки окружности гомотетіи пропорціональны ихъ радіусамъ.

Дѣйствительно, соединивъ какую-нибудь точку M окружности гомотетіи окружностей O_1 и O_2 съ центрами ихъ (фиг. 42₂) и замѣтивъ, что MS и MS' взаимно перпендикулярны, заключаемъ (II, 43), что эти прямыя суть биссектрисы угла M тр~-ка O_1MO_2; поэтому (II, 34) \frac{MO_1}{MO_2}=\frac{SO_1}{SO_2}=-\frac{S'O_1}{S'O_2}=\frac{r_1}{r_2}, гдѣ r_1 и r_2 суть радіусы окружностей O_1 и O_2.

43. Слѣдствія. Положивъ MO_1=d_1 и MO_2=d_2, изъ пропорціи \frac{d_1}{d_2}=\frac{r_1}{r_2}\quad\mbox{или}\quad \frac{d_1^2}{r_1^2}=\frac{d_2^2}{r_2^2} получимъ \frac{d_1^2-r_1^2}{r_1^2}=\frac{d_2^2-r_2^2}{r_2^2}; слѣдовательно, степени всякой точки окружности гомотетіи двухъ окружностей пропорціональны квадратамъ радіусовъ послѣднихъ. Такимъ образомъ:

Если окружности O_1 и O_2 пересѣкаются, то окружность гомотетіи проходитъ чрезъ точки пересѣченія ихъ.

Если окружности O_1 и O_2 не имѣютъ общихъ точекъ, то окружность гомотетіи не пересѣкается ни съ одной изъ нихъ.

Касательныя къ двумъ окружностямъ изъ какой-либо точки окружности гомотетіи пропорціональны ихъ радіусамъ.

Если MT_1 и MT_1', MT_2 и MT_2' суть касательныя къ окружностямъ O_1 и O_2 изъ какой-нибудь точки M окружности гомотетіи, то \angle T_1MT_1'=\angle T_2MT_2'.

44. Теорема. Окружности гомотетіи трехъ окружностей, разсматриваемыхъ по двѣ, пересѣкаются въ двухъ точкахъ.

Обозначимъ радіусы трехъ окружностей O_1, O_2, O_3 чрезъ r_1, r_2, r_3 и положимъ, что окружности гомотетіи окружностей O_1 и O_2 пересѣкаются въ точкахъ M и M'. Такъ какъ (42) \frac{MO_1}{MO_2}=\frac{M'O_1}{M'O_2}=\frac{r_1}{r_2}\quad\mbox{и} \quad\frac{MO_1}{MO_3}=\frac{M'O_1}{M'O_3}=\frac{r_1}{r_3}, то \frac{MO_2}{MO_3}=\frac{M'O_2}{M'O_3}=\frac{r_2}{r_3}; слѣдовательно, точки M и M' находятся на окружности гомотетіи окружностей O_2 и O_3, что и тр. док.

Изъ доказаннаго слѣдуетъ, что три окружности гомотетіи трехъ окружностей, разсматриваемыхъ по двѣ, имѣютъ общую радикальную ось и что центры этихъ окружностей расположены на одной прямой.

45. Теорема. Прямая Обера (I, 48---49) полнаго четыреугольника есть общая радикальная ось трехъ окружностей, имѣющихъ діаметрами діагонали этого четыреугольника.

Обозначимъ чрезъ E и F точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ чет~-ка ABCD (фиг. 43). Пусть BP, EQ, CR суть высоты тр~-ка BCE и O_1 --- его ортоцентръ. Окружности, имѣющіе діаметрами діагонали BD, EF и AC полнаго чет~-ка, проходятъ соотвѣтственно чрезъ точки P, Q, R. Степени точки O_1 относительно этихъ окружностей суть O_1B\cdot O_1P, O_1E\cdot O_1Q, O_1C\cdot O_1R; но окружности, описанныя около чет~-въ BPEQ и BPCR, имѣютъ BP радикальною осью (30); поэтому O_1B\cdot O_1P=O_1E\cdot O_1Q=O_1C\cdot O_1R; слѣдовательно, O_1 есть радикальный центръ окружностей, имѣющихъ діаметрами діагонали чет~-ка. То~-же справедливо и для ортоцентровъ O_2, O_3, O_4 остальныхъ тр~-въ, составленныхъ сторонами полнаго чет~-ка; поэтому прямая Обера O_1O_2O_3O_4 (I, 48) есть общая радикальная ось тѣхъ~-же окружностей.

Такъ какъ центры окружностей, имѣющихъ діаметрами діагонали полнаго чет~-ка, находятся на прямой Гаусса (I, 45), то прямая Гаусса и прямая Обера взаимно перпендикулярны.

46. Антигомологичныя точки окружностей. Несоотвѣтственныя точки (A и B' или B и A') пересѣченія двухъ окружностей съ прямою, проходящей чрезъ одинъ изъ центровъ гомотетіи (S), называются антигомологичными точками (antihomologues) этихъ окружностей (фиг. 44).

Хорды, соединяющія антигомологичныя точки двухъ окружностей, называются антигомологичными хордами. Напр. (фиг. 44), AC и B'D', BD и A'C' суть двѣ пары антигомологичныхъ хордъ.

47. Теорема. Произведеніе разстояній антигомологичныхъ точекъ двухъ окружностей отъ центра гомотетіи ихъ есть величина постоянная.

Проведемъ сѣкущую чрезъ центръ гомотетіи S окружностей O и O' и обозначимъ соотвѣтственныя точки пересѣченія ея съ окружностями чрезъ A и A', B и B'. Если радіусы окружностей O и O' равны r и r', а степени точки S относительно этихъ окружностей суть k^2 и k'{}^2, то (22): SA\cdot SB=k^2\quad\mbox{и}\quad SA'\cdot SB'=k'{}^2; но \frac{SA'}{SA}=\frac{r'}r\quad\mbox{и}\quad\frac{SB'}{SB}=\frac{r'}r; поэтому SA\cdot SB'=SB\cdot SA'=k^2\frac{r'}r и SA\cdot SB'=SB\cdot SA'=k'{}^2\frac r{r'}.

48. Слѣдствія. Двѣ пары антигомологичныхъ точекъ двухъ окружностей находятся на одной окружности.

Ибо, если A и C, B и D суть антигомологичныя точки окружностей O_1 и O_2, то по предыдущей теоремѣ (фиг. 45) SA\cdot SC=SB\cdot SD.

Точки касанія двухъ окружностей съ какой-либо третьей окружностью суть точки антигомологичныя.

Ибо, если A и C суть точки касанія окружностей O_1 и O_2 съ какой-либо окружностью O, то эти точки суть центры гомотетіи окружностей O_1 и O, O_2 и O, а потому (II, 35) прямая AC проходитъ чрезъ одинъ изъ центровъ гомотетіи окружностей O_1 и O_2.

49. Теорема. Антигомологичныя хорды двухъ окружностей пересѣкаются на радикальной оси этихъ окружностей.

Ибо, если A и C, B и D суть двѣ пары антигомологичныхъ точекъ окружностей O_1 и O_2 (фиг. 45), то, описавъ около нихъ окружность O_3, замѣтимъ, что хорды AB и CD суть радикальныя оси окружностей O_1 и O_3, O_2 и O_3 и потому пересѣкаются на радикальной оси окружностей O_1 и O_2 (34).

Такъ какъ радикальная ось окружностей O_1 и O_2 проходитъ чрезъ точку пересѣченія противоположныхъ сторонъ (AB и CD) чет~-ка ABCD, вписаннаго въ кругъ O_3, то эта прямая есть поляра центра гомотетіи S окружностей O_1 и O_2 относительно окружности O_3.

50. Слѣдствія. При совпаденіи точекъ B и D съ A и C хорды AB и CD обращаются въ касательныя въ антигомологичныхъ точкахъ (A и C) окружностей O_1 и O_2; поэтому касательныя въ антигомологичныхъ точкахъ двухъ окружностей пересѣкаются на ихъ радикальной оси.

Полюсъ прямой, проходящей чрезъ антигомологичныя точки (A и C) двухъ окружностей O_1 и O_2, относительно окружности, касающейся ихъ въ этихъ точкахъ, находятся на радикальной оси тѣхъ~-же окружностей (O_1 и O_2).

51. Теорема. Если двѣ окружности сходственно касаются двухъ другихъ окружностей, то радикальная ось одной пары этихъ окружностей проходитъ чрезъ центръ гомотетіи другой пары.

Положимъ, что окружности O_1 и O_2 касаются окружностей O и O' въ точкахъ A и C, B и D (фиг. 45). Такъ какъ прямыя AC и BD проходятъ чрезъ одинъ изъ центровъ гомотетіи S окружностей O_1 и O_2 (48), то SA\cdot SC=SB\cdot SD; слѣдовательно, степени точки S относительно окружностей O и O' равны, а потому радикальная ось этихъ окружностей проходитъ чрезъ точку S.

Радикальная ось окружностей O_1 и O_2 проходитъ чрезъ одинъ изъ центровъ гомотетіи S' окружностей O и O'.

52. Соосныя окружности. Окружности, имѣющія общую радикальную ось съ двумя окружностями, называются соосными окружностями (coaxal cèrcles, Casey). По этому опредѣленію:

Центры соосныхъ окружностей находятся на одной прямой, перпендикулярной къ общей радикальной оси ихъ.

Пересѣченіе радикальной оси соосныхъ окружностей съ линіей центровъ ихъ есть общая центральная точка этихъ окружностей.

Степень центральной точки соосныхъ окружностей относительно каждой изъ нихъ есть величина постоянная. Если эта величина положительная, то ни одна пара соосныхъ окружностей не имѣетъ общихъ точекъ и центральная точка находится внѣ каждой изъ нихъ. Если~-же степень центральной точки соосныхъ окружностей отрицательна, то всѣ окружности пересѣкаются въ двухъ общихъ точкахъ; центральная точка въ этомъ случаѣ находится внутри каждой окружности (22).

53. Теорема. Степени какой-либо точки одной изъ соосныхъ окружностей относительно двухъ другихъ находятся въ постоянном отношеніи, равномъ отношенію разстояній центра первой окружности отъ центровъ послѣднихъ.

Обозначимъ чрезъ A, B, C центры трехъ соосныхъ окружностей, чрезъ O --- ихъ центральную точку, чрезъ P --- какую-нибудь точку окружности C и чрезъ p --- проэкцію этой точки на радикальную ось окружностей (фиг. 46). Если радіусы окружностей A и B равны r_1 и r_2, то (32): \overline{PA}{}^2-r_1^2=2AC\cdot Pp\quad\mbox{и}\quad\overline{PB} {}^2-r_2^2=2BC\cdot Pp; отсюда \frac{\overline{PA}{}^2-r_1^2} {\overline{PB}{}^2-r_2^2}=\frac{AC}{BC}, что и тр. док. Обратно:

Геометрическое мѣсто точекъ, степени которыхъ относительно окружностей A и B находятся въ постоянномъ отношеніи, есть окружность C, соосная съ A и B.

54. Слѣдствія. Квадраты касательныхъ изъ какой-либо точки одной изъ соосныхъ окружностей къ двумъ другимъ относятся какъ разстоянія центра первой окружности отъ центровъ послѣднихъ.

Двѣ окружности и ихъ окружность гомотетіи имѣютъ общую радикальную ось (43).

Разстоянія центровъ двухъ окружностей отъ центра окружности гомотетіи пропорціональны квадратамъ радіусовъ окружностей.

Три окружности, центры которыхъ не лежатъ на одной прямой, и три окружности гомотетіи ихъ имѣютъ общій радикальный центръ.

55. Пучки окружностей. Система соосныхъ окружностей называется пучкомъ окружностей (faisceau de cercles).

Изъ самаго опредѣленія слѣдуетъ, что центры окружностей, составляющихъ пучокъ, находятся на одной прямой, перпендикулярной къ ихъ общей радикальной оси.

Такъ какъ степени каждой точки радикальной оси пучка окружностей равны (29), то всѣ окружности пучка или пересѣкаются въ двухъ точкахъ (на радикальной оси), или ни одна пара изъ нихъ не имѣетъ общихъ точекъ (30).

56. Точка пересѣченія радикальной оси пучка окружностей съ линіей центровъ ихъ есть общая центральная точка всѣхъ окружностей.

Обозначимъ чрезъ O центральную точку пучка окружностей (фиг. 47) и чрезъ \pm k^2 степень ея (22) относительно каждой изъ этихъ окружностей.

Если разстояніе точки O отъ центра одной изъ окружностей пучка обозначить чрезъ d, а радіусъ этой окружности чрезъ r, то для всѣхъ окружностей пучка будетъ имѣть мѣсто соотношеніе d^2-r^2=\pm k^2.

Окружности пучка дѣлятся на двѣ группы: центры окружностей одной группы расположены по одну сторону отъ центральной точки, а другой группы --- по другую.

57. Теорема. Радикальныя оси произвольно взятой окружности и каждой изъ окружностей пучка пересѣкаются въ одной точкѣ на радикальной оси пучка.

Ибо, если X_1,X_2,X_3,\dots суть окружности пучка, а Y --- какая-нибудь окружность, не принадлежащая этому пучку, то радикальныя оси окружностей X_1,Y и X_2,Y пересѣкаются на радикальной оси пучка X_1,X_2,X_3,\dots (34) въ какой-нибудь точкѣ O. Такъ какъ радикальныя оси окружностей X_2,Y и X_3,Y, X_4,Y,\dots тоже пересѣкаются на радикальной оси пучка, то всѣ онѣ проходятъ чрезъ точку O.

Такимъ образомъ, всѣ окружности пучка и какая-либо произвольно взятая окружность имѣютъ общій радикальный центръ.

58. Основныя точки. Пучки окружностей, имѣющихъ двѣ общія точки, называютъ пучками 1~-го рода.

Общія точки пучка 1~-го рода, F и F' (фиг. 47, а), называютъ основными точками (points fondamentaux).

Такъ какъ радикальная ось пучка 1~-го рода проходитъ чрезъ основныя точки и, слѣдовательно, пересѣкается со всѣми окружностями, то центральная точка O пучка 1~-го рода находится внутри каждой изъ окружностей, а потому степень ея отрицательна. Поэтому разстояніе d центральной точки отъ центра окружности пучка 1~-го рода и радіусъ этой окружности r связаны между собой равенствомъ d^2-r^2=-k^2\quad\mbox{или}\quad r^2=k^2+d^2; отсюда видно, что числовая величина d можетъ измѣняться отъ 0 до \pm\infty, такъ что всякая точки линіи центровъ пучка можетъ быть центромъ его окружности.

Окружность, описанная около центральной точки пучка 1~-го рода радіусомъ r=k, проходитъ чрезъ основныя точки пучка.

59. Предѣльныя точки. Пучки окружностей, не имѣющихъ общихъ точекъ, называютъ пучками 2~-го рода.

Центральная точка O окружностей пучка 2~-го рода находится внѣ каждой изъ окружностей системы (фиг. 47, b), поэтому степень ея относительно этихъ окружностей положительна, такъ что, при прежнихъ обозначеніяхъ, d^2-r^2=+k^2\quad\mbox{или}\quad r^2=d^2-k^2; равенство это показываетъ, что d по абсолютной величинѣ не можетъ быть меньше k, такъ что числовая величина d можетъ измѣняться отъ \pm k до \pm\infty. При d=\pm k радіусъ r=0, т. е. двѣ окружности пучка, центры которыхъ расположены по обѣ стороны отъ центральной точки O въ разстояніяхъ отъ нея, равныхъ \pm k, обращаются въ точки L, L'. Эти точки называютъ предѣльными точками (points limites, Poncelet) пучка окружностей 2~-го рода.

60. Такъ какъ степень k^2 центральной точки пучка окружностей 2~-го рода равна квадрату касательной изъ этой точки къ любой изъ окружностей пучка, то предѣльныя точки L и L' (фиг. 47, b) суть точки пересѣченія линіи центровъ пучка съ окружностью, описанной около центральной точки (O) радіусомъ, равнымъ одной изъ этихъ касательныхъ.

Изъ предыдущаго видно, что пучки 1~-го рода не имѣютъ предѣльныхъ точекъ, какъ пучки 2~-го рода не имѣютъ точекъ основныхъ.

61. Теорема. Точки пересѣченія окружностей пучка съ линіей центровъ образуютъ инволюцію.

Ибо, если окружности пучка A, B, C,\dots пересѣкаются съ линіей центровъ въ a и a', b и b', c и c',\dots (фиг. 47), то Oa\cdot Oa'=Ob\cdot Ob'=Oc\cdot Oc'=\dots=\pm k^2; слѣдовательно, a и a', b и b', c и c',\dots суть соотвѣтственныя точки инволюціи, центръ которой совпадаетъ съ центральной точкой пучка O (II, 55). Обратно:

Если окружности, центры которыхъ находятся на одной прямой, въ пересѣченіи съ этой прямой образуютъ инволюцію, то онѣ составляютъ пучокъ.

62. Очевидно, что предѣльныя точки пучка суть двойныя точки инволюціи; поэтому предѣльныя точки пучка дѣлятъ гармонически діаметры всѣхъ окружностей системы (II, 58).

Изъ этого слѣдуетъ, что

Перпендикуляръ къ линіи центровъ пучка, проходящій чрезъ одну изъ предельныхъ точекъ, есть общая поляра другой предельной точки относительно всѣхъ окружностей системы (1).

63. Теорема. Если двѣ прямыя, проходящія чрезъ одну изъ основныхъ точекъ (F) пучка окружностей 1~-го рода, пересѣкается съ окружностями въ точкахъ A, B, C, D,\dots и A', B', C', D',\dots (фиг. 48), то \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\dots.

Дѣйствительно, соединивъ точки A, B, C,\dots и A', B', C',\dots съ другою основною точкою пучка F' и замѣтивъ, что тр~-ки ABF' и A'B'F', BCF' и B'C'F', CDF' и C'D'F',\dots попарно подобны, получимъ \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{BF'}{B'F'}=\frac{BC}{B'C'}= \frac{CF'}{C'F'}=\frac{CD}{C'D'}=\dots; отсюда \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\dots.

Обратно, если отрѣзки AB, BC, CD,\dots и A'B', B'C', C'D',\dots двухъ пересѣкающихся въ F прямыхъ пропорціональны, то окружности FAA', FBB', FCC',\dots образуютъ пучокъ 1~-го рода.

64. Слѣдствія. Основанія перпендикуляровъ изъ точки F' на прямыя A'A, B'B, C'C,\dots (фиг. 48) находятся на одной прямой, проходящей чрезъ основанія перпендикуляровъ изъ той~-же точки на прямыя FA и FA'.

Ибо, по теоремѣ Симсона, основанія перпендикуляровъ изъ F' на стороны тр~-въ FAA', FBB', FCC',\dots лежатъ на одной прямой (I, 9).

Окружности, описанныя около тр~-въ, составленныхъ прямыми AA', BB', CC', DD',\dots проходятъ чрезъ точку F'.

Ортоцентры тѣхъ~-же тр~-въ расположены на одной прямой.

65. Теорема. Окружность, ортогональная съ двумя окружностями пучка, ортогональна со всѣми окружностями, составляющими пучокъ.

Положимъ, что окружности A, B, C,\dots составляютъ пучокъ (фиг. 49); обозначимъ радикальную ось ихъ чрезъ R, а линію центровъ чрезъ R'.

Если окружность A' ортогональна съ окружностями A и B, то касательныя изъ центра ея A' къ этимъ окружностямъ равны ея радіусу (37), а степень точки A' относительно каждой изъ этихъ окружностей равна квадрату радіуса. Но точка A' находится на радикальной оси R пучка, поэтому степень ея относительно окружности C также равна квадрату радіуса окружности A', а потому касательная изъ A' къ окружности C равна радіусу окружности A'; слѣдовательно, окружность A' ортогональна съ окружностью C.

66. Слѣдствія. Окружности, ортогональныя съ окружностями пучка 2~-го рода, проходятъ чрезъ предѣльныя точки этого пучка.

Обратно, всѣ окружности, проходящія чрезъ предѣльныя точки пучка, ортогональны съ окружностями этого пучка.

Окружность, имѣющая діаметромъ разстояніе между предѣльными точками пучка (LL'), ортогональна со всѣми окружностями пучка.

Поляры любой точки P относительно окружностей пучка пересѣкаются въ одной точкѣ.

Ибо, проведя чрезъ P окружность, ортогональную съ окружностями пучка A, B, C,\dots и обозначивъ чрезъ Q точку діаметрально противоположную P, замѣтимъ, что поляры точки P относительно окружностей A, B, C,\dots проходятъ чрезъ точку Q (38).

67. Сопряженные пучки окружностей. Два пучка окружностей называются сопряженными (conjuqués), если имѣютъ общую центральную точку, если линіи центровъ ихъ взаимно перпендикулярны и если степени центральной точки ихъ относительно окружностей того и другого пучка равны по абсолютной величинѣ, но различны по знаку.

Линія центровъ одного изъ сопряженныхъ пучковъ окружностей служитъ радикальной осью другого пучка, и наоборотъ.

Если одинъ изъ сопряженныхъ пучковъ 1~-го рода, т. е. имѣетъ основныя точки, то другой пучокъ 2~-го рода, т. е. имѣетъ предѣльныя точки, и наоборотъ.

Основныя точки одного изъ сопряженныхъ пучковъ суть предѣльныя точки другого, и наоборотъ.

68. Теорема. Окружности, ортогональныя съ окружностями пучка F, образуютъ сопряженный съ нимъ пучокъ F'.

Положимъ, что окружности A', B', C',\dots ортогональны съ окружностями A, B, C,\dots, составляющими пучокъ F (фиг. 49). Центры окружностей A', B', C',\dots находятся на радикальной оси R пучка F, поэтому линія центровъ пучка F перпендикулярна къ линіи центовъ окружностей A', B', C',\dots.

Такъ какъ окружность A ортогональна съ окружностями A', B', C',\dots, то степени ея центра A относительно этихъ окружностей равны; это справедливо и для центровъ окружностей B, C,\dots; слѣдовательно, линія центровъ пучка F есть общая радикальная ось окружностей A', B', C',\dots, потому эти окружности составляютъ пучокъ F'.

Если пучокъ F перваго рода, то окружность, имѣющая діаметромъ разстояніе FF' между основными точками его, принадлежитъ тому~-же пучку и потому ортогональна съ окружностями пучка F'. Значитъ, если k^2 и k'{}^2 суть степени центра этой окружности O относительно пучковъ F и F', то k^2=-\overline{OF}{}^2\quad\mbox{и}\quad k'{}^2=+\overline{OF}{}^2, т. е. k^2=-k'{}^2.

Если пучокъ F второго рода, то окружность, имѣющая діаметромъ разстояніе между предѣльными точками его LL', принадлежитъ пучку F'; поэтому степени центра этой окружности O относительно пучковъ F и F' суть k^2=+\overline{OL}{}^2\quad\mbox{и}\quad k'{}^2=-\overline{OL}{}^2, откуда опять k^2=-k'{}^2; такимъ образомъ, F и F' суть пучки сопряженные.

69. Радикальныя окружности (cercles radicaux, Duran Loriga). Обозначимъ чрезъ O_1 и O_2, r_1 и r_2 центры и радіусы двухъ окружностей. Если степени какой-нибудь точки M относительно этихъ окружностей равны по абсолютной величинѣ, но противоположны по знакамъ, то, положивъ MO_1=d_1, MO_2=d_2, получимъ: d_1^2-r_1^2=-(d_2^2-r_2^2), или d_1^2+d_2^2=r_1^2+r_2^2; обозначивъ чрезъ O средину прямой O_1O_2 и положивъ O_1O_2=d, изъ этого равенства получимъ \overline{OM}{}^2=\frac{2(r_1^2+r_2^2)-d^2}4; слѣдовательно, геометрическое мѣсто точекъ, степени которыхъ относительно двухъ данныхъ окружностей различаются только знаками, есть окружность; эта окружность называется радикальною окружностью.

70. Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что центръ радикальной окружности O находится въ срединѣ разстоянія O_1O_2 между центрами данныхъ окружностей и что радіусъ ея равенъ r=\frac12\sqrt{2(r_1^2+r_2^2)-d^2}.

Понятно, что если данныя окружности пересѣкаются или соприкасаются, то радикальная окружность ихъ проходитъ чрезъ точки пересѣченія или точку касанія ихъ.

Если одна изъ данныхъ окружностей находится внутри другой, то d^2\lt(r_1-r_2)^2\lt2(r_1^2+r_2^2) и 2(r_1^2+r_2^2)-d^2\gt0; значитъ, въ этомъ случаѣ r всегда величина дѣйствительная, т. е. радикальная окружность существуетъ въ дѣйствительности и можетъ быть построена. Въ частномъ случаѣ, когда данныя окружности концентричны, радикальная окружность ихъ концентрична съ ними.

Если данныя окружности находятся одна внѣ другой, то радикальная окружность ихъ или существуетъ въ дѣйствительности, или ея нѣтъ, смотря по тому, имѣетъ~-ли r дѣйствительное или мнимое значеніе.

71. Если радикальныя окружности R_1 и R_2 окружностей O_2 и O_3, O_1 и O_3 пересѣкаются, то легко убѣдиться, что четыре окружности R_1, R_2, O_1, O_2 имѣютъ общую радикальную ось.

Если окружности O_1, O_2, O_3 имѣютъ діаметрами стороны a, b, c тр~-ка ABC, то радикальныя окружности R_1, R_2, R_3 каждой пары ихъ имѣютъ діаметрами медіаны AA', BB', CC' этого тр~-ка. Ибо, если, напр., окружность R_1 имѣетъ діаметромъ медіану AA', то она проходитъ чрезъ точки пересѣченія окружностей O_2 и O_3, а центръ ея находится въ срединѣ разстоянія B'C' между центрами этихъ окружностей.

72. Теорема. Ортоцентръ тр~-ка есть общій радикальный центръ окружностей, имѣющихъ діаметрами стороны и медіаны тр~-ка.

Дѣйствительно, такъ какъ R_1 и R_2 суть радикальныя окружности окружностей O_2 и O_3, O_1 и O_3 (71), то высота тр~-ка CH_3 есть общая радикальная ось окружностей O_1, O_2, R_1, R_2, а потому ортоцентръ тр~-ка есть общій радикальный центръ окружностей O_1, O_2, O_3, R_1, R_2, R_3.

Упражненія.

1. Поляры точекъ радикальной оси двухъ окружностей пересѣкаются на этой оси. Обратно, если поляры точекъ нѣкоторой прямой относительно двухъ окружностей пересѣкаются на этой прямой, то эта прямая служитъ радикальной осью окружностей.

2. Полюсы радикальной оси двухъ окружностей относительно этихъ окружностей дѣлятъ гармонически разстояніе между центрами гомотетіи ихъ.

3. Окружность, описанная около тр~-ка, составленнаго діагоналями полнаго четыреугольника, ортогональна съ окружностями, имѣющими діаметрами діагонали четыреугольника.

4. Если окружности O,O',O'',\dots касаются окружностей O_1 и O_2, то отношенія радіусовъ ихъ къ разстояніямъ ихъ центровъ отъ радикальной оси окружностей O_1 и O_2 равны (Casey).

5. Если AB и A'B' суть двѣ хорды окружности X, касательныя къ окружности Y, и если разстоянія радикальной оси этихъ окружностей отъ точекъ A и A', B и B' суть p и p', q и q', то \frac{AA'}{BB'}= \frac{\sqrt p+\sqrt{p'}}{\sqrt q+\sqrt{q'}}.

7. Окружности, описанныя около пяти тр~-въ, составленныхъ сторонами пятиугольника и продолженіями ихъ, пересѣкаются въ точкахъ конциклическихъ (Miquel).

8. Если четыре окружности, центры которыхъ не лежатъ на одной прямой, ортогональный съ одной окружностью, то шесть радикальныхъ осей ихъ образуютъ пучокъ инволюціи.

9. Если четыре окружности проходятъ чрезъ одну точку, то шесть радикальныхъ осей ихъ образуютъ пучокъ инволюціи.

10. Окружности, полярно-сопряженныя съ тр~-ми, составленными четырьмя прямыми, образуютъ пучокъ.

11. Если r и R суть радіусы круговъ вписаннаго в шестиугольникъ и описаннаго около него, а d --- разстояніе между центрами ихъ, то \frac1{(r^2-d^2)^2+4R^2rd}+\frac1{(r^2-d^2)^2-4R^2rd}==\frac1 {2R^2(r^2+d^2)-(r^2-d^2)^2}.

12. Если r и R суть радіусы круговъ вписаннаго в восьмиугольникъ и описаннаго около него, а d --- разстояніе между центрами ихъ, то \left[\frac1{(r^2-d^2)^2+4R^2rd}\right]^2+ \left[\frac1{(r^2-d^2)^2-4R^2rd}\right]^2==\left[\frac1 {2R^2(r^2+d^2)-(r^2-d^2)^2}\right]^2.

13. Ось гомологіи тр~-ка ABC и его ортоцентрическаго тр~-ка есть радикальная ось окружности, описанной около тр~-ка, и его окружности Эйлера.

14. Общая касательная къ двумъ окружностямъ, составляющимъ пучокъ, дѣлится гармонически каждою изъ пересѣкающихъ ее окружностей пучка.

15. Если хорда окружности касается другой окружности, то уголъ, составленный прямыми, соединяющими концы этой хорды съ предѣльной точкой окружностей (или уголъ смежный) дѣлится пополамъ прямою, соединяющею точку касанія хорды съ тою~-же предѣльною точкою (Casey).

16. Прямыя, соединяющія предѣльную точку двухъ окружностей съ точками касанія ихъ съ общею касательною прямою, взаимно перпендикуляры.

17. Если O,O',O'',\dots суть окружности, касающіяся двухъ окружностей, имѣющихъ предѣльныя точки, то касательныя къ этимъ окружностямъ изъ предѣльныхъ точекъ пропорціональны. Радіусы тѣхъ~-же окружностей пропорціональны квадратамъ касательныхъ къ нимъ изъ какой-либо предѣльной точки.

18. Если четыреугольникъ вписанъ въ одну окружность и описанъ около другой, то діагонали его пересѣкаются въ одной изъ предѣльныхъ точекъ этихъ окружностей.

19. Если H_1, H_2, H_3, G суть основанія высотъ и центръ тяжести тр~-ка ABC, то окружности AGH_1, BGH_2 и CGH_3 проходятъ чрезъ точку пересѣченія прямой Эйлера съ радикальною осью окружности Эйлера и окружности, описанной около тр~-ка ABC (Richardson).

20. Окружности, описанныя около вершинъ тр~-ка радіусами, равными противоположнымъ сторонамъ его, и окружности, описанныя около срединъ сторонъ того~-же тр~-ка радіусами, равными его медіанамъ, имѣютъ общимъ радикальнымъ центромъ ортоцентръ тр~-ка, антидополнительнаго съ первымъ (Duran Loriga).

ГЛАВА IV.

ГЛАВА IV.
Объ обратныхъ фигурахъ.

1. Обратныя точки и фигуры. Двѣ точки M и M', расположенныя на одной прямой, проходящей чрезъ центръ круга O радіуса k, называются взаимными (ré­ci­pro­ques) или обратными (in­ver­ses) относительно этого круга, если произведеніе разстояній ихъ отъ центра по абсолютной величинѣ равно квадрату радіуса круга, т. е. если OM\cdot OM'=\pm k^2.

Очевидно, что полюсъ и пересѣченіе его поляры съ перпендикулярнымъ къ ней діаметромъ круга суть точки обратныя.

Разстоянія (OM и OM') обратныхъ точекъ отъ центра круга называютъ взаимными радіусами векторами (rayons vecteurs rè­cipro­ques).

Если всѣ точки A', B', C',\dots фигуры F' суть обратныя точкамъ A, B, C,\dots фигуры F относительно одного и того~-же круга O, такъ что OA\cdot OA'=OB\cdot OB'=OC\cdot OC'=\dots=\pm k^2, то фигуры F и F' также называютъ взаимными или обратными относительно этого круга.

2. Инверсія. Преобразованіе какой-либо фигуры F въ другую, обратную ей F', называется инверсіей (inversion, Stubbs) или преобразованіемъ посредствомъ взаимныхъ радіусовъ векторовъ.

Кругъ, относительно котораго двѣ фигуры суть обратныя, называютъ кругомъ инверсіи, а центръ его --- центромъ или началомъ инверсіи (origine d’inversion).

Квадратъ радіуса круга инверсіи, взятый съ знакомъ + или - (\pm k^2), называютъ степенью инверсіи (puissance d’inversion).

Если степень инверсіи положительна (+k^2), то обратныя точки расположены по одну сторону отъ начала; при отрицательной степени (-k^2) такія точки находятся по обѣ стороны отъ него. Во всякомъ случаѣ, если одна изъ обратныхъ точекъ лежитъ внутри круга инверсіи, то другая внѣ его, и наоборотъ.

3. Теорема. Двѣ фигуры F' и F'', обратныя съ фигурой F относительно общаго начала O съ разными степенями инверсіи k'{}^2 и k''{}^2, гомотетичны.

Ибо, если M' и M'' суть точки фигуръ F' и F'', обратныя съ точкой M фигуры F, то (1) OM\cdot OM'=k'{}^2\quad\mbox{и}\quad OM\cdot OM''=k''{}^2; поэтому \frac{OM'}{OM''}=\frac{k'{}^2}{k''{}^2}; но точки M' и M'' находятся на одной прямой OM, проходящей чрезъ начало; слѣдовательно (II, 30), фигуры F' и F'' гомотетичны; центромъ гомотетіи ихъ служитъ начало инверсіи O, а отношеніе гомотетіи равно \frac{k'{}^2}{k''{}^2}.

Слѣдствіе. Данная фигура F при заданном началѣ инверсіи всегда преобразуется въ обратную фигуру одного какого-либо вида, независимо отъ величины степени инверсіи.

4. Теорема. Если A и A', B и B' суть двѣ пары обратныхъ точекъ относительно одного круга O, то A'B'=\frac{AB}{OA\cdot OB}\cdot k^2, гдѣ k^2 --- степень инверсіи.

Ибо изъ равенства (фиг. 55) OA\cdot OA'=OB\cdot OB'=k^2 слѣдуетъ, что \frac{OA}{OB}=\frac{OB'}{OA'}; значитъ, тр~-ки OAB и OB'A' подобны; поэтому \frac{A'B'}{AB}=\frac{OB'}{OA}=\frac{OB'\cdot OB}{OA\cdot OB}=\frac{k^2}{OA\cdot OB}; отсюда A'B'=\frac{AB}{OA\cdot OB}\cdot k^2.

5. Слѣдствія. Равенство OA\cdot OA'=OB\cdot OB' обнаруживаетъ, что двѣ пары обратныхъ точекъ (A и A', B и B') относительно одного круга лежатъ на одной окружности.

Если разстоянія прямыхъ AB и A'B' отъ начала суть p и p', то \frac{AB}p=\frac{A'B'}{p'}, т. е. прямыя, соединяющія соотвѣтственныя точки обратныхъ фигуръ, пропорціональны разстояніямъ ихъ отъ начала инверсіи.

Тѣ~-же прямыя образуютъ равные углы съ радіусами векторами, проходящими чрезъ концы ихъ, именно: \angle OAB=\angle OB'A'\quad \mbox{и}\quad \angle OBA=\angle OA'B'.

6. Теорема. Касательныя въ соотвѣтственныхъ точкахъ къ кривымъ двухъ обратныхъ фигуръ образуютъ равные углы съ радіусомъ векторомъ, проходящимъ чрезъ эти точки.

Положимъ, что точки A, B и A', B' находятся на нѣкоторыхъ кривыхъ K и K' двухъ обратныхъ фигуръ (фиг. 50).

Такъ какъ точки A, A', B, B' находятся на одной окружности, то \angle OAB=\angle OB'A'; при приближеніи точекъ B и B' къ совпаденію съ точками A и A' хорды AB и A'B' обращаются въ касательныя къ кривымъ AT и A'T'; поэтому \angle OAT=\angle OA'K'\quad\mbox{или}\quad \angle TAA'=\angle T'A'A.

Уголъ между сѣкущею кривой и касательною въ точкѣ пересѣченія ихъ называютъ угломъ между кривою и ея сѣкущею. Поэтому доказанная теорема можетъ быть выражена такъ:

Соотвѣтственныя кривыя двухъ обратныхъ фигуръ образуютъ равные углы съ каждымъ изъ радіусовъ векторовъ ихъ.

7. Угломъ между двумя пересѣкающимися кривыми называютъ уголъ, составленный касательными къ нимъ въ точкѣ ихъ пересѣченія.

Теорема. Уголъ между двумя пересѣкающимися линіями какой-либо фигуры равенъ углу между соотвѣтственными линіями обратной фигуры.

Положимъ, что AB и A'B', AB_1 и A'B_1' суть соотвѣтственныя линіи (вообще кривыя) двухъ обратныхъ фигуръ (фиг. 50). Обозначивъ чрезъ T и T_1, T' и T_1' касательныя въ точкахъ A и A' къ линіямъ AB и AB_1, A'B' и A'B_1', по предыдущей теоремѣ получимъ \angle TAA'=\angle T'A'A\quad\mbox{и}\quad \angle T_1AA'=\angle T_1'A'A; изъ этихъ равенствъ чрезъ вычитаніе находимъ, что \angle TAT_1=\angle T'A'T_1'.

Слѣдствіе. Если касательныя прямыя въ общей точкѣ двухъ кривыхъ совпадаютъ, то кривыя въ этой точкѣ соприкасаются.

Изъ доказанной теоремы слѣдуетъ, что соприкасающіяся линіи какой-либо фигуры при инверсіи преобразуются также въ соприкасающіяся линіи обратной фигуры.

8. Теорема. Прямая, не проходящая чрезъ начало инверсіи, имѣетъ обратной фигурой окружность, проходящую чрезъ начало.

Обозначимъ начало и степень инверсіи чрезъ O и k^2 и опустимъ изъ O перпендикуляръ OA на данную прямую L (фиг. 51). Взявъ на этой прямой еще какую-нибудь точку B и обозначивъ чрезъ A' и B' точки, обратныя съ A и B, такъ что OA\cdot OA'=OB\cdot OB'=k^2, изъ подобія тр~-въ OAB и OB'A' найдемъ, что \angle OB'A'=\angle OAB=90^\circ; слѣдовательно, точка B' находится на окружности, имѣющей діаметромъ прямую OA', перпендикулярную къ прямой L.

Обратно, окружность, проходящая чрезъ начало инверсіи, имѣетъ обратной фигурой прямую, не проходящую чрезъ начало и перпендикулярную къ діаметру окружности, проведенному чрезъ начало.

Очевидно, что всякая прямая, проходящая чрезъ начало инверсіи, служитъ для себя обратной фигурой.

9. Слѣдствіе. Всякую окружность и произвольно взятую прямую можно разсматривать какъ фигуры обратныя, имѣющія началомъ одинъ изъ концовъ діаметра OA' окружности, перпендикулярнаго къ прямой.

Если этотъ діаметръ пересѣкается съ прямою въ точкѣ A', то степень инверсіи k^2 опредѣляется равенствомъ OA\cdot OA'=k^2\quad\mbox{или}\quad 2r\cdot OA=k^2, гдѣ r --- радіусъ разсматриваемой окружности.

10. Теорема. Окружность, не проходящая чрезъ начало инверсіи, имѣетъ обратной фигурой также окружность.

Обозначимъ чрезъ O центръ данной окружности, чрезъ r --- радіусъ ея, чрезъ S --- начало, чрезъ k^2 --- степень инверсіи (фиг. 52) и чрезъ t^2 --- степень точки S относительно окружности O (III, 22). [При k^2 и t^2 (и далѣе при t'{}^2) подразумѣвается знакъ \pm.]

Проведя чрезъ S сѣкущую SNM данной окружности и обозначивъ чрезъ M' точку, обратную съ M, получимъ: SM\cdot SM'=k^2; но SM\cdot SN=t^2; поэтому \frac{SN}{SM'}=\frac{t^2}{k^2}.

Соединимъ M съ O и проведемъ M'O'\parallel NO до пересѣченія въ O' съ прямою SO. Изъ подобія тр~-въ SNO и SM'O' на основаніи предыдущаго равенства получимъ: \frac{SN}{SM'}=\frac{ON}{O'M'}=\frac r{O'M'}=\frac{t^2} {k^2}; слѣдовательно, разстояніе точки M' отъ точки O', положеніе которой вполнѣ опредѣляется равенствомъ \frac{SO}{SO'}=\frac{SN}{SM'}=\frac{t^2}{k^2}, равно постоянной величинѣ r'=r\,\frac{k^2}{t^2}, а потому фигурой, обратной данной окружности, служитъ окружность, описанная около точки O' радіусомъ r'.

11. Слѣдствія. Такъ какъ \frac{SO}{SO'}=\frac{t^2}{k^2}=\frac r{r'}, то окружности O и O' гомотетичны (II, 34). Такимъ образомъ, взаимно обратныя окружности гомотетичны, и начало инверсіи есть одинъ изъ ихъ центровъ гомотетіи. Обратно:

Всякія двѣ окружности суть фигуры взаимно обратныя относительно каждаго изъ ихъ центровъ гомотетіи.

Если степень точки S относительно окружности O' равна t'{}^2, то, имѣя въ виду геометрическое значеніе степени (III, 22), получимъ \frac{\sqrt{t^2}}{\sqrt{t'{}^2}}=\frac r{r'}; поэтому k^2=\frac{r'}rt^2=\sqrt{t^2t'{}^2}; этимъ равенствомъ опредѣляется степень инверсіи двухъ окружностей, разсматриваемыхъ какъ фигуры взаимно обратныя.

Антигомологичныя точки двухъ окружностей суть обратныя точки ихъ (III, 46).

12. Теорема. Если O и O' суть центры взаимно обратныхъ окружностей, то діаметръ окружности O' дѣлится гармонически началомъ инверсіи и точкою, обратною съ O.

Положимъ, что окружности O и O' пересѣкаются съ линіей центровъ въ точкахъ A и B, A' и B' и обозначимъ чрезъ P' точку, обратную съ O (фиг. 52). Такъ какъ (при прежнихъ обозначеніяхъ) SO\cdot SP'=k^2=\sqrt{t^2t'{}^2}, то \frac1{SP'}=\frac{SO}{k^2}; но \frac{SO}{SO'}=\frac r{r'}=\frac{\sqrt{t^2}}{\sqrt{t'{}^2}}\quad \mbox{и}\quad SO=SO'\frac{\sqrt{t^2}}{\sqrt{t'{}^2}}; поэтому \frac1{SP'}=\frac{SO'\sqrt{t^2}}{k^2\sqrt{t'{}^2}}=\frac{SO'}{t'{}^2}.

Это равенство, вслѣдствіе того, что SO'=\frac12(SA'+SB')\quad\mbox{и}\quad t'{}^2=SA'\cdot SB', принимаетъ видъ \frac1{SP'}=\frac{SA'+SB'}{2SA'\cdot SB'}; отсюда \frac1{SP'}=\frac12\,\left(\frac1{SA'}+\frac1{SB'}\right); слѣдовательно, точки S и P' дѣлятъ гармонически діаметръ A'B' окружности окружности O' (II, 40).

Подобнымъ~-же образомъ, діаметръ окружности O дѣлится гармонически точкою S и точкою P, обратною съ O'.

13. Слѣдствія. Доказанная теорема можетъ быть выражена еще такъ:

Точка, обратная съ центромъ одной изъ двухъ окружностей относительно ихъ центра гомотетіи, находится въ пересѣченіи линіи центровъ съ полярою начала относительно другой окружности.

Отсюда слѣдуетъ, что двѣ концентрическія окружности преобразуются ври инверсіи въ такія окружности, относительно которыхъ поляры начала совпадаютъ. Обратно:

Двѣ окружности, относительно которыхъ поляры начала совпадаютъ, преобразуются въ концентрическія окружности.

Окружности пучка 2~-го рода (III, 59) преобразуются въ концентрическія окружности, если началомъ инверсіи служитъ одна изъ предѣльныхъ точекъ (III, 62).

Окружности пучка 1~-го рода (III, 58) преобразуются въ пучокъ прямыхъ, если за начало инверсіи принята одна изъ основныхъ точекъ (8).

14. Изъ теоремы, ранѣе доказанной (7), получаются еще слѣдующія слѣдствія:

Ортогональныя окружности преобразуются при инверсіи въ окружности также ортогональныя.

Сопряженныя пучки окружностей (III, 67) преобразуются въ систему концентрическихъ окружностей и прямыхъ, проходящихъ чрезъ общій центръ ихъ, если за начало инверсіи принята одна изъ основныхъ или предѣльныхъ точекъ.

Окружности соприкасающіяся преобразуются въ соприкасающіяся окружности; точки касанія каждой пары этихъ окружностей находятся на одномъ радіусѣ векторѣ.

15. Теорема. Окружность служитъ сама себѣ обратной фигурой, если степень инверсіи равна степени начала относительно этой окружности.

Дѣйствительно, если степень инверсіи k^2 равна степени начала O относительно окружности O_1, то, проведя сѣкущую OMM' (фиг. 53), получимъ: OM\cdot OM'=k^2; слѣдовательно, точки M и M' суть обратныя, а потому окружность O_1, будучи геометрическимъ мѣстомъ точекъ M и M', служитъ сама себѣ обратной фигурой. Очевидно, что окружностью инверсіи въ разсматриваемомъ случаѣ служитъ окружность O, ортогональная съ окружностью O_1.

16. Слѣдствія. Если за начало инверсіи принять какую-нибудь точку O на радикальной оси окружностей O_1 и O_2 (фиг. 53), и сдѣлать степень инверсіи равною степени точки O относительно окружностей O_1 и O_2, то эти окружности обѣ преобразуются сами въ себя. Въ этомъ случаѣ окружность инверсіи ортогональна съ окружностями O_1 и O_2 (III, 29).

Три окружности преобразуются каждая сама въ себя, если за начало инверсіи взять радикальный центръ ихъ, а за окружность инверсіи общую къ нимъ ортогональную окружность (III, 36).

Три окружности могутъ быть преобразованы въ три обратныя окружности, центры которыхъ лежатъ на одной прямой.

17. Если окружность при инверсіи служитъ сама себѣ обратной фигурой, то всякій діаметръ ея обращается въ окружность, ортогональную къ ней; ибо діаметръ окружности есть частный случай ортогональной окружности (14).

Въ томъ случаѣ, когда двѣ окружности (O_1 и O_2) служатъ сами себѣ обратными фигурами, линія центровъ ихъ ABCD (фиг. 53) обращается въ ортогональную къ нимъ окружность A'B'C'D', проходящую чрезъ начало инверсіи O. Обратно, линія центровъ двухъ окружностей и какая-либо окружность, ортогональная съ ними, могутъ быть разсматриваемы какъ обратныя фигуры. Поэтому, если двѣ окружности O_1 и O_2 пересѣкаются съ линіей центровъ ихъ въ точкахъ A, B и C, D, а съ какою-либо окружностью, ортогональною съ ними, въ точкахъ A', B' и C', D' (фиг. 53), то прямыя AA', BB', CC', DD' пересѣкаются въ одной точкѣ на радикальной оси окружностей O_1 и O_2.

18. Теорема. Двѣ произвольныя окружности чрезъ инверсію могутъ быть обращены въ равныя окружности.

Дѣйствительно, если окружности O_1 и O_2 радіусовъ r_1 и r_2 обращаются въ равныя окружности радіуса r, то, обозначивъ чрезъ k^2 степень инверсіи и чрезъ t_1^2 и t_2^2 степени начала S относительно окружностей O_1 и O_2, получимъ (11): \frac r{r_1}=\frac{k^2}{t_1^2}\quad\mbox{и}\quad \frac r{r_2}= \frac{k^2}{t_2^2}l отсюда \frac{t_1^2}{t_2^2}=\frac{r_1}{r_2}; такимъ образомъ, окружности O_1 и O_2 обращаются въ равныя окружности, если степени начала инверсіи S относительно этихъ окружностей пропорціональны ихъ радіусамъ. Такъ какъ геометрическое мѣсто такихъ точекъ S есть одна изъ окружностей, соосныхъ съ O_1 и O_2 (III, 53), которая легко можетъ быть построена, то теорема доказана.

Послѣднее обстоятельство обнаруживаетъ, что три произвольныя окружности чрезъ инверсію могутъ быть обращены въ три равныя окружности.

19. Теорема. Если изъ какой-либо точки S окружности опустить перпендикуляры на стороны вписаннаго мног~-ка ABCD\dots K, то алгебраическая сумма отношеній сторонъ мног~-ка къ соотвѣтственнымъ перпендикулярамъ равна нулю.

Принимая точку S за начало инверсіи, преобразуемъ окружность въ прямую (8), на которой расположатся точки A', B', C',\dots,K', обратныя съ точками A, B, C,\dots,K. Если p, p_1, p_2, p_3,\dots,p_n суть перпендикуляры изъ S на прямую A'B'C'\dots и на стороны мног~-ка AB, BC, CD,\dots,KA, то (5): \frac{AB}{p_1}=\frac{A'B'}p,~ \frac{BC}{p_2}=\frac{B'C'}p,~\dots,~\frac{KA}{p_n}=\frac{K'A'}p; но (I, 4) A'B'+B'C'+C'D'+\dots+K'A'=0, а потому, на основаніи предыдущихъ равенствъ, \frac{AB}{p_1}+\frac{BC}{p_2}+\frac{CD}{p_3}+\dots+\frac{KA}{p_n}=0, что и тр. док.

Въ частномъ случаѣ, для тр~-ка, стороны котораго равны a, b, c, а разстоянія ихъ отъ какой-нибудь точки описанной окружности суть \alpha, \beta, \gamma, изъ доказаннаго равенства получимъ: \frac a\alpha+\frac b\beta+\frac c\gamma=0.

20. Теорема. Если какую-либо точку S окружности соединить съ вершинами вписаннаго мног~-ка ABCD\dots K, то \frac{AB}{SA\cdot SB}+\frac{BC}{SB\cdot SC}+\frac{CD}{SC\cdot SD}+\dots+\frac{KA}{SK\cdot SA}=0.

Если принять точку S за начало инверсіи, то точки A, B, C,\dots,K преобразуются въ обратныя точки A', B', C',\dots,K', расположенныя на одной прямой; поэтому A'B'+B'C'+C'D'+\dots+K'A'=0; но (4) A'B'=\frac{AB}{SA\cdot SB}\cdot k^2, B'C'=\frac{BC}{SB\cdot SC}\cdot k^2,~\dots,~ K'A'=\frac{KA}{SK\cdot SA}\cdot k^2, гдѣ k^2 --- степень инверсіи; слѣдовательно, \frac{AB}{SA\cdot SB}+\frac{BC}{SB\cdot SC}+\frac{CD}{SC\cdot SD}+\dots+\frac{KA}{SK\cdot SA}=0.

Какъ слѣдствіе этой теоремы получается слѣдующая.

21. Теорема Птоломея (I). Произведеніе діагоналей вписаннаго четыреугольника равно суммѣ произведеній противоположныхъ сторонъ его.

Примѣняя равенство предыдущей теоремы къ тр~-ку ABC и замѣняя обозначеніе точки S чрезъ D, получимъ \frac{AB}{DA\cdot DB}+\frac{BC}{DB\cdot DC}+\frac{CA}{DC\cdot DA}=0, или (I, 4) \frac{AB}{DA\cdot DB}+\frac{BC}{DB\cdot DC}=\frac{AC}{DA\cdot DC}; отсюда AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD, что и тр. док. (фиг. 54).

22. Если четыреугольникъ ABCD прямоугольный, то AC=BD,~AB=CD~~\mbox{и}~~BC=AD; предыдущее равенство принимаетъ видъ \overline{AC}{}^2=\overline{AB}{}^2+\overline{BC}{}^2.

Такимъ образомъ, частнымъ случаемъ теоремы Птоломея является

Теорема Пиѳагора. Квадратъ гипотенузы прямоугольного тр~-ка равенъ суммѣ квадратовъ его катетовъ.

23. Теорема Птоломея (II). Произведеніе діагоналей четыреугольника, не вписывающагося въ кругъ, менѣе суммы произведеній противоположныхъ сторонъ.

Если вершина D' чет~-ка не лежитъ на окружности ABC (фиг. 54), то \angle CAB~\mbox{не}=\angle CD'B, Построивъ \angle BAE=\angle BD'C и \angle ABE=\angle D'BC, изъ подобія тр~-въ ABE и D'BC получимъ: \frac{AB}{D'B}=\frac{AE}{D'C}, или AB\cdot D'C=AE\cdot D'B.\eqno(^1)

Такъ какъ изъ тѣхъ~-же тр~-въ \frac{AB}{DB'}=\frac{BE}{BC}, то тр~-ки ABD' и EBC также подобны; поэтому \frac{BC}{BD'}=\frac{CE}{AD'}, или BC\cdot AD'=CE\cdot BD'.\eqno(^2)

Сложивъ полученныя равенства (^1) и (^2), получимъ: AB\cdot D'C+BC\cdot AD'=(AE+CE)BD'; но AE+EC\gt AC; слѣдовательно, AC\cdot BD'\lt AB\cdot CD'+BC\cdot AD'.

Полученное неравенство не зависитъ отъ того, находится~-ли точка D' внутри круга, или внѣ его.

Изъ этой теоремы и предыдущей слѣдуетъ, что при данныхъ сторонахъ чет~-ка наибольшее произведеніе діагоналей имѣетъ четыреугольникъ вписанный.

24. Теорема Птоломея (III). Отношеніе діагоналей вписаннаго четыреугольника равно отношенію суммъ, составленныхъ изъ произведеній сторонъ его, сходящихся у концовъ этихъ діагоналей.

Пусть x и y будутъ перпендикуляры изъ вершинъ B и D вписаннаго чет~-ка ABCD на діагональ его AC (фиг. 54). Обозначивъ чрезъ R радіусъ круга, изъ тр~-въ ABC и ADC получимъ: AB\cdot BC=2R\cdot x~~\mbox{и}~~ AD\cdot DC=2R\cdot y; отсюда AB\cdot BC\cdot AC=4R\cdot\frac{AC\cdot X}2 и AD\cdot DC\cdot AC=4R\cdot \frac{AC\cdot y}2; сложивъ эти равенства, находимъ, что \frac{(AB\cdot BC+AD\cdot DC)AC}{4R}=\mbox{площ.}\,ABCD; по аналогіи \frac{(AB\cdot AD+BC\cdot CD)BD}{4R}=\mbox{площ.}\,ABCD; слѣдовательно, \frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+AD\cdot DC}; что и тр. док.

Теоремы Птоломея даютъ возможность опредѣлить діагонали вписаннаго чет~-ка по даннымъ сторонамъ его; поэтому вписанный чет~-къ вполнѣ опредѣляется его сторонами.

25. Теорема. Если четыре точки окружности A, B, C, D преобразуются чрезъ инверсію въ точки A', B', C', D' (фиг. 55) на одной прямой, то \frac{CA}{CB}:\frac{DA}{DB}=\frac{C'A'}{C'B'}: \frac{D'A'}{D'B'}.

На окружности ABCD возьмемъ произвольную точку S и примемъ ее за начало инверсіи; тогда точки A, B, C, D преобразуются въ точки A', B', C', D' на одной прямой (8). Обозначивъ разстояніе этой прямой отъ начала S чрезъ p, а перпендикуляры изъ S на хорды CA, CB, DA, DB чрезъ p_1, p_2, p_3, p_4, получимъ (5): \frac{CA}{p_1}=\frac{C'A'}p,\quad \frac{CB}{p_2}=\frac{C'B'}p, \frac{DA}{p_3}=\frac{D'A'}p,\quad \frac{DB}{p_4}=\frac{D'B'}p; отсюда \frac{p_2p_3}{p_1p_4}\,\left( \frac{CA}{CB}:\frac{DA}{DB}\right)=\frac{C'A'}{C'B'}:\frac{D'A'}{D'B'}; но (III, 17) p_2p_3=p_1p_4, слѣдовательно, \frac{CA}{CB}:\frac{DA}{DB}=\frac{C'A'}{C'B'}:\frac{D'A'}{D'B'}.

26. Выраженіе \frac{CA}{CB}:\frac{DA}{DB}, составленное изъ хордъ, соединяющихъ четыре точки окружности (фиг. 55), будемъ называть ангармоническимъ отношеніемъ четырехъ конциклическихъ точекъ A, B, C, D и обозначать символомъ (ABCD), по аналогіи съ ангармоническимъ отношеніемъ четырехъ точекъ ряда (II, 4).

При такомъ обозначеніи равенство послѣдней теоремы принимаетъ видъ (ABCD)=(A'B'C'D').

Это равенство не нарушается при одинаковыхъ перемѣщеніяхъ буквъ въ обѣихъ частяхъ его, такъ что, напр., (ADCB)=(A'D'C'B'), или \frac{CA\cdot BD}{BA\cdot CD}=\frac{C'A'\cdot B'D'}{B'A'\cdot C'D'}.

27. Конциклическія гармоническія точки преобразуются чрезъ инверсію въ гармоническія точки на одной прямой (II, 49) и обратно.

Поэтому, если конциклическія гармоническія точки A, B, C, D (фиг. 56) преобразуются въ точки ряда A', B', C', D', то (II, 36) (ABCD)=(A'B'C'D')=-1; отсюда AC\cdot BD=BC\cdot DA.

Такимъ образомъ получается слѣдующая теорема (II, 49).

Теорема. Произведенія противоположныхъ сторонъ гармоническаго четыреугольника равны.

Обратно, если произведенія противоположныхъ сторонъ вписаннаго чет~-ка равны, то чет~-къ гармоническій.

Произведеніе противоположныхъ сторонъ гармоническаго чет~-ка равно половинѣ произведенія его діагоналей (21).

28. Теорема. Если A и B суть точки касанія окружности съ двумя прямыми, а C и D суть точки пересѣченія ея съ прямой, проходящей чрезъ пересѣченіе (N) касательныхъ, то чет~-къ ABCD гармоническій.

Ибо изъ подобія тр~-въ NAC и NDA, NBC и NDB слѣдуетъ, что (фиг. 56) \frac{AC}{AD}=\frac{NA}{ND}\quad\mbox{и}\quad \frac{BC}{BD}=\frac{NB}{ND}; но NA=NB; слѣдовательно, \frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}, или AC\cdot BD=BC\cdot AD; значитъ, чет~-къ ABCD --- гармоническій. Обратно:

Прямая, соединяющая двѣ противоположныя вершины гармоническаго чет~-ка, проходитъ чрезъ пересѣченіе касательныхъ въ двухъ другихъ его вершинахъ къ описанной окружности. Иначе:

Каждая діагональ гармоническаго чет~-ка проходитъ чрезъ полюсъ другой его діагонали относительно описаннаго круга (III, 4).

29. Теорема. Гармоническій чет~-къ въ общемъ случаѣ преобразуется чрезъ инверсію въ другой гармоническій чет~-къ.

Положимъ, что гармоническій чет~-къ ABCD относительно начала инверсіи S, не находящагося на описанной около него окружности, обращается въ нѣкоторый вписанный чет~-къ A'B'C'D' (10).

Такъ какъ (27) AB\cdot CD=BC\cdot AD и (4) AB=\frac{A'B'}{SA'\cdot SB'}\,k^2,\quad BC=\frac{B'C'}{SB'\cdot SC'}\,k^2, CD=\frac{C'D'}{SC'\cdot SD'}\,k^2,\quad AD=\frac{A'D'}{SA'\cdot SD'}\,k^2,, гдѣ k^2 --- степень инверсіи, то A'B'\cdot C'D'=B'C'\cdot A'D'; слѣдовательно, чет~-къ A'B'C'D' гармоническій.

30. Теорема. Если окружности X и Y чрезъ инверсію обращаются въ окружности X' и Y', то квадраты общихъ касательныхъ (внѣшнихъ или внутреннихъ) окружностей X и Y, X' и Y' пропорціональны произведеніямъ ихъ діаметровъ.

Положимъ, что линія центровъ окружностей X и Y пересекаетъ ихъ въ точкахъ A и B, C и D (фиг. 57); такъ какъ эта прямая ортогональна съ X и Y, то при инверсіи она обратится въ окружность O, ортогональную съ X' и Y'; обозначимъ точки пересѣченія окружности O съ X' и Y' чрезъ A' и B', C' и D'.

Разсматривая окружности X' и Y' какъ фигуры, обратныя самимъ себѣ (16), линію центровъ ихъ abcd можемъ разсматривать какъ обратную съ окружностью O (17). Такимъ образомъ, какъ въ 1~-мъ случаѣ точки A и A', B и B',\dots суть взаимно обратныя, такъ и во 2~-мъ случаѣ точки a и A', b и B',\dots суть взаимно обратныя; поэтому (26) (ABCD)=(A'B'C'D')\quad\mbox{и}\quad(abcd)=(A'B'C'D'); слѣдовательно, (ABCD)=(abcd); представивъ эти равенства въ видѣ (26) (ADCB)=(adcb)\quad\mbox{и}\quad (ACDB)=(acdb), получимъ \frac{AC\cdot BD}{AB\cdot CD}=\frac{ac\cdot bd}{ab\cdot cd}\quad\mbox{и}\quad\frac{AD\cdot BC}{AB\cdot CD}=\frac{ad\cdot bc}{ab\cdot cd}.

Но, если разстояніе между центрами окружностей X и Y и радіусы ихъ равны d, r и r_1, то, обозначивъ чрезъ t и t_1 ихъ общую внѣшнюю и внутреннюю касательную (если онѣ есть), получимъ AC=d+r-r_1,\quad BD=d-r+r_1, AD=d+r+r_1,\quad BC=d-r-r_1; поэтому AC\cdot BD=d^2-(r-r_1)^2=t^2 и AD\cdot BC=d^2-(r+r_1)^2=t_1^2; слѣдовательно, \frac{AC\cdot BD}{AB\cdot CD}=\frac{t^2}{2r\cdot 2r_1}\quad\mbox{и}\quad \frac{AD\cdot BC}{AB\cdot CD}=\frac{t_1^2}{2r\cdot 2r_1}; отсюда, по аналогіи, \frac{ac\cdot bd}{ab\cdot cd}=\frac{t'^2}{2r'\cdot 2r_1'}\quad\mbox{и}\quad \frac{ad\cdot bc}{ab\cdot cd}=\frac{t_1'{}^2}{2r'\cdot 2r_1'}, гдѣ r', r_1', t', t_1' имѣютъ тѣ~-же значенія для окружностей X' и Y', какъ и r, r_1, t, t_1 для X и Y. Итакъ, \frac{t^2}{2r\cdot2r_1}=\frac{t'^2}{2r'\cdot2r_1'}\quad\mbox{и}\quad \frac{t_1^2}{2r\cdot 2r_1}=\frac{t_1'{}^2}{2r'\cdot2r_1'}; этими равенствами теорема доказана.

31. Теорема Паппа. Пусть A и B суть двѣ соприкасающіяся окружности, вписанныя въ окружность O такъ, что центры ихъ A, B и O находятся на одной прямой (фиг. 58). Если C_1, C_2, C_3,\dots,C_n,\dots суть окружности, соприкасающіяся между собой и касающіяся окружностей A, B, O, то перпендикуляръ изъ центра C_n на прямую AB равенъ n разъ взятому діаметру окружности C_n.

Обозначимъ чрезъ S пересѣченіе окружности O съ прямою AB. Если точку S принять за начало инверсіи, то окружности O и A обратятся въ параллельныя прямыя O' и A', а окружности B, C_1, C_2,\dots,C_n,\dots въ окружности B', C_1', C_2',\dots,C_n',\dots, соприкасающіяся между собою и касающіяся прямыхъ O' и A'. Представивъ себѣ окружность C_{n'}, равную окружности C_n и симметричную съ ней относительной прямой AB, и обозначивъ чрезъ C_{n'}' окружность, обратную съ C_{n'}, которая будетъ равна и симметрична съ C_n' относительно ABB', положимъ, что діаметръ окружностей C_n и C_{n'} равенъ d_n, а діаметръ окружностей B', C_1',\dots,C_{n'}',\dots равенъ d'. Такъ какъ общая внѣшняя касательная окружностей C_n и C_{n'} равна удвоенному перпендикуляру h изъ центра C_n на AB, а общая внѣшняя касательная окружностей C_n' и C_{n'}' равна 2d'n, то, по предыдущей теоремѣ, \frac{(2h)^2}{d_n^2}=\frac{(2d'n)^2}{d'^2}; отсюда h=n\cdot d_n, что и тр. док.

Такъ какъ точки касанія окружностей B', C_1', C_2',\dots,C_n',\dots лежатъ на одной прямой, то точки касанія обратныхъ окружностей B, C_1, C_2,\dots,C_n,\dots расположены на одной окружности.

32. Теорема Кази (Casey). Если четыре окружности (A), (B), (C), (D) касаются одной окружности (E) и если AB, BC,\dots суть общія касательныя прямыя къ окружностямъ (A) и (B), (B) и (C),\dots, то AB\cdot CD+BC\cdot AD+CA\cdot BD=0.

Принявъ какую-нибудь точку S окружности (E) за начало инверсіи, преобразуемъ эту окружность въ прямую (E'); окружности (A'), (B'), (C'), (D'), касательныя къ прямой (E') (7); обозначимъ діаметры этихъ окружностей чрезъ d_1', d_2', d_3', d_4', а точки касанія ихъ съ прямою (E') чрезъ A', B', C', D'. Такъ какъ по теоремѣ Эйлера (II, 2) A'B'\cdot C'D'+B'C'\cdot A'D'+C'A'\cdot B'D'=0, то, раздѣливъ это равенство на \sqrt{d_1'd_2'd_3'd_4'}, получимъ: \frac{A'B'}{\sqrt{d_1'd_2'}}\cdot\frac{C'D'}{\sqrt{d_3'd_4'}}+ \frac{B'C'}{\sqrt{d_2'd_3'}}\cdot\frac{A'D'}{\sqrt{d_1'd_4'}}+ \frac{C'A'}{\sqrt{d_3'd_1'}}\cdot\frac{B'D'}{\sqrt{d_2'd_4'}}=0.

Но A'B', C'D', B'C',\dots суть общія касательныя окружностей (A') и (B'), (C') и (D'), (B') и (C'),\dots; поэтому обозначивъ діаметры окружностей (A), (B), (C), (D) чрезъ d_1, d_2, d_3, d_4, получимъ (30): \frac{\overline{A'B'}{}^2}{d_1'd_2'}=\frac{\overline{AB}{}^2}{d_1d_2},\quad \frac{\overline{C'D'}{}^2}{d_3'd_4'}=\frac{\overline{CD}{}^2}{d_3d_4},\quad \dots, или \frac{A'B'}{\sqrt{d_1'd_2'}}=\frac{AB}{\sqrt{d_1d_2}},\quad \frac{C'D'}{\sqrt{d_3'd_4'}}=\frac{CD}{\sqrt{d_3d_4}},\quad \dots; слѣдовательно, \frac{AB}{\sqrt{d_1d_2}}\cdot\frac{CD}{\sqrt{d_3d_4}}+ \frac{BC}{\sqrt{d_2d_3}}\cdot\frac{AD}{\sqrt{d_1d_4}}+ \frac{CA}{\sqrt{d_3d_1}}\cdot\frac{BD}{\sqrt{d_2d_4}}=0; отсюда AB\cdot CD+BC\cdot AD+CA\cdot BD=0.

33. Слѣдствія. Если точки касанія окружностей (A), (B), (C), (D) съ окружностью (E) суть гармоническія точки этой послѣдней окружности, то точки касанія окружностей (A'), (B'), (C'), (D') съ прямой (E') суть точки, гармонически сопряженныя (27), такъ что (A'B'C'D')=-1, или A'C'\cdot B'D'=B'C'\cdot D'A'; отсюда, подобно предыдущему, получимъ соотношеніе AC\cdot BD=BC\cdot DA между общими касательными окружностей (A), (B), (C), (D).

Если въ общемъ случаѣ окружность (D) обращается въ точку D на окружности (E), то, обозначивъ чрезъ t_1, t_2, t_3 касательныя изъ этой точки къ окружностямъ (A), (B), (C), т. е. положивъ DA=t_1,\quad DB=t_2,\quad DC=t_3, получимъ AB\cdot t_3+BC\cdot t_1+CA\cdot t_2=0.

Если окружность (C) также обращается въ точку C окружности (E), то, обозначивъ касательныя CA и CB чрезъ t_1' и t_2', а хорду CD=t_3 чрезъ m, получимъ: AB\cdot m+t_1t_2'+t_2t_1'=0, гдѣ AB --- общая касательная окружностей (A) и (B).

Если три окружности (A), (B) и (C) суть точки на окружности (E), а окружность (D) касается этой окружности, то, обозначивъ касательныя изъ A, B, C къ (D) чрезъ T_1, T_2, T_3, а хорды BC, CA, AB чрезъ m_1, m_2, m_3, получимъ m_1T_1+m_2T_2+m_3T_3=0.

Въ этомъ равенствѣ, какъ и въ предыдущихъ, лѣвая часть представляетъ сумму алгебраическую.

Если всѣ четыре окружности (A), (B), (C), (D) суть точки на окружности (E), то касательныя AB, BC,\dots суть хорды между этими точками, и равенство AB\cdot CD+BC\cdot AD+CA\cdot BD=0, или AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD выражаетъ теорему Птоломея (21).

34. Теорема Фейербаха (Feuerbach). Вписанная и внѣвписанныя окружности треугольника касаются одной окружности.

Обращаясь къ фиг. 5₁, замѣтимъ, что внутреннія касательныя вписанной и внѣвписанныхъ окружностей суть: \table{ \mbox{для}&I&\mbox{и}&I_1&.~.~.~.&\alpha\alpha_1&=&b-c&.~.~.~.&(AB),\\ \mbox{„}&I&\mbox{и}&I_2&.~.~.~.&\beta\beta_1&=&c-a&.~.~.~.&(AC),\\ \mbox{„}&I&\mbox{и}&I_3&.~.~.~.&\gamma\gamma_1&=&a-b&.~.~.~.&(AD);} внѣшнія~-же касательныя внѣвписанныхъ окружностей суть: \table{ \mbox{для}&I_2&\mbox{и}&I_3&.~.~.~.&\alpha_2\alpha_3&=&b+c&.~.~.~.&(CD),\\ \mbox{„}&I_3&\mbox{и}&I_1&.~.~.~.&\beta_3\beta_1&=&c+a&.~.~.~.&(DB),\\ \mbox{„}&I_1&\mbox{и}&I_2&.~.~.~.&\gamma_1\gamma_2&=&a+b&.~.~.~.&(BC),} поэтому равенство Кази AB\cdot CD+BC\cdot AD+CA\cdot BD=0 обращается въ тождество (b^2-c^2)+(a^2-b^2)+(c^2-a^2)=0; поэтому окружности I, I_1, I_2, I_3 касаются одной окружности E.

Ранѣе было показано, что окружность E въ этомъ случаѣ есть окружность Эйлера разсматриваемаго тр~-ка (I, 28).

35. Теорема Гарта (Hart). Четыре окружности, касающіяся трехъ данныхъ окружностей, подобно тому, какъ вписанная и внѣвписанныя окружности тр~-ка касаются его сторонъ, касаются нѣкоторой пятой окружности.

Ибо при инверсіи стороны тр~-ка a, b, c, вписанная и внѣвписанныя въ него окружности I, I_1, I_2, I_3 и окружность Эйлера E обращаются соотвѣтственно въ окружности a', b', c', I', I_1', I_2', I_3' и E', соприкасающіяся между собой подобно первымъ (14).

36. Теорема. Если \alpha, \beta, \gamma суть точки касанія сторонъ тр~-ка ABC и вписанной въ него окружности Y, то окружность Эйлера Z тр~-ка \alpha\beta\gamma служитъ обратной для окружности X, описанной около тр~-ка ABC, относительно вписанной въ него окружности Y (фиг. 59).

Обозначимъ чрезъ O и I, R и r центры и радіусы окружностей X и Y. Прямая IA пересѣкается съ \beta\gamma въ точкѣ A', обратной съ A относительно окружности Y; ибо (1) IA'\cdot IA=r^2; но A' есть средина \beta\gamma; слѣдовательно, средины сторонъ тр~-ка \alpha\beta\gamma суть точки, обратныя съ вершинами тр~-ка ABC относительно окружности Y; поэтому окружность Эйлера Z тр~-ка \alpha\beta\gamma (I, 25) есть обратная для окружности X относительно окружности Y.

37. Слѣдствіе. Такъ какъ центры взаимно обратныхъ окружностей находятся на прямой, проходящей чрезъ начало инверсіи (10), то центръ окружности Z находится на прямой OI; поэтому, если OI при продолженіи пересѣкается съ X въ D и E, а съ Z --- въ D' и E', то точки D' и E' суть обратныя съ D и E и прямая D'E' какъ діаметръ окружности Z, равна r (I, 25), Такимъ образомъ, ID'+IE'=D'E'=r, ID'\cdot ID=ID'\cdot(R+d)=r^2, IE'\cdot IE=IE'\cdot(R-d)=r^2, гдѣ d=OI; отсюда ID'=\frac{r^2}{R+d},\quad IE'=\frac{r^2}{R-d} и \frac{r^2}{R+d}+\frac{r^2}{R-d}=r, или \frac1{R+d}+\frac1{R-d}=\frac1r.

Такова зависимость между радіусами окружностей, описанной около тр~-ка и вписанной въ него.

38. Медіаны четыреугольника. Прямыя, соединяющія средины противоположныхъ сторонъ чет~-ка, называются медіанами этого чет~-ка (Neuberg).

Медіаны чет~-ка суть діагонали параллелограмма, имѣющаго вершинами средины сторонъ того~-же чет~-ка.

Точка пересѣченія медіанъ чет~-ка называется средней точкой (point moyen, Neuberg).

Если на сторонахъ какого-либо чет~-ка ABCD построить подобные равнобедренные тр~-ки AEB, BFC, CGD и DHA, то чет~-ки ABCD и EFGH будутъ имѣть общую среднюю точку. Поэтому прямыя, соединяющія средины противоположныхъ сторонъ чет~-ка ABCD съ срединами противоположныхъ сторонъ чет~-ка EFGH попарно равны и параллельны.

39. Ортодіагональные четыреугольники. Чет~-къ, діагонали котораго взаимно перпендикулярны, называется ортодіагональнымъ (or­tho­di­a­go­nal, Neuberg). Напр., квадратъ и ромбъ суть чет~-ки ортодіагональные.

Медіаны ортодіагональнаго чет~-ка суть діагонали прямоугольника, вершины котораго совпадаютъ съ срединами сторонъ чет~-ка. Поэтому медіаны ортодіагональнаго чет~-ка равны.

Средины сторонъ ортодіагональнаго чет~-ка находятся на окружности, центръ которой совпадаетъ съ средней точкой чет~-ка, а радіусъ равенъ половинѣ каждой изъ его медіанъ.

40. Теорема. Сумма квадратовъ двухъ противоположныхъ сторонъ ортодіагональнаго чет~-ка равна суммѣ квадратовъ двухъ другихъ сторонъ его.

Обозначимъ чрезъ M точку пересѣченія діагоналей ортодіагональнаго чет~-ка ABCD (фиг. 60).

Такъ какъ \overline{AB}{}^2=\overline{AM}{}^2+\overline{BM}{}^2\quad\mbox{и} \quad\overline{CD}{}^2=\overline{CM}{}^2+\overline{DM}{}^2, то \overline{AB}{}^2+\overline{CD}{}^2=(\overline{BM}{}^2+ \overline{CM}{}^2)+(\overline{AM}{}^2+\overline{DM}{}^2)= \overline{BC}{}^2+\overline{AD}{}^2.

Обратно, если сумма квадратовъ двухъ противоположныхъ сторонъ чет~-ка ABCD равна суммѣ квадратовъ двухъ другихъ его сторонъ, то чет~-къ ортодіагональный.

Ибо, если перпендикуляры изъ B и D на AC не совпадаютъ и пересѣкаются съ этой прямой въ M' и M'' (фиг. 60), то \overline{AB}{}^2=\overline{AM'}{}^2+\overline{BM'}{}^2\quad \mbox{и}\quad\overline{BC}{}^2=\overline{BM'}{}^2+\overline{CM'}{}^2; отсюда \overline{AB}{}^2-\overline{BC}{}^2=\overline{AM'}{}^2- \overline{CM'}{}^2 и, по аналогіи, \overline{AD}{}^2- \overline{CD}{}^2=\overline{AM''}{}^2-\overline{CM''}{}^2; поэтому, если \overline{AB}{}^2+\overline{CD}{}^2=\overline{BC}{}^2+ \overline{AD}{}^2, или \overline{AB}{}^2-\overline{BC}{}^2= \overline{AD}{}^2-\overline{CD}{}^2, то \overline{AM'}{}^2- \overline{CM'}{}^2=\overline{AM''}{}^2-\overline{CM''}{}^2, что возможно только при совпаденіи точекъ M' и M'', т. е. когда діагональ BD перпендикулярна къ AC.

41. Слѣдствіе. Изъ доказанной теоремы слѣдуетъ, что равенство суммъ квадратовъ противоположныхъ сторонъ чет~-ка есть условіе необходимое и достаточное, чтобы чет~-къ былъ ортодіагональнымъ.

Поэтому, если при измѣненіи угловъ ортодіагональнаго чет~-ка стороны его сохраняютъ свою величину, то чет~-къ остается ортодіагональнымъ.

Такъ какъ \overline{AB}{}^2=\overline{AM}{}^2+\overline{BM}{}^2 и \overline{CD}{}^2=\overline{CM}{}^2+\overline{DM}{}^2, то \overline{AM}{}^2+\overline{BM}{}^2+\overline{CM}{}^2+ \overline{DM}{}^2=\overline{AB}{}^2+\overline{CD}{}^2, т. е. сумма квадратовъ отрѣзковъ діагоналей ортодіагональнаго чет~-ка равна суммѣ двухъ противоположныхъ сторонъ его.

42. Теорема Пито (Pitot). Сумма двухъ противоположныхъ сторонъ описаннаго чет~-ка равна суммѣ двухъ другихъ сторонъ его.

Обозначимъ чрезъ \alpha, \beta, \gamma, \delta точки касанія сторонъ чет~-ка ABCD и вписаннаго въ него круга (фиг. 61).

Такъ какъ A\alpha=A\delta,~B\alpha=B\beta,~C\beta=C\gamma~~ \mbox{и}~~D\delta=D\gamma, то A\alpha+B\alpha+C\gamma+D\gamma= B\beta+C\beta+A\delta+D\delta, или AB+CD=BC+AD.

Обратно, если сумма двухъ противоположныхъ сторонъ чет~-ка равна суммѣ двухъ другихъ сторонъ его, то въ этотъ чет~-къ вписывается кругъ.

Ибо, если кругъ, касающійся сторонъ AB, BC и CD чет~-ка ABCD, не касается стороны его AD, то проведя чрезъ A касательную къ кругу до пересѣченія съ CD въ точкѣ D', по предыдущему получимъ: AB+CD'=BC+AD'; но, по предположенію, AB+CD=BC+AD; слѣдовательно, CD'-CD=AD'-AD, или DD'=AD'-AD, что невозможно, такъ какъ разность двухъ сторонъ тр~-ка (ADD') всегда меньше третьей стороны его; значит, точки D и D' совпадаютъ.

43. Теорема Штейнера (Steiner). Если всѣ стороны чет~-ка при продолженіи касаются одной окружности, то разность двухъ противоположныхъ сторонъ чет~-ка равна разности двухъ другихъ сторонъ его.

Обозначимъ точки касанія окружности съ продолженіями сторонъ чет~-ка ABCD чрезъ \alpha, \beta, \gamma, \delta (фиг. 62). Такъ какъ AB=D\alpha-B\alpha,\quad CD=D\gamma-C\gamma, BC=D\beta-C\beta,\quad AD=A\delta-D\delta, то AB-CD=A\alpha-B\alpha-D\gamma+C\gamma и AD-BC=A\delta-B\beta-D\delta+C\beta; но A\alpha=A\delta,~B\alpha=B\beta,~D\gamma=D\delta~~\mbox{и}~~ C\gamma=C\beta; слѣдовательно, AB-CD=AD-BC.

44. Четыреугольникъ, всѣ стороны котораго при продолженіи ихъ касаются одного круга, называется внѣописаннымъ (ex~-circon­scrit) по отношенію къ этому кругу.

Кругъ, касающійся четырехъ продолженныхъ сторонъ чет~-ка, называется внѣвписаннымъ (ex~-in­scrit) въ этотъ чет~-къ.

Изъ теоремы Штейнера слѣдуетъ, что AB+BC=AD+DC, т. е. что сумма двухъ смежныхъ сторонъ внѣописаннаго чет~-ка равна суммѣ двухъ другихъ его сторонъ; но это справедливо не для каждой пары смежныхъ сторонъ чет~-ка (фиг. 62).

Обратно, если сумма двухъ смежныхъ сторонъ чет~-ка равна суммѣ двухъ другихъ сторонъ его, то въ чет~-къ внѣвписывается кругъ.

Теорема Штейнера вѣрна не только для выпуклаго чет~-ка, но и для чет~-ка, имѣющаго входящій уголъ.

45. Обозначимъ противоположныя стороны ортодіагональнаго чет~-ка чрезъ a и c, b и d, такъ что (40) a^2+c^2=b^2+d^2.

Если въ этотъ чет~-къ вписывается кругъ, то (42) a+c=b+d.

Изъ этихъ двухъ равенствъ слѣдуетъ, что ac=bd; такимъ образомъ, произведеніе двухъ противоположныхъ сторон ортодіагональнаго описаннаго чет~-ка равно произведенію двухъ другихъ его сторонъ.

Обратно, если для чет~-ка имѣетъ мѣсто равенство ac=bd, то ортодіагональный чет~-къ будетъ описаннымъ, а описанный --- ортодіагональнымъ.

Изъ равенствъ a+c=b+d\quad\mbox{и}\quad ac=bd въ свою очередь слѣдуетъ, что \table{ \mbox{или}~~&a=b&~\mbox{и}~&c=d,\\ \mbox{или}~~&a=d&~\mbox{и}~&b=c;} значитъ, ортодіагональный описанный чет~-къ одною изъ діагоналей его дѣлится на два равныхъ тр~-ка, или одна изъ діагоналей ортодіагональнаго описаннаго чет~-ка проходитъ чрезъ центръ вписаннаго круга.

46. Теорема. Перпендикуляры изъ срединъ вписаннаго ортодіагональнаго чет~-ка на противоположныя стороны его проходятъ чрезъ точку пересѣченія діагоналей.

Обозначимъ чрезъ M точку пересѣченія діагоналей вписаннаго ортодіагональнаго чет~-ка ABCD, чрезъ A_1, B_1, C_1, D_1 --- средины его сторонъ и чрезъ E, F, G, H --- основанія перпендикуляровъ изъ M на AB, BC, CD и DA (фиг. 63). Соединивъ M съ C_1 и замѣтивъ, что MC_1=C_1C, получимъ: \angle C_1MC=\angle C_1CM=\angle MBA=\angle EMA; слѣдовательно, прямая ME проходитъ чрезъ C_1, что и тр. док.

47. Слѣдствія. Обозначимъ чрезъ N среднюю точку чет~-ка, т. е. точку пересѣченія его медіанъ A_1C_1 и B_1D_1 и чрезъ O --- центръ круга.

Такъ какъ OA_1\parallel MC_1 и OC_1\parallel MA_1, то чет~-къ OA_1MC_1 --- параллелограммъ; поэтому средина N медіаны A_1C_1 совпадаетъ съ срединой MO. Такимъ образомъ:

Средняя точка вписаннаго ортодіагональнаго чет~-ка находится на срединѣ разстоянія между точкой пересѣченія его діагоналей и центромъ описаннаго круга.

Разстояніе центра круга отъ какой-либо стороны вписаннаго ортодіагональнаго чет~-ка (OA_1) равно разстоянію точки пересѣченія діагоналей чет~-ка отъ противоположной стороны его.

Окружность, проходящая чрезъ точки A_1, B_1, C_1, D_1, проходитъ и чрезъ точки E, F, G, H; центръ этой окружности совпадаетъ съ средней точкой (N) чет~-ка.

48. Теорема. Если E, F, G, H суть проэкціи точки пересѣченія діагоналей вписаннаго ортодіагональнаго чет~-ка на его стороны, то чет~-къ EFGH одновременно вписанный и описанный.

Что чет~-къ EFGH вписывается въ кругъ, уже доказано, такъ какъ окружности, проходящая чрезъ точки A_1, B_1, C_1, D_1, проходитъ и чрезъ точки E, F, G, H (фиг. 63).

Чтобы доказать, что въ тотъ~-же чет~-къ можно вписать кругъ, замѣтимъ, что чет~-ки AEMH и BEMF могутъ быть вписанными и поэтому \angle HEM=\angle HAM\quad\mbox{и}\quad\angle FEM=\angle FBM; но \angle HAM~(=\angle DAC)=\angle FBM~(=\angle CBD); слѣдовательно, \angle HEM=\angle FEM, т. е. прямая ME дѣлитъ уголъ \angle E чет~-ка EFGH пополамъ. Аналогичное заключеніе справедливо и для прямыхъ MF, MG, MH; поэтому точка M есть центръ круга, вписаннаго въ чет~-къ EFGH.

49. Теорема. Чет~-къ PQRS, стороны котораго суть касательныя къ кругу въ вершинахъ вписаннаго въ него ортодіагональнаго чет~-ка ABCD, вписывается въ окружность (фиг. 63).

Обозначимъ чрезъ r радіусъ окружности ABCD. Такъ какъ точка P есть полюсъ хорды AB (III, 4), то (III, 1) OA_1\cdot OP=r^2; слѣдовательно, точка P, а также и точки Q, R, S суть обратныя съ точками A_1, B_1, C_1, D_1 относительно круга инверсиі ABCD (2); но точки A_1, B_1, C_1, D_1 находятся на окружности, не проходящей чрезъ начало инверсіи O; поэтому и точки P, Q, R, S расположены на окружности (10), т. е. чет~-къ PQRS вписывается въ кругъ, центръ O' котораго находится на прямой ON.

50. Слѣдствіе. Обозначимъ окружности ABCD, PQRS и A_1B_1C_1D_1 соотвѣтственно чрезъ X, Y, Z и положимъ, что окружности Z и Y пересѣкаются съ прямой MNOO' въ точкахъ U_1, V_1 и U, V. Такъ какъ точки U и U_1, а также V и V_1 суть взаимно обратныя относительно круга X, то OU\cdot OU_1=r^2\quad\mbox{и}\quad OV\cdot OV_1=r^2.

Если разстояніе OO' между центрами круговъ X и Y равно d, а радіусъ круга Y равенъ R, то OU=R-d,\quad OV=R+d, а потому OU_1=\frac{r^2}{R-d},\quad OV_1=\frac{r^2}{R+d}.

Такъ какъ AA_1=MA_1 и \overline{OA_1}{}^2+\overline{AA_1}{}^2=r^2, то \overline{OA_1}{}^2+\overline{MA_1}{}^2=r^2; значитъ, окружность Z есть геометрическое мѣсто точекъ, сумма квадратовъ разстояній которыхъ отъ O и M равна r^2; поэтому \overline{OU_1}{}^2+\overline{MU_1}{}^2=r^2; но MU_1=OV_1; слѣдовательно, \overline{OU_1}{}^2+\overline{OV_1}{}^2=r^2.

Подставивъ сюда найденныя выше величины OU_1 и OV_1, получимъ: \frac{r^4}{(R-d)^2}+\frac{r^4}{(R+d)^2}=r^2, или \frac1{(R+d)^2}+\frac1{(R-d)^2}=\frac1{r^2}.

Этимъ равенствомъ выражается зависимость между радіусами круговъ X и Y, изъ которыхъ одинъ вписанъ въ чет~-къ, а другой описанъ около него.

51. Изодіагональные четыреугольники. Чет~-къ, діагонали котораго равны, называется изодіагональнымъ (isodiagonal, Neuberg).

Прямоугольникъ, квадратъ, равнобочная трапеція суть чет~-ки изодіагональные.

Средины сторонъ изодіагональнаго чет~-ка суть вершины ромба; поэтому медіаны изодіагональнаго чет~-ка взаимно перпендикулярны.

Если изодіагональный чет~-къ вписывается въ круг, то этотъ чет~-къ --- равнобочная трапеція.

52. Теорема. Медіаны изодіагональнаго чет~-ка параллельны биссектрисамъ угловъ, составленныхъ его діагоналями.

Обозначимъ чрезъ M точку пересѣченія діагоналей изодіагональнаго чет~-ка ABCD и проведемъ чрезъ M прямую EF, параллельную медіанѣ A_1C_1 (фиг. 64). Такъ какъ \angle B_1A_1C_1=\angle EMA=\angle CMF,\angle B_1C_1A_1=\angle DMF~~\mbox{и}~~\angle B_1A_1C_1=\angle B_1C_1A_1, то \angle CMF=\angle DMF; слѣдовательно, прямая EF, параллельная медіанѣ A_1C_1, дѣлитъ уголъ CMD пополамъ.

53. Псевдоквадратъ. Четыреугольникъ, діагонали котораго равны и взаимно перпендикулярны, называется псевдоквадратомъ (pseudo­carré, Neuberg).

Квадратъ есть частный случай псевдоквадрата.

Псевдоквадратъ имѣетъ свойства ортодіагональныхъ и изодіагональныхъ чет~-въ.

Средины сторонъ псевдоквадрата суть вершины квадрата.

Медіаны псевдоквадрата равны и взаимно перпендикулярны.

Псевдоквадратъ, вписывающійся въ окружность, есть равнобочная трапеція.

Описанный псевдоквадратъ есть квадратъ.

Упражненія.

1. Построить окружность, касающуюся трехъ данныхъ окружностей (Apollonius).

2. Построить окружность, образующую при пересѣченіи съ тремя данными окружностями данные углы (Tarry).

3. Въ данный кругъ вписать многоугольникъ, каждая сторона котораго проходитъ чрезъ одну изъ данныхъ точекъ (Castillon).

4. Въ данный тр~-къ вписать три окружности такъ, чтобы каждая изъ нихъ касалась двухъ сторонъ тр~-ка и двухъ другихъ окружностей (Malfatti).

5. Степень центра окружности, вписанной въ тр~-къ, относительно окружности, описанной около него, равна половинѣ произведенія діаметровъ этихъ окружностей (Duporcq).

6. Если AH_1, BH_2, CH_3 и H суть высоты и ортоцентръ тр~-ка ABC, то окружности, описанныя около точекъ A, B, C, H радіусами, равными AH\cdot AH_1, BH\cdot BH_2, CH\cdot CH_3 и HA\cdot HH_1, взаимно ортогональны (Casey).

7. Если какая-либо фигура послѣдовательно преобразуется чрезъ инверсію относительно каждой изъ четырехъ взаимно ортогональныхъ окружностей, то послѣ четвертаго преобразованія фигура совпадаетъ съ начальной (Casey).

8. Вершины подобныхъ равнобедренныхъ тр~-въ, построенныхъ на сторонахъ ортодіагональнаго чет~-ка, суть вершины изодіагональнаго чет~-ка (Neuberg).

9. Вершины подобныхъ равнобедренныхъ тр~-въ, построенныхъ на сторонахъ изодіагональнаго чет~-ка, суть вершины ортодіагональнаго чет~-ка, діагонали котораго параллельны медіанамъ перваго (Neuberg).

10. Центры квадратовъ, построенныхъ на сторонахъ чет~-ка, суть вершины псевдоквадрата (Van-Aubel).

ГЛАВА V.

ГЛАВА V.
Антипараллельныя, изогональныя и изотомическія прямыя треугольника.

1. Антипараллельныя прямыя. Положимъ, что двѣ прямыя L и L' пересѣкаются съ двумя другими прямыми M и M' въ точкахъ A и B, C и D (фиг. 65).

Если \angle MAB=\angle M'DC,~\mbox{или}~~\angle LAC=\angle L'DB, то прямыя L и L' (или AB и CD) называются антипараллельными (antiparallèles, Arnaud) относительно прямыхъ M и M' (или AC и BD).

Очевидно, что если прямыя L и L' антипараллельны относительно прямыхъ M и M', то прямыя M и M' антипараллельны относительно L и L'.

2. Если прямыя M и M' пересѣкаются въ точкѣ O (фиг. 65), то тр~-ки OAB и ODC, вслѣдствіе равенства \angle OAB=\angle ODC, подобны; поэтому \frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}, или OA\cdot OC=OB\cdot OD.

Такимъ образомъ, двѣ прямыя, антипараллельныя относительно сторонъ угла, отсѣкаютъ отъ нихъ отрѣзки обратно пропорціональные.

Обратно, прямыя, обладающія этимъ свойствомъ, антипараллельны.

3. Слѣдствія. Точки пересѣченія (A, B, C, D) двухъ антипараллельныхъ прямыхъ (L, L' и M, M') находятся на одной окружности.

Противоположныя стороны вписаннаго чет~-ка антипараллельны относительно двухъ другихъ сторонъ его.

Діагонали вписаннаго чет~-ка антипараллельны относительно каждыхъ двухъ противоположныхъ сторонъ его.

Хорды, соединяющія точку касанія прямой и окружности съ точками пересѣченія этой окружности съ другою прямою, антипараллельны относительно касательной и сѣкущей.

Антигомологичныя хорды двухъ окружностей антипараллельны относительно прямыхъ, соединяющихъ концы ихъ (III, 47).

4. Антипараллели треугольника. Прямая, антипараллельная одной изъ сторонъ тр~-ка относительно другихъ сторонъ его, называется антипараллелью тр~-ка.

Отрѣзокъ антипараллели тр~-ка между сторонами его (или ихъ продолженіями) принимается за величину антипараллели.

Прямыя, антипараллельныя съ одной стороной тр~-ка, параллельны между собой.

Если окружность, проходящая чрезъ вершины B и C тр~-ка ABC, пересѣкаетъ стороны его AB и BC въ D и F (фиг. 66), то прямая DF антипараллельна сторонѣ BC относительно AB и AC (2).

Если та~-же окружность проходитъ и чрезъ вершину A, то прямая DF обращается въ касательную въ точкѣ A къ кругу, описанному около тр~-ка. Слѣдовательно, касательная къ кругу, описанному около тр~-ка, проходящая чрезъ одну изъ вершинъ его, антипараллельна противоположной сторонѣ. Поэтому радіусъ круга, описаннаго около тр~-ка, проведенный въ одну изъ вершинъ его, перпендикуляренъ къ прямымъ, антипараллельнымъ противоположной сторонѣ.

Касательная къ окружности Эйлера даннаго тр~-ка въ срединѣ какой-либо стороны его антипараллельна этой сторонѣ относительно двухъ другихъ сторонъ его.

5. Тангенціальный треугольникъ. Тр~-къ, стороны котораго касаются круга, описаннаго около даннаго тр~-ка въ его вершинахъ, называется тангенціальнымъ тр~-мъ (triangle tangentiel) относительно даннаго тр~-ка.

Данный тр~-къ и тр~-къ тангенціальный суть тр~-ки взаимно полярные относительно круга, описаннаго около даннаго тр~-ка (III, 15).

Стороны тр~-ка, тангенціальнаго относительно другого тр~-ка, антипараллельны противоположнымъ сторонамъ послѣдняго.

6. Теорема. Шесть точекъ пересѣченія сторонъ тр~-ка съ равными антипараллелями его сторонъ находятся на одной окружности.

Обозначимъ чрезъ DE, FG, HI равныя антипараллели тр~-ка ABC (фиг. 67), такъ что DE=FG=HI и \angle ADE=\angle B=\angle CIH, \angle AED=\angle C=\angle BFG, \angle BGF=\angle A=\angle CHI.

Изъ этихъ равенствъ слѣдуетъ, что чет~-ки DEFG, FGHI и HIDE суть равнобочныя трапеціи, основанія которыхъ DG, FI, HE соотвѣтственно параллельны сторонамъ тр~-ка AB, BC, CA и антипараллельны прямымъ HI, DE, FG; поэтому (3) чет~-къ EFGH вписывается въ кругъ. Но окружность EFGH проходитъ чрезъ вершины E, F, G и F, G, H трапецій DEFG и FGHI; слѣдовательно, она проходитъ и чрезъ вершины D и I этихъ трапецій. Такимъ образомъ, точки D, E, F, G, G, H, I расположены на одной окружности.

7. Теорема. Прямая, проходящая чрезъ основанія перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ какой-нибудь точки высоты AH_1 тр~-ка на стороны его AB и AC, антипараллельна основанію его BC.

Изъ какой-нибудь точки M высоты AH_1 тр~-ка опустимъ перпендикуляры MD и ME на стороны его AC и AB (фиг. 67). Обозначивъ чрезъ H ортоцентръ тр~-ка и чрезъ BH_2 и CH_3 высоты его изъ вершинъ B и C, замѣтимъ, что окружность, имѣющая діаметромъ сторону BC, проходитъ чрезъ точки H_2 и H_3; слѣдовательно (4), прямая H_2H_3 антипараллельна BC. Но тр~-ки HH_2H_3 и MDE подобны; поэтому прямая DE параллельна H_2H_3 и антипараллельна BC.

Обратно, перпендикуляры, возставленные къ двумъ сторонамъ тр~-ка въ точкахъ пересѣченія ихъ съ антипараллелью третьей стороны, пересѣкаются на высотѣ тр~-ка, опущенной на эту сторону.

8. Слѣдствія. Доказательство послѣдней теоремы основано на замѣчаніи, что прямыя, соединяющія основанія высотъ тр~-ка, антипараллельны его сторонамъ, другими словами, что стороны тр~-ка антипараллельны сторонамъ ортоцентрическаго тр~-ка.

Описавъ около тр~-ка ABC окружность, проведя ея діаметръ AP и продолживъ высоту тр~-ка AH_1 до пересѣченія съ этой окружностью въ точкѣ Q (фиг. 67), замѣтимъ, что прямыя BC и PQ, перпендикулярныя къ AQ, параллельны и что дуги BQ и CP равны; поэтому прямоугольные тр~-ки AMD и AME подобны тр~-мъ APB и APC, а слѣдовательно, и чет~-ки ADME и ABPC подобны, такъ что \frac{DE}{AM}=\frac{BC}{AP}; отсюда DE=\frac{AM\cdot BC}{2R}, гдѣ R --- радіусъ круга ABC.

9. Теорема. Если высоты AH_1 и BH_2 тр~-ка ABC дѣлятся въ точкахъ M и N на части пропорціональныя, такъ что \frac{AM}{AH_1}=\frac{BN}{BH_2}, то прямыя, соединяющія основанія перпендикуляровъ изъ точекъ M и N на стороны AB и AC, BC и BA, суть равныя антипараллели тр~-ка.

Пусть MD и ME, NG и NF суть перпендикуляры изъ точекъ M и N на стороны тр~-ка AB и AC, BC и BA (фиг. 67). По предыдущему DE=\frac{AM\cdot BC}{2R},~~FG=\frac{BN\cdot AC}{2R}; но \frac{AM}{AH_1}=\frac{BN}{BH_2} и AH_1\cdot BC=BH_2\cdot AC; слѣдовательно, AM\cdot BC=BN\cdot AC, а потому DE=FG.

10. Слѣдствія. Пропорція \frac{AM}{AH_1}=\frac{BN}{BH_2} не нарушается при совпаденіи точекъ M и N съ H_1 и H_2. Точки D и E, F и G въ этомъ случаѣ суть проэкціи основаній (H_1 и H_2) высотъ тр~-ка на его стороны; величина антипараллелей, соединяющіхъ эти точки, опредѣляется формулой DE=\frac{AH_1\cdot BC}{2R}=\frac SR, гдѣ S --- площадь тр~-ка, а R --- радіусъ описаннаго круга. Итакъ, проэкціи основаній высотъ тр~-ка (или вершинъ ортоцентрическаго тр~-ка) на его стороны находятся на одной окружности; прямыя, соединяющія эти проэкціи, суть равныя антипараллели тр~-ка; величина каждой изъ нихъ равна площади тр~-ка, раздѣленной на радіусъ описаннаго круга.

11. Изогональныя прямыя (droites isogonales, Neuberg). Двѣ прямыя, проходящія чрезъ вершину угла и составляющія равные углы съ биссектрисой его, называются изогональными относительно этого угла или относительно сторонъ его.

Изогональныя прямыя иногда называются обратными прямыми (droites inverses, Mathieu).

Теорема Матье (Mathieu). Если P и Q суть какія-нибудь точки прямыхъ, изогональныхъ относительно угла BAC, то произведеніе разстояній этихъ точекъ отъ AB равно произведенію разстояній ихъ отъ AC.

Положимъ, что PP_1 и QQ_1, PP_2 и QQ_2 суть перпендикуляры изъ точекъ P и Q на стороны угла AB и AC (фиг. 68). Такъ какъ тр~-ки APP_1 и AQQ_1 подобны тр~-мъ AQQ_2 и APP_2, то \frac{PP_1}{QQ_2}=\frac{AP}{AQ}\quad\mbox{и}\quad \frac{PP_2}{QQ_1}=\frac{AP}{AQ}, отсюда \frac{PP_1}{QQ_2}=\frac{PP_2}{QQ_1}, или PP_1\cdot QQ_1=PP_2\cdot QQ_2.

Обратно, если разстоянія точекъ P и Q отъ сторонъ угла BAC удовлетворяютъ этому равенству, то прямыя AP и AQ изогональны относительно угла BAC.

12. Теорема. Проэкціи на стороны угла какихъ-либо двухъ точекъ изогональныхъ прямыхъ находятся на одной окружности.

Изъ подобія тр~-въ PAP_1 и QAQ_2, QAQ_1 и PAP_2 (фиг. 68) находимъ, что \frac{AP_1}{AQ_2}=\frac{AP}{AQ},\quad \frac{AP_2}{AQ_1}=\frac{AP}{AQ}; поэтому \frac{AP_1}{AQ_2}= \frac{AP_2}{AQ_1}, или AP_1\cdot AQ_1=AP_2\cdot AQ_2; слѣдовательно (2), прямыя P_1P_2 и Q_1Q_2 антипараллельны относительно AB и AC, а потому чет~-къ P_1Q_1Q_2P_2 вписывается въ кругъ.

Такъ какъ перпендикуляры, возставленные въ срединахъ отрезковъ P_1Q_1 и P_2Q_2 пересѣкаются въ срединѣ O прямой PQ, то центръ круга P_1Q_1P_2Q_2 находится въ O.

Чет~-къ AP_1PP_2 вписывается въ кругъ, имѣющій діаметромъ линію AP. Поэтому \angle PAP_1=\angle QAP_2=\angle PP_2P_1; но PP_2 перпендикулярна къ AP_2; слѣдовательно, AQ перпендикулярна къ P_1P_2.

Подобнымъ~-же образомъ убѣдимся, что AP перпендикулярна къ Q_1Q_2.

13. Теорема. Если точки P и Q, M и N суть противоположныя вершины параллелограмма, составленнаго перпендикулярами къ сторонамъ угла BAC въ точкахъ пересѣченія ихъ съ какою-либо окружностью, то AP и AQ, AM и AN суть двѣ пары изогональныхъ прямыхъ относительно угла BAC.

Положимъ, что стороны угла BAC пересѣкаются нѣкоторую окружностью въ точкахъ P_1, Q_1, P_2, Q_2 (фиг. 68). Перпендикуляры, возставленные въ этихъ точкахъ къ AB и AC, образуютъ параллелограммъ, противоположныя вершины котораго суть P и Q, M и N. Такъ какъ чет~-ки AQ_1QQ_2 и AP_1PP_2 вписываются въ круги, то \angle QQ_1Q_2=\angle QAQ_2\quad\mbox{и}\quad \angle PP_2P_1=\angle PAP_1; но P_1P_2 и Q_1Q_2 антипараллельны относительно AB и AC (3); поэтому \angle AQ_1Q_2=\angle AP_2P_1\quad\mbox{и}\quad \angle QQ_1Q_2= \angle PP_2P_1; слѣдовательно, \angle QAQ_2=\angle PAP_1, т. е. AP и AQ суть изогональныя прямыя относительно BAC.

То~-же справедливо и для прямыхъ AM и AN.

Если точки P_2 и Q_2 совпадаютъ, такъ что окружность касается стороны AC, то перпендикуляръ къ AC въ точкѣ касанія пересѣкаетъ перпендикуляры къ AB въ P_1 и Q_1 въ такихъ точкахъ P и Q, что прямыя AP и AQ изогональны относительно BAC.

Въ общемъ случаѣ діагонали параллелограмма PMQN пересѣкаются въ центрѣ круга P_1P_2Q_2Q_1 (12).

14. Изогонали треугольника. Прямыя, изогональныя относительно угловъ или сторонъ тр~-ка, называются изогональными прямыми тр~-ка, или, короче, изогоналями тр~-ка.

Каждая высота тр~-ка и діаметръ описаннаго круга, проведенный чрезъ ту~-же вершину, суть изогонали тр~-ка; ибо, напр., высота AH_1 тр~-ка ABC и діаметръ AP образуютъ равные углы съ сторонами тр~-ка AB и AC (фиг. 67). Поэтому:

Произведеніе разстояній ортоцентра и центра описаннаго круга отъ одной изъ сторонъ тр~-ка равно произведенію разстояній этихъ точекъ отъ каждой изъ другихъ сторонъ его (11).

15. Теорема Штейнера (Steiner). Если изогонали тр~-ка ABC, проведенныя чрезъ вершину его A, пересѣкаютъ сторону BC въ M и N, то \frac{BM\cdot BN}{CM\cdot CN}=\frac{\overline{AB}{}^2}{\overline {AC}{}^2}\quad\mbox{и}\quad\frac{BM\cdot CM}{BN\cdot CN}= \frac{\overline{AM}{}^2}{\overline{AN}{}^2}.

Такъ какъ (фиг. 69) \angle BAM=\angle CAN\quad\mbox{и} \quad\angle BAN=\angle CAM, то \frac{\mbox{площ.}\,BAM} {\mbox{площ.}\,CAN}=\frac{BM}{CN}=\frac{AB\cdot AM}{AC\cdot AN} и \frac{\mbox{площ.}\,BAN} {\mbox{площ.}\,CAM}=\frac{BN}{CM}=\frac{AB\cdot AN}{AC\cdot AM}, отсюда чрезъ умноженіе и делѣніе получаются равенства, которыя требуется доказать.

16. Теорема. Если прямыя AA', BB', CC', проведенныя чрезъ вершины тр~-ка ABC, пересѣкаютъ противоположныя стороны его въ точкахъ A', B', C', лежащихъ на одной прямой, то прямыя, изогональныя съ ними, пересекаютъ стороны тр~-ка въ точкахъ A'', B'', C'', также лежащихъ на одной прямой (фиг. 70).

Обозначимъ стороны тр~-ка BC, CA, AB чрезъ a, b, c. По предыдущей теоремѣ \frac{CA'\cdot CA''}{BA'\cdot BA''}=\frac{b^2}{c^2},~~ \frac{AB'\cdot AB''}{CB'\cdot CB''}=\frac{c^2}{a^2},~~ \frac{BC'\cdot BC''}{AC'\cdot AC''}=\frac{a^2}{b^2}.

Перемноживъ эти равенства, получимъ: \frac{CA'\cdot AB'\cdot BC'}{BA'\cdot CB'\cdot AC'}\cdot \frac{CA''\cdot AB''\cdot BC''}{BA''\cdot CB''\cdot AC''}=1.

Но по предположенію точки A', B', C' находятся на одной прямой, такъ что (I, 5) \frac{CA'\cdot AB'\cdot BC'}{BA'\cdot CB'\cdot AC'}=1; слѣдовательно, \frac{CA''\cdot AB''\cdot BC''}{BA''\cdot CB''\cdot AC''}=1, т. е. точки A'', B'', C'' расположены на одной прямой.

17. Теорема. Если три прямыя, проведенныя чрезъ вершины тр~-ка пересѣкаются въ одной точкѣ, то прямыя, изогональныя съ ними, также пересѣкаются въ одной точкѣ.

Соединимъ вершины тр~-ка ABC съ какою-нибудь точкой P и положимъ, что прямыя, изогональныя съ AP и BP, пересѣкаются въ точкѣ Q (фиг. 71). Если P_1, P_2, P_3 суть проэкціи точки P на стороны тр~-ка BC, CA, AB, а Q_1, Q_2, Q_3 --- проэкціи точки Q на тѣ~-же стороны, то (11) PP_2\cdot QQ_2=PP_3\cdot QQ_3\quad\mbox{и}\quad PP_1\cdot QQ_1=PP_3\cdot QQ_3; слѣдовательно, PP_1\cdot QQ_1=PP_2\cdot QQ_2, а потому прямыя CP и CQ изогональны.

18. Изогональныя точки треугольника (points isogonaux, Neu­berg). Двѣ точки называются изогональными или изогонально сопряженными (conjuguès isogonaux) точками тр~-ка, если прямыя, соединяющія ихъ съ каждой вершиной этого тр~-ка, суть прямыя изогональныя. Напр., на фиг. 71 точки P и Q суть изогональныя точки тр~-ка ABC.

Изогональныя точки тр~-ка иногда называютъ обратными (inverses, Mathieu).

Изъ свойствъ изогональныхъ прямыхъ слѣдуетъ, что:

Произведенія разстояній изогональныхъ точекъ тр~-ка отъ каждой изъ его сторонъ равны (11). Напр. (фиг. 71), PP_1\cdot QQ_1=PP_2\cdot QQ_2=PP_3\cdot QQ_3.

Проэкціи изогональныхъ точекъ тр~-ка на его стороны расположены на одной окружности, центръ которой находится въ срединѣ разстоянія между этими точками (12).

Напр., точки P_1, Q_1, P_2, Q_2, P_3, Q_3 расположены на одной окружности, центръ которой находится въ срединѣ O прямой PQ (фиг. 71), такъ что OP_1=OQ_1=OP_2=\dots.

Прямыя, соединяющія одну изъ изогональныхъ точекъ тр~-ка съ его вершинами, перпендикулярны къ прямымъ, соединяющимъ проэкціи другой точки на стороны тр~-ка (12).

Такъ (фиг. 71): AP\perp Q_2Q_3,\quad BP\perp Q_3Q_1,\quad CP\perp Q_1Q_2 и AQ\perp P_2P_3,\quad BQ\perp P_3P_1,\quad CQ\perp P_1P_2.

Прямыя, соединяющія проэкціи изогональныхъ точекъ на двѣ стороны тр~-ка, антипараллельны относительно этихъ сторонъ (12).

Напр., P_2P_3 и Q_2Q_3 антипараллельны относительно AB и AC (фиг. 71).

Точки, симметричныя съ одной изъ изогональныхъ точекъ относительно сторонъ тр~-ка, равно отстоятъ отъ другой изогональной точки.

Ибо, если точка P_1' симметрична съ P относительно BC (фиг. 71), то P_1'Q=2P_1O.

19. Такъ какъ высоты тр~-ка и діаметры описаннаго круга, проходящіе чрезъ вершины его, суть изогональныя прямыя (14), то ортоцентръ и центръ описаннаго круга суть изогональныя точки тр~-ка. Поэтому основанія высотъ и медіанъ тр~-ка находятся на одной окружности (окружность Эйлера, I, 24---25); центръ этой окружности дѣлитъ пополамъ разстояніе между ортоцентромъ и центромъ описаннаго круга, а радіусъ ея равенъ половинѣ радіуса описаннаго круга.

Изъ свойствъ изогональныхъ точекъ слѣдуетъ также, что радіусы круга, описаннаго около тр~-ка, проведенные чрезъ его вершины, перпендикулярны къ сторонамъ ортоцентрическаго тр~-ка (I, 43).

Точки, симметричныя съ ортоцентромъ тр~-ка относительно его сторонъ, находятся на окружности, описанной около тр~-ка.

Точки, симметричныя съ центромъ описаннаго круга относительно сторонъ тр~-ка, находятся на окружности, описанной изъ ортоцентра радіусомъ, равнымъ радіусу описаннаго круга.

20. Теорема. Если прямыя, проходящія чрезъ вершины тр~-ка, пересѣкаются на описанной окружности, то изогональныя съ ними прямыя параллельны.

Ибо, если прямыя AL, BM, CN изогональны съ прямыми AP, BP, CP, проходящими чрезъ вершины тр~-ка ABC и пересѣкающимися въ P на описанной окружности, то (фиг. 72) \angle BAP=\angle CAL\quad\mbox{и}\quad \angle BCP=\angle ACN; но \angle BAP=\angle BCP; поэтому \angle CAL=\angle ACN, т. е. прямыя AL и CN параллельны, а слѣдовательно (17) и BM\parallel AL.

Обратно, прямыя, изогональныя съ параллельными прямыми, проходящими чрезъ вершины тр~-ка, пересѣкаются на окружности, описанной около тр~-ка.

21. Слѣдствія. Если одна изъ изогональныхъ точекъ (P) тр~-ка находится на описанной окружности, то другая, сопряженная съ ней, точка (Q) безконечно удалена (18).

Такъ какъ въ этомъ случаѣ проэкціи P_1, P_2, P_3 точки P на стороны тр~-ка лежатъ на прямой Симсона (фиг. 72), то прямыя AL, BM, CN перпендикулярны къ этой прямой. Итакъ:

Если три прямыя, проходящіе чрезъ вершины тр~-ка, пересѣкаются на описанной окружности въ какой-нибудь точкѣ P, то изогональныя съ ними прямыя перпендикулярны къ прямой Симсона, соотвѣтствующей этой точкѣ.

22. Изъ опредѣленія изогонально сопряженныхъ точекъ тр~-ка P и Q слѣдуетъ, что эти точки или обѣ находятся внутри тр~-ка, или обѣ внѣ его.

Если одну изъ этихъ точекъ, напр. P, перемѣщать по прямой AP и для различныхъ положеній ея находить точку Q, то легко убѣдиться въ слѣдующемъ.

Если точка P находится въ углѣ, вертикальномъ съ угломъ A тр~-ка ABC, то Q лежитъ внутри описаннаго круга между стороной и дугой BC.

Если точка P находится въ вершинѣ тр~-ка A, то Q можетъ имѣть произвольное положеніе на сторонѣ его BC.

Если точка P находится внутри тр~-ка, то и Q находится внутри тр~-ка.

Если P есть какая-либо точка стороны тр~-ка BC, то Q совпадаетъ съ вершиной его A.

Если P находится внѣ тр~-ка между стороной и дугой BC, то Q находится въ углѣ, вертикальномъ съ угломъ A.

Если P есть какая-либо точка дуги BC, то точка Q безконечно удалена.

Если P находится въ углѣ A внѣ описаннаго круга, то и Q находится въ той~-же части плоскости.

23. Изогонально сопряженныя фигуры. Двѣ фигуры F (KLM\dots) и F' (K'L'M'\dots) называются изогонально сопряженными относительно тр~-ка ABC, если соотвѣтственныя точки ихъ (K и K', L и L',\dots) суть изогонально сопряженныя точки этого тр~-ка. [Изогонально сопряженныя фигуры прежде называли обратными фигурами (figures inverses, Mathieu).]

Преобразованіе какой-либо фигуры F въ другую фигуру F', изогонально сопряженную съ F относительно тр~-ка ABC, называется изогональной инверсіей (inversion isogonale, Mathieu); тр~-къ ABC называется при этомъ тр~-мъ инверсіи.

Очевидно, что при изогональной инверсіи прямыя, проходящія чрезъ вершины тр~-ка инверсіи, преобразуются въ изогональныя прямыя, а биссектрисы этого тр~-ка преобразуются въ самихъ себя. [Прямая вообще при изогональной инверсіи преобразуется въ гиперболу.]

24. Теорема. Окружность, проходящая чрезъ двѣ вершины тр~-ка инверсіи, преобразуется въ другую окружность, проходящую чрезъ тѣ~-же вершины тр~-ка.

Пусть P и Q суть изогонально сопряженныя точки тр~-ка ABC. Если эти точки находятся внутри тр~-ка, то положивъ (фиг. 71) \angle BAP=\angle CAQ=\alpha, \angle ABP=\angle CBQ=\beta, \angle ACP=\angle BCQ=\gamma, найдемъ, что \angle BPC=\angle BB'C+\gamma=\angle A+(\beta+\gamma) и \angle BQC=180^\circ-(\beta+\gamma).

Если точка P перемѣщается по дугѣ окружности BPC, то сумма угловъ \beta+\gamma не измѣняется, а потому уголъ BQC остается постояннымъ, и точка Q перемѣщается по дугѣ окружности BQC.

Подобнымъ~-же образомъ можно убѣдиться въ справедливости теоремы и въ тѣхъ случаяхъ, когда точки P и Q находятся внѣ тр~-ка.

Изогональныя точки центровъ круговъ, вписаннаго и внѣвписанныхъ въ тр~-къ, совпадаютъ съ этими центрами. Поэтому, окружность, проходящая чрезъ двѣ вершины тр~-ка инверсіи и чрезъ центръ вписанной или внѣвписанной въ него окружности, преобразуется сама въ себя. [Вообще окружность при изогональной инверсіи преобразуется въ кривую высшаго порядка.]

25. Симметрично обратныя точки (points inverses symétriques, Bernès). Если точки M и M' суть обратныя (IV, 1---2) относительно вершины A тр~-ка ABC и степень инверсіи равна произведенію AB\cdot AC=bc, то точка M_1, симметричная съ M' относительно биссектрисы угла A, называется симметрично обратною точки M относительно вершины A тр~-ка ABC. Точка M_1', симметричная съ M относительно той~-же биссектрисы, и точка M', обратная съ M, суть также симметрично обратныя точки.

Изъ опредѣленія слѣдуетъ, что симметрично обратныя точки относительно вершины тр~-ка A находятся на прямыхъ, изогональныхъ относительно угла A.

Такъ какъ AM\cdot AM'=bc, то AM\cdot AM_1=AM'\cdot AM_1'=bc, ибо AM'=AM_1\quad\mbox{и}\quad AM=AM_1' (фиг. 73).

26. Теорема. Если изъ двухъ изогональныхъ прямыхъ относительно угла A тр~-ка ABC одна пересѣкаетъ сторону BC въ D, а другая --- описанную окружность въ D_1, то D и D_1 суть симметрично обратныя точки относительно вершины A тр~-ка ABC (фиг. 73).

Ибо изъ подобія тр~-въ ABD и AD_1C слѣдуетъ, что \frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AD_1}; поэтому AD\cdot AD_1=AC\cdot AB=bc.

Слѣдствіе. Такъ какъ высота тр~-ка AH_1 и діаметръ AE описаннаго круга изогональны относительно угла A (14), то H_1 и E суть точки симметрично обратныя относительно вершины A тр~-ка ABC (фиг. 73).

27. Теорема. Если M_1 и N_1 суть точки симметрично обратныя съ точками M и N, находящимися на прямыхъ, изогональныхъ относительно угла A, то прямыя MN и M_1N_1 параллельны (фиг. 74).

Ибо изъ равенствъ AM\cdot AM_1=bc\quad\mbox{и}\quad AN\cdot AN_1=bc слѣдуетъ, что \frac{AM}{AN}=\frac{AN_1}{AM_1}; значитъ, тр~-ки MAN и N_1AM_1 подобны, и прямыя MN и M_1N_1 параллельны.

28. Слѣдствіе. Послѣднія двѣ теоремы даютъ слѣдующій простой способъ построенія точки M_1, симметрично обратной съ данной точкой M относительно вершины A тр~-ка ABC (фиг. 74). Обозначивъ чрезъ D_1 точку пересѣченія окружности ABC съ прямою AM, проведемъ чрезъ D_1 прямую, параллельную BC; пересѣченіе этой прямой съ окружностью ABC обозначимъ чрезъ E. Если прямая AE пересѣкается съ BC въ точкѣ D, то прямая, параллельная MD и проходящая чрезъ D_1, пересѣчется съ AE въ искомой точкѣ M_1.

Дѣйствительно, такъ какъ дуги BD_1 и CE равны, то прямыя AD_1 и AE изогональны относительно угла A; поэтому (26) AD\cdot AD_1=bc.

Изъ подобія~-же тр~-въ AMD и AD_1M_1 слѣдуетъ, что \frac{AM}{AD_1}=\frac{AD}{AM_1}; отсюда AM\cdot AM_1=AD\cdot AD_1=bc.

29. Изоциклическія точки (points isocycliques, Bernès). Точки пересѣченія прямой, проходящей чрезъ вершину A тр~-ка ABC, съ окружностью, проходящей чрезъ вершины его B и C, называются изоциклическими относительно BC.

Теорема. Если M и N суть изогональныя точки тр~-ка ABC, а точки M_1 и N_1 --- изоциклическія относительно стороны его BC, то N и N_1 суть точки симметрично обратныя относительно вершины A того~-же тр~-ка (фиг. 74).

Ибо изъ равенствъ угловъ \angle BAN_1=\angle CAN\quad\mbox{и}\quad \angle AN_1B=\angle BCM=\angle ACN слѣдуетъ, что тр~-ки ABN_1 и ANC подобны, а потому \frac{AN}{AC}=\frac{AB}{AN_1}, или AN\cdot AN_1=AB\cdot AC=bc.

Обратно, точки M_1, симметрично обратная съ M, изоциклична съ точкой N.

30. Слѣдствіе. Такъ какъ \angle ABN_1=\angle ANC, то (фиг. 74) \angle ABB'=\angle CNM_1=\angle CBM_1; слѣдовательно, N_1 и M_1 суть изогональныя точки тр~-ка ABC.

Такимъ образомъ, точки, симметрично обратныя съ изогональными точками тр~-ка, суть также изогональныя точки этого тр~-ка.

Точки (M_1 и N), симметрично обратныя съ изоциклическими точками (M и N_1), суть также изоциклическія точки.

31. Симметрично обратныя фигуры. Двѣ фигуры F (MN\dots) и F_1 (M_1N_1\dots) называются симметрично обратными, если соотвѣтственныя точки ихъ (M и M_1, N и N_1,\dots) суть точки симметрично обратныя относительно какой-нибудь вершины A даннаго тр~-ка ABC (25).

Преобразованіе данной фигуры F въ симметрично обратную ей фигуру F_1 называется симметричной инверсіей (inversion symétrique, Gob, Bernès); тр~-къ ABC въ этомъ случаѣ называется тр~-мъ симметричной инверсіи, а вершина его A и биссектриса угла A называются полюсомъ и осью симметричной инверсіи.

Произведеніе сторонъ тр~-ка инверсіи, образующихъ уголъ A, т. е. AB\cdot AC=bc, называется степенью симметричной инверсіи.

32. Изъ опредѣленія симметрично обратныхъ точекъ слѣдуетъ, что фигура F_1, симметрично обратная съ фигурой F, симметрична относительно оси инверсіи съ фигурой F', обратной съ F относительно полюса A. Поэтому:

Если M и M_1, N и N_1 суть двѣ пары симметрично обратныхъ точекъ, то тр~-ки MAN и N_1AM_1 подобны, такъ что \angle AMN=\angle AN_1M_1,\quad \angle ANM=\angle AM_1N_1 и (IV, 4) M_1N_1=MN\,\frac{bc}{AM\cdot AN}; если разстоянія отрѣзковъ MN и M_1N_1 отъ полюса A равны p и p_1, то (IV, 5) \frac{MN}p=\frac{M_1N_1}{p_1}.

Прямолинейный или криволинейный уголъ данной фигуры преобразуется въ равный ему уголъ симметрично обратной фигуры (IV, 7).

Соприкасающіяся линіи данной фигуры преобразуются въ соприкасающіяся линіи симметрично обратной фигуры.

33. Построеніе симметрично обратныхъ фигуръ основывается на слѣдующихъ свойствахъ симметричной инверсіи.

Прямая, проходящая чрезъ полюсъ A, преобразуется въ прямую, изогональную относительно угла A.

Стороны тр~-ка инверсіи AB и AC преобразуются одна въ другую.

Ось инверсіи, т. е. биссектриса угла A, преобразуется въ окружность, проходящую чрезъ A (IV, 8).

Окружность, проходящая чрезъ полюсъ A, преобразуется въ прямую, не проходящую чрезъ A (IV, 8).

Окружность, не проходящая чрезъ полюсъ A, преобразуется въ другую окружность, также не проходящую чрезъ A (IV, 10).

34. Вершины B и C тр~-ка инверсіи суть симметрично обратныя точки относительно полюса A; поэтому сторона BC тр~-ка инверсіи преобразуется въ окружность, описанную около него, и наоборотъ.

Точка D_1 симметрично обратная съ какою-нибудь точкой D стороны BC тр~-ка инверсіи получается въ пересѣченіи прямой, изогональной съ AD, съ описанной окружностью.

Если какая-нибудь точка E задана на сторонѣ AB тр~-ка инверсіи, то симметрично обратная ей точка E_1 находится въ пересѣченіи стороны AC съ прямою, проведенною чрезъ B параллельно CE.

Ибо изъ подобія тр~-въ AEC и ABE_1 слѣдуетъ, что AE\cdot AE_1=AC\cdot AB=bc.

Аналогичнымъ образомъ находится точка F_1, симметрично обратная съ точкою F на сторонѣ AC тр~-ка инверсіи (фиг. 75).

35. Прямыя BF и CE, проходящія чрезъ вершины B и C тр~-ка инверсіи, имѣютъ симметрично обратными фигурами окружности ACF_1 и ABE_1 (фиг. 75).

Если прямыя BF и CE пересѣкаются въ точкѣ M, а окружности ACF_1 и ABE_1 въ точкѣ M_1, то M и M_1 суть точки симметрично обратныя.

Прямая EF служитъ симметрично обратной фигурой для окружности E_1AF_1, и наоборотъ.

Если чет~-къ BEFC вписывается въ кругъ, то чет~-къ CE_1F_1B тоже вписывается въ кругъ. Въ этомъ случаѣ окружности BEFC и CE_1F_1B суть фигуры симметрично обратныя.

36. Такъ какъ ортоцентръ H тр~-ка и центръ O описаннаго круга суть точки изогональныя (19), то точка O_1, симметрично обратная съ O, находится на продолженіи высоты AH, но тр~-ки BAO и CAO_1 должны быть подобны (32), при чемъ AO=BO; слѣдовательно, AC=CO_1, т. е. точка O_1 симметрична съ вершиной тр~-ка A относительно стороны BC. Итакъ:

Центръ круга, описаннаго около тр~-ка ABC, и точка симметричная съ вершиной A относительно стороны BC суть точки симметрично обратныя.

Если высоту тр~-ка AH_1 обозначить чрезъ h_1, а радіусъ описаннаго круга чрезъ R, то равенство AO\cdot AO_1=bc приметъ видъ R\cdot 2h_1=bc; отсюда общеизвѣстная формула R=\frac{bc}{2h_1}.

37. Обозначимъ чрезъ L точку симметрично обратную съ ортоцентромъ H тр~-ка ABC относительно вершины A. Такъ какъ H и O изогональныя точки тр~-ка, то O и L суть изоциклическія точки относительно BC (29), а потому (30) O_1 и L суть точки изогональныя.

Если прямыя, проведенныя чрезъ вершины B и C тр~-ка параллельно его высотамъ CH_3 и BH_2, пересѣкаютъ AC и AB въ F и E, то прямая EF и окружность AH_2HH_3 суть симметрично обратныя фигуры (35); поэтому прямая AO пересѣкается съ EF въ точкѣ L. Такъ какъ EF и H_2H_3 параллельны, то (19) AO перпендикулярна къ BC, т. е. точка L есть проэкція вершины тр~-ка A на линію EF.

38. Если I, I_1, I_2, I_3 суть центры вписаннаго и внѣвписанныхъ круговъ тр~-ка ABC, то окружности, имѣющія діаметрами II_1 и I_2I_3, проходятъ чрезъ вершины B и C; но прямыя II_1 и I_2I_3 проходятъ чрезъ A; слѣдовательно, центры I и I_1, а также I_2 и I_3, суть изоциклическія точки относительно BC; а такъ какъ каждая изъ этихъ точекъ совпадаетъ со своей изогональной, то (29) I и I_1, I_2 и I_3 суть симметрично обратныя точки относительно вершины A тр~-ка ABC. Поэтому AI\cdot AI_1=AI_2\cdot AI_3=bc, и, по аналогіи, BI\cdot BI_2=BI_3\cdot BI_1=ca, CI\cdot CI_3=CI_1\cdot CI_2=ab.

Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что окружности ACI_1I_3 и AICI_2 суть фигуры симметрично обратныя биссектрисъ BII_2 и I_1BI_3, но биссектрисы эти взаимно перпендикулярны; слѣдовательно (32), окружности ACI_1I_3 и AICI_2 ортогональны. Такимъ образомъ:

Окружность, имѣющая діаметромъ разстояніе центра круга вписаннаго въ тр~-къ отъ центра одного изъ внѣвписанныхъ круговъ, ортогональна съ окружностью, имѣющею діаметромъ разстояніе между центрами двухъ другихъ внѣвписанныхъ круговъ.

39. Теорема Веррьера (Verrière). Если кругъ O_1 касается сторонъ тр~-ка AB и AC въ D и E и имѣетъ внутреннее касаніе въ точкѣ \alpha съ кругомъ описаннымъ O, то хорда касанія DE проходитъ чрезъ центръ I круга вписаннаго въ тр~-къ, а прямая A\alpha --- чрезъ точку, изогонально сопряженную съ точкой Нагеля (фиг. 76).

Обозначимъ чрезъ D_1, E_1, \alpha_1 точки, симметрично обратныя съ D, E, \alpha. Фигура, симметрично обратная съ окружностью DE\alpha будетъ окружность D_1E_1\alpha_1, касающаяся сторонъ тр~-ка (32) и имѣющая центръ въ I_1; слѣдовательно, \alpha_1 есть точка касанія стороны тр~-ка BC съ внѣвписанной окружностью I_1; поэтому прямая A\alpha_1 проходитъ чрезъ точку Нагеля (I, 18), а изогональная съ ней прямая A\alpha --- чрезъ точку, изогонально сопряженную съ точкой Нагеля.

Такъ какъ окружность AD_1E_1 есть фигура, симметрично обратная съ прямой DE, и проходитъ чрезъ точку I_1, симметрично обратную съ I, то DE проходитъ чрезъ I.

Подобнымъ~-же образомъ доказывается теорема:

Если кругъ касается сторонъ тр~-ка AB и AC въ D и E и имѣетъ внѣшнее касаніе въ \alpha съ описаннымъ кругомъ O, то хорда касанія DE проходитъ чрезъ центръ внѣвписаннаго круга I_1, а прямая A\alpha --- чрезъ точку, изогонально сопряженную съ точкою Жергона.

40. Теорема. Если X и X_1 суть симметрично обратныя окружности и точки M и N дѣлятъ гармонически діаметръ окружности X, то симметрически-обратныя съ ними точки M_1 и N_1 дѣлятъ гармонически діаметръ окружности X_1.

Дѣйствительно, такъ какъ всѣ окружности Y, Y', Y'',\dots, проходящія чрезъ M и N, ортогональны съ X (III, 66), то симметрично обратныя съ ними окружности Y_1, Y_1', Y_1'',\dots проходящія чрезъ M_1 и N_1, ортогональны съ X_1 (32); слѣдовательно, діаметръ этой окружности дѣлится гармонически въ M_1 и N_1.

Слѣдствіе. Если точки M и N дѣлятъ гармонически діаметръ окружности, описанной около тр~-ка инверсіи ABC, то симметрично обратныя съ ними точки M_1 и N_1 симметричны относительно стороны BC.

Ибо, если X обозначаетъ окружность ABC, то X_1 обращается въ прямую BC; такъ какъ всѣ окружности Y_1, Y_1', Y_1'',\dots, проходящія чрезъ M_1 и N_1, ортогональны съ BC, то BC проходитъ чрезъ центры этихъ окружностей; значитъ прямая M_1N_1 перпендикулярна къ BC и дѣлится ею пополамъ.

41. Обратно, если двѣ точки симметричны относительно стороны BC, то точки симметрично обратныя съ ними дѣлятъ гармонически діаметръ окружности ABC.

Если точки M и N симметричны относительно прямой L, проходящей чрезъ полюсъ инверсіи A, то симметрично обратныя съ ними точки M_1 и N_1 симметричны относительно прямой L_1, изогональной съ L относительно угла A.

Вообще, если точки M и N симметричны относительно какой-нибудь прямой X, то симметрично обратныя съ ними точки M_1 и N_1 дѣлятъ гармонически діаметръ окружности X_1, симметрично обратной съ X.

42. Теорема. Если діаметръ окружности, описанной около тр~-ка ABC, дѣлится въ точкахъ M и N гармонически, то перпендикуляры въ A къ AM и AN дѣлятъ этотъ діаметръ также гармонически.

Положимъ, что діаметръ DE окружности ABC дѣлится гармонически въ точкахъ M и N и пересѣкается съ перпендикулярами въ A къ AM и AN въ M' и N'. Обозначимъ чрезъ M_1 и N_1, M_1', N_1' точки, симметрично обратныя съ точками M, N, M', N' относительно вершины A. Такъ какъ центръ O круга O и точка A_1, симметричная съ A относительно BC, суть точки симметрично обратныя (36), то точки M_1, N_1, M_1', N_1' и A_1 лежатъ на одной окружности X, проходящей чрезъ A. По условію углы MAM' и NAN' прямые; поэтому (32) углы M_1AM_1' и N_1AN_1' также прямые, т. е. M_1M_1' и N_1N_1' суть діаметры окружности X и фигура M_1N_1M_1'N_1' --- прямоугольникъ. Но BC перпендикулярна къ M_1N_1 и дѣлитъ эту прямую пополамъ (40); слѣдовательно, и M_1'N_1' перпендикулярна къ BC и дѣлится ею пополамъ, а потому діаметръ DE круга ABC дѣлится гармонически въ точкахъ M' и N'.

43. Изотомическія точки треугольника (points isotomiques, Long­champs). Двѣ точки на сторонѣ тр~-ка, равноотстоящія отъ средины этой стороны, называются изотомическими точками.

Изотомическія точки какой-либо стороны тр~-ка равно отстоятъ отъ концовъ этой стороны. Напр., если A' и A'' суть изотомическія точки стороны BC тр~-ка ABC, то, обозначивъ чрезъ A_1 средину BC, по опредѣленію получимъ (фиг. 77) A_1A'=A_1A''; слѣдовательно, BA'=CA''\quad\mbox{или}\quad CA'=BA''.

Точка касанія каждой стороны тр~-ка, напр. BC, съ окружностями вписанной I и внѣвписанной I_1 суть точки изотомическія. Точки касанія той~-же стороны съ окружностями внѣвписанными I_2 и I_3 также изотомическія точки (I, 17).

44. Взаимныя сѣкущія треугольника (trans­ver­sales ré­ci­pro­ques, Long­champs). Двѣ сѣкущія (прямыя) тр~-ка, пересѣкающія стороны его въ точкахъ изотомическихъ, называются взаимными сѣкущими (или изотомическими сѣкущими).

Теорема. Если стороны тр~-ка ABC пересѣкаются съ какою-нибудь прямою въ точкахъ A', B', C', то точки A'', B'', C'', изотомическія съ A', B', C', находятся на одной прямой (фиг. 77).

Такъ какъ по теоремѣ Менелая (I, 5) \frac{A'B\cdot B'C\cdot C'A}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}=1, а по опредѣленію изотомическихъ точекъ A'B=A''C,\quad B'C=B''A,\quad C'A=C''B, A'C=A''B,\quad B'A=B''C,\quad C'B=C''A, то \frac{A''B\cdot B''C\cdot C''A}{A''C\cdot B''A\cdot C''B}=1, а потому точки A'', B'', C'' находятся на одной прямой.

Прямыя A'B'C' и A''B''C'' суть взаимныя сѣкущія тр~-ка ABC.

45. Изотомическія прямыя (droites isotomiques, Long­champs). Двѣ прямыя, соединяющія вершину тр~-ка съ изотомическими точками противоположной стороны, называются изотомическими прямыми тр~-ка.

Прямыя, соединяющія вершину A тр~-ка ABC съ точками касанія стороны BC и окружностей вписанной I и внѣвписанной I_1, суть изотомическія прямыя. Прямыя, соединяющія ту~-же вершину тр~-ка съ точками касанія стороны BC и внѣвписанныхъ окружностей I_2 и I_3 также изотомическія прямыя.

46. Теорема. Если три прямыя AA', BB', CC', проходящія чрезъ вершины тр~-ка ABC, пересѣкаются въ одной точкѣ, то изотомическія съ ними прямыя AA'', BB'', CC'' также пересѣкаются въ одной точкѣ (фиг. 78).

Ибо, если (I, 13) \frac{A'B\cdot B'C\cdot C'A}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}=-1 и A'B=A''C,\quad B'C=B''A,\quad C'A=C''B, A'C=A''B,\quad B'A=B''C,\quad C'B=C''A, то \frac{A''B\cdot B''C\cdot C''A}{A''C\cdot B''A\cdot C''B}=-1.

47. Теорема Шлемильха (Schlömilch). Прямыя, соединяющія средины сторонъ тр~-ка со срединами соотвѣтственныхъ высотъ его, пересѣкаются въ одной точкѣ.

Обозначимъ чрезъ A_1, B_1, C_1 средины сторонъ тр~-ка ABC, чрезъ AH_1, BH_2, CH_3 его высоты и чрезъ O --- центръ описаннаго круга. Если медіатриса A_1O и высота AH_1 пересѣкаются съ прямой B_1C_1 въ L и L' (фиг. 79), то L' есть средина AH_1 и C_1L=B_1L'; слѣдовательно, прямыя A_1L и A_1L' суть изотомическія прямыя тр~-ка A_1B_1C_1. Подобнымъ~-же образомъ, если M и N суть точки пересѣченія медіатрисъ B_1O и C_1O съ C_1A_1 и A_1B_1, а M' и N' суть средины высотъ BH_2 и CH_3, то B_1M и B_1M', C_1N и C_1N' суть изотомическія прямыя тр~-ка A_1B_1C_1; но прямыя A_1L, B_1M, C_1N пересѣкаются въ одной точкѣ O, слѣдовательно, и прямыя A_1L', B_1M', C_1N' пересѣкаются въ одной точкѣ, которая обозначена чрезъ K.

48. Изотомически сопряженныя или взаимныя точки треугольника (points réciproques, Long­champs). Если три прямыя, проходящія чрезъ вершины тр~-ка, пересѣкаются въ точкѣ X, а прямыя, изотомическія съ ними, въ точкѣ Y (фиг. 78), то X и Y называются изотомически сопряженными или взаимными точками тр~-ка.

Прямыя, соединяющія вершину тр~-ка съ изотомически сопряженными точками его, называютъ также изотомически сопряженными.

Точка Жергона и точка Нагеля суть изотомически сопряженныя точки тр~-ка. Добавочныя точки Жергона съ соотвѣтственными добавочными точками Нагеля образуютъ также три пары изотомически сопряженныхъ точекъ тр~-ка (I, 17---18).

По послѣдней теоремѣ (47), центръ круга O, описаннаго около тр~-ка, и точка пересѣченія K прямыхъ, соединяющихъ средины его сторонъ съ срединами соотвѣтственныхъ высотъ, суть изотомически сопряженныя точки дополнительнаго тр~-ка.

49. Теорема. Если сѣкущая DE тр~-ка ABC параллельна сторонѣ его BC, то прямая, соединяющая точки пересѣченія діагоналей трапеціи ADEC съ изотомическими прямыми тр~-ка AA' и AA'', тоже параллельна BC.

Положимъ, что діагонали трапеціи CD и BE пересѣкаются съ прямыми AA' и AA'' въ точкахъ F и G (фиг. 78). Чрезъ точку пересѣченія діагоналей O проведемъ прямую, параллельную BC; точки пересѣченія этой прямой и прямой FG съ AB и AC обозначимъ чрезъ P и Q, M и N, а точки пересѣченія прямыхъ AA' и AA'' съ DE и PQ чрезъ K и L, R и S. Такъ какъ тр~-ки OFR и DFK, OGS и EGL подобны, то \frac{OF}{FD}=\frac{OR}{DK}\quad\mbox{и}\quad\frac{OG}{GE}= \frac{OS}{EL}; но точка O, какъ извѣстно, находится на медіанѣ AO тр~-ка ABC, поэтому OR=OS\quad \mbox{и}\quad DK=EL; слѣдовательно, \frac{OF}{FG}=\frac{OG}{GE}, т. е. прямая FG параллельна DE и BC.

Обратно, если чрезъ точку F прямой AA' проведена прямая FG, параллельная BC, и прямыя CF и BG пересѣкаются съ AB и AC въ D и E, то DE параллельна BC.

Ибо изъ подобія тр~-въ PDO и MDF, QEO и NEG слѣдуетъ, что \frac{DO}{DF}=\frac{PO}{MF}\quad \mbox{и}\quad \frac{EO}{EG}=\frac{QO}{NG}; но PO=QO\quad \mbox{и}\quad MF=NG; слѣдовательно, \frac{DO}{DF}=\frac {EO}{EG}, т. е. прямая DE параллельна FG и BC.

50. Теорема Каспари (Caspary). Если X и Y суть изотомически сопряженныя точки тр~-ка ABC и прямыя, проведенныя чрезъ X параллельно сторонамъ BC, CA и AB, пересѣкаются съ прямыми AY, BY, CY въ точкахъ A_1, B_1, C_1, то тр~-ки ABC и A_1B_1C_1 гомологичны и имѣютъ три центра гомологіи.

Положимъ, что изотомически сопряженныя прямыя AX и AY, BX и BY, CX и CY пересѣкаютъ стороны тр~-ка ABC въ A' и A'', B' и B'', C' и C'' (фиг. 80).

Такъ какъ вершины тр~-ка A_1B_1C_1 находятся на прямыхъ AA'', BB'', CC'', пересѣкающихся въ одной точкѣ Y, то Y есть центръ гомологіи тр~-въ ABC и A_1B_1C_1 (II, 25).

Обозначимъ точки пересѣченія прямыхъ AB_1, BC_1, CA_1 съ BC, CA и AB чрезъ a, b, c. По предыдущей теоремѣ прямыя A'b, B'c, C'a соотвѣтственно параллельны AB, BC и CA; поэтому \frac{aB}{aC}=\frac{C'B}{C'A},~~\frac{bC}{bA}=\frac{A'C}{A'B},~~ \frac{cA}{cB}=\frac{B'A}{B'C}; но по теоремѣ Чевы (I, 13) \frac{A'B\cdot B'C\cdot C'A}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}=-1; слѣдовательно, \frac{aB\cdot bC\cdot cA}{aC\cdot bA\cdot cB}=-1, а потому прямыя AB_1, BC_1, CA_1 пересѣкаются въ одной точкѣ Z. Такимъ~-же способомъ убѣдимся, что прямыя AC_1, BA_1, CB_1 пересѣкаются въ одной точкѣ Z'.

Итакъ, тр~-ки ABC и A_1B_1C_1 имѣютъ три центра гомологіи Y, Z и Z'.

51. Треугольники Каспари (Caspary). Тр~-къ ABC, построеніе котораго указано въ послѣдней теоремѣ, называется первымъ тр~-мъ Каспари.

Если прямыя A_1G, B_1G, C_1G, соединяющія вершины перваго тр~-ка Каспари A_1B_1C_1 съ центромъ тяжести G главнаго тр~-ка ABC, пересѣкаются съ прямыми AX, BX, CX въ точкахъ A_2, B_2, C_2, то тр~-къ A_2B_2C_2 называется вторымъ тр~-мъ Каспари (фиг. 80).

Второй тр~-къ Каспари A_2B_2C_2 гомологиченъ съ главнымъ тр~-мъ ABC; центромъ гомологіи этихъ тр~-въ служитъ точка X, изотомически сопряженная съ центромъ гомологіи Y тр~-ка ABC и перваго тр~-ка Каспари A_1B_1C_1.

Первый и второй тр~-ки Каспари (A_1B_1C_1 и A_2B_2C_2) гомологичны; ихъ центръ гомологіи совпадаетъ съ центромъ тяжести (G) главнаго тр~-ка (ABC).

52. Антибиссектрисы треугольника (antibissectrices, D’Ocagne). Прямыя, изотомическія съ внутренними или внѣшними биссектрисами тр~-ка, называются внутренними или внѣшними антибиссектрисами этого тр~-ка.

Такъ какъ внутреннія биссектрисы тр~-ка проходятъ чрезъ центръ круга вписаннаго въ тр~-къ (I), то внутреннія антибиссектрисы тр~-ка пересѣкаются въ одной точкѣ (46).

Двѣ внѣшнія и одна внутренняя антибиссектрисы тр~-ка пересѣкаются также въ одной точкѣ, ибо изотомическія съ ними внѣшнія и внутренняя биссектрисы тр~-ка проходятъ чрезъ центръ одного изъ внѣвписанныхъ круговъ (I_1, I_2, I_3).

Точка пересѣченія трехъ антибиссектрисъ тр~-ка называется центромъ антибиссектрисъ. Тр~-къ имѣетъ четыре центра антибиссектрисъ: одинъ внутренній и три внѣшнихъ.

Центры антибиссектрисъ тр~-ка суть точки, изотомически сопряженныя съ центрами круговъ вписаннаго и внѣвписанныхъ въ тр~-къ (48).

53. Обозначимъ чрезъ A_1, B_1, C_1 средины сторонъ тр~-ка ABC и положимъ, что внутреннія биссектриса AA' и антибиссектриса AA'' его пересѣкаются съ B_1C_1 въ точкахъ A_1'' и A_1' (фиг. 81). Такъ какъ A'A_1=A''A_1=\frac12A'A''~~\mbox{и}~~AA_1''=A_1''A'=\frac12AA', то A_1''A_1'=A'A_1=A_1A''; слѣдовательно, AA' и A_1A_1' параллельны, т. е. A_1A_1' --- биссектриса тр~-ка A_1B_1C_1. Такимъ образомъ, антибиссектриса тр~-ка проходитъ чрезъ основаніе биссектрисы дополнительнаго тр~-ка.

Выводъ этотъ вѣренъ какъ для внутреннихъ, такъ и для внѣшнихъ антибиссектрисъ.

Легко убѣдиться, что прямая A_1A_1'' (фиг. 81) служитъ антибиссектрисой тр~-ка A_1B_1C_1. Поэтому биссектриса AA' тр~-ка ABC проходитъ чрезъ основаніе антибиссектрисы A_1A_1'' дополнительнаго тр~-ка A_1B_1C_1. Изъ этого слѣдуетъ, что антибиссектриса тр~-ка дѣлитъ сторону его на части, обратно пропорціональныя прилежащимъ сторонамъ.

54. Теорема. Если прямыя, параллельныя сторонамъ AB и AC тр~-ка ABC, пересѣкаются на антибиссектрисѣ его AA'', то отрѣзки ихъ KK' и LL', заключенные между сторонами дополнительнаго тр~-ка A_1B_1C_1, равны (фиг. 81).

Положимъ, что прямыя KK' и LL' пересѣкаются на антибиссектрисѣ тр~-ка AA'' въ точкѣ M. Проведя чрезъ основаніе A_1' биссектрисы A_1A_1' дополнительнаго тр~-ка прямыя A_1'D и A_1'E, параллельныя AB и AC, получимъ ромбъ A_1DA_1'E, такъ что A_1'D=A_1'E; изъ подобія тр~-въ KC_1K' и A_1'C_1D, LB_1L' и A_1'B_1E слѣдуетъ, что \frac{KK'}{A_1'D}=\frac{C_1K}{C_1A_1'}\quad\mbox{и}\quad \frac{LL'}{A_1'E}=\frac{B_1L}{B_1A_1'}, при чемъ \frac{C_1K}{C_1A_1'}=\frac{AM}{AA_1'}=\frac{B_1L}{B_1A_1'}, слѣдовательно, \frac{KK'}{A_1'D}=\frac{LL'}{A_1'E} и KK'=LL'.

Обратно, если отрѣзки прямыхъ, параллельныхъ сторонамъ AB и AC тр~-ка ABC, ограниченные сторонами дополнительнаго тр~-ка, равны, то пересѣченіе ихъ находится на антибиссектрисѣ AA'' тр~-ка ABC.

55. Слѣдствія. Обозначимъ чрезъ A_1B_1C_1 тр~-къ антидополнительный для тр~-ка ABC (фиг. 82). Тр~-къ ABC можно разсматривать какъ дополнительный для тр~-ка A_1B_1C_1 (I, 37); поэтому, если стороны нѣкотораго тр~-ка A'B'C' параллельны сторонамъ тр~-ка ABC и отрѣзки ихъ DE, FG, HK, ограниченные сторонами послѣдняго, равны, то центръ гомотетіи X тр~-въ A_1B_1C_1 и A'B'C' совпадаетъ съ центромъ антибиссектрисъ тр~-ка A_1B_1C_1.

Если черезъ центръ антибиссектрисъ X тр~-ка A_1B_1C_1, антидополнительнаго для тр~-ка ABC, провести прямыя параллельныя сторонамъ послѣдняго, то отрѣзки ихъ LL', MM', NN', ограниченные сторонами того~-же тр~-ка, будутъ равны (фиг. 82).

56. Точки Енжабека (Jerabek [по~-моравски]). Если прямыя, проведенныя отъ точки J параллельно сторонамъ тр~-ка (AB, BC, CA) до пересѣченія съ другими сторонами его (BC, CA, AB), равны, то точка J называется точкой Енжабека тр~-ка ABC (фиг. 83).

Для построенія точки Енжабека проводимъ чрезъ вершины тр~-ка ABC прямыя, параллельныя противоположнымъ сторонамъ его, и откладываемъ на нихъ равные отрѣзки AL, BM, CN. Проведя затѣмъ чрезъ точки L, M, N прямыя LL', MM', NN', параллельныя AC, AB и BC, получимъ тр~-къ A'B'C', гомотетичный съ ABC; центръ гомотетіи этихъ тр~-въ, т. е. общая точка прямыхъ AA', BB', CC', есть искомая точка J. Ибо, проведя прямыя JD, JE, JF параллельно AB, BC, CA, получимъ \frac{JD}{JE}=\frac{C'N''}{C'N'}=\frac{CN}{AL}=1 и \frac{JE}{JF}=\frac{A'L''}{A'L'}=\frac{AL}{BM}=1; слѣдовательно, JD=JE=JF, т. е. J есть точка Енжабека.

Очевидно, что для тр~-ка вообще можно построить двѣ точки Енжабека.

57. Точки и прямыя гармонически связанныя (harmoniquement associés, Lemoine). Если прямыя AM, BM, CM, соединяющія вершины тр~-ка ABC съ какою-нибудь точкой M, пересѣкаютъ стороны его (или ихъ продолженія) въ точкахъ M', M'', M''', то прямыя AB и M'M'', BC и M''M''', CA и M'''M' пересѣкаются въ точкахъ m_3, m_1, m_2 (фиг. 84), расположенныхъ на одной прямой m (II, 25).

Въ этомъ смыслѣ каждой точкѣ (M) въ плоскости тр~-ка соотвѣтствуетъ вполнѣ опредѣленная сѣкущая прямая (m) и каждой прямой (m) вполнѣ опредѣленная точка (M).

Прямая m, связанная такимъ образомъ съ точкою M, называется гармонически связанной или трилинейной полярой (polaire trilinéaire, Long­champs) точки M. Въ свою очередь, точка M называется гармонически связанной съ прямой m или трилинейнымъ полюсомъ (pôle trilinéaire) этой прямой.

Точка и прямая гармонически связанныя относительно тр~-ка ABC (или трилинейные полюсъ и поляра) суть центръ и ось гомологіи тр~-ка ABC и вписаннаго въ него тр~-ка M'M''M'''.

58. Теорема. Если прямыя AM, BM, CM, соединяющія вершины тр~-ка ABC съ какою-нибудь точкою M, пересѣкаютъ стороны его въ M', M'', M''', то трилинейная поляра m точки M пересѣкаетъ тѣ~-же стороны въ точкахъ m_1, m_2, m_3, гармонически сопряженныхъ съ M', M'', M''' относительно B и C, C и A, A и B.

Дѣйствительно, прямая m (фиг. 84) проходитъ чрезъ точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ тр~-въ ABC и M'M''M''', поэтому точки m_1, M'', M''' находятся на одной трансверсали тр~-ка ABC; слѣдовательно (I, 5), \frac{m_1B\cdot M''C\cdot M'''A}{m_1C\cdot M''A\cdot M'''B}=1; а такъ какъ (I, 13) \frac{M'B\cdot M''C\cdot M'''A}{M'C\cdot M''A\cdot M'''B}=-1, то \frac{M'B}{M'C}=-\frac{m_1B}{m_1C}\quad\mbox{или}\quad \frac{M'B}{M'C}:\frac{m_1B}{m_1C}=-1, т. е. (II, 36) M' и m_1 суть точки гармонически сопряженныя относительно B и C.

59. Обратно, точки m_1, m_2, m_3, гармонически сопряженныя съ точками M', M'', M''' относительно B и C, C и A, A и B находятся на трилинейной полярѣ точки M.

Ибо изъ равенствъ \frac{M'B\cdot M''C\cdot M'''A}{M'C\cdot M''A\cdot M'''B}=-1 и \frac{M'B}{M'C}=-\frac{m_1B}{m_1C},~ \frac{M''C}{M''A}=-\frac{m_2C}{m_2A},~\frac{M'''A}{M'''B}=- \frac{m_3A}{m_3B} слѣдуетъ, что \frac{m_1B\cdot m_2C\cdot m_3A}{m_1C\cdot m_2A\cdot m_3B}=1~~\mbox{и}~~ \frac{m_1B\cdot M''C\cdot M'''A}{m_1C\cdot M''A\cdot M'''B}=1,~\dots. Значитъ, точки m_1, m_2, m_3 находятся на одной прямой и M''M''' проходитъ чрезъ пересѣченіе m_1 этой прямой съ BC.

60. Изъ равенствъ \frac{m_1B\cdot m_2C\cdot m_3A}{m_1C\cdot m_2A\cdot m_3B}=1\quad\mbox{и}\quad \frac{M'B}{M'C}=-\frac{m_1B}{m_1C} получается равенство \frac{M'B\cdot m_2C\cdot m_3A}{M'C\cdot m_2A\cdot m_3B}=-1; слѣдовательно, прямыя AM', Bm_2 и Cm_3 пересѣкаются въ одной точкѣ M_1. Такимъ образомъ, вершины тр~-ка M_1M_2M_3, составленнаго прямыми Am_1, Bm_2, Cm_3, находятся соотвѣтственно на прямыхъ AM, BM, CM.

Точки M_1, M_2, M_3 суть гармонически сопряженныя съ точкой M (II, 48) относительно A и M', B и M'', C и M''' и называются гармонически связанными съ точкой M.

Прямыя m_1M''M''', m_2M'''M' и m_3M'M'' суть трилинейныя поляры точекъ M_1, M_2, M_3 относительно тр~-ка ABC и называются гармонически связанными съ прямой m_1m_2m_3.

Изъ четырехъ точекъ M, M_1, M_2, M_3 каждыя три гармонически связаны съ четвертой.

61. Трилинейная поляра центра тяжести тр~-ка (G) безконечно удалена.

Ибо, если точка M (фиг. 84) совпадаетъ съ центромъ тяжести G тр~-ка ABC, то тр~-къ M'M''M''' обращается въ дополнительный для ABC и противоположныя стороны этихъ тр~-въ дѣлаются параллельными.

Точки гармонически связанныя съ центромъ тяжести тр~-ка ABC суть вершины антидополнительнаго тр~-ка A_1B_1C_1.

Ибо вершины антидополнительнаго тр~-ка A_1B_1C_1 суть точки гармонически сопряженныя съ центромъ тяжести G тр~-ка ABC относительно медіанъ его.

Стороны тр~-ка дополнительнаго для тр~-ка ABC суть трилинейныя поляры вершинъ антидополнительнаго тр~-ка; поэтому стороны дополнительнаго тр~-ка суть прямыя, гармонически связанныя съ безконечно удаленной прямой.

62. Ортоцентрическая ось (axe orthique). Трилинейная поляра ортоцентра H тр~-ка ABC, т. е. ось гомологіи этого тр~-ка и тр~-ка ортоцентрическаго H_1H_2H_3, называется ортоцентрическою осью тр~-ка ABC.

Ортоцентрическая ось тр~-ка ABC и стороны ортоцентрическаго тр~-ка H_1H_2H_3 суть прямыя, гармонически связанныя относительно ABC.

Если стороны BC, CA, AB тр~-ка ABC пересѣкаются съ сторонами H_2H_3, H_3H_1, H_1H_2 ортоцентрическаго тр~-ка въ h_1, h_2, h_3 (фиг. 85), то (58) H_1 и h_1, H_2 и h_2, H_3 и h_3 суть точки гармонически сопряженныя относительно B и C, C и A, A и B.

Прямыя Ah_1, Bh_2, Ch_3 пересѣкаются въ точкахъ H', H'', H''' на продолженныхъ высотахъ тр~-ка AH_1, BH_2, CH_3; эти точки суть гармонически сопряженныя съ ортоцентромъ H относительно A и H_1, B и H_2, C и H_3 (60).

Ортоцентръ H и точки H', H'', H''' суть гармонически связанныя точки тр~-ка ABC.

63. Теорема. Ортоцентрическая ось тр~-ка есть радикальная ось описанной окружности и окружности Эйлера.

Обозначимъ чрезъ A_1 средину стороны BC тр~-ка ABC. Такъ какъ чет~-къ BCH_2H_3 вписывается въ окружность, а окружность Эйлера проходитъ чрезъ точки A_1, H_1, H_2, H_3, то (по свойству сѣкущихъ) h_1H_2\cdot h_1H_3=h_1C\cdot h_1B=h_1A_1\cdot h_1H_1; но h_1C\cdot h_1B и h_1A_1\cdot h_1H_1 суть степени точки h_1 относительно окружности ABC и окружности Эйлера (III, 22); слѣдовательно, точка h_1 находится на радикальной оси этихъ окружностей (III, 28---29). Такъ какъ это вѣрно и для точекъ h_2, h_3, то ортоцентрическая ось h_1h_2h_3 совпадаетъ съ радикальной осью окружности Эйлера и окружности описанной около тр~-ка.

Изъ этой теоремы слѣдуетъ, что ортоцентрическая ось тр~-ка перпендикулярна къ прямой Эйлера HO (I, 25).

64. Обозначимъ чрезъ I', I'', I''' и i_1, i_2, i_3 основанія внутреннихъ и внѣшнихъ биссектрисъ тр~-ка ABC (фиг. 86). Такъ какъ стороны тр~-ка BC, CA, AB дѣлятся гармонически въ I' и i_1, I'' и i_2, I''' и i_3 (II, 45) и прямыя AI', BI'', C''' проходятъ чрезъ центръ вписаннаго круга I, то (59) точки i_1, i_2, i_3 находятся на оси гомологіи тр~-въ ABC и I'I''I'''. Такимъ образомъ, трилинейная поляра центра круга вписаннаго въ тр~-къ проходитъ чрезъ основанія внѣшнихъ биссектрисъ его.

Прямыя I'I'', I''I''', I'''I', соединяющія основанія внутреннихъ биссектрисъ тр~-ка, суть гармонически связанныя съ прямою, проходящею чрезъ основанія внѣшнихъ биссектрисъ (i_1i_2i_3).

Точки пересѣченія внѣшнихъ биссектрисъ Ai_1, Bi_2, Ci_3, т. е. центры внѣвписанныхъ круговъ I_1, I_2, I_3, суть точки гармонически связанныя съ центромъ вписаннаго круга I. Прямыя I''I''', I'''I', I'I'' суть трилинейныя поляры этихъ точекъ.

Биссектрисы тр~-ка AI', BI'', CI''' дѣлятся гармонически въ точкахъ I и I_1, I и I_2, I и I_3.

65. Теорема. Прямая, проходящая чрезъ основанія внѣшнихъ биссектрисъ тр~-ка, перпендикулярна къ прямой, соединяющей центры вписаннаго и описаннаго круговъ (Hain).

Дѣйствительно, такъ какъ внутреннія биссектрисы тр~-ка ABC перпендикулярны къ внѣшнимъ биссектрисамъ, то тр~-къ ABC служитъ ортоцентрическимъ для тр~-ка I_1I_2I_3, а центры I и O круговъ вписаннаго и описаннаго тр~-ка ABC суть ортоцентръ и центръ окружности Эйлера тр~-ка I_1I_2I_3, такъ что IO есть прямая Эйлера этого тр~-ка. Но прямая i_1i_2i_3, проходящая чрезъ основанія внѣшнихъ биссектрисъ тр~-ка ABC, есть ортоцентрическая ось тр~-ка I_1I_2I_3; слѣдовательно, по предыдущей теоремѣ, эта прямая перпендикулярна къ прямой IO.

Имѣя въ виду, что тр~-къ ABC служитъ ортоцентрическимъ для каждаго изъ тр~-въ II_1I_2, II_2I_3, II_3I_1, легко убѣдиться, что прямыя I''I''', I'''I', I'I'' соотвѣтственно перпендикулярны къ прямымъ OI_1, OI_2, OI_3.

Упражненія.

1. Точка изогонально сопряженная съ точкою Нагеля даннаго тр~-ка находится на прямой, соединяющей центръ круга вписаннаго въ тр~-къ съ центромъ круга описаннаго около него (Droz).

2. Если O есть центръ окружности, описанной около тр~-ка ABC, то всякій діаметръ окружности дѣлится гармонически стороною BC и окружностью BOC (Bernès).

3. Проэкція ортоцентра тр~-ка ABC на медіану его AA_1 и полюсъ стороны его BC относительно описаннаго круга суть точки симметрично обратныя (Bernès).

4. Если прямая, антипараллельная съ стороной BC тр~-ка ABC, пересѣкается съ этой стороной въ точкѣ D, а съ другими сторонами въ точкахъ E и F, то окружность, имѣющая діаметромъ AD, ортогональна съ окружностью BEFC (Bernès).

5. Если A' и A'', B' и B'', C' и C'' суть изотомическія точки сторонъ тр~-ка ABC, то тр~-ки A'B'C' и A''B''C'' равновелики и центры тяжести ихъ симметричны относительно центра тяжести G тр~-ка ABC (Cesàro).

6. Если A', B', C' суть проэкціи центра круга вписаннаго въ тр~-къ ABC на его медіатрисы, то прямыя AA', BB', CC' пересѣкаются въ одной точкѣ, изотомически сопряженной съ точкою Жергона того~-же тр~-ка (Long­champs).

7. Если A_1, B_1, C_1 и H_1, H_2, H_3 суть основанія медіанъ и высотъ тр~-ка ABC, то окружности ACC_1 и ABB_1 пересѣкаются съ BC въ точкахъ P и Q, изотомическихъ относительно отрѣзка A_1H_1. Прямыя, проведенныя чрезъ точки P и Q параллельно AB и AC, суть взаимныя сѣкущія ортоцентрическаго тр~-ка H_1H_2H_3 (Long­champs).

8. Если два тр~-ка симметричны относительно какой-нибудь точки, то сѣкущія каждаго изъ нихъ, взаимныя съ сторонами другого, пересѣкаются въ одной точкѣ (D’Ocagne).

9. Тр~-къ ABC, его первый тр~-къ Каспари A_1B_1C_1 и тр~-къ YZZ', имѣющій вершинами центры гомологіи первыхъ двухъ, имѣютъ общій центръ тяжести G (Caspary).

10. Если DE, FG, HK суть прямыя, проведенныя чрезъ центръ антибиссектрисъ тр~-ка ABC параллельно сторонамъ его AB, BC, CA и ограниченныя его сторонами, то AB-DE=BC-FG=CA-HK\qquad\eqno\mbox{(Lemoine).}

11. Если DE есть отрѣзокъ параллели одной изъ сторонъ тр~-ка ABC, проходящей чрезъ центръ антибиссектрисъ антидополнительнаго тр~-ка и ограниченной сторонами тр~-ка ABC, то \frac1{DE}=\frac12\,\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right), гдѣ a, b, c суть стороны тр~-ка ABC (Neuberg).

12. Если J есть одна изъ точекъ Енжабека тр~-ка ABC, такъ что прямыя JD, JE, JF, проведенныя чрезъ эту точку параллельно AB, BC, CA до пересѣченія съ BC, CA, AB, равны, то \frac1{JD}=\frac1{JE}=\frac1{JF}=\frac1a+\frac1b+\frac1c, гдѣ a, b, c суть стороны тр~-ка ABC.

13. Если J и J' суть точки Енжабека тр~-ка ABC, такъ что прямыя JD и J'D', JE и J'E', JF и J'F', проведенныя чрезъ эти точки параллельно AB, BC, CA до пересѣченія съ BC и AC, CA и AB, AB и BC равны, то тр~-ки DEF и D'E'F' имѣютъ общую окружность Эйлера; ортоцентръ одного изъ этихъ тр~-въ совпадаетъ съ центромъ круга, описаннаго около другого.

14. Основанія внѣшнихъ антибиссектрисъ тр~-ка расположены на одной прямой.

ГЛАВА VI.

ГЛАВА VI.
О медіанахъ и симедіанахъ треугольника.

1. Медіаны (médianes). Медіанами тр~-ка, какъ ранѣе было сказано (I, 15), называются прямыя, проходящія чрезъ вершины тр~-ка и средины противоположныхъ сторонъ его.

Всякая прямая, параллельная одной изъ сторонъ тр~-ка и ограниченная двумя другими сторонами его, называется параллелью тр~-ка.

Параллели тр~-ка дѣлятся пополамъ соотвѣтственными медіанами его.

2. Внѣшнія медіаны (médianes extérieures). Если на продолженіи какой-либо изъ сторонъ тр~-ка, напр. BC, взята точка M, то при удаленіи ея въ безконечность отношеніе \frac{MB}{MC} приближается къ единицѣ, такъ что безконечно удаленную точку M на продолженіи стороны тр~-ка можно разсматривать какъ внѣшнюю средину этой стороны. Поэтому прямая, проходящая чрезъ вершину тр~-ка и параллельная противоположной сторонѣ его, называется внѣшней медіаной тр~-ка.

Внѣшнія медіаны даннаго тр~-ка ABC образуютъ антидополнительный тр~-къ G_1G_2G_3 (фиг. 87).

Такъ какъ средина даннаго отрѣзка прямой и точка безконечно удаленная на этой прямой суть точки гармонически сопряженныя относительно концовъ отрѣзка (II, 38), то внутренняя и внѣшняя медіаны тр~-ка, проходящія чрезъ одну вершину его, образуютъ гармоническій пучокъ съ прилежащими къ нимъ сторонами тр~-ка.

3. Теорема. Разстоянія всякой точки внутренней или внѣшней медіаны тр~-ка отъ прилежащихъ сторонъ его обратно пропорціональны этимъ сторонамъ.

Обозначимъ чрезъ M средину стороны BC тр~-ка ABC, чрезъ p и q разстоянія точки M отъ AC и AB и чрезъ y и z разстоянія какой-нибудь точки D медіаны AM отъ тѣхъ~-же сторонъ. Такъ какъ тр~-ки ABM и ACM равновелики, то, положивъ AC=b и AB=c, получимъ p\cdot b=q\cdot c\quad\mbox{и}\quad \frac pq=\frac cb; но \frac yz=\frac pq; слѣдовательно, \frac yz=\frac cb.

Если D' есть какая-нибудь точка внѣшней медіаны, проходящей чрезъ вершину A тр~-ка ABC, то, замѣтивъ, что тр~-ки ABD' и ACD' равновелики и обозначивъ чрезъ y' и z' перпендикуляры изъ D' на AC и AB, получимъ: by'=cz'\quad\mbox{или}\quad\frac{y'}{z'}= \frac cb.

Перпендикуляры y и y' имѣютъ противоположныя направленія; поэтому отношенія \frac yz и \frac{y'}{z'} принимаются одно со знакомъ {+}, другое со знакомъ {-}; при этомъ условіи \frac yz=-\frac{y'}{z'}=\frac cb.

4. Центры медіанъ (centres des médianes). Внутреннія медіаны тр~-ка пересѣкаются въ одной точкѣ G, называющейся центромъ тяжести тр~-ка (centre de gravité, Архимедъ). Эта точка называется также барицентромъ (bary­centre, Carnot) тр~-ка или центромъ медіанъ его.

Внѣшнія медіаны тр~-ка BG_1 и CG_1 образуютъ съ сторонами его AB и AC параллелограммъ ABG_1C, для котораго медіана AM служитъ діагональю (фиг. 87); слѣдовательно, двѣ внѣшнія медіаны тр~-ка и одна внутренняя пересѣкаются въ одной точкѣ.

Точки пересѣченія внѣшнихъ медіанъ тр~-ка называются внѣшними центрами медіанъ.

Внѣшніе центры медіанъ тр~-ка (G_1, G_2, G_3) суть точки гармонически связанныя съ центромъ тяжести его (G) (V, 61).

5. Изъ свойствъ медіанъ слѣдуетъ, что три параллели тр~-ка, проходящія чрезъ барицентръ его, дѣлятся въ этой точкѣ пополамъ.

Разстоянія центровъ медіанъ тр~-ка отъ сторонъ его обратно пропорціональны соотвѣтственнымъ сторонамъ. Поэтому, обозначивъ стороны тр~-ка BC, CA, AB чрезъ a, b, c, а разстоянія ихъ отъ центровъ медіанъ G и G_1 чрезъ x, y, z и x_1, y_1, z_1, получимъ x:y:z=\frac1a:\frac1b:\frac1c и -x_1:y_1:z_1=\frac1a:\frac1b:\frac1c.

Представивъ эти равенства въ видѣ \frac{ax}2=\frac{by}2=\frac{cz}2 и -\frac{ax_1}2=\frac{by_1}2=\frac{cz_1}2, заключаемъ, что прямыя, соединяющія одинъ изъ центровъ медіанъ тр~-ка съ его вершинами, образуютъ со сторонами его равновеликіе тр~-ки; такимъ образомъ, обозначивъ площадь тр~-ка знакомъ \triangle, получимъ \triangle BGC=\triangle CGA=\triangle AGB и \triangle BG_1C=\triangle CG_1A=\triangle AG_1B.

6. Теорема. Произведеніе разстояній какой-нибудь внутренней точки тр~-ка отъ сторонъ его дѣлается наибольшимъ, когда точка совпадаетъ съ барицентромъ тр~-ка.

Обозначимъ разстоянія какой-нибудь внутренней точки M тр~-ка ABC отъ сторонъ его чрезъ x, y, z, такъ что \triangle BMC=\frac{ax}2,~~\triangle CMA=\frac{by}2,~~ \triangle AMB=\frac{cz}2.

Произведеніе x\cdot y\cdot z дѣлается наибольшимъ одновременно съ произведеніемъ \frac{ax}2\cdot\frac{by}2\cdot \frac{cz}2; но \frac{ax}2+\frac{by}2+\frac{cz}2=\triangle ABC; слѣдовательно, maximum произведенія x\cdot y\cdot z будетъ при условіи \frac{ax}2=\frac{by}2=\frac{cz}2, т. е. когда точка M совпадаетъ съ барицентромъ тр~-ка G.

7. Теорема. Сумма квадратовъ разстояній какой-нибудь точки M отъ вершинъ тр~-ка равна суммѣ квадратовъ разстояній вершинъ отъ барицентра его, сложенной съ утроеннымъ квадратомъ разстоянія барицентра отъ точки M.

Соединивъ точку M съ вершинами тр~-ка ABC (фиг. 88) и барицентромъ его G, обозначимъ чрезъ AA_1, BB_1, CC_1 перпендикуляры изъ A, B и C на прямую MG.

Изъ тр~-въ MAG, MBG, MCG слѣдуетъ, что \overline{MA}{}^2=\overline{AG}{}^2+\overline{MG}{}^2-2MG\cdot GA_1, \overline{MB}{}^2=\overline{BG}{}^2+\overline{MG}{}^2-2MG\cdot GB_1, \overline{MC}{}^2=\overline{CG}{}^2+\overline{MG}{}^2-2MG\cdot GC_1; сложивъ эти равенства, получимъ \overline{MA}{}^2+\overline{MB}{}^2+\overline{MC}{}^2=\overline{AG}{}^2+ \overline{BG}{}^2+\overline{CG}{}^2+3\overline{MG}{}^2-{} {}-2MG\cdot(GA_1-GB_1-GC_1); но, проводя чрезъ G прямую, перпендикулярную къ MG, и обозначивъ чрезъ AA', BB', CC' перпендикуляры на эту прямую изъ A, B и C, замѣтимъ, что (I, 29) GA_1-GB_1-GC_1=AA'-BB'-CC'=0; слѣдовательно, \overline{MA}{}^2+\overline{MB}{}^2+\overline{MC}{}^2=\overline{AG}{}^2+ \overline{BG}{}^2+\overline{CG}{}^2+3\overline{MG}{}^2.

8. Слѣдствія. Геометрическое мѣсто точекъ (M), суммы квадратовъ разстояній которыхъ отъ вершинъ тр~-ка равны, есть окружность, центръ которой совпадаетъ съ барицентромъ тр~-ка.

Сумма квадратовъ разстояній точки отъ вершинъ тр~-ка имѣетъ наименьшую величину, когда точка совпадаетъ съ барицентромъ тр~-ка (Jacobi).

Если точка M совпадаетъ съ вершиной тр~-ка A, то, положивъ AC=b и AB=c, получимъ b^2+c^2=4\overline{GA}{}^2+ \overline{GB}{}^2+\overline{GC}{}^2, откуда AG=\frac12 \sqrt{b^2-\overline{BG}{}^2+c^2-\overline{CG}^2}.

9. Если m_1, m_2, m_3 обозначаютъ величины медіанъ тр~-ка, стороны котораго суть BC=a, CA=b и AB=c, то m_1=\frac12\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}; поэтому \overline{AG}{}^2=\left(\frac23m_1\right)^2=\frac19(2b^2+2c^2-a^2).

Имѣя въ виду аналогичныя формулы для \overline{BG}{}^2 и \overline{CG}{}^2, найдемъ, что \overline{AG}{}^2+ \overline{BG}{}^2+\overline{CG}{}^2=\frac13(a^2+b^2+c^2); поэтому сумма квадратовъ разстояній какой-нибудь точки M отъ вершинъ тр~-ка ABC выражается формулой \overline{MA}{}^2+\overline{MB}{}^2+\overline{MC}{}^2= \frac13(a^2+b^2+c^2)+3\overline{MG}{}^2.

Если точка M совпадаетъ съ центромъ O описаннаго круга, такъ что MA=MB=MC=R, то изъ послѣдняго равенства найдемъ, что 3R^2=\frac13(a^2+b^2+c^2)+3\overline{OG}{}^2; отсюда опредѣляется разстояніе между барицентромъ тр~-ка (G) и центромъ описаннаго круга (O), именно: OG=\sqrt{R^2-\frac19(a^2+b^2+c^2)}.

Эта формула обнаруживаетъ, что квадратъ радіуса круга, описаннаго около тр~-ка, не можетъ быть менѣе \frac19 суммы квадратовъ его сторонъ.

10. Симедіаны тр~-ка (symédianes, D’Ocagne). Прямыя, симметричныя съ медіанами тр~-ка относительно внутреннихъ биссектрисъ его, называются симедіанами. Эти прямыя называютъ также антимедіанами или антипараллельными медіанами тр~-ка (médianes anti­paral­lèles, Lemoine).

Симедіаны тр~-ка суть прямыя, изогональныя съ медіанами его. Такъ какъ медіаны тр~-ка пересѣкаются въ одной точкѣ, то симедіаны также пересѣкаются въ одной точкѣ (V, 17).

11. Внѣшнія симедіаны (symédianes extérieures, Thiry). Прямыя, изогональныя съ внѣшними медіанами тр~-ка, называются внѣшними симедіанами его.

Двѣ внѣшнія симедіаны тр~-ка и одна внутренняя пересѣкаются въ одной точкѣ.

Внѣшнія симедіаны тр~-ка суть касательныя въ вершинахъ его къ описанному кругу. Ибо, если AE и AF суть внѣшнія медіана и симедіана тр~-ка ABC (фиг. 89), то, описавъ около него окружность и проведя биссектрису AD, по опредѣленію получимъ: \angle DAF=\angle DAE; отсюда \angle BAF=\angle CAE=\angle ACB; слѣдовательно, уголъ ABF измѣряется половиною дуги AB, а потому внѣшняя симедіана AF касается описанной окружности въ точкѣ A.

Изъ доказаннаго слѣдуетъ, что внѣшнія симедіаны тр~-ка антипараллельны его сторонамъ и образуютъ тр~-къ тангенціальный для даннаго (V, 4---5).

12. Теорема. Антипараллели тр~-ка дѣлятся пополамъ соотвѣтственными симедіанами его.

Положимъ, что прямая KL антипараллельна сторонѣ BC тр~-ка ABC относительно другихъ сторонъ его (фиг. 89). Отложивъ на AB и AC отрѣзки AC'=AC и AB'=AB и обозначивъ чрезъ AM и AS медіану и симедіану тр~-ка ABC, изъ равенства тр~-въ ABC и AB'C', имѣющихъ общую биссектрису AD, заключаемъ, что AS служитъ медіаною для тр~-ка AB'C'. Но \angle AKL=\angle ACB=\angle AC'B'; слѣдовательно, прямая KL параллельна B'C' и потому дѣлится пополамъ симедіаной AS. Обратно, прямыя, дѣлящіяся пополамъ симедіанами тр~-ка, антипараллельны его сторонамъ.

13. Слѣдствіе. Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что внѣшняя симедіана AF параллельна KL (фиг. 89); такимъ образомъ, прямыя AS и AF проходятъ чрезъ внутреннюю и внѣшнюю средины отрѣзка KL; поэтому (II, 38) внутренняя и внѣшняя симедіаны тр~-ка, проходящія чрезъ одну вершину его, образуютъ гармоническій пучокъ съ прилежащими къ нимъ сторонами тр~-ка.

14. Теорема. Разстоянія каждой точки внутренней или внѣшней симедіаны тр~-ка отъ прилежащихъ сторонъ его пропорціональны этимъ сторонамъ.

Обозначимъ чрезъ M и N какія-нибудь двѣ точки, изъ которыхъ одна находится на медіанѣ тр~-ка, а другая на изогональной съ ней симедіанѣ. Если разстоянія этихъ точекъ отъ сторонъ тр~-ка AC и AB суть p и q, y и z, то по свойству изогональныхъ прямыхъ (V, 11) p\cdot y=q\cdot z\quad\mbox{или}\quad \frac yz=\frac qp; но (3) \frac qp=\frac{AC}{AB}=\frac bc; слѣдовательно, \frac yz=\frac bc.

Если точки M и N находятся на внѣшнихъ медіанѣ и симедіанѣ тр~-ка, то совершенно так~-же можно убѣдиться, что -\frac yz=\frac bc.

Обратно: прямая, соединяющія вершину тр~-ка съ точкою, разстоянія которой отъ двухъ сторонъ тр~-ка, выходящихъ изъ этой вершины, пропорціональны этимъ сторонамъ, есть симедіана тр~-ка.

15. Теорема. Каждая сторона тр~-ка дѣлится соотвѣтственной симедіаной на части, пропорціональныя квадратамъ прилежащихъ сторонъ его.

Обозначимъ чрезъ M и S основанія медіаны AM и симедіаны AS тр~-ка ABC (фиг. 89). Такъ какъ прямыя AM и AS изогональны, то (V, 15) \frac{BM\cdot BS}{CM\cdot CS}=\frac{\overline{AB}{}^2} {\overline{AC}{}^2}=\frac{c^2}{b^2}; но BM=CM; слѣдовательно, \frac{BS}{CS}=\frac{c^2}{b^2}.

Обозначивъ чрезъ F основаніе внѣшней симедіаны, изъ подобія тр~-въ ABF и CAF найдемъ, что \frac{\overline{CF}{}^2}{\overline{AF}{}^2}=\frac{\overline {AC}{}^2}{\overline{AB}{}^2}=\frac{b^2}{c^2}; но \overline{AF}{}^2=BF\cdot CF; поэтому \frac{\overline {CF}{}^2}{\overline{AF}{}^2}=\frac{\overline{CF}{}^2}{BF\cdot CF}= \frac{CF}{BF}; слѣдовательно, \frac{CF}{BF}=\frac{b^2} {c^2}.

Обратно: прямая, проходящая чрезъ вершину тр~-ка и дѣлящая противоположную сторону на части, пропорціональныя квадратамъ двухъ другихъ сторонъ его, есть симедіана тр~-ка.

Изъ доказанной теоремы слѣдуетъ, что каждая сторона тр~-ка дѣлится двумя соотвѣтственными симедіанами гармонически въ отношеніи квадратовъ другихъ сторонъ его (Thiry).

16. Теорема. Антипараллели тр~-ка, пересѣкающіяся на внутренней симедіане его, равны.

Изъ какой-нибудь точки D симедіаны AS тр~-ка ABC проведемъ прямыя DE и DF, антипараллельныя сторонамъ тр~-ка AC и AB (фиг. 90). Если эти прямыя пересѣкаются съ BC въ G и H, то \angle BGE=\angle CHF=\angle A\quad\mbox{и}\quad DG=DH.

Проведя чрезъ B и C касательныя къ кругу, описанному около тр~-ка, и замѣтивъ, что онѣ, какъ внѣшнія симедіаны тр~-ка, пересѣкаются въ нѣкоторой точкѣ K на симедіанѣ AS (11), получимъ \frac{DE}{KB}=\frac{DA}{KA}=\frac{DF}{KC}; но KB=KC; слѣдовательно, DE=DF\quad\mbox{и}\quad GE=HF.

17. Слѣдствія. Если прямыя SL и SM, проходящія чрезъ основаніе симедіаны AS, антипараллельны сторонамъ тр~-ка AC и AB, то окружность LSM касается стороны BC въ точкѣ S, потому что прямая LM (такъ~-же какъ и EF) параллельна BC.

Если окружность LSM пересѣкается съ AC и AB еще въ точкахъ N и P, то прямая NP антипараллельна BC и равна антипараллелямъ SL и SM (V, 6).

Двѣ равныя антипараллели тр~-ка пересѣкаются на его симедіанѣ.

18. Теорема Тири (Thiry). Отношеніе симедіаны тр~-ка къ медіанѣ его, проходящей чрезъ ту~-же вершину, равно отношенію удвоеннаго произведенія прилежащихъ сторонъ тр~-ка къ суммѣ квадратовъ тѣхъ~-же сторонъ.

Положимъ, что AM и AS суть медіана и симедіана тр~-ка ABC (фиг. 91). Такъ какъ \angle BAS=\angle CAM, то \frac{\triangle BAS}{\triangle CAS}=\frac{AB\cdot AS}{AC\cdot AM}=\frac{BS}{CM}; но (15) BS+SC=BC=a\quad \mbox{и}\quad \frac{BS}{CS}=\frac{c^2}{b^2}; отсюда BS=\frac{ac^2}{b^2+c^2}; кромѣ того CM=\frac a2; поэтому \frac{AS}{AM}=\frac{2bc}{b^2+c^2}.

Слѣдствіе. Такъ какъ длина медіаны опредѣляется формулой AM=\frac12\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}, то симедіана AS=\frac{bc}{b^2+c^2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}.

19. Теорема. Внѣшняя симедіана тр~-ка равна произведенію трехъ сторонъ его, раздѣленному на разность квадратовъ прилежащихъ къ ней сторон.

Дѣйствительно, обозначивъ чрезъ S' основаніе внѣшней симедіаны AS', изъ равенствъ (15) S'C-S'B=a\quad\mbox{и}\quad \frac{S'C}{S'B}=\frac{b^2}{c^2} найдемъ, что S'C=\frac{ab^2}{b^2-c^2},~~S'B=\frac{ac^2}{b^2-c^2}; но AS'=\sqrt{S'C\cdot S'B}; слѣдовательно, AS'=\frac{abc}{b^2-c^2}.

Изъ этой формулы легко вывести, что если s_1, s_2, s_3 суть внѣшнія симедіаны тр~-ка, то алгебраическая сумма \frac1{s_1}+\frac1{s_2}+\frac1{s_3} равна нулю.

20. Теорема. Сумма квадратовъ разстояній какой-нибудь точки M на стороне тр~-ка отъ двухъ другихъ сторонъ его дѣлается наименьшей, когда точка M совпадаетъ съ основаніемъ симедіаны тр~-ка.

Обозначимъ чрезъ y и z разстоянія точки M стороны BC тр~-ка ABC отъ сторонъ его AC и AB. Такъ какъ \triangle AMB+\triangle AMC=\triangle ABC, то сумма by+cz имѣетъ постоянную величину, равную двойной площади тр~-ка ABC; поэтому сумма y^2+z^2 дѣлается наименьшей, когда \frac yb=\frac zc, т. е. когда точка M совпадаетъ съ основаніемъ симедіаны AS.

21. Центры симедіанъ. Точка пересѣченія трехъ симедіанъ тр~-ка называется центромъ или точкою симедіанъ (point symédian).

Точки пересѣченія внѣшнихъ симедіанъ тр~-ка суть точки, изогонально сопряженныя съ соотвѣтственными центрами медіанъ.

Внѣшніе центры симедіанъ тр~-ка суть полюсы соотвѣтственныхъ сторонъ его относительно описаннаго круга (III, 4).

Каждая изъ симедіанъ тр~-ка проходитъ чрезъ полюсъ соотвѣтственной стороны его относительно описаннаго круга.

Внѣшніе центры симедіанъ тр~-ка суть точки гармонически связанныя съ центромъ внутреннихъ симедіанъ (V, 60).

Каждая изъ симедіанъ тр~-ка дѣлится гармонически центромъ симедіанъ и однимъ изъ центровъ симедіанъ тр~-ка.

22. Обозначимъ чрезъ AS_1, BS_2, CS_3 симедіаны тр~-ка ABC (фиг. 92), чрезъ K --- центръ ихъ и чрезъ K_1, K_2, K_3 внѣшніе центры симедіанъ.

Если разстоянія точекъ K и K_1 отъ сторонъ тр~-ка BC=a, CA=b и AB=c суть x, y, z и x_1, y_1, z_1, то (14) x:y:z=a:b:c и -x_1:y_1:z_1=a:b:c, т. е. разстоянія каждаго изъ центровъ симедіанъ тр~-ка отъ сторонъ его пропорціональны этимъ сторонамъ.

Первое изъ этихъ равенствъ приводится къ виду \frac xa=\frac yb=\frac zc=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}=\frac{2\triangle}{a^2+b^2+c^2}, гдѣ \triangle --- площадь тр~-ка ABC.

23. Сумма квадратовъ разстояній какой-нибудь точки отъ сторонъ тр~-ка дѣлается mini­mum, когда эта точка совпадаетъ съ центромъ симедіанъ тр~-ка (Hos­sard).

Предложеніе это является слѣдствіемъ свойства симедіанъ тр~-ка, если чрезъ взятую точку провести прямыя, параллельныя сторонамъ его (20).

Изъ послѣднихъ равенствъ слѣдуетъ, что \frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2} {a^2+b^2+c^2}=\frac{4\triangle^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}; отсюда находимъ, что для центра симедіанъ тр~-ка x^2+y^2+z^2=\frac{4\triangle^2}{a^2+b^2+c^2}.

24. Точка Лемуана (Lemoine). Точка пересѣченія симедіанъ тр~-ка (K) называется точкою Лемуана этого тр~-ка (Neuberg).

Изъ предыдущаго видно, что точка Лемуана даннаго тр~-ка есть точка, изогонально сопряженная съ барицентромъ этого тр~-ка.

Симедіаны тр~-ка суть прямыя, соединяющія вершины тангенціальнаго тр~-ка K_1K_2K_3 съ точками касанія его сторонъ и вписанной окружности (фиг. 92); поэтому точка Лемуана даннаго тр~-ка служитъ точкой Жергона для тр~-ка тангенціальнаго.

25. Теорема Лемуана (Lemoine). Точка Лемуана K тр~-ка ABC совпадаетъ съ барицентромъ тр~-ка, вершины котораго суть проэкціи точки K на стороны AB, BC, CA.

Обозначимъ чрезъ D, E, F проэкціи точки Лемуана K тр~-ка ABC на его стороны (фиг. 93) и положимъ KD=x,~~KE=y,~~KF=z.

Такъ какъ \angle BAC+\angle EKF=180^\circ, то площади тр~-въ ABC и KEF относятся какъ произведенія сторонъ, составляющихъ эти углы, т. е. \frac{\triangle KEF}{\triangle ABC}=\frac{yz}{bc}; по аналогіи \frac{\triangle KDF}{\triangle ABC}=\frac{zx}{ca}\quad\mbox{и}\quad\frac{\triangle KDE}{\triangle ABC}=\frac{xy}{ab}; но (22) \frac xa=\frac yb=\frac zc; поэтому \frac{yz}{bc}=\frac{zx}{ca}=\frac{xy}{ab}; слѣдовательно, тр~-ки KEF, KDF и KDE равновелики, а потому (5) барицентръ тр~-ка DEF совпадаетъ съ точкою K.

Обратная теорема доказывается также легко.

26. Слѣдствія. Перпендикуляры KD, KE и KF изъ точки Лемуана K тр~-ка ABC на его стороны суть медіаны тр~-ка DEF.

Точка Лемуана тр~-ка (ABC), стороны котораго проходятъ чрезъ вершины другого тр~-ка (DEF) и перпендикулярны къ его медіанамъ, совпадаетъ съ барицентромъ этого второго тр~-ка.

27. Антипараллели тр~-ка, проходящія чрезъ точку Лемуана, равны и дѣлятся въ этой точкѣ пополамъ (V, 12 и 16). Обратно: три равныя антипараллели тр~-ка пересѣкаются въ точкѣ Лемуана.

По теоремѣ Шлемильха (V, 47) прямыя, соединяющія средины сторонъ тр~-ка со срединами соотвѣтственныхъ высотъ, пересѣкаются въ одной точкѣ K. Не трудно убѣдиться, что антипараллели тр~-ка, проходящія чрезъ эту точку, равны; слѣдовательно, прямыя, соединяющія средины сторонъ тр~-ка съ срединами соотвѣтственныхъ высотъ, пересѣкаются въ точкѣ Лемуана.

Доказательство теоремы Шлемильха обнаруживаетъ, что точка Лемуана K даннаго тр~-ка и центръ O круга, описаннаго около него, суть изотомически сопряженныя точки дополнительнаго тр~-ка.

28. Теорема Гребе (Grebe). Если параллельно сторонамъ даннаго тр~-ка провести прямыя въ разстояніяхъ, равныхъ (или пропорціональныхъ) этимъ сторонамъ, такъ чтобы онѣ всѣ находились внѣ тр~-ка или всѣ пересѣкали его, то прямыя, соединяющія вершины тр~-ка, составленнаго этими прямыми, съ соотвѣтственными вершинами даннаго тр~-ка, пересѣкутся въ центрѣ симедіанъ послѣдняго.

Ибо разстоянія точки пересѣченія этихъ прямыхъ отъ сторонъ даннаго тр~-ка пропорціональны его сторонамъ.

По имени автора этой теоремы центръ симедіанъ тр~-ка въ Германіи часто называютъ точкою Гребе.

29. Теорема. Если симедіаны тр~-ка ABC пересѣкаются съ описанною окружностью въ A', B', C', то тр~-ки ABC и A'B'C' имѣютъ общую точку Лемуана.

Изъ точки Лемуана K тр~-ка ABC опустимъ на его стороны перпендикуляры KD, KE, KF (фиг. 94). Такъ какъ чет~-къ BDKF вписывается въ кругъ, то \angle KDF=\angle KBF=\angle B'BA=\angle AA'B'.

Чет~-къ CDKE также вписывается въ кругъ; поэтому \angle KDE=\angle KCE=\angle C'CA=\angle AA'C'; слѣдовательно, \angle EDF=\angle B'A'C' и по аналогіи \angle DEF=\angle A'B'C',\quad \angle DFE=\angle A'C'B'.

Такимъ образомъ, тр~-ки DEF и A'B'C' подобны. Равенства угловъ \angle KDF=\angle AA'B'\quad\mbox{и}\quad \angle KDE=\angle AA'C' и аналогичныя имъ показываютъ, то точка K, отнесенная къ тр~-ку A'B'C', соотвѣтствуетъ точкѣ, изогонально сопряженной съ этой точкой относительно тр~-ка DEF; но для тр~-ка DEF точка K служитъ барицентромъ (25), а точка, изогонально сопряженная съ K, --- точкою Лемуана (24); слѣдовательно, K есть точка Лемуана тр~-ка A'B'C'.

30. Теорема. Если антипараллели тр~-ка дѣлятъ отрѣзки симедіанъ его, ограниченные вершинами тр~-ка и точкой Лемуана, на части пропорціональныя, то онѣ равны.

Чрезъ точку Лемуана K тр~-ка ABC проведемъ антипараллели DE, FG, HI (фиг. 95) и положимъ, что антипараллели D'E', F'G', H'I' дѣлятъ отрѣзки симедіанъ AK, BK, CK въ точкахъ A', B', C' такъ, что \frac{AA'}{AK}=\frac{BB'}{BK}=\frac{CC'}{CK}.

Изъ подобія тр~-въ ADE и AD'E', BHI и BH'I', CFG и CF'G' слѣдуетъ, что \frac{D'E'}{DE}=\frac{AA'}{AK},~~\frac{F'G'}{FG}=\frac{CC'}{CK},~~ \frac{H'I'}{HI}=\frac{BB'}{BK}; такъ какъ вторыя части этихъ пропорцій по предположенію равны и (27) DE=FG=HI, то D'E'=F'G'=H'I'.

Обратно: равныя антипараллели тр~-ка дѣлятъ отрѣзки его симедіанъ AK, BK, CK на части пропорціональныя.

31. Прямая Лемуана (droite de Lemoine). Поляра точки Лемуана (K) даннаго тр~-ка относительно описаннаго круга называется прямою Лемуана (Neuberg).

По свойству поляръ прямая Лемуана перпендикулярна къ прямой OK, соединяющей центръ круга O, описаннаго около тр~-ка, съ точкою Лемуана K, и отстоитъ отъ O на разстояніе, равное \frac{R^2}{OK} (III, 1).

32. Обозначимъ чрезъ K', K'', K''' точки пересѣченія сторонъ тр~-ка ABC съ его симедіанами AK, BK, CK и положимъ, что внѣшнія симедіаны его пересѣкаются въ точкахъ K_1, K_2, K_3 (фиг. 96).

Тр~-ки ABC, K_1K_2K_3 и K'K''K''' имѣютъ точку Лемуана K центромъ гомологіи; поэтому стороны тр~-ка K'K''K''' проходятъ чрезъ точки пересѣченія сторонъ AB и K_1K_2, BC и K_2K_3, CA и K_1K_3 тр~-въ ABC и K_1K_2K_3, находящіяся на ихъ оси гомологіи (II, 25); пусть эти точки суть k_1, k_2, k_3; прямая k_1k_2k_3 есть трилинейная поляра, или прямая, гармонически связанная съ точкою Лемуана K (V, 57).

Такъ какъ полюсъ симедіаны AK_1 находится въ пересѣченіи поляръ точекъ A и K_1 (III, 6), т. е. въ пересѣченіи прямыхъ K_2K_3 и BC, то точки k_1, k_2, k_3 суть полюсы симедіанъ тр~-ка AK', BK'', CK''', а прямая k_1k_2k_3 --- поляра точки K. Такимъ образомъ, трилинейная поляра точки Лемуана совпадаетъ съ прямою Лемуана.

33. Параллели Лемуана. Прямыя, параллельныя сторонамъ тр~-ка и проходящія чрезъ его точку Лемуана, называются параллелями Лемуана этого тр~-ка.

Теорема. Параллели Лемуана разсѣкаютъ каждую сторону тр~-ка на три отрѣзка, пропорціональныхъ квадратамъ сторонъ тр~-ка.

Положимъ, что DE, FG, HI суть параллели Лемуана тр~-ка ABC (фиг. 97). Діагонали DF, EH, GI параллелограммовъ ADKF, BEKH, CGKI дѣлятся пополамъ симедіанами тр~-ка AK, BK, CK; поэтому (12) DE, FG и HI суть антипараллели тр~-ка, такъ что, напр., \angle BHE=\angle C,\quad \angle BEH=\angle A,\quad\dots.

Тр~-ки BHE и ABC, слѣдовательно, подобны; поэтому \frac{\triangle BHE}{\triangle ABC}=\frac{\overline{BE}{}^2} {\overline{AB}{}^2}, отсюда \frac{\triangle BHE}{BE}=\triangle ABC\cdot \frac{BE}{c^2}; подобнымъ~-же образомъ найдемъ, что \frac{\triangle EKG}{EG}=\triangle ABC\cdot\frac{EG}{a^2},\quad \frac{\triangle GIC}{GC}=\triangle ABC\cdot\frac{GC}{b^2}.

Но вслѣдствіе равенства высотъ тр~-въ BHE, EKG и GIC \frac{\triangle BHE}{BE}=\frac{\triangle EKG}{EG}=\frac{\triangle GIC}{GC}; значитъ, \triangle ABC\cdot \frac{BE}{c^2}=\triangle ABC\cdot\frac{EG}{a^2}= \triangle ABC\cdot\frac{GC}{b^2}, или \frac{BE}{c^2}= \frac{EG}{a^2}=\frac{GC}{b^2} и по аналогіи \frac{CI}{a^2}=\frac{ID}{b^2}=\frac{DA}{c^2}, \frac{AF}{b^2}=\frac{FH}{c^2}=\frac{HB}{a^2}.

Слѣдствіе. Изъ этихъ отношеній и изъ подобія тр~-въ ADF и ABC слѣдуетъ, что DF=\frac{abc}{a^2+b^2+c^2}.

34. Теорема Лемуана (Lemoine). Точки пересѣченія сторонъ тр~-ка съ параллелями Лемуана находятся на одной окружности.

Антипараллели тр~-ка DF, EH, GI (фиг. 97) дѣлятъ пополамъ отрѣзки симедіанъ AK, BK, CK, слѣдовательно, онѣ равны (30), а потому точки D, E, F, G, H, I находятся на одной окружности (V, 6).

Первая окружность Лемуана (premier cercle de Lemoine). Окружность, проходящая чрезъ точки пересѣченія сторонъ тр~-ка съ параллелями Лемуана, называется первою окружностью Лемуана.

Обозначимъ чрезъ O центръ круга, описаннаго около тр~-ка ABC, и чрезъ O_1 точку пересѣченія прямой KO съ перпендикуляромъ къ DF въ срединѣ ея M (фиг. 97). Такъ какъ касательная въ точкѣ A къ описанному кругу параллельна DF, то OA и O_1M параллельны; поэтому \frac{KO_1}{KO}=\frac{KM}{KA}=\frac12{,}\quad \mbox{т. е.}\quad KO_1=\frac12KO.

Значитъ, перпендикуляры, возстановленные въ срединахъ антипараллелей DF, EH, GI пересѣкаются въ точкѣ O_1 на срединѣ KO, а потому O_1 есть центръ первой окружности Лемуана. Итакъ, центръ первой окружности Лемуана O_1 находится въ срединѣ прямой KO, соединяющей точку Лемуана тр~-ка съ центромъ описаннаго круга.

35. Слѣдствія. Первая окружность Лемуана проходитъ чрезъ точки пересѣченія сторонъ тр~-ка съ равными антипараллелями его DF, EH, GI, дѣлящими пополамъ отрѣзки симедіанъ AK, BK, CK.

Разстоянія этихъ антипараллелей отъ центра первой окружности Лемуана O_1 равны половинѣ радіуса R круга, описаннаго около тр~-ка. Каждая изъ этихъ антипараллелей равна (33) \frac{abc}{a^2+b^2+c^2}.

Такъ какъ дуги DF, EH, GI равны, то DH=EF,\quad HG=EI,\quad GD=IF и \angle GDH=\angle EFI=\angle A, \angle DHG=\angle FEI=\angle B,\angle HGD=\angle FIE=\angle C, т. е. тр~-ки DHG и EFI равны между собою и подобны тр~-ку ABC. Всѣ стороны тр~-въ DHG и EFI составляютъ равные углы съ сторонами тр~-ка ABC, именно: \angle AHD=\angle BFE=\angle BGH=\angle CEI=\angle CDG=\angle AIF.

36. Теорема. Отрѣзки сторонъ тр~-ка, заключающіеся въ первой окружности Лемуана, пропорціональны кубамъ тѣхъ~-же сторонъ.

Обозначимъ чрезъ h и x высоты тр~-въ ABC и EKG, опущенныя на основанія ихъ BC и EG. Такъ какъ тр~-ки эти подобны, то \frac{EG}x=\frac{BC}h=\frac{a^2}{ah}= \frac{a^2}{2\triangle}, гдѣ \triangle --- площадь тр~-ка ABC; отсюда EG=\frac{a^2x}{2\triangle}; но (22) \frac xa=\frac{2\triangle}{a^2+b^2+c^2}; слѣдовательно, EG=\frac{a^3}{a^2+b^2+c^2} и по аналогіи DI=\frac{b^3}{a^2+b^2+c^2},\quad FH=\frac{c^3} {a^2+b^2+c^2}; значитъ \frac{EG}{a^3}=\frac{DI}{b^3}=\frac {FH}{c^3}. [Очевидно, что HI=BC-EG; поэтому \left.HI=a-\frac{a^3}{a^2+b^2+c^2}.\right]

Вслѣдствіе этого свойства первый кругъ Лемуана называютъ въ Англіи кругомъ тройного отношенія (the triplicate ratio circle, Tucker).

37. Шестиугольникъ Лемуана (hexagine de Lemoine). Шестиугольникъ DFHEGI (фиг. 97), вершины котораго суть точки пересѣченія сторонъ тр~-ка съ параллелями Лемуана, называется шестиугольникомъ Лемуана (Casey).

Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что вершины шестиугольника Лемуана находятся на первой окружности Лемуана.

Три стороны шестиугольника Лемуана, не лежащія на сторонахъ тр~-ка, суть равныя антипараллели его.

Стороны шестиугольника Лемуана, лежащія на сторонахъ тр~-ка, пропорціональны кубамъ этихъ сторонъ.

Параллели Лемуана дѣлятъ шестиугольникъ Лемуана на тр~-ки подобные.

38. Теорема. Радикальная ось первой окружности Лемуана и окружности, описанной около тр~-ка, есть прямая Паскаля шестиугольника Лемуана.

Обозначимъ чрезъ X пересѣченіе противоположныхъ сторонъ DF и EG шестиугольника Лемуана (фиг. 97). Такъ какъ DF антипараллельна BC, то точки D, F, B и C находятся на одной окружности (V, 3); радикальная ось этой окружности и первой окружности Лемуана проходитъ чрезъ X. Радикальная ось BC той~-же окружности и окружности ABC также проходитъ чрезъ X; слѣдовательно, радикальная ось первой окружности Лемуана и окружности ABC проходитъ чрезъ пересѣченіе DF и EG (III, 34). Такъ какъ разсужденіе это примѣнимо къ каждой парѣ противоположныхъ сторонъ шестиугольника Лемуана, то прямая Паскаля его (I, 11) есть радикальная ось первой окружности Лемуана и окружности ABC.

39. Теорема. Поляра точки Лемуана относительной первой окружности Лемуана есть прямая Паскаля шестиугольника Лемуана.

Точка Лемуана K есть пересѣченіе діагоналей чет~-ка DFEG (фиг. 97), вписаннаго въ окружность Лемуана; поэтому полярою точки K относительно этой окружности будетъ третья (внѣшняя) діагональ этого чет~-ка, т. е. прямая, проходящая чрезъ пересѣченіе X сторонъ DF и EG. Это справедливо для каждой пары противоположныхъ сторонъ шестиугольника DFHEGI; слѣдовательно, поляра точки K относительно окружности Лемуана проходитьъ чрезъ точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ шестиугольника Лемуана, т. е. совпадаетъ съ его прямою Паскаля.

Слѣдствіе. Изъ послѣднихъ двухъ теоремъ слѣдуетъ, что прямая Паскаля шестиугольника Лемуана перпендикулярна къ прямой KO, соединяющей точку Лемуана тр~-ка съ центромъ описаннаго круга.

Поляра точки Лемуана относительно первой окружности Лемуана есть радикальная ось этой окружности и окружности, описанной около тр~-ка.

40. Теорема. Если діагонали шестиугольника Лемуана FI и DH, EF и HG, IE и GD пересѣкаются въ точкахъ p, q, r, то тр~-ки ABC и pqr гомологичны (фиг. 97).

Положимъ, что прямыя Ap и Bq пересѣкаются въ точкѣ T. Обозначая перпендикуляръ изъ какой-либо точки Z на какую-либо прямую MN чрезъ (Z,MN), получимъ \frac{(T,AB)}{(T,AC)}=\frac{(p,AB)}{(p,AC)}; но тр~-ки pFH и pDI подобны, поэтому (36) \frac{(p,AB)}{(p,AC)}=\frac {FH}{DI}=\frac{c^3}{b^3}; слѣдовательно, \frac{(T,AB)} {(T,AC)}=\frac{c^3}{b^3} и по аналогіи \frac{(T,BC} {(T,AB)}=\frac{a^3}{c^3}; отсюда \frac{(T,BC)}{(T,AC)}= \frac{a^3}{b^3}, т. е. прямая Cr проходитъ чрезъ точку T.

Слѣдствіе. Разстоянія центра гомологіи T тр~-въ ABC и pqr отъ сторонъ тр~-ка ABC пропорціональны кубамъ этихъ сторонъ, т. е. \frac{(T,BC)}{a^3}=\frac{(T,AC)}{b^3}=\frac{(T,AB)}{c^3}.

41. Теорема. Точки пересѣченія параллелей Лемуана съ антипараллельными имъ сторонами шестиугольника Лемуана находятся на полярѣ точки T (40) относительно первой окружности Лемуана.

Обозначимъ чрезъ P, Q, R точки пересѣченія параллелей Лемуана HI, FG, DE съ сторонами шестиугольника Лемуана DF, EH, GI (фиг. 97). Такъ какъ тр~-ки ApP, BqQ, CrR автополярны относительно окружности Лемуана, то (III, 11) вершины ихъ P, Q, R суть полюсы ихъ сторонъ Ap, Bq, Cr относительно этой окружности. Но по предыдущей теоремѣ прямыя Ap, Bq, Cr пересѣкаются въ одной точкѣ T; слѣдовательно (III, 5), полюсы ихъ P, Q, R находятся на полярѣ точки T относительно окружности Лемуана.

42. Антипараллели Лемуана. Антипараллели тр~-ка, проходящія чрезъ его точку Лемуана, называются антипараллелями Лемуана этого тр~-ка.

Антипараллели Лемуана равны и дѣлятся въ точкѣ Лемуана пополамъ (27).

Каждая изъ антипараллелей Лемуана вдвое больше антипараллели тр~-ка, дѣлящей пополамъ разстояніе его вершины отъ точки Лемуана; поэтому, если DD', EE', FF' суть антипараллели Лемуана тр~-ка ABC (фиг. 98), то (35) DD'=EE'=FF'=\frac{2abc}{a^2+b^2+c^2}.

43. Теорема. Точки пересѣченія антипараллелей Лемуана съ сторонами тр~-ка находятся на одной окружности.

Ибо, если K обозначаетъ точку Лемуана тр~-ка ABC (фиг. 98), то KD=KD'=KE=KE'=KF=KF'.

Вторая окружность Лемуана (second cercle de Lemoine). Окружность, проходящая чрезъ точки пересѣченія сторонъ тр~-ка съ антипараллелями Лемуана, называется второю окружностью Лемуана.

Центръ второй окружности Лемуана находится въ точкѣ Лемуана K.

Радіусъ R_2 второй окружности Лемуана опредѣляется формулой R_2=\frac{abc}{a^2+b^2+c^2}.

44. Такъ какъ діагонали чет~-въ DED'E', EFE'F' и FDF'D' равны и дѣлятся въ пересѣченіи (K) пополамъ, что чет~-ки эти суть прямоугольники; поэтому DE=D'E'{,}\quad EF=E'F'{,}\quad FD=F'D'; изъ равенства~-же дугъ DF' и D'F, EF' и E'F и т. д. слѣдуетъ, что \angle FDE=\angle A{,}\quad\angle DEF=\angle B{,}\quad \angle EFD=\angle C; значитъ, тр~-ки DEF и D'E'F' равны между собою и подобны тр~-ку ABC.

Стороны тѣхъ~-же тр~-въ перпендикулярны къ соотвѣтственнымъ сторонамъ тр~-ка ABC.

Обозначимъ чрезъ A'B'C' тр~-къ, составленный продолженными прямыми DF', ED' и FE'; такъ какъ эти прямыя параллельны сторонамъ тр~-ка ABC, то чет~-ки ADA'D', BEB'E', CFC'F' суть параллелограммы; поэтому прямыя AA', BB', CC' пересѣкаются въ точкѣ K и AB=A'B'{,}\quad BC=B'C'{,}\quad CA=C'A'; слѣдовательно, тр~-ки ABC и A'B'C' равны и гомотетичны (II, 30); центромъ гомотетіи ихъ служитъ ихъ общая точка Лемуана K.

45. Теорема. Отрѣзки сторонъ тр~-ка, заключающіеся внутри второй окружности Лемуана, пропорціональны cosi­nus’амъ противолежащихъ угловъ его.

Дѣйствительно, такъ какъ (фиг. 98) \angle D'DA=\angle C{,}\quad \angle EE'B=\angle A{,}\quad \angle F'FC=\angle B, то изъ равнобедренныхъ тр~-въ DKE', EKF' и FKD' слѣдуетъ, что \frac{DE'}2=R_2\cos C,~\frac{EF'}2=R_2\cos A,~\frac{FD'}2=R_2\cos B; отсюда \frac{EF'}{\cos A}=\frac{FD'}{\cos B}=\frac{DE'}{\cos C}=2R_2, гдѣ R_2 --- радіусъ второй окружности Лемуана.

Вслѣдствіе этого свойства второй кругъ (или окружность) Лемуана въ Англіи называютъ кругомъ cosi­nus’овъ (cosine circle).

46. Второй шестиугольникъ Лемуана. Шестиугольникъ DF'ED'FE' (фиг. 98), вершины котораго суть точки пересѣченія сторонъ тр~-ка съ антипараллелями Лемуана, называется вторымъ шестиугольникомъ Лемуана.

Вершины второго шестиугольника Лемуана находятся на второй окружности Лемуана.

Противоположныя стороны второго шестиугольника Лемуана попарно равны и параллельны.

Параллельныя стороны второго шестиугольника Лемуана пропорціональны cosi­nus’амъ противолежащихъ угловъ тр~-ка.

47. Окружности, сходственныя со второю окружностью Лемуана (cercles associés au second cercle de Lemoine). Обозначимъ чрезъ K_1, K_2, K_3 внѣшніе центры симедіанъ тр~-ка ABC (фиг. 99). Если чрезъ K_1 провести антипараллели тр~-ка, то одна изъ этихъ прямыхъ, антипараллельная BC, пересѣчется съ AC и AB въ точкахъ D и E; другія~-же двѣ совпадутъ съ внѣшними симедіанами тр~-ка K_1K_2 и K_1K_3, такъ что вершины тр~-ка B и C можно разсматривать какъ совпадающія точки пересѣченія сторонъ тр~-ка BA и BC, CA и CB съ антипараллелями тр~-ка, проходящими чрезъ K_1.

Точки B, C, D, E находятся на одной окружности (V, 3). Такъ какъ \angle K_1BC=\angle K_1CB=\angle A, \angle K_1CD=\angle K_1DC=\angle B, \angle K_1BE=\angle K_1EB=\angle C, то K_1B=K_1C=K_1D=K_1E; слѣдовательно, центръ окружности BCDE находится въ точкѣ K_1. Эта окружность и аналогичныя съ ней, имѣющія центрами точки K_2 и K_3, называются окружностями, сходственными со второю окружностью Лемуана.

48. Изъ предыдущаго видно, что центры окружностей, сходственныхъ со второю окружностью Лемуана, суть внѣшніе центры симедіанъ тр~-ка.

Каждая изъ этихъ окружностей проходитъ чрезъ двѣ вершины тр~-ка и касается въ этихъ точкахъ двухъ другихъ окружностей.

Такъ какъ внѣшніе центры симедіанъ K_1, K_2, K_3 тр~-ка ABC суть вершины тангенціальнаго тр~-ка, то можно сказать, что окружности, сходственныя со второю окружностью Лемуана даннаго тр~-ка, суть окружности, описанныя около вершинъ тангенціальнаго тр~-ка такъ, что каждая изъ нихъ касается двухъ другихъ.

49. Обозначимъ радіусъ окружности BCDE чрезъ R_2'. Изъ равнобедренныхъ тр~-въ BK_1C, CK_1D и BK_1E слѣдуетъ, что \frac{BC}2=R_2'\cos A,~\frac{DC}2=R_2'\cos B,~\frac{BE}2=R_2'\cos C; отсюда \frac{BC}{\cos A}=\frac{DC}{\cos B}=\frac{BE}{\cos C}=2R_2', т. е. отрѣзки сторонъ тр~-ка, заключающіеся въ окружностяхъ, сходственныхъ со второю окружностью Лемуана, пропорціональны cosi­nus’амъ противолежащихъ угловъ тр~-ка.

Вслѣдствіе этого свойства, окружности, сходственныя со второю окружностью Лемуана, называютъ также окружностями cosi­nus’овъ.

50. Теорема. Если гомотетичные тр~-ки ABC и abc имѣютъ центромъ гомотетіи ихъ общую точку Лемуана K, то шесть точекъ пересѣченія непараллельныхъ сторонъ ихъ находятся на одной окружности (фиг. 100).

Положимъ, что \table{ ab&\mbox{пересѣкается}&\mbox{съ}&AC&\mbox{и}&BC&\mbox{въ}&D'&\mbox{и}&E,\\ bc&\mbox{„}&\mbox{съ}&AB&\mbox{и}&AC&\mbox{въ}&E'&\mbox{и}&F,\\ ca&\mbox{„}&\mbox{съ}&BC&\mbox{и}&AB&\mbox{въ}&F'&\mbox{и}&D.}

Чет~-ки ADaD', BEbE', CFcF' суть параллелограммы; поэтому прямыя DD', EE', FF' дѣлятся пополамъ симедіанами AK, BK, CK въ точкахъ m, n, p; слѣдовательно (12), эти прямыя суть антипараллели тр~-ка ABC. Но стороны тр~-въ ABC и abc по предположенію параллельны; поэтому изъ равенствъ Am=ma{,}\quad Bn=nb{,}\quad Cp=pc слѣдуетъ, что прямыя mn, np и pm соотвѣтственно параллельны сторонамъ тр~-ка AB, BC и CA, а потому \frac{KA}{Km}=\frac{KB}{Kn}=\frac{KC}{Kp}; слѣдовательно (30), DD'=EE'=FF', и точки D, D', F, F', E, E' находятся на одной окружности (V, 6).

Обозначимъ чрезъ O и o центры круговъ, описанныхъ около тр~-въ ABC и abc; точки эти, какъ соотвѣтственныя тр~-въ ABC и abc, находятся на прямой, проходящей чрезъ центръ гомотетіи этихъ тр~-въ K (II, 30).

Соединивъ средину O' отрѣзка Oo съ срединами m, n, p прямыхъ DD', EE', FF' и замѣтивъ, что O'm параллельна радіусу OA окружности ABC и потому перпендикулярна къ DD' (V, 4), заключаемъ, что O' есть центръ окружности DD'FF'EE'.

51. Окружности Тукера (cercles de Tucker). Окружность, проходящая чрезъ точки пересѣченія сторонъ гомотетичныхъ тр~-въ ABC и abc (фиг. 100), имѣющихъ центромъ гомотетіи ихъ общую точку Лемуана, называется окружностью Тукера тр~-ка ABC (Neuberg).

Понятно, что для каждаго тр~-ка можно построить безчисленное множество окружностей Тукера.

Центры окружностей Тукера даннаго тр~-ка находятся на прямой, соединяющей его точку Лемуана (K) съ центромъ описаннаго круга (O).

Каждая окружность Тукера проходитъ чрезъ точки пересѣченія сторонъ тр~-ка съ равными антипараллелями его. Если эти антипараллели дѣлятъ пополамъ отрѣзки симедіанъ тр~-ка отъ вершинъ его до точки Лемуана, то окружность Тукера обращается въ первую окружность Лемуана (34). Если~-же онѣ проходятъ чрезъ точку Лемуана тр~-ка, то получается вторая окружность Лемуана (43). Такимъ образомъ, окружности Лемуана суть частные случаи окружностей Тукера.

52. Слѣдствія. Изъ равенствъ дугъ DD', EE' и FF' слѣдуетъ, что DE=D'E'{,}\quad EF=E'F'{,}\quad FD=F'D' и \angle EDF=\angle E'D'F'=\angle A{,}\quad \angle DEF=\angle D'E'F'=\angle B; слѣдовательно, тр~-ки DEF и D'E'F' равны между собою и подобны тр~-ку ABC.

Тр~-къ a'b'c', составленный продолженными антипараллелями DD', EE' и FF', гомотетиченъ съ тр~-мъ K_1K_2K_3, составленнымъ внѣшними симедіанами тр~-ка ABC. Центръ гомотетіи этихъ тр~-въ находится въ точкѣ Лемуана тр~-ка ABC.

Точки пересѣченія внѣшнихъ симедіанъ тр~-ка ABC, т. е. его антипараллелей, проходящихъ чрезъ вершины, съ продолженіями сторонъ тр~-ка abc находятся на одной окружности LL'NN'MM' (фиг. 100), концентричной съ окружностью ABC.

Вершины тр~-ка A, B, C можно разсматривать какъ совпадающія точки пересѣченія сторонъ его AB и AC, BA и BC, CB и CA съ антипараллелями, проходящими чрезъ эти вершины. Поэтому окружность, описанная около тр~-ка, есть одна изъ окружностей Тукера.

Точки пересѣченія сторонъ тр~-ка ABC съ его антипараллелями, проходящими чрезъ вершины тр~-ка abc, находятся на одной изъ окружностей Тукера.

53. Шестиугольники Тукера. Шестиугольникъ, вершины котораго суть точки пересѣченія сторонъ тр~-ка съ равными антипараллелями его, называется шестиугольникомъ Тукера.

Вершины шестиугольника Тукера находятся на окружности Тукера (51); поэтому точки пересѣченія противоположныхъ сторонъ шестиугольника Тукера расположены на одной прямой, называющейся прямою Паскаля этого шестиугольника (I, 11).

Шестиугольники Лемуана суть частные случаи шестиугольниковъ Тукера.

54. Теорема. Прямая Паскаля шестиугольника Тукера есть радикальная ось окружности Тукера и окружности, описанной около тр~-ка.

Представимъ себѣ окружность, описанную около чет~-ка BCD'D (фиг. 100); антипараллель DD' есть радикальная ось этой окружности и окружности Тукера DD'F\dots; радикальною осью той~-же окружности и окружности ABC служитъ сторона тр~-ка BC; слѣдовательно (III, 34), радикальная ось окружностей DD'F\dots и ABC проходитъ чрезъ пересѣченіе противоположныхъ сторонъ DD' и EF' шестиугольника Тукера; это вѣрно и для другихъ противоположныхъ сторонъ того~-же шестиугольника; слѣдовательно, радикальная ось окружности Тукера и окружности, описанной около тр~-ка, совпадаетъ съ прямою Паскаля шестиугольника Тукера.

55. Прямая Тукера. Прямая, проходящая чрезъ точку Лемуана тр~-ка (K) и центръ круга, описаннаго около него (O), называется прямою Тукера.

Прямая Тукера есть геометрическое мѣсто центровъ окружностей Тукера (51).

Изъ послѣдней теоремы слѣдуетъ, что прямая Паскаля шестиугольника Тукера перпендикулярна къ прямой Тукера и параллельна полярамъ точки Лемуана относительно окружностей Тукера.

56. Антипараллели Тэйлора (Taylor). Было доказано, что прямыя, соединяющія проэкціи основаній высотъ тр~-ка на его стороны, антипараллельны сторонамъ тр~-ка (V, 10).

Антипараллели тр~-ка, проходящія чрезъ проэкціи основаній его высотъ на прилежащія стороны, называются антипараллелями Тэйлора.

Антипараллели Тэйлора суть равные антипараллели тр~-ка. Если DD', EE', FF' суть антипараллели Тэйлора тр~-ка ABC (фиг. 101), то (V, 10) DD'=EE'=FF'=\frac SR, гдѣ S --- площадь тр~-ка ABC, а R --- радіусъ описаннаго круга. Такъ какъ R=\frac{abc}{4S}, то DD'=EE'=FF'= \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{abc}=\frac{abc}{4R^2}.

Антипараллели Тэйлора даннаго тр~-ка пересѣкаются на его симедіанахъ (17). Поэтому тр~-къ a'b'c', составленный антипараллелями Тэйлора, гомотетиченъ съ тр~-мъ K_1K_2K_3, составленнымъ внѣшними симедіанами тр~-ка ABC (фиг. 101). Центръ гомотетіи этихъ тр~-въ совпадаетъ съ точкою Лемуана K тр~-ка ABC.

57. Теорема. Антипараллели Тэйлора даннаго тр~-ка проходятъ чрезъ средины сторонъ ортоцентрическаго тр~-ка.

Обозначимъ чрезъ H ортоцентръ тр~-ка ABC (фиг. 101), чрезъ H_1, H_2, H_3 --- основанія его высотъ и чрезъ D и D' проэкціи точки H_1 на AB и AC. Окружности, описанныя около тр~-въ ABH_2 и ACH_3, проходятъ чрезъ H_1 и прямая DD' есть прямая Симсона этихъ тр~-въ для точки H_1, ибо по условію прямыя H_1D и H_1D' перпендикулярны къ сторонамъ AB и AC; поэтому, если DD' пересѣкается съ BH_2 и CH_3 въ L и M, то прямыя H_1L и H_1M перпендикулярны къ BH_2 и CH_3 (I, 9). Вслѣдствіе этого DD' есть прямая Симсона тр~-въ BHH_3 и CHH_2, ибо окружности, описанныя около этихъ тр~-въ, проходятъ чрезъ H_1. Но тр~-ки BHH_3 и CHH_2 прямоугольны при H_3 и H_2; поэтому H_3 и H_2 суть ортоцентры этихъ тр~-въ, а потому прямыя H_1H_2 и H_1H_3 дѣлятся пополамъ антипараллелью Тэйлора DD' (I, 26).

58. Слѣдствія. Тр~-къ a'b'c', составленный антипараллелями Тэйлора, есть тр~-къ дополнительный ортоцентрическаго тр~-ка H_1H_2H_3.

Каждая изъ антипараллелей Тэйлора равна половинѣ периметра ортоцентрическаго тр~-ка H_1H_2H_3; поэтому периметръ ортоцентрическаго тр~-ка ABC равенъ (56) \frac{8p(p-a)(p-b)(p-c)}{abc}\quad\mbox{или}\quad\frac{abc}{2R^2}.

Если H', H'', H''' суть ортоцентры тр~-въ AH_2H_3, BH_3H_1, CH_1H_2, то прямыя AH', BH'', CH''' соотвѣтственно перпендикулярны къ H_2H_3, H_3H_1, H_1H_2; но H_2H_3, H_3H_1, H_1H_2 суть антипараллели тр~-ка (V, 8); поэтому AH', BH'', CH''' пересѣкаются въ центрѣ круга (O), описаннаго около тр~-ка ABC.

59. Теорема. Точки пересѣченія сторонъ тр~-ка съ антипараллелями Тэйлора находятся на одной окружности (V, 10).

Окружность Тэйлора (cercle de Taylor). Окружность, проходящая чрезъ точки пересѣченія сторонъ тр~-ка съ антипараллелями Тэйлора, называется окружностью Тэйлора.

Такъ какъ прямыя DF', ED', FE' параллельны сторонамъ тр~-ка ABC (фиг. 101), то тр~-къ abc, составленный этими прямыми, гомотетиченъ съ тр~-мъ ABC.

Діагональ Aa параллелограмма ADaD' проходитъ чрезъ средину другой діагонали его DD'; поэтому Aa совпадаетъ съ симедіаной AK тр~-ка ABC; слѣдовательно, центръ гомотетіи тр~-въ ABC и abc находится въ точкѣ Лемуана K тр~-ка ABC. Отсюда понятно, что окружность Тэйлора есть одна изъ окружностей Тукера (51).

Центръ окружности Тэйлора находится на прямой Тукера (55), т. е. на прямой, проходящей чрезъ точку Лемуана (K) тр~-ка и центръ описаннаго круга (O).

60. Тр~-ки DEF и D'E'F' (фиг. 101) равны между собою и подобны тр~-ку ABC; стороны этихъ тр~-въ составляютъ равные углы съ соотвѣтственными сторонами тр~-ка ABC, такъ что \angle ADE=\angle BEF=\angle CFD=\phi.

Опустимъ изъ E перпендикуляръ EM на AB. Такъ какъ \frac{EM}{CH_3}=\frac{BE}{BC}\quad\mbox{и}\quad\frac{DM}{BH_3}= \frac{H_1E}{BC}, то \tg\phi=\frac{EM}{DM}=\frac{CH_3\cdot BE}{BH_3\cdot H_1}=\frac{CH_3}{BH_3}\cdot\frac{BE}{EH_2}\cdot\frac {EH_2}{H_1E}.

Но \frac{CH_3}{BH_3}=\tg B, \frac{BE}{EH_2}=\tg BH_2E=\tg C,\frac{EH_2}{H_1E}=\tg H_2H_1E=\tg A; слѣдовательно, \tg\phi=\tg A\tg B\tg C.

61. Изъ тригонометріи извѣстно, что отношеніе стороны тр~-ка къ sinus’у противолежащего угла его равно діаметру описаннаго круга; поэтому, обозначивъ чрезъ \rho радіусъ окружности Тэйлора, изъ тр~-ка DEE' (фиг. 101) получимъ: \rho=\frac{EE'}{2\sin\phi}.

Но (56) EE'=\frac{abc}{4R^2}=\frac SR, гдѣ S --- площадь тр~-ка ABC, а R --- радіусъ описаннаго около него круга; слѣдовательно, \rho=\frac S{2R\sin\phi}=R\cdot\frac{\sin A\sin B\sin C}{\sin\phi}.

62. Шестиугольникъ Каталана (hexagone de Catalan). Шестиугольникъ (DE'FD'EF'), вершины котораго суть проэкціи основаній высотъ тр~-ка на его стороны, называется шестиугольникомъ Каталана (фиг. 101).

Изъ предыдущаго видно, что вершины шестиугольника Каталана суть точки пересѣченія сторонъ тр~-ка съ антипараллелями Тэйлора и находятся на окружности Тэйлора.

Діагонали, соединяющія противоположныя вершины шестиугольника Каталана, суть антипараллели Тэйлора и потому равны (56).

Противоположныя стороны шестиугольника Каталана параллельны.

63. Треугольникъ Тэйлора. Тр~-къ a'b'c' (фиг. 101), составленный антипараллелями Тэйлора, называется тр~-мъ Тэйлора.

Тр~-къ Тэйлора гомотетиченъ съ тангенціальнымъ тр~-мъ (K_1K_2K_3), составленнымъ внѣшними симедіанами главнаго тр~-ка, относительно его точки Лемуана (K) (56).

Вершины тр~-ка Тэйлора суть средины сторонъ ортоцентрическаго тр~-ка H_1H_2H_3 (58); поэтому тр~-къ Тэйлора и ортоцентрическій тр~-къ гомотетичны относительно ихъ общаго барицентра. Периметръ тр~-ка Тэйлора равенъ каждой изъ антипараллелей Тэйлора.

Такъ какъ DD', EE', FF' суть равныя хорды круга Тэйлора, то отрѣзки ихъ b'c', c'a' и a'b' равно отстоятъ отъ центра этого круга; слѣдовательно, центръ круга, вписаннаго въ тр~-къ Тэйлора, совпадаетъ съ центромъ окружности Тэйлора.

Точка Лемуана (K) главнаго тр~-ка есть точка Жергона тр~-ка Тэйлора. Ибо, если прямая a'K пересѣкается съ b'c' въ точкѣ \alpha, то b'\alpha=D\alpha-Db'= \frac12DD'-b'H_3= =\frac12(a'b'+b'c'+c'a')-a'c'; слѣдовательно (I, 17), окружность, вписанная въ тр~-къ a'b'c', касается въ точкѣ \alpha стороны b'c', а потому точка Жергона этого тр~-ка совпадаетъ съ точкою K.

64. Обозначивъ ортоцентры тр~-въ AH_2H_3, BH_3H_1, CH_1H_2 чрезъ H', H'', H''' и замѣтивъ, что чет~-ки H'H_2HH_3, H''H_3HH_1, H'''H_1HH_2 суть параллелограммы, заключимъ, что чет~-ки H'H_2H_1H'' и H''H_3H_2H''' также параллелограммы и что прямыя H_1H', H_2H'', H_3H''', какъ діагонали этихъ параллелограммовъ, пересѣкаются въ общей срединѣ ихъ.

Если центръ окружности Тэйлора обозначить чрезъ T, то (63) прямая a'T, какъ биссектриса угла b'a'c' или F'a'E, будетъ перпендикулярна къ BC и параллельна H_3F' (фиг. 101); но H_2a'=H_3a'; слѣдовательно, a'T проходитъ чрезъ чрезъ средину H_2H'', т. е. чрезъ общую точку прямыхъ H_1H', H_2H'', H_3H'''; чрезъ ту~-же точку проходятъ также и прямыя b'T, c'T; значитъ, общая средина прямыхъ H_1H', H_2H'', H_3H''' совпадаетъ съ центромъ окружности Тэйлора T, а потому тр~-ки H_1H_2H_3 и H'H''H''' симметричны относительно точки T, т. е. равны и гомотетичны относительно этой точки, такъ что всякая прямая, соединяющая соотвѣтственныя точки этихъ тр~-въ, проходитъ чрезъ T и дѣлится въ T пополамъ.

вслѣдствіе параллельности прямыхъ H_2H_3 и H''H''', H_3H_1 и H'''H', H_1H_2 и H'H'' прямыя AH', BH'', CH''', пересѣкающіяся въ центрѣ круга O, описаннаго около тр~-ка ABC, перпендикулярны къ сторонамъ тр~-ка H'H''H'''; поэтому ортоцентръ тр~-ка H'H''H''' совпадаетъ съ точкою O и, на основаніи предыдущаго, ортоцентръ H_0 тр~-ка H_1H_2H_3 находится на прямой OT, такъ что OT=TH_0. Итакъ: прямая Тукера проходитъ чрезъ ортоцентръ ортоцентрическаго тр~-ка; центръ круга описаннаго около тр~-ка и ортоцентръ ортоцентрическаго тр~-ка равно отстоятъ отъ центра окружности Тэйлора (Tucker).

65. Теорема. Окружности Тэйлора тр~-въ BHC, CHA, AHB проходятъ чрезъ точки пересѣченія сторонъ ихъ съ антипараллелями Тэйлора тр~-ка ABC.

Пусть DD', EE', FF' суть антипараллели Тэйлора тр~-ка ABC (фиг. 102); обозначимъ точки пересѣченія ихъ съ BH и CH чрезъ L, M, P и Q. Было уже доказано (57), что H_1L и H_1M перпендикулярны къ BH и CH; при помощи аналогичныхъ разсужденій легко убѣдиться, что H_3P и H_2Q перпендикулярны также къ BH и CH. Слѣдовательно, точки L, M, P и Q, какъ и F', E, суть проэкціи основаній высотъ тр~-ка BHC на его стороны, а потому онѣ находятся на окружности Тэйлора этого тр~-ка.

66. Слѣдствія. Прямыя LM, F'P и EQ суть антипараллели Тэйлора тр~-ка BHC (56); поэтому онѣ равны и равно удалены отъ центра окружности Тэйлора T_1 этого тр~-ка; слѣдовательно, центръ окружности Тэйлора T_1 тр~-ка BHC совпадаетъ съ центромъ круга внѣвписаннаго въ тр~-къ Тэйлора a'b'c'. Такимъ образомъ, окружности Тэйлора T, T_1, T_2, T_3 тр~-въ ABC, BHC, CHA, AHB концентричны съ окружностями вписанной и внѣвписанными въ тр~-къ Тэйлора a'b'c'.

Такъ какъ ортоцентръ H и вершины тр~-ка ABC суть центры окружностей вписанной и внѣвписанныхъ въ ортоцентрическій тр~-къ H_1H_2H_3 (I, 42), который гомотетиченъ съ тр~-мъ Тэйлора a'b'c', то центры окружностей Тэйлора T, T_1, T_2, T_3 и точки H, A, B, C суть соотвѣтственныя точки тр~-въ H_1H_2H_3 и a'b'c', такъ что прямыя HT, AT_1, BT_2, CT_3 проходятъ чрезъ общій барицентръ G_0 этихъ тр~-въ и дѣлятся въ этой точкѣ въ отношеніи 2:1.

Радикальныя оси окружностей T_1, T_2, T_3 суть высоты тр~-ка ABC; радикальныя оси каждой изъ этихъ окружностей и окружности T суть стороны этого тр~-ка.

67. Теорема. Окружность Тэйлора T тр~-ка ABC ортогональна съ окружностями, внѣвписанными въ ортоцентрическій тр~-къ H_1H_2H_3.

Обозначимъ чрезъ p радіусъ круга, внѣвписаннаго въ тр~-къ H_1H_2H_3 и касающегося стороны его H_2H_3; такъ какъ центръ этого круга находится въ вершинѣ A тр~-ка ABC (I, 42), то, опустивъ изъ A перпендикуляръ на H_2H_3, изъ подобія тр~-въ AH_2H_3 и ABC получимъ (фиг. 102): \frac{p^2}{\overline{AH_1}{}^2}=\frac{\overline {AH_3}{}^2}{\overline{AC}{}^2}; но \overline{AH_1}{}^2=AC \cdot AD'\quad\mbox{и}\quad \overline{AH_3}{}^2=AC\cdot AF; поэтому p^2=AD'\cdot AF, т. е. p^2=\mbox{квадрату} касательной изъ точки A къ окружности T; слѣдовательно, окружность Тэйлора T ортогональна съ окружностью, внѣвписанною въ тр~-къ H_1H_2H_3 (III, 37).

Подобнымъ~-же образомъ доказывается, что окружности Тэйлора T_1, T_2, T_3 тр~-въ BHC, CHA, AHB ортогональны съ окружностью, вписанною въ тр~-къ H_1H_2H_3, и двумя окружностями, внѣвписанными въ него.

68. Обозначимъ чрезъ r', r_1', r_2', r_3' радіусы круговъ вписаннаго и внѣвписанныхъ въ тр~-къ Тэйлора a'b'c' (фиг. 102); чрезъ a', b', c' --- стороны этого тр~-ка, чрезъ 2p' --- периметръ его и чрезъ \rho, \rho_1, \rho_2, \rho_3 радіусы окружностей Тэйлора T, T_1, T_2, T_3 тр~-ка ABC и тр~-въ BHC, CHA, AHB.

Представимъ себѣ перпендикуляръ T\alpha изъ точки T на b'c'; такъ какъ T\alpha=r'\quad\mbox{и}\quad TD=\rho, то изъ прямоугольнаго тр~-ка TD\alpha получимъ: \rho^2=r'^2+\left(\frac{DD'}2\right)^2; но (63) DD'=2p'; слѣдовательно, \rho^2=r'^2+p'^2.

Если перпендикуляръ изъ T_1 на a'c' обозначить чрезъ T_1\beta, то изъ тр~-ка T_1E\beta, въ которомъ T_1\beta=r_1'\quad\mbox{и}\quad T_1E=\rho_1, получимъ: \rho_1^2=r_1'{}^2+\left(\frac{EQ}2\right)^2; но EQ=EE'-E'Q, EE'=2p'\quad\mbox{и}\quad E'Q=H_2H_3=2a'; слѣдовательно, EQ=2(p'-a'), а потому \rho_1^2=r_1'{}^2+(p'-a')^2 и по аналогіи \rho_2^2=r_2'{}^2+(p'-b')^2, \rho_3^2=r_3'{}^2+(p'-c')^2.

69. Было уже доказано (61), что \rho=R\cdot\frac{\sin A\sin B\sin C}{\sin\phi}, гдѣ \phi опредѣляется формулой (60) \tg\phi=\tg A\tg B\tg C.

Если изъ первой формулы исключить \phi, то получимъ: \rho^2=4R^2(\sin^2A\sin^2B\sin^2C+\cos^2A\cos^2B\cos^2C).

Аналогичнымъ способомъ найдемъ, что \rho_1^2=4R^2(\cos^2A\sin^2B\sin^2C+\sin^2A\cos^2B\cos^2C), \rho_2^2=4R^2(\sin^2A\cos^2B\sin^2C+\cos^2A\sin^2B\cos^2C), \rho_3^2=4R^2(\sin^2A\sin^2B\cos^2C+\cos^2A\cos^2B\sin^2C); сложивъ эти равенства, получимъ: \rho^2+\rho_1^2+\rho_2^2+ \rho_3^2=4R^2; т. е. сумма квадратовъ радіусовъ окружностей Тэйлора T, T_1, T_2, T_3 тр~-въ ABC, BHC, CHA, AHB равна квадрату діаметра окружности, описанной около тр~-ка ABC (Casey).

Упражненія.

1. Если G и H суть барицентръ и ортоцентръ тр~-ка ABC, то прямая, соединяющая точки пересѣченія прямыхъ AG и AH съ окружностью, имѣющею діаметромъ GH, проходитъ чрезъ точку Лемуана тр~-ка K (Brocard).

2. Ортоцентръ тр~-ка и точка Лемуана антидополнительнаго тр~-ка суть изотомически сопряженныя точки перваго тр~-ка (Vigarié).

3. Если двѣ симедіаны тр~-ка равны, то тр~-къ равнобедренный (Lemoine).

4. Ортоцентръ тр~-ка, его точка Лемуана и точка Лемуана ортоцентрическаго тр~-ка находятся на одной прямой (Vigarié).

5. Прямыя, соединяющія основанія высотъ тр~-ка H_1, H_2, H_3 съ внѣшними центрами симедіанъ его K_1, K_2, K_3, пересѣкаются на прямой Эйлера HO.

6. Центръ круга, описаннаго около тр~-ка K_1K_2K_3, составленнаго внѣшними симедіанами тр~-ка ABC, находится на прямой Эйлера HO этого тр~-ка.

7. Прямыя, соединяющія вершины тр~-ка ABC съ срединами прямыхъ OK_1, OK_2, OK_3, соединяющихъ центръ описаннаго круга съ внѣшними центрами симедіанъ, пересѣкаются въ одной точкѣ, изогонально сопряженной съ центромъ окружности Эйлера.

8. Если K и G суть точка Лемуана и центръ тяжести (барицентръ) тр~-ка ABC, то діаметры окружностей AKB, BKC, CKA обратно пропорціональны медіанамъ тр~-ка, а діаметры окружностей AGB, BGC, CGA обратно пропорціональны отрѣзкамъ AK, BK, CK.

9. Если симедіаны двухъ тр~-въ совпадаютъ, то стороны одного изъ нихъ пропорціональны медіанамъ другого.

10. Если прямыя, соединяющія вершины двухъ тр~-въ съ общимъ центромъ тяжести, параллельны, то ось гомологіи ихъ проходитъ чрезъ ихъ центръ тяжести (Cay).

11. Прямыя, соединяющія проэкціи точки Лемуана K тр~-ка ABC на его стороны, перпендикулярны къ медіанамъ этого тр~-ка.

12. Если H_1, H_2, H_3 суть основанія высотъ тр~-ка ABC, а K', K'', K''' --- проэкціи точки Лемуана K этого тр~-ка на его стороны, то точки, симметричныя съ K', K'', K''' относительно K суть точки Лемуана тр~-въ AH_2H_3, BH_3H_1, CH_1H_2.

13. Окружности гомотетіи круга, описаннаго около тр~-ка, и каждаго изъ круговъ Тукера имѣютъ общую радикальную ось.

14. Квадратъ діаметра первой окружности Лемуана равенъ суммѣ квадратовъ радіусовъ второй окружности Лемуана и окружности, описанной около тр~-ка.

15. Если центръ окружности Тукера дѣлитъ разстояніе OK между центромъ круга, описаннаго около тр~-ка, и его точкою Лемуана въ отношеніи m:n, то радіусъ R' круга Тукера равенъ R'=\frac{\sqrt{m^2R_2^2+n^2R^2}}{m+n}, гдѣ R_2 --- радіусъ второй окружности Лемуана, а R --- радіусъ круга, описаннаго около тр~-ка.

16. Если K есть точка Лемуана тр~-ка ABC, то a^2\cdot\overline{AK}{}^2+b^2\cdot\overline{BK}{}^2+c^2\cdot \overline{CK}{}^2=\frac{3a^2b^2c^2}{a^2+b^2+c^2}, гдѣ a, b, c суть стороны тр~-ка (Thiry).

17. Если m_1, m_2, m_3 суть медіаны того~-же тр~-ка, то (a\cdot AK):(b\cdot BK):(c\cdot CK)=m_1:m_2:m_3.

18. Точка Лемуана прямоугольнаго тр~-ка находится на срединѣ его высоты, опущенной на гипотенузу.

ГЛАВА VII.

ГЛАВА VII.
О подобныхъ фигурахъ.

1. Подобные многоугольники. Два подобныхъ мног~-ка ABC\dots и A'B'C'\dots называютъ прямо подобными (di­recte­ment sem­blables) или сходственно расположенными, если обходъ по периметрамъ ихъ чрезъ соотвѣтственныя вершины совершается въ одномъ направленіи, напр., по направленію движенія часовой стрѣлки; въ противномъ случаѣ подобные мног~-ки называютъ обратно подобными или симметрично подобными (symétrique­ment sem­blables).

Мног~-къ, симметричный съ однимъ изъ двухъ прямо подобныхъ мног~-въ относительно какой-либо прямой, обратно подобенъ другому.

2. Теорема. Соотвѣтственныя стороны прямо подобныхъ мног~-въ составляютъ равные углы.

Положимъ, что соотвѣтственныя стороны AB и A'B' прямо подобныхъ мног~-въ ABC\dots и A'B'C'\dots (фиг. 103) пересѣкаются (при продолженіи) въ точкѣ X и образуютъ уголъ \angle AXA'=\alpha. Если повернуть мног~-къ A'B'C'\dots около точки X такъ, чтобы прямая XA'B' совпала съ прямой XAB, то всѣ стороны этого мног~-ка отклонятся отъ начальнаго положенія ихъ на уголъ \alpha и сдѣлаются параллельными соотвѣтственнымъ сторонамъ мног~-ка ABC\dots; слѣдовательно, всѣ углы, составляемые соотвѣтственными сторонами мног~-въ ABC\dots и A'B'C'\dots равны \alpha.

Слѣдствіе. Прямо подобные мног~-ки чрезъ вращеніе одного изъ нихъ въ его плоскости дѣлаются гомотетичными.

Обратно подобные мног~-ки чрезъ вращеніе ихъ въ ихъ плоскости не дѣлаются гомотетичными.

3. Точки M и M', связанныя съ подобными мног~-ми ABC\dots и A'B'C'\dots (фиг. 103) называютъ соотвѣтственными (homo­logues), если прямыя, соединяющія ихъ съ соотвѣтственными вершинами мног~-въ (напр., A и A', B и B') образуютъ подобные тр~-ки.

Прямыя, соединяющія соотвѣтственныя точки подобныхъ мног~-въ съ соотвѣтственными вершинами ихъ, пропорціональны.

Разстоянія соотвѣтственныхъ точекъ подобныхъ мног~-въ отъ соотвѣтственныхъ сторонъ ихъ пропорціональны.

Проэкціи соотвѣтственныхъ точекъ подобныхъ мног~-въ на соотвѣтственныя стороны ихъ дѣлятъ эти стороны на части пропорціональныя.

Если точки M и M', N и N' суть соотвѣтственныя точки подобныхъ мног~-въ ABC\dots и A'B'C'\dots, то прямыя MN и M'N' суть соотвѣтственныя прямыя этихъ мног~-въ.

Соотвѣтственныя прямыя подобныхъ мног~-въ составляют равные углы.

Разстоянія соотвѣтственныхъ прямыхъ подобныхъ мног~-въ отъ соотвѣтственныхъ точекъ ихъ пропорціональны.

4. Центръ подобія (centre de simi­litude). Центромъ подобія или двойною точкою (point double) подобныхъ фигуръ называется точка, въ которой совпадаютъ соотвѣтственныя точки этихъ фигуръ.

Разстоянія центра подобія фигуръ отъ ихъ соотвѣтственныхъ точекъ или прямыхъ пропорціональны.

Проэкціи центра подобія фигуръ на ихъ соотвѣтственныя стороны дѣлятъ эти стороны на части пропорціональныя.

Прямая, разстоянія всѣхъ точекъ которой отъ соотвѣтственныхъ сторонъ двухъ подобныхъ фигуръ пропорціональны этимъ сторонамъ, проходитъ чрезъ центръ подобія этихъ фигуръ.

5. Точка пропорціональнаго дѣленія (point des divi­sions pro­por­tion­nel­les, F. J.). Точкою или центромъ пропорціональнаго дѣленія отрѣзковъ двухъ (или нѣсколькихъ) прямыхъ линій называется точка, проэкціи которой на эти прямыя дѣлятъ ихъ на части пропорціональныя.

Теорема. Геометрическое мѣсто точекъ пропорціональнаго дѣленія двухъ данныхъ прямолинейныхъ отрѣзковъ есть прямая, проходящая чрезъ точки пересѣченія соотвѣтственныхъ перпендикуляровъ, возставленныхъ въ концахъ этихъ отрѣзковъ.

Положимъ, что A и A', B и B' суть соотвѣтственные концы отрѣзковъ AB и A'B' (фиг. 104). Обозначимъ точки пересѣченія перпендикуляровъ къ этимъ отрѣзкамъ въ A и A', B и B' чрезъ X и Y. Если изъ какой-нибудь точки M прямой XY опустить перпендикуляры MN и MN' на прямыя AB и A'B', то получимъ: \frac{AN}{NB}=\frac{A'N'}{N'B'}, или \frac{AN}{A'N'}= \frac{NB}{N'B'}=\frac{AB}{A'B'}.

Очевидно, что центръ всякой окружности есть точка пропорціональнаго дѣленія всѣхъ хордъ этой окружности.

6. Центръ подобія двухъ подобныхъ фигуръ F и F' есть центръ пропорціональнаго дѣленія соотвѣтственныхъ сторонъ ихъ (4).

Если AB и A'B' (фиг. 104) суть соотвѣтственныя стороны подобныхъ фигуръ F и F', то центромъ подобія этихъ фигуръ будетъ точка S прямой XY, разстоянія которой отъ сторонъ AB и A'B' пропорціональны этимъ сторонамъ. Ибо при этомъ условіи тр~-ки SAB и SA'B' подобны.

Такъ какъ точка S опредѣляется пересѣченіемъ прямой XY съ другою прямою (проходящею чрезъ пересѣченіе прямыхъ AB и A'B'), то двѣ подобныя фигуры всегда имѣютъ центръ подобія и при томъ только одинъ.

7. Положимъ, что AB и A'B' суть соотвѣтственныя стороны подобныхъ фигуръ F и F' (фиг. 105). Соединимъ соотвѣтственныя точки A и A', B и B' и прямыя AA' и BB' раздѣлимъ гармонически въ точкахъ M и M', N и N' въ отношеніи AB:A'B', такъ что \frac{MA}{MA'}=\frac{M'A}{M'A'}=\frac{AB}{A'B'}~~\mbox{и}~~ \frac{NB}{NB'}=\frac{N'B}{N'B'}=\frac{AB}{A'B'}.

Обозначивъ чрезъ S и S' точки пересѣченія окружностей, имѣющихъ діаметрами отрѣзки MM' и NN', получимъ: \frac{SA}{SA'}=\frac{SB}{SB'}=\frac{AB}{A'B'}~~\mbox{и}~~ \frac{S'A}{S'A'}=\frac{S'B}{S'B'}=\frac{AB}{A'B'}; слѣдовательно, тр~-ки ASB и A'SB', AS'B и A'S'B' подобны; поэтому, если фигуры F и F' прямо подобны, то центръ подобія ихъ находится въ точкѣ S; если~-же эти фигуры обратно подобны, то центромъ подобія ихъ служитъ точка S'.

8. Если стороны AB и A'B' (фиг. 105) раздѣлить гармонически въ точкахъ P и Q, P' и Q' въ отношеніи AA':BB', такъ что \frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QB}=\frac{AA'}{BB'}~~\mbox{и}~~ \frac{P'A'}{P'B'}=\frac{Q'A'}{Q'B'}=\frac{AA'}{BB'}, то, обозначивъ чрезъ S_1 пересѣченіе окружностей, имѣющихъ діаметрами отрѣзки PQ и P'Q', получимъ \frac{S_1A}{S_1B}=\frac{S_1A'}{S_1B'}=\frac{AA'}{BB'}; слѣдовательно, тр~-ки AS_1A' и BS_1B' подобны, а потому \angle AS_1A'=\angle BS_1B'\quad\mbox{и}\quad\angle AS_1B= \angle A'S_1B'; значитъ, тр~-ки AS_1B и A'S_1B' также подобны и общая вершина ихъ S_1 есть центръ подобія фигуръ F и F', т. е. совпадаетъ съ S.

Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что тр~-ки ASA', BSB',\dots подобны.

9. Теорема. Центръ подобія прямо подобныхъ фигуръ есть точка Микеля чет~-ка, вершины котораго суть двѣ пары соотвѣтственныхъ точекъ этихъ фигуръ.

Ибо, если AB и A'B' пересѣкаются въ X (фиг. 105), то \angle AXA'=\angle ASA'\quad\mbox{и}\quad \angle BXB'=\angle BSB'; слѣдовательно, окружности Микеля AXA' и BXB' проходятъ чрезъ S; но окружности эти пересѣкаются въ точкѣ Микеля (I, 46); значитъ, точка Микеля чет~-ка AA'B'B совпадаетъ съ центромъ подобія фигуръ S.

Если AA' и BB' пересѣкаются въ точкѣ Y, то окружности AYB и A'YB' также проходятъ чрезъ точку Микеля чет~-ка AA'B'A, т. е. пересѣкаются въ центрѣ подобія фигуръ S.

10. Слѣдствія. Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что \angle ASA'=\angle BSB'=\angle CSC'=\dots, т. е. что углы, составленные прямыми, соединяющими центръ подобія прямо подобныхъ фигуръ съ соотвѣтственными точками ихъ, равны.

Поэтому, если одну изъ прямо подобныхъ фигуръ (напр., F') повернуть около центра подобія ихъ (S), такъ чтобы двѣ соотвѣтственныя прямыя, проходящія чрезъ центръ подобія (напр., AS и A'S) совпали, то фигуры сдѣлаются гомотетичными относительно центра подобія.

Обратно, если одну изъ двухъ гомотетичныхъ фигуръ повернуть на какой-нибудь уголъ около центра ихъ гомотетіи, то онѣ останутся прямо подобными и центръ гомотетіи будетъ ихъ центромъ подобія.

11. Если A и A', B и B' суть соотвѣтственныя точки обратно подобныхъ фигуръ F и F' (фиг. 105), то центромъ подобія ихъ будетъ точка S' (7).

Углы, составленные прямыми, соединяющими центръ подобія обратно подобныхъ фигуръ съ соотвѣтственными точками ихъ, имѣютъ общую биссектрису.

Ибо, если прямая KL (фиг. 105) дѣлитъ пополамъ уголъ AS'A', то изъ равенствъ \angle AS'K=\angle A'S'K\quad\mbox{и}\quad \angle AS'B=\angle A'S'B' слѣдуетъ, что \angle BS'L=\angle B'S'L.

12. Прямыя AA' и BB' раздѣлены въ точкахъ M и M', N и N' гармонически такъ, что (7) \frac{MA}{MA'}=\frac{M'A}{M'A'}=\frac{AB}{A'B'}~~\mbox{и}~~ \frac{NB}{NB'}=\frac{N'B}{N'B'}=\frac{AB}{A'B'}; но \frac{AB}{A'B'}=\frac{AS'}{A'S'}=\frac{BS'}{B'S'}; слѣдовательно, \frac{MA}{MA'}=\frac{M'A}{M'A'}=\frac{AS'}{A'S'}~~\mbox{и}~~ \frac{NB}{NB'}=\frac{N'B}{N'B'}=\frac{BS'}{B'S'}; поэтому (I, 7) внутренняя биссектриса KL угловъ AS'A' и BS'B' проходитъ чрезъ точки M и N; внѣшняя биссектриса тѣхъ~-же угловъ, т. е. прямая, перпендикулярная въ S' къ KL, проходитъ чрезъ точки M' и N'.

13. Оси подобія (axes de simili­tude). Общія внутренняя и внѣшняя биссектрисы угловъ, составленныхъ прямыми, соединяющими центръ подобія обратно подобныхъ фигуръ съ соотвѣтственными точками ихъ, называютъ осями подобія или осями симметріи (axes de symé­trie) этихъ фигуръ.

Если плоскость, въ которой расположены обратно подобныя фигуры F и F' перегнуть на 180^\circ около какой-либо изъ осей подобія, то фигуры эти сдѣлаются гомотетичными относительно ихъ центра подобія.

14. Дополнительныя и антидополнительныя точки (points com­plé­men­taires et anti­com­plé­men­taires, Long­champs). Пусть A'B'C' и A''B''C'' суть тр~-ки дополнительный и антидополнительный для тр~-ка ABC.

Эти тр~-ки гомотетичны относительно общаго барицентра ихъ G (фиг. 106).

Если M, M', M'' суть соотвѣтственныя точки тр~-въ ABC, A'B'C, A''B''C'', то точка M' называется дополнительною, а M'' --- антидополнительною точки M. Такія три точки, какъ соотвѣтственныя гомотетичныхъ тр~-въ ABC, A'B'C' и A''B''C'', находятся на одной прямой, проходящей чрезъ ихъ центръ гомотетіи G, при чемъ GM'=\frac12GM\quad\mbox{и}\quad GM''=2GM.

Отсюда слѣдуетъ, что отрѣзокъ MM'' дѣлится пополамъ въ точкѣ M'; отрѣзокъ MM' дѣлится гармонически въ точкахъ G и M'' въ отношеніи 2:1.

15. Вершины тр~-въ A'B'C' и A''B''C'' суть дополнительныя и антидополнительныя точки вершинъ тр~-ка ABC.

Центры I, I', I'' круговъ, вписанныхъ въ тр~-ки ABC, A'B'C' и A''B''C'' суть соотвѣтственныя точки этихъ тр~-въ; поэтому I' и I'' суть дополнительная и антидополнительная точки для точки I; слѣдовательно, эти три точки находятся на одной прямой, проходящей чрезъ барицентръ G тр~-ка ABC (I, 39).

Центръ круга O, описаннаго около тр~-ка ABC, есть ортоцентръ дополнительнаго тр~-ка A'B'C'; поэтому O есть дополнительная точка ортоцентра H тр~-ка ABC; слѣдовательно, прямая Эйлера HO тр~-ка ABC проходитъ чрезъ его барицентръ G (I, 23).

Центръ O' окружности, описанной около тр~-ка A'B'C', т. е. центръ окружности Эйлера, есть точка дополнительная центра круга O, описаннаго около тр~-ка ABC; поэтому O' находится на прямой Эйлера HO и отрѣзокъ GH дѣлится гармонически въ O и O'.

16. Дополнительныя фигуры. Если всѣ точки фигуры F' суть дополнительныя точекъ фигуры F относительно тр~-ка ABC, то фигура F' называется дополнительною фигуры F.

Фигура F и фигура F', дополнительная относительно тр~-ка ABC, гомотетичны относительно барицентра G этого тр~-ка.

Окружность Эйлера тр~-ка ABC есть дополнительная фигура для окружности, описанной около этого тр~-ка; поэтому барицентръ тр~-ка G есть центръ гомотетіи описанной окружности и окружности Эйлера.

17. Треугольникъ и окружность подобія (triangle et cercle de simi­li­tude, Tarry). Положимъ, что F_1, F_2, F_3 суть три фигуры подобныя и сходственно расположенныя (т. е. прямо подобныя).

Пусть S_1, S_2, S_3 суть центры подобія фигуръ F_2 и F_3, F_3 и F_1, F_1 и F_2.

Тр~-къ S_1S_2S_3, вершины котораго суть центры подобія трехъ прямо подобныхъ фигуръ, называется тр~-мъ подобія этихъ фигуръ.

Окружность, описанная около тр~-ка подобія, называется окружностью подобія.

18. Теорема Тарри (Tarry). Тр~-къ, составленный тремя соотвѣтственными прямыми трехъ прямо подобныхъ фигуръ, и тр~-къ подобія этихъ фигуръ гомологичны и имѣютъ центръ гомологіи на окружности подобія.

Положимъ, что соотвѣтственныя прямыя d_1, d_2, d_3 трехъ прямо подобныхъ фигуръ (F_1, F_2, F_3) образуютъ тр~-къ D_1D_2D_3 (фиг. 107).

Обозначимъ чрезъ a_1, a_2, a_3 величины соотвѣтственныхъ отрѣзковъ прямыхъ d_1, d_2, d_3 [отрѣзки эти вообще не равны сторонамъ тр~-ка D_1D_2D_3] и чрезъ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 --- углы между d_2 и d_3, d_3 и d_2, d_1 и d_2. Если чрезъ (X,l) обозначать разстояніе точки X отъ прямой l, то (4) \frac{(S_1,d_2)}{(S_1,d_3)}=\frac{a_2}{a_3},~ \frac{(S_2,d_3)}{(S_2,d_1)}=\frac{a_3}{a_1},~ \frac{(S_3,d_1)}{(S_3,d_2)}=\frac{a_1}{a_2}; слѣдовательно, прямыя S_1D_1, S_2D_2 и S_3D_3 пересѣкаются въ одной точкѣ K, разстоянія которой отъ прямыхъ d_1, d_2, d_3 пропорціональны соотвѣтственнымъ отрѣзкамъ ихъ a_1, a_2, a_3. Такимъ образомъ, тр~-ки S_1S_2S_3 и D_1D_2D_3 гомологичны.

Такъ какъ углы тр~-ка D_1D_2D_3 равны 180^\circ-\alpha_1, 180^\circ-\alpha_2, 180^\circ-\alpha_3 и точка K занимаетъ относительно этого тр~-ка вполнѣ опредѣленное положеніе, то углы D_1KD_2, D_2KD_3, D_3KD_1, а слѣдовательно, и углы S_1KS_2, S_2KS_3, S_3KS_1 имѣютъ опредѣленныя величины; значитъ, центръ гомологіи K тр~-въ D_1D_2D_3 и S_1S_2S_3 находится на окружности подобія S_1S_2S_3.

Точка K называется центромъ гомологіи или центромъ перспективы тр~-ка D_1D_2D_3, составленнаго соотвѣтственными прямыми трехъ прямо подобныхъ фигуръ.

19. Теорема. На окружности подобія трехъ прямо подобныхъ фигуръ есть три постоянныя точки, чрезъ которыя проходятъ соотвѣтственныя прямыя этихъ фигуръ, пересѣкающіяся на окружности подобія (Tarry).

Чрезъ центръ гомологіи K тр~-въ S_1S_2S_3 и D_1D_2D_3 проведемъ прямыя, параллельныя сторонамъ послѣдняго тр~-ка, и обозначимъ точки пересѣченія этихъ прямыхъ съ окружностью подобія чрезъ P_1, P_2, P_3 (фиг. 107). Такъ какъ \frac{(S_1,KP_2)}{(S_1,KP_3)}= \frac{(S_1,d_2)}{(S_1,d_3)}=\frac{a_2}{a_3} и \frac{(S_2,KP_3)}{(S_2,KP_1)}=\frac{(S_2,d_3)}{(S_2,d_1)}= \frac{a_3}{a_1}, то KP_1, KP_2, KP_3 суть соотвѣтственныя прямыя прямо подобныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3. Для различныхъ тр~-въ D_1D_2D_3 точка K имѣетъ различныя положенія на окружности S_1S_2S_3; но точки P_1, P_2, P_3 остаются однѣ и тѣ~-же; ибо, напр., уголъ S_1KP_1 равенъ углу, который образуютъ прямыя D_1K и D_2D_3, и потому сохраняетъ постоянную величину.

20. Постоянныя точки (points invariables). Три точки P_1, P_2, P_3 на окружности подобія трехъ прямо подобныхъ фигуръ, чрезъ которыя проходятъ соотвѣтственныя прямыя этихъ фигуръ, пересѣкающіяся на окружности подобія, называются постоянными точками.

Постоянныя точки трехъ прямо подобныхъ фигуръ суть соотвѣтственныя точки этихъ фигуръ.

Ибо изъ равенствъ \angle P_2S_1P_3=180^\circ-\angle P_2KP_3=180^\circ-\angle D_2D_1D_3=\alpha_1 и \frac{S_1P_2}{S_1P_3}=\frac{(S_1,KP_2)}{(S_1,KP_3)}=\frac{a_2}{a_3} слѣдуетъ, что точки P_2 и P_3 суть соотвѣтственныя точки фигуръ F_2 и F_3.

Прямыя, соединяющія постоянныя точки трехъ прямо подобныхъ фигуръ съ какою-нибудь точкою окружности подобія, суть соотвѣтственныя прямыя этихъ фигуръ.

Ибо прямыя KP_1, KP_2, KP_3 проходятъ чрезъ соотвѣтственныя точки P_1, P_2, P_3 фигуръ F_1, F_2, F_3 и параллельны соотвѣтственнымъ прямымъ этихъ фигуръ d_1, d_2, d_3.

21. Постоянный треугольникъ (triangle invariable). Тр~-къ P_1P_2P_3, вершины котораго суть постоянныя точки трехъ прямо подобныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3, называютъ постояннымъ тр~-мъ этихъ фигуръ.

Постоянный тр~-къ трехъ прямо подобныхъ фигуръ обратно подобенъ каждому изъ тр~-въ, составленныхъ соотвѣтственными прямыми этихъ фигуръ.

Ибо, напр., \angle P_1P_3P_2=\angle P_1KP_2=\angle D_1D_3D_2 и т. д.; слѣдовательно, тр~-къ P_1P_2P_3 обратно подобенъ тр~-ку D_1D_2D_3, составленному соотвѣтственными прямыми d_1, d_2, d_3 фигуръ F_1, F_2, F_3 (фиг. 107).

22. Теорема. Тр~-къ, имѣющій вершинами соотвѣтственныя точки трехъ прямо подобныхъ фигуръ, и постоянный тр~-къ этихъ фигуръ гомологичны и имѣютъ центръ гомологіи на окружности подобія (Tarry).

Пусть B_1, B_2, B_3 суть соотвѣтственныя точки прямо подобныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3 (фиг. 107); соединивъ ихъ съ постоянными точками этихъ фигуръ P_1, P_2, P_3, получимъ соотвѣтственныя прямыя, пересѣкающіяся въ N на окружности подобія (20); слѣдовательно, тр~-ки B_1B_2B_3 и P_1P_2P_3 гомологичны относительно точки N.

23. Теорема. Постоянный тр~-къ и тр~-къ подобія трехъ прямо подобныхъ фигуръ гомологичны (Tarry).

Дѣйствительно, такъ какъ точки P_2 и P_3 и прямыя P_2P_1 и P_3P_1 суть соотвѣтственныя подобныхъ фигуръ F_2 и F_3, то \frac{(S_1,P_1P_2)}{(S_1,P_1P_3)}=\frac{S_1P_2}{S_1P_3}=\frac{a_2}{a_3} и по аналогіи \frac{(S_2,P_2P_3)}{(S_2,P_2P_1)}=\frac{S_2P_3}{S_2P_1}=\frac{a_3}{a_1}, \frac{(S_3,P_3P_1)}{(S_3,P_3P_2)}=\frac{S_3P_1}{S_3P_2}=\frac{a_1}{a_2}; слѣдовательно, прямыя S_1P_1, S_2P_2, S_3P_3 пересѣкаются въ одной точкѣ, т. е. тр~-ки P_1P_2P_3 и S_1S_2S_3 гомологичны.

24. Направляющая точка (point directeur). Центръ гомологіи E постояннаго тр~-ка и тр~-ка подобія трехъ прямо подобныхъ фигуръ называется направляющею точкою этихъ фигуръ.

Разстоянія направляющей точки E трехъ прямо подобныхъ фигуръ отъ сторонъ постояннаго тр~-ка P_1P_2P_3, какъ видно изъ доказательства послѣдней теоремы, обратно пропорціональны соотвѣтственнымъ отрѣзкамъ a_1, a_2, a_3 этихъ фигуръ.

Три прямо подобныя фигуры F_1, F_2, F_3 вполнѣ опредѣляются направляющею точкою ихъ E и тр~-мъ подобія S_1S_2S_3 или постояннымъ тр~-мъ P_1P_2P_3.

25. Добавочныя точки (points adjoints). Если точка S_1' фигуры F_1 есть соотвѣтственная общей точки S_1 фигуръ F_2 и F_3 и подобныя~-же значенія имѣютъ точки S_2' и S_3' относительно точекъ S_2 и S_3, то S_1', S_2', S_3' называются добавочными точками трехъ прямо подобныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3.

Теорема. Постоянный тр~-къ P_1P_2P_3, тр~-къ подобія S_1S_2S_3 и тр~-къ S_1'S_2'S_3', имѣющій вершинами добавочныя точки трехъ прямо подобныхъ фигуръ, гомологичны и имѣютъ общій центръ гомологіи въ направляющей точкѣ E этихъ фигуръ (Tarry).

Такъ какъ S_1', S_1 и S_1 суть соотвѣтственныя точки подобныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3, то (20) S_1'P_1, S_1P_2 и S_1P_3 суть соотвѣтственныя прямыя этихъ фигуръ, пересѣкающіяся въ одной точкѣ; значитъ, прямая S_1'P_1 проходитъ чрезъ S_1; подобнымъ~-же образомъ, прямыя S_2'P_2 и S_3'P_3 проходятъ чрезъ S_2 и S_3; слѣдовательно, тр~-ки P_1P_2P_3, S_1S_2S_3 и S_1'S_2'S_3' гомологичны и имѣютъ общій центръ гомологіи въ точкѣ E.

26. Теорема Нейберга (Neuberg). Если три соотвѣтственныя точки прямо подобныхъ фигуръ находятся на одной прямой, то эта прямая проходитъ чрезъ направляющую точку этихъ фигуръ.

Пусть C_1, C_2, C_3 суть соотвѣтственныя точки прямо подобныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3, расположенныя на одной прямой (фиг. 107). Такъ какъ S_2 есть центръ подобія фигуръ F_1 и F_3, то (10) тр~-ки C_1S_2C_3 и P_1S_2P_3 подобны, а потому \angle S_2C_3C_1=\angle S_2P_3P_1=\angle S_2S_1E; подобнымъ~-же образомъ убѣдимся, что \angle S_1C_3C_2=\angle S_1S_2E; слѣдовательно, \angle S_1C_3S_2=\angle S_1ES_2, т. е. точка C_3 находится на окружности S_1ES_2, а потому \angle S_2C_3E+\angle S_2C_3C_1=\angle S_2C_3E+\angle S_2S_1E=180^\circ; значитъ, прямая C_1C_2C_3 проходитъ чрезъ точку E.

27. Слѣдствія. Соотвѣтственныя точки C_1, C_2, C_3 прямо подобныхъ фигуръ, расположенныя на одной прямой, находятся соотвѣтственно на окружностяхъ S_2ES_3, S_3ES_1 и S_1ES_2.

Такъ какъ S_1', S_1 и S_1 суть соотвѣтственныя точки фигуръ F_1, F_2, F_3, то окружность S_2ES_3 проходитъ чрезъ добавочную точку S_1'.

Прямыя P_1C_1, P_2C_2 и P_3C_3 пересѣкаются въ одной точкѣ на окружности подобія.

28. Обозначимъ чрезъ H ортоцентръ тр~-ка ABC, чрезъ H_1, H_2, H_3 --- основанія его высотъ и чрезъ E_1, E_2, E_3 --- точки Эйлера, т. е. средины отрѣзковъ AH, BH, CH. Такъ какъ стороны ортоцентрическаго тр~-ка H_1H_2H_3 антипараллельны сторонамъ тр~-ка ABC, такъ что \angle A=\angle BH_1H_3=\angle CH_1H_2, \angle B=\angle AH_2H_3=\angle CH_2H_1, \angle C=\angle AH_3H_2=\angle BH_3H_1, то тр~-ки AH_2H_3, BH_3H_1 и CH_1H_2 подобны и сходственно расположены.

Отрѣзки AH_2, H_1B и H_1H_2 суть соотвѣтственныя прямыя этихъ тр~-въ; но AH_2=AB\cos A{,}\quad H_1B=AB\cos B{,}\quad H_1H_2=AB\cos C; поэтому, если a_1, a_2, a_3 суть отрѣзки соотвѣтственныхъ прямыхъ этихъ тр~-въ, то \frac{a_1}{\cos A}=\frac{a_2}{\cos B}=\frac{a_3}{\cos C}.

Обозначивъ чрезъ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 углы, составляемые соотвѣтственными прямыми тр~-въ BH_3H_1 и CH_1H_2, CH_1H_2 и AH_2H_3, AH_2H_3 и BH_3H_1, получимъ: \alpha_1=\angle BH_1H_2=180^\circ-\angle A, \alpha_2=\angle CH_2H_3=180^\circ-\angle B, \alpha_3=\angle AH_3H_1=180^\circ-\angle C.

Точки H_1, H_2, H_3 и E_1, E_2, E_3 суть центры подобія и постоянныя точки разсматриваемыхъ тр~-въ; поэтому окружность Эйлера H_1H_2H_3 есть окружность подобія ихъ, ортоцентръ H --- направляющая точка, а вершины тр~-ка ABC --- добавочныя точки. Изъ этого слѣдуетъ, что прямыя, проходящія чрезъ точки E_1, E_2, E_3 и пересѣкающіяся на окружности Эйлера, суть соотвѣтственныя прямыя тр~-въ AH_2H_3, BH_3H_1 и CH_1H_2. Точки пересѣченія всякой прямой, проходящей чрезъ ортоцентръ H, съ окружностями HH_2H_3, HH_3H_1 и HH_1H_2 суть соотвѣтственныя точки тѣхъ~-же тр~-въ.

29. Сопряженныя окружности. Окружности, имѣющія хордами одну изъ сторонъ тр~-ка и касающіяся другой стороны его, будемъ называть сопряженными окружностями (cir­con­fér­ences ad­join­tes, beik­reise, Stei­ner).

Понятно, что сопряженныя окружности касаются сторонъ тр~-ка въ его вершинахъ.

Окружность, имѣющую хордою сторону AB тр~-ка ABC и касающуюся стороны его BC въ точкѣ B, условимся обозначать чрезъ (A,\bar B); здѣсь вторая буква, съ чертою сверху, обозначаетъ точку касанія окружности съ стороной тр~-ка, противолежащей вершинѣ его, обозначенной первою буквою.

Для каждаго тр~-ка ABC можно построить три пары сопряженныхъ окружностей, именно: (A,\bar B)~\mbox{и}~(C,\bar B){,}\quad (B,\bar C)~\mbox{и}~(A,\bar C){,}\quad (C,\bar A)~\mbox{и}~(B,\bar A).

30. Парныя сопряженныя окружности. Двѣ сопряженныя окружности тр~-ка, касающіяся сторонъ его въ общей точкѣ ихъ, называются парными; напр., (A,\bar B) и (C,\bar B) суть парныя сопряженныя окружности.

Теорема. Вторая точка пересѣченія парныхъ сопряженныхъ окружностей (C,\bar A) и (B,\bar A) есть центръ подобія прямо подобныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ тр~-ка CA и BA.

Обозначимъ чрезъ S_1 вторую точку пересѣченія окружностей (C,\bar A) и (B,\bar A) (фиг. 108).

Такъ какъ \angle S_1AB=\angle S_1CA\quad\mbox{и}\quad \angle S_1AC=\angle S_1BA, то \frac{AB}{CA}=\frac{S_1A}{S_1C}=\frac{S_1B}{S_1A}; слѣдовательно, точка S_1 есть центръ подобія тр~-въ S_1AB и S_1CA и вообще прямо подобныхъ фигуръ F_2 и F_3, построенныхъ на AC и AB.

Такъ какъ разстоянія точки S_1 отъ AB и AC пропорціональны этимъ сторонамъ (4), то прямая AS_1 есть симедіана тр~-ка ABC (VI, 14).

31. Положимъ, что прямыя AS_1 и BS_1 (фиг. 108) при продолженіи пересѣкаются съ окружностью, описанною около тр~-ка, въ точкахъ D и E. Такъ какъ \angle ADE=\angle ABE=\angle DAC, то дуги AE и CD равны, а потому AC=DE, кромѣ того, \angle BED=\angle BAD=\angle S_1CA; слѣдовательно, тр~-ки S_1AC и S_1DE равны, а потому AS_1=S_1D.

32. Слѣдствія. Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что общія хорды парныхъ окружностей тр~-ка суть симедіаны этого тр~-ка и потому пересѣкаются въ точкѣ Лемуана (K).

Центры подобія подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3, построенныхъ на сторонахъ тр~-ка ABC, суть точки пересѣченія парныхъ сопряженныхъ окружностей.

Если точки пересѣченія парныхъ сопряженныхъ окружностей (A,\bar B) и (C,\bar B), (B,\bar C) и (A,\bar C), (C,\bar A) и (B,\bar A) суть S_1, S_2, S_3, то тр~-къ S_1S_2S_3 и описанная около него окружность суть тр~-къ и окружность подобія фигуръ F_1, F_2, F_3.

Центръ гомологіи тр~-въ ABC и S_1S_2S_3, т. е. точка Лемуана (K) тр~-ка ABC, находится на окружности подобія (18).

Параллели Лемуана тр~-ка ABC пересѣкаются съ окружностью S_1S_2S_3 въ постоянныхъ точкахъ фигуръ F_1, F_2, F_3 (19---20).

Медіатрисы тр~-ка ABC, т. е. перпендикуляры въ срединахъ его сторонъ, суть соотвѣтственныя прямыя фигуръ F_1, F_2, F_3, пересѣкающіяся въ центрѣ O круга, описаннаго около тр~-ка ABC. Поэтому медіатрисы тр~-ка ABC проходятъ чрезъ постоянныя точки фигуръ F_1, F_2, F_3, и центръ круга ABC находится на окружности подобія S_1S_2S_3 этихъ фигуръ (22).

Если чрезъ A_1 обозначить постоянную точку, относящуюся къ фигурѣ F_1, построенной на BC, то KA_1 параллельна BC и перпендикулярна къ A_1O; слѣдовательно, вписанный въ кругъ S_1S_2S_3 тр~-къ KA_1O --- прямоугольный, а потому центръ этого круга есть средина прямой KO, соединяющей точку Лемуана тр~-ка ABC съ центромъ описаннаго круга.

33. Теорема. Если ABc, BCa, CAb суть подобные и сходственно расположенные тр~-ки, построенные на сторонахъ тр~-ка ABC, то тр~-ки ABC и abc имѣютъ общій центръ тяжести (барицентръ).

Обозначимъ чрезъ M средину AB и продолжимъ прямую cM на разстояніе MD=cM (фиг. 109).

Соединивъ точку D съ вершинами тр~-въ ABC и abc, изъ равенствъ \angle BAc=\angle ABD=\angle CBa находимъ, что \angle ABC=\angle DBa; но \frac{AB}{BC}=\frac{Ac}{Ba}= \frac{BD}{Ba}; слѣдовательно, тр~-ки ABC и DBa прямо подобны, а потому углы, составленные сходственными сторонами ихъ, равны (2), т. е. если DA и AC пересѣкаются въ E, то \angle CEA=\angle DBA=\angle BAc=\angle ACb; отсюда слѣдуетъ, что прямыя aD и bC параллельны. Подобными~-же разсужденіями убѣдимся, что bD и aC параллельны. Значитъ, чет~-къ DaCb --- параллелограмм; поэтому, обозначивъ чрезъ N пересѣченіе его діагоналей, получимъ DN=NC.

Такимъ образомъ, прямыя CM и cN суть медіаны тр~-ка CcD, и точка пересѣченія ихъ G дѣлитъ каждую изъ нихъ такъ, что \frac{CG}{GM}=\frac{cG}{GN}=2.

Но CM и cN суть въ то~-же время медіаны тр~-въ ABC и abc; слѣдовательно, G есть общій центръ тяжести этихъ тр~-въ.

34. Теорема. Три сопряженныя окружности тр~-ка, не имѣющія общихъ точекъ касанія съ сторонами его, пересѣкаются въ одной точкѣ.

Ибо, если окружности (A,\bar B) и (C,\bar A) пересѣкаются въ точкѣ \Om, то (фиг. 110) \angle\Om AB=\angle\Om BC=\angle\Om CA; тѣмъ~-же свойствомъ должны обладать точки пересѣченія окружности (B,\bar C) съ окружностями (A,\bar B) и (C,\bar A); слѣдовательно, окружность (B,\bar C) проходитъ чрезъ точку \Om.

35. Обозначимъ чрезъ A' пересѣченіе прямой A\Om съ стороной тр~-ка ABC (фиг. 110). Такъ какъ \angle B\Om A'=\angle\Om AB+\angle\Om BA=\angle B и \angle C\Om A'=\angle\Om AC+\angle\Om CA=\angle A, то \angle B\Om A'+\angle C\Om A'=\angle B+\angle A, т. е. \angle B\Om C=180^\circ-\angle C и по аналогіи \angle C\Om A=180^\circ-\angle A{,}\quad\angle A\Om B=180^\circ-\angle B.

Окружности (A,\bar C), (B,\bar A) и (C,\bar B) обладаютъ аналогичными свойствами, т. е. пересѣкаются въ одной точкѣ \Om', при чемъ \angle\Om'AC=\angle\Om'BA= \angle\Om'CB и \angle B\Om'C=180^\circ-\angle B,\angle C\Om'A=180^\circ-\angle C,\angle A\Om'B=180^\circ-\angle A.

36. Обозначимъ чрезъ \alpha', \beta', \gamma' точки пересѣченія прямыхъ A\Om, B\Om, C\Om съ окружностью, описанною около тр~-ка ABC, и чрезъ \alpha, \beta, \gamma --- точки пересѣченія этихъ прямыхъ съ окружностями (B,\bar C), (C,\bar A), (A,\bar B). Такъ какъ (фиг. 110) \angle\Om AB=\angle\Om BC=\angle\Om CA, то \smile B\alpha'=\smile C\beta'=\smile A\gamma'.

Уголъ C\Om\alpha' измѣряется полусуммой \frac{\smile C\alpha'+\smile A\gamma'}2=\frac{\smile C\alpha'+\smile B\alpha'}2=\frac{\smile B\alpha'C}2; поэтому \angle AB\gamma=\angle A\Om\gamma=\angle C\Om\alpha'=\angle A; но \angle A\gamma B=180^\circ-\angle A\Om B=180^\circ-(180^\circ-\angle B)=\angle B; слѣдовательно, \angle BA\gamma=\angle C.

Значитъ, тр~-къ B\gamma A обратно подобенъ тр~-ку ABC. То~-же справедливо и для тр~-въ \beta CA и BC\alpha.

37. Слѣдствія. Такъ какъ \angle AB\gamma=\angle A,~\angle CA\beta=\angle B,~\angle BC\alpha=\angle B, то прямыя B\gamma, C\alpha, A\beta параллельны AC, BA и CB.

Изъ равенствъ \angle BA\gamma=\angle C,~\angle AC\beta=\angle B,~\angle CB\alpha=\angle A слѣдуетъ, что прямыя A\gamma, C\beta, B\alpha касаются въ A, C, B окружности ABC.

Окружности (A,\bar C), (B,\bar A) и (C,\bar B), пересѣкающіяся въ точкѣ \Om', обладают аналогичными свойствами.

38. Вслѣдствіе равенства угловъ \Om AB, \Om BC, \Om CA прямыя A\Om, B\Om, C\Om суть соотвѣтственныя подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигур F_3, F_1, F_2, построенныхъ на сторонахъ AB, BC и CA тр~-ка ABC. Поэтому точка пересѣченія этихъ прямыхъ \Om находится на окружности подобія этихъ фигуръ (19), т. е. на окружности, имѣющей діаметромъ разстояніе точки Лемуана тр~-ка (K) отъ центра описаннаго круга (32).

По той~-же причинѣ и точка \Om' находится на окружности подобія фигуръ F_1, F_2, F_3.

39. Обозначимъ чрезъ \omega каждый изъ угловъ \Om AB, \Om BC, \Om CA. Изъ тр~-въ A\Om B, B\Om C, C\Om A слѣдуетъ, что \frac{A\Om}{\sin(B-\omega)}=\frac{B\Om}{\sin\omega}, \frac{B\Om}{\sin(C-\omega)}=\frac{C\Om}{\sin\omega}, \frac{C\Om}{\sin(A-\omega)}=\frac{A\Om}{\sin\omega}; перемноживъ эти равенства, получимъ \sin^3\omega=\sin(A-\omega)\sin(B-\omega)\sin(C-\omega); отсюда \ctg\omega=\ctg A+\ctg B+\ctg C.

Если обозначить чрезъ \omega углы \Om'AC, \Om'BA, \Om'CB, то получится то~-же равенство; слѣдовательно, \angle \Om AB=\angle \Om'AC=\omega; значитъ, \Om и \Om' суть изогонально сопряженныя точки тр~-ка ABC.

40. Окружность Брокара (cercle de Brocard). Окружность, имѣющая діаметромъ прямую KO, соединяющую точку Лемуана тр~-ка ABC съ центромъ описаннаго круга, называется окружностью Брокара

Изъ этого опредѣленія слѣдуетъ, что окружность Брокара концентрична съ первою окружностью Лемуана (VI, 34).

Окружность Брокара есть окружность подобія прямо подобныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3, построенныхъ на сторонахъ тр~-ка (32).

Точки пересѣченія окружности Брокара съ параллелями Лемуана суть постоянныя точки этихъ фигуръ.

41. Первый треугольникъ Брокара (premier triangle de Bro­card). Тр~-къ A_1B_1C_1 (фиг. 111), вершины котораго суть точки пересѣченія окружности Брокара съ параллелями Лемуана тр~-ка ABC, называется первымъ тр~-мъ Брокара.

По этому опредѣленію первый тр~-къ Брокара A_1B_1C_1 есть постоянный тр~-къ прямо подобныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3, построенныхъ на сторонахъ тр~-ка ABC, и потому обратно подобенъ тр~-ку ABC (21). Соотвѣтственныя вершины этихъ тр~-въ суть A и A_1, B и B_1, C и C_1.

42. Вершины A_1, B_1, C_1 перваго тр~-ка Брокара суть соотвѣтственныя точки прямо подобныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3, построенныхъ на BC, CA и AB. Поэтому тр~-ки A_1BC, B_1CA и C_1AB прямо подобны. Отсюда слѣдуетъ, что тр~-ки ABC и A_1B_1C_1 имѣютъ общій барицентръ G (33). Но барицентры подобныхъ тр~-въ суть соотвѣтственныя точки ихъ; поэтому общій барицентръ G тр~-ка ABC и перваго тр~-ка Брокара A_1B_1C_1 есть центръ подобія этихъ тр~-въ (фиг. 111).

43. Оси Штейнера (axes de Steiner). Оси подобія тр~-ка ABC и перваго тр~-ка Брокара A_1B_1C_1 называются осями Штейнера.

Оси Штейнера суть внутренняя и внѣшняя биссектрисы угловъ AGA_1, BGB_1, CGC_1 (13).

44. Такъ какъ вершины A_1, B_1, C_1 перваго тр~-ка Брокара суть соотвѣтственныя точки прямо подобныхъ фигуръ, построенныхъ на BC, CA, AB, то (33) прямыя A_1O, B_1O, C_1O суть медіатрисы тр~-ка ABC; поэтому тр~-ки A_1BC, B_1CA, C_1AB равнобедренны; но эти тр~-ки подобны; слѣдовательно, \angle A_1BC=\angle A_1CB=\angle B_1CA=\dots.

Положимъ BC=a{,}\quad CA=b{,}\quad AB=c и обозначимъ разстоянія точки Лемуана K отъ BC, CA и AB чрезъ x, y, z. Если средины сторонъ тр~-ка ABC суть A', B', C', то (VI, 22) \tg\angle A_1BC=\frac{A_1A'}{BA'}=\frac{2x}a=\frac{4\triangle ABC}{a^2+b^2+c^2}; отсюда \ctg\angle A_1BC=\frac{a^2+b^2+c^2}{4\triangle ABC}==\frac{2bc\cos A+2ca\cos B+2ab\cos C}{4\triangle ABC}; но \frac{2bc\cos A}{4\triangle ABC}=\frac{2bc\cos A}{2bc\sin A}=\ctg A{,}\quad\dots; слѣдовательно, \ctg\angle A_1BC=\ctg A+\ctg B+\ctg C=\ctg\omega.

Такимъ образомъ, прямыя, соединяющія не соотвѣтственныя вершины тр~-въ ABC и A_1B_1C_1, проходятъ чрезъ общія точки \Om и \Om' непарныхъ сопряженныхъ окружностей тр~-ка ABC (39).

45. Уголъ Брокара (angle de Brocard). Уголъ \omega, опредѣляющійся равенствомъ \tg\omega=\frac{2x}a=\frac{4\triangle ABC}{a^2+b^2+c^2}, называется угломъ Брокара тр~-ка ABC.

Такъ какъ \ctg\omega=\ctg A+\ctg B+\ctg C, то уголъ Брокара даннаго тр~-ка вполнѣ опредѣляется углами этого тр~-ка.

Изъ предыдущаго видно, что прямыя, соединяющія двѣ вершины тр~-ка ABC съ не соотвѣтственной имъ вершиной перваго тр~-ка Брокара, образуютъ равнобедренный тр~-къ съ углами при основаніи, равными углу Брокара \omega.

46. Чтобы построить уголъ Брокара \omega даннаго тр~-ка ABC (фиг. 112), чрезъ вершину его C проведемъ касательную къ описанному кругу и обозначимъ чрезъ D пересѣченіе ея съ прямою, параллельною BC и проходящею чрезъ вершину A. Уголъ DBC будетъ искомый.

Дѣйствительно, такъ какъ \angle ACB=\angle B, то \angle BCE=\angle A; поэтому, обозначивъ чрезъ h=DE высоту тр~-ка и чрезъ \alpha уголъ DBC, получимъ BE=h\ctg\alpha{,}\quad CE=h\ctg A и BC=h(\ctg B+\ctg C); но BE=BC+CE; слѣдовательно, \ctg\alpha=\ctg A+\ctg B+\ctg C; значитъ, уголъ \alpha равенъ углу Брокара \omega.

Если касательная въ B къ окружности ABC пересѣкается съ прямою AD въ точкѣ F, то \angle FCB=\angle DBC=\omega; поэтому точка пересѣченія L прямыхъ BD и CF есть одна изъ вершинъ перваго тр~-ка Брокара.

47. Чтобы найти отношеніе подобія тр~-въ ABC и A_1B_1C_1 (фиг. 111), воспользуемся равенствомъ \triangle A_1B_1C_1=\triangle OA_1B_1+\triangle OA_1C_1- \triangle OB_1C_1.

Такъ какъ прямыя OA_1 и OB_1 перпендикулярны къ BC и CA (44), то \angle A_1OB_1=\angle C; поэтому \frac{\triangle OA_1B_1}{\triangle ABC}=\frac{OA_1\cdot OB_1}{ab}=\frac{(A'A_1-A'O)(B'O-B'B_1)}{ab}; но A'O=\frac12a\ctg\angle BOA'=\frac12a\ctg A, B'O=\frac12b\ctg\angle AOB'=\frac12b\ctg B и A'A_1=\frac12a\tg\omega{,}\quad B'B_1=\frac12b\tg\omega; слѣдовательно, \frac{\triangle OA_1B_1}{\triangle ABC}=\frac14(\tg\omega-\ctg A)(\ctg B-\tg\omega); подобнымъ~-же образомъ найдемъ, что \frac{\triangle OA_1C_1}{\triangle ABC}=\frac14(\tg\omega-\ctg A)(\ctg C-\tg\omega) и \frac{\triangle OB_1C_1}{\triangle ABC}=\frac14(\ctg B-\tg\omega)(\ctg C-\tg\omega); сложивъ эти равенства и воспользовавшись равенствами \ctg A+\ctg B+\ctg C=\ctg\omega, \ctg A\ctg B+\ctg B\ctg C+\ctg C\ctg A=1, получимъ \frac{\triangle A_1B_1C_1}{\triangle ABC}=\frac14(1-3\tg^2\omega); слѣдовательно, \frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{C_1A_1}{CA}=\frac12 \sqrt{1-3\tg^2\omega} и OK=R\sqrt{1-3\tg^2\omega}, гдѣ R --- радіусъ круга, описаннаго около тр~-ка ABC.

48. Углы Штейнера (angles de Steiner). Положимъ, что ось Штейнера xx' пересѣкается съ медіатрисами OA', OB', OC' въ точкахъ A_3, B_3, C_3 (фиг. 111). Такъ какъ GA_1 и GA суть соотвѣтственныя прямыя подобныхъ тр~-въ ABC и A_1B_1C_1 (42), то \frac{GA_1}{GA}=\frac12\sqrt{1-3\tg^2 \omega}, или \sqrt{1-3\tg^2\omega}=\frac{GA_1}{GA'}=\frac {A_1A_2}{A'A_3}=\frac12\cdot\frac{a\tg\omega-A_3A'}{A_3A'}, отсюда A_3A'=\frac{a\tg\omega}{2(1+\sqrt{1-3\tg^2\omega})}; поэтому \frac{A_3A'}a=\frac{B_3B'}b=\frac{C_3C'}c; слѣдовательно, равнобедренные тр~-ки BA_3C, CB_3A, AC_3B подобны, т. е. углы при ихъ основаніяхъ равны. Каждый изъ этихъ угловъ называютъ первымъ угломъ Штейнера.

Обозначивъ чрезъ A_4, B_4, C_4 точки пересѣченія второй оси Штейнера yy' съ медіатрисами OA', OB', OC', подобно предыдущему убѣдимся, что равнобедренные тр~-ки BA_4C, CB_4A, AC_4B подобны. Каждый изъ равныхъ угловъ при основаніяхъ этихъ тр~-въ называютъ вторымъ угломъ Штейнера.

49. Первый и второй углы Штейнера обозначаются чрезъ \omega_1 и \omega_2 и опредѣляются формулами: \ctg\omega_1=\frac{A'B}{A_3A'}=\ctg\omega+\sqrt{\ctg^2\omega-3}, \ctg\omega_2=\frac{A'B}{A_4A'}=\ctg\omega-\sqrt{\ctg^2\omega-3}.

Сложивъ и перемноживъ эти формулы, получимъ: \ctg\omega_1+\ctg\omega_2=2\ctg\omega,\ctg\omega_1\cdot\ctg \omega_2=3; слѣдовательно, углы Штейнера суть корни квадратнаго уравненія \ctg^2(\omega)-2\ctg\omega\ctg(\omega)+3=0, въ которомъ (\omega) обозначаетъ неизвѣстную.

50. Теорема. Прямыя, соединяющія соотвѣтственныя вершины тр~-ка ABC и перваго тр~-ка Брокара, пересѣкаются въ одной точкѣ, изотомически сопряженной съ точкой Лемуана K тр~-ка ABC.

Положимъ, что параллель Лемуана KA_1 пересѣкаетъ AB и AC въ точкахъ E и F (фиг. 111). Такъ какъ первая окружность Лемуана проходитъ чрезъ E и F (VI, 34), а окружность Брокара концентрична съ первою окружностью Лемуана, то EK=A_1F; слѣдовательно, AK и AA_1 суть прямыя изотомическія относительно BC, и по аналогіи BK и BB_1, CK и CC_1 суть изотомическія прямыя относительно CA и AB. Но прямыя AK, BK и CK пересѣкаются въ точкѣ Лемуана K тр~-ка ABC; значитъ, прямыя AA_1, BB_1, CC_1 пересѣкаются въ одной точкѣ D, изотомически сопряженной съ K (V, 46).

Слѣдствіе. Вершины перваго тр~-ка Брокара (A_1B_1C_1) находятся на прямыхъ изотомическихъ съ симедіанами основного тр~-ка (ABC).

Такъ какъ прямыя, соединяющія не соотвѣтственныя вершины тр~-ка ABC и тр~-ка A_1B_1C_1 пересѣкаются въ одной точкѣ \Om или \Om' (44), то ABC и первый тр~-къ Брокара A_1B_1C_1 трижды гомологичны.

51. Точки Брокара (points de Brocard). Центры гомологіи \Om и \Om' тр~-ка ABC и перваго тр~-ка Брокара A_1B_1C_1 (фиг. 111) называются точками Брокара тр~-ка ABC. Изъ предыдущаго видно, что:

Каждая изъ точекъ Брокара есть общая точка трехъ непарныхъ сопряженныхъ окружностей тр~-ка (38).

Точки Брокара находятся на окружности Брокара.

Точки Брокара суть изогонально сопряженныя точки тр~-ка (39).

Прямыя, соединяющія вершины тр~-ка съ точками Брокара, образуютъ съ сторонами тр~-ка углы, равные углу Брокара \omega (45).

Точки Брокара \Om и \Om' иногда обозначаются чрезъ \Om_1 и \Om_2 и называются первою и второю точками Брокара.

Первая точка Брокара \Om_1 называется также положительною (posi­tif) или возвратною (rétro­grade); вторая точка Брокара \Om_2 въ такомъ случаѣ называется отрицательною (néga­tif) или прямою (direct).

52. Прямая Брокара. Прямая \Om\Om', соединяющая точки Брокара тр~-ка, называется прямою Брокара.

Такъ какъ прямая KA_1 параллельна BC (фиг. 111), то \angle\Om A_1K=\angle\Om CB=\omega~~\mbox{и}~~\angle\Om'A'K= \angle \Om'BC=\omega; слѣдовательно, \smile \Om K=\smile\Om'K, а потому прямая Брокара \Om\Om' перпендикулярна къ прямой Тукера KO.

Изъ этого слѣдуетъ, что \Om O=\Om'O и \angle\Om O\Om'=2\omega, гдѣ \omega --- уголъ Брокара.

53. Теорема. Прямыя, проходящія чрезъ вершины тр~-ка ABC и параллельныя противоположнымъ сторонамъ перваго тр~-ка Брокара A_1B_1C_1, пересѣкаются въ одной точкѣ на окружности ABC.

Положимъ, что прямая, проходящая чрезъ A и параллельная B_1C_1, пересѣкается съ окружностью ABC въ точкѣ R (фиг. 113).

Прямыя BC и B_1C_1, какъ соотвѣтственныя прямыя подобныхъ тр~-въ ABC и A_1B_1C_1, составляютъ равные углы съ осью Штейнера xx'; поэтому A_1K и AR, параллельныя BC и B_1C_1, образуютъ также равные углы съ xx'; а такъ какъ эти прямыя проходятъ чрезъ соотвѣтственныя точки A_1 и A тр~-въ A_1B_1C_1 и ABC, то онѣ также суть соотвѣтственныя прямыя этихъ тр~-въ.

Такимъ образомъ, прямыя, проходящія чрезъ A, B, C и параллельныя B_1C_1, C_1A_1, A_1B_1, суть соотвѣтственныя прямымъ A_1K, B_1K, C_1K, пересѣкающимся въ одной точкѣ K на окружности A_1B_1C_1; слѣдовательно, онѣ пересѣкаются въ одной точкѣ R на окружности ABC.

54. Точка Штейнера (point de Steiner). Точка пересѣченія R прямыхъ, проходящихъ чрезъ вершины тр~-ка ABC и параллельныхъ противоположнымъ сторонамъ перваго тр~-ка Брокара A_1B_1C_1, называется точкою Штейнера тр~-ка ABC.

Изъ доказательства послѣдней теоремы слѣдуетъ, что точка Штейнера R и точка Лемуана K тр~-ка ABC суть соотвѣтственныя точки тр~-въ ABC и A_1B_1C_1.

55. Теорема. Перпендикуляры изъ вершинъ тр~-ка ABC на противоположныя стороны перваго тр~-ка Брокара A_1B_1C_1 пересѣкаются въ одной точкѣ на окружности ABC.

Положимъ, что перпендикуляръ изъ A на B_1C_1 пересѣкается съ окружностью ABC въ точкѣ N (фиг. 113). Такъ какъ BC и B_1C_1, как соотвѣтственныя прямыя подобныхъ тр~-въ ABC и A_1B_1C_1, составляютъ равные углы съ осью Штейнера xx', то перпендикуляры A_1A' и AN къ этимъ прямымъ, проходящіе чрезъ соотвѣтственныя точки A и A_1 тр~-въ ABC и A_1B_1C_1, суть также соотвѣтственныя прямыя этихъ тр~-въ. Такимъ образомъ, перпендикуляры изъ A, B, C на B_1C_1, C_1A_1, A_1B_1 суть прямыя, соотвѣтственныя прямымъ A_1A', B_1B', C_1C', пересѣкающимся въ одной точкѣ O на окружности A_1B_1C_1; слѣдовательно, они пересѣкаются въ одной точкѣ N на окружности ABC.

56. Точка Тарри (Tarry). Точка пересѣченія N перпендикуляровъ изъ вершинъ тр~-ка ABC на противоположныя стороны перваго тр~-ка Брокара A_1B_1C_1, называется точкою Тарри тр~-ка ABC.

Изъ доказательства предыдущей теоремы видно, что точка Тарри N и центръ круга O, описаннаго около тр~-ка ABC, суть соотвѣтственныя точки тр~-въ ABC и A_1B_1C_1.

Такъ какъ точка Лемуана K и центръ O круга ABC суть діаметрально противоположныя точки окружности A_1B_1C_1, то соотвѣтственныя имъ точка Штейнера R и точка Тарри N суть діаметрально противоположныя точки окружности ABC.

57. Второй треугольникъ Брокара (second triangle de Bro­card). Тр~-къ A_2B_2C_2, вершины котораго суть точки пересѣченія окружности Брокара тр~-ка ABC съ его симедіанами, называется вторымъ тр~-мъ Брокара.

Вершины второго тр~-ка Брокара A_2B_2C_2 суть точки пересѣченія парныхъ сопряженныхъ окружностей тр~-ка ABC; ибо, обозначивъ чрезъ T пересѣченіе симедіаны AA_2 съ окружностью ABC (фиг. 113) и замѣтивъ, что OA_2 перпендикулярна къ AA_2, получимъ AA_2=A_2T; слѣдовательно, въ точкѣ A_2 пересекаются парныя сопряженныя окружности (C,\bar A) и (B,\bar A) (30---31). Отсюда слѣдуетъ, что вершины второго тр~-ка Брокара A_2, B_2, C_2 суть центры подобія подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ F_2 и F_3, F_3 и F_1, F_1 и F_2, построенныхъ на сторонахъ тр~-ка ABC.

Тр~-къ ABC и второй тр~-къ Брокара гомологичны относительно точки Лемуана K тр~-ка ABC.

58. Теорема. Симедіаны тр~-ка, составленнаго соотвѣтственными прямыми подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3, построенныхъ на сторонахъ тр~-ка ABC, проходятъ чрезъ вершины второго тр~-ка Брокара A_2B_2C_2.

Положимъ, что стороны ab, bc, ca тр~-ка abc суть соотвѣтственныя прямыя фигуръ F_3, F_1, F_2. Такъ какъ точка A_2 есть центръ подобія фигуръ F_2 и F_2, соотвѣтственныя прямыя которыхъ суть AB и CA, ab и ca, то (фиг. 113) \angle A_2ac=\angle A_2AC\quad\mbox{и}\quad \angle A_2AB=\angle A_2ab; тр~-ки же ABC и abc подобны (18); слѣдовательно, прямая aA_2 есть симедіана тр~-ка abc.

59. Теорема. Точка Лемуана k тр~-ка abc, составленнаго соотвѣтственными прямыми подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ тр~-ка ABC, находятся на окружности Брокара этого тр~-ка.

Дѣйствительно, тр~-ки abc и A_2B_2C_2 гомологичны и имѣютъ центръ гомологіи на окружности подобія фигуръ F_1, F_2, F_3 (18), т. е. на окружности Брокара тр~-ка ABC (40). Но по предыдущей теоремѣ центромъ гомологіи тр~-въ A_2B_2C_2 и abc служитъ точка Лемуана k тр~-ка abc; слѣдовательно, эта точка находится на окружности Брокара тр~-ка ABC (фиг. 113).

60. Теорема. Центръ подобія тр~-ка ABC и тр~-ка abc, составленнаго соотвѣтственными прямыми подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ тр~-ка ABC, находится на окружности Брокара этого тр~-ка..

Ибо, такъ какъ A и a, K и k суть двѣ пары соотвѣтственныхъ точекъ подобныхъ тр~-въ ABC и abc, то центръ подобія этихъ тр~-въ находится въ пересѣченіи окружности A_2Aa съ окружностью Брокара AKk (9).

61. Теорема Брокара (Brocard). Если три соотвѣтственныя прямыя подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3, построенныхъ на сторонахъ тр~-ка ABC, пересѣкаются въ одной точкѣ, то эта точка находится на окружности Брокара тр~-ка ABC.

Ибо (19) окружность Брокара тр~-ка ABC есть окружность подобія фигуръ F_1, F_2, F_3.

Соотвѣтственныя прямыя этихъ фигуръ, пересѣкающіяся въ одной точкѣ, проходятъ чрезъ вершины перваго тр~-ка Брокара A_1B_1C_1 (41).

62. Теорема. Тр~-ки Брокара A_1B_1C_1 и A_2B_2C_2 тр~-ка ABC гомологичны и имѣютъ центромъ гомологіи общій барицентръ тр~-въ ABC и A_1B_1C_1.

Дѣйствительно, тр~-ки A_1B_1C_1 и A_2B_2C_2 суть постоянный тр~-къ и тр~-къ подобія подобныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3, имѣющихъ сходственными сторонами стороны тр~-ка ABC; поэтому (23) эти тр~-ки гомологичны и разстоянія ихъ центра гомологіи отъ сторонъ тр~-ка A_1B_1C_1 обратно пропорціональны сторонамъ тр~-ка ABC или A_1B_1C_1 (24), такъ какъ эти тр~-ки подобны (41); слѣдовательно (VI, 5), центръ гомологіи тр~-въ Брокара A_1B_1C_1 и A_2B_2C_2 совпадаетъ съ общимъ барицентромъ тр~-въ A_1B_1C_1 и ABC (42).

Слѣдствія. Барицентръ G тр~-ка ABC есть направляющая точка подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ этого тр~-ка (24).

Ось гомологіи тр~-въ Брокара, т. е. прямая, проходящая чрезъ точки пересѣченія ихъ сторонъ A_1B_1 и A_2B_2, B_1C_1 и B_2C_2, C_1A_1 и C_2A_2, есть поляра барицентра G тр~-ка ABC относительно круга Брокара этого тр~-ка (III, 10).

63. Теорема. Прямая Лемуана тр~-ка ABC есть радикальная ось круга Брокара этого тр~-ка и круга, описаннаго около него.

Представимъ себѣ, что прямая KO (фиг. 113) пересѣкается съ прямою Лемуана тр~-ка ABC и съ окружностью, описанною около него, въ точкахъ p, m и n. Такъ какъ прямая Лемуана есть поляра точки K относительно круга ABC (VI, 31), то точки K и p образуютъ гармоническое дѣленіе отрѣзка mn (III, 1); поэтому (II, 40) \frac1{pK}=\frac12\,\left(\frac1{mp}+\frac1{pn}\right)=\frac{pm+pm} {2pm\cdot pn}=\frac{pO}{pm\cdot pn}; отсюда pK\cdot pO=pm\cdot pn, т. е. степени точки p относительно окружностей KO и ABC равны; слѣдовательно, прямая Лемуана есть радикальная ось этихъ окружностей (III, 29).

64. Изъ равенства (III, 1) OK\cdot Op=R^2, гдѣ R --- радіусъ круга ABC, слѣдуетъ, что прямая Лемуана тр~-ка ABC и его окружность Брокара суть обратныя фигуры относительно круга ABC (IV, 8).

Такъ какъ прямая Лемуана тр~-ка ABC есть трилинейная поляра его точки Лемуана K (VI, 32), то прямая Тукера KO перпендикулярна къ трилинейной полярѣ точки Лемуана.

65. Такъ какъ вершина A_2 второго тр~-ка Лемуана A_2B_2C_2 (фиг. 113) есть центръ подобія прямо подобныхъ фигуръ, построенныхъ на AB и CA, то тр~-ки A_2AB и A_2CA подобны; поэтому \frac{A_2A}{A_2C}=\frac{A_2B}{A_2A}=\frac{AB}{CA}=\frac cb; отсюда \overline{A_2A}{}^2=A_2B\cdot A_2C{,}\quad \frac{A_2B}{A_2C}=\frac{c^2}{b^2} и по аналогіи \overline{B_2B}{}^2=B_2C\cdot B_2A{,}\quad \frac{B_2C}{B_2A}=\frac{a^2}{c^2}, \overline{C_2C}{}^2=C_2A\cdot C_2B{,}\quad \frac{C_2A}{C_2B}=\frac{b^2}{a^2}.

Изъ этихъ равенствъ получаются слѣдующія соотношенія: \overline{A_2A}{}^2+\overline{B_2B}{}^2+\overline{C_2C}{}^2= A_2B\cdot A_2C+B_2C\cdot B_2A+C_2A\cdot C_2B, A_2B\cdot B_2C\cdot C_2A=A_2C\cdot B_2A\cdot C_2B.

66. Тр~-ки Брокара суть частные случаи тр~-въ Каспари (V, 50); ибо первый тр~-къ Каспари A_1B_1C_1, построенный относительно произвольной точки X тр~-ка ABC, обращается въ первый тр~-къ Брокара, когда X совпадаетъ съ точкою Лемуана K тр~-ка ABC. Два центра гомологіи (Z и Z') тр~-ка ABC и перваго тр~-ка Каспари обращаются при этомъ въ точки Брокара (\Om и \Om').

Вершины второго тр~-ка Каспари A_2B_2C_2 суть точки пересѣченія прямыхъ AX, BX, CX съ прямыми A_1G, B_1G, C_1G, соединяющими вершины перваго тр~-ка Каспари A_1B_1C_1 съ барицентромъ G тр~-ка ABC. Поэтому, когда X совпадаетъ съ точкою Лемуана K, второй тр~-къ Каспари дѣлается вторымъ тр~-мъ Брокара.

67. Подобно измѣняющіяся фигуры (fig­ures sem­blable­ment vari­ables). Фигура, перемѣщающаяся на плоскости и измѣняющая при этомъ свои размѣры такъ, что она остается подобной самой себѣ, называется подобно измѣняющейся фигурой (Neuberg).

Одно изъ положеній подобно измѣняющейся фигуры, произвольно выбранное, называютъ начальнымъ положеніемъ.

Всякую систему подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ на плоскости можно разсматривать какъ одну подобно измѣняющуюся фигуру въ различныхъ положеніяхъ.

68. Перманентный центръ подобія (centre per­ma­nent de simil­i­tude). Можетъ случиться, что при перемѣщеніи подобно измѣняющейся фигуры какая-нибудь точка ея остается неподвижной. Напр., центръ правильнаго мног~-ка остается неподвижнымъ, если мног~-къ вращается около общаго центра концентрическихъ окружностей, на которыхъ находятся его вершины при различныхъ положеніяхъ его.

Неподвижная точка подобно измѣняющейся фигуры называется перманентнымъ центромъ этой фигуры.

Перманентный центръ подобно измѣняющейся фигуры есть общая соотвѣтственная точка этой фигуры во всѣхъ ея положеніяхъ. Поэтому для каждыхъ двухъ различныхъ положеній подобно измѣняющейся фигуры перманентный центръ обладаетъ всѣми свойствами центра подобія прямо подобныхъ фигуръ (4).

69. Теорема. Если три прямыя a, b, c подобно измѣняющейся фигуры F при всѣхъ положеніяхъ ея проходятъ чрезъ три данныя точки A, B, C, то фигура F имѣетъ перманентный центръ подобія (фиг. 114).

Фигура F вполнѣ опредѣляется тремя прямыми ея, не пересѣкающимися въ одной точкѣ; ибо такія три прямыя при всѣхъ положеніяхъ фигуры пересѣкаются въ соотвѣтственныхъ точкахъ и образуютъ тр~-ки подобный и сходственно расположенные. Обозначимъ тр~-ки, составленные прямыми a, b, c при начальномъ положеніи фигуры F и нѣкоторомъ другомъ положеніи ея чрезъ A_0B_0C_0 и A_1B_1C_1. Такъ какъ тр~-ки A_0B_0C_0 и A_1B_1C_1 подобны и сходственно расположены, такъ что \angle BA_1C=\angle BA_0C,~~\angle CB_1A=\angle CB_0A,~~\dots, то вершины тр~-ка A_1B_1C_1 при вращеніи прямыхъ a, b, c около точекъ A, B, C перемѣщаются по окружностямъ BA_0C, CB_0A, AC_0B, которыя пересѣкаются въ одной точкѣ D; ибо, если окружности BA_0C и CB_0A пересѣкаются въ D, такъ что \angle BDC=180^\circ-\angle A_0~~\mbox{и}~~\angle CDA=180^\circ-\angle B_0, то \angle ADB=360^\circ-(\angle BDC+\angle CDA)==\angle A_0+\angle B_0=180^\circ-\angle C_0, слѣдовательно, и окружность AC_0B проходитъ чрезъ D. Углы \angle DB_1A=\angle DB_0A~~\mbox{и}~~\angle DC_1A=\angle DC_0A сохраняютъ свою величину при всѣхъ положеніяхъ фигуры F; поэтому неподвижная точка D есть общая соотвѣтственная точка подобныхъ тр~-въ A_0B_0C_0 и A_1B_1C_1; слѣдовательно, D есть перманентный центръ фигуры F.

70. Положимъ, что начальное положеніе фигуры F выбрано такъ, что стороны B_0C_0, C_0A_0, A_0B_0 тр~-ка A_0B_0C_0 перпендикулярны къ AD, BD и CD. Обозначивъ чрезъ O_1, O_2, O_3 центры окружностей BA_0C, CB_0A и AC_0B, опустимъ изъ O_2 и O_3 перпендикуляры O_2N и O_3P на прямую B_1C_1 и проведемъ чрезъ O_3 прямую O_3Q, параллельную B_1C_1. Такъ какъ B_1C_1=2NP=2QO_3{,}~~ B_0C_0=2O_2O_3~~\mbox{и}~~QO_3\lt O_2O_3, то B_1C_1\lt B_0C_0; слѣдовательно, фигура F имѣетъ наибольшіе размѣры, когда ея прямыя (a, b, c), проходящія чрезъ заданныя точки (A, B, C), перпендикулярны къ прямымъ, соединяющімъ эти точки съ перманентнымъ центромъ подобія (D) фигуры.

Изъ этого слѣдуетъ, что прямыя DA_0, DB_0, DC_0, какъ наибольшія хорды окружностей BA_0C, CB_0A, AC_0B, суть діаметры этихъ окружностей.

71. Обозначимъ чрезъ M_0 и M_1 двѣ соотвѣтственныя точки фигуры F въ положеніяхъ ея A_0B_0C_0 и A_1B_1C_1. Вслѣдствіе подобія тр~-въ DM_0B_0 и DM_1B_1, тр~-ки DM_0M_1 и DB_0B_1 также подобны; но уголъ DB_1B_0 прямой; поэтому уголъ DM_1M_0 также прямой; слѣдовательно, при перемѣщеніи фигуры F точка M_1 описываетъ окружность (DM_0M_1), проходящую чрезъ D и имѣющую діаметромъ прямую DM_0. Такимъ образомъ, всѣ точки подобно измѣняющейся фигуры F, три прямыя которой проходятъ чрезъ три заданныя точки, описываютъ окружности, проходящія чрезъ перманентный центръ подобія этой фигуры.

72. Какая-нибудь прямая M_1M_1' фигуры F, проходящая чрезъ точку M_1, образуетъ уголъ DM_1M_1' постоянный по величинѣ; слѣдовательно, эта прямая при всѣхъ положеніяхъ фигуры проходитъ чрезъ одну и ту~-же точку M окружности DM_0M_1; эта точка M есть проэкція точки D на начальное положеніе прямой M_0M_0'. Итакъ, всѣ прямыя подобно измѣняющейся фигуры F, три прямыя которой проходятъ чрезъ три заданныя точки, вращаются около нѣкоторыхъ неподвижныхъ точекъ.

73. Если прямыя фигуры F при какомъ-либо положеніи ея составляютъ съ соотвѣтственными прямыми при начальномъ положеніи уголъ \alpha, такъ что \alpha=\angle M_0MM_1=\angle M_0DM_1=\angle A_0DA_a=\dots, то \frac{DA_1}{DA_0}=\frac{DB_1}{DB_0}=\frac{DC_1}{DC_0}=\frac{DM_1}{DM_0}=\cos\alpha.

При \alpha=90^\circ прямыя B_1C_1, C_1A_1, A_1B_1 сливаются съ AD, BD, CD и отрѣзки DA_1, DB_1, DC_1, DM_1 дѣлаются равными нулю; слѣдовательно, въ этомъ случаѣ всѣ точки фигуры совпадаютъ съ ея перманентнымъ центромъ подобія.

74. Если точки A, B, C расположены на одной прямой (фиг. 115), то, обозначивъ чрезъ D пересѣченіе окружностей BA_1C и CB_1A, увидимъ, что \angle BDC=\angle A_1~~\mbox{и}~~\angle CDA=\angle CB_1A=180^\circ-\angle B_1; слѣдовательно, \angle ADB=\angle CDA-\angle BDC=\angle C_1, а потому окружность AC_1B проходитъ чрезъ точку D.

Такъ какъ \angle A_1DB=\angle A_1CB=\angle B_1DA, то \angle ADB=\angle B_1AD; кромѣ того, \angle DAB=\angle DB_1A_1\quad\mbox{и}\quad \angle DBA=\angle DA_1B_1; слѣдовательно, углы DA_1B_1 и DB_1A_1 при перемѣщеніи фигуры F сохраняютъ свою величину; поэтому точка D есть перманентный центръ подобія этой фигуры.

Изъ равенства угловъ \angle B_1DA_1=\angle ADB=\angle B_1CA_1 видно, что точка D находится на окружности A_1B_1C_1.

Такимъ образомъ, если три прямыя подобно измѣняющейся фигуры проходятъ чрезъ заданныя три точки на одной прямой, то окружность, описанная около тр~-ка, составленнаго этими прямыми, при всякомъ положеніи фигуры проходитъ чрезъ перманентный центръ подобія.

75. Теорема. Если три прямыя a, b, c подобно измѣняющейся фигуры F при всѣхъ положеніяхъ ея проходятъ чрезъ вершины даннаго тр~-ка ABC и образуютъ съ сторонами его равные углы, то перманентный центръ подобія этой фигуры совпадаетъ съ одной изъ точекъ Брокара тр~-ка ABC.

Обозначимъ чрезъ A_0B_0C_0 и A_1B_1C_1 тр~-ки, составленные прямыми a, b, c при начальномъ положеніи фигуры F и при какомъ-либо другомъ положеніи ея (фиг. 116), и положимъ, что \angle A_0CA=\angle B_0AB=\angle C_0BC,\angle A_1CA=\angle B_1AB=\angle C_1BC.

Такъ какъ \angle B_1AC=\angle B_1AB+\angle A=\angle A_1CA+\angle A_1, то \angle A_1=\angle A и по аналогіи \angle B_1=\angle B,\quad \angle C_1=\angle C; слѣдовательно, тр~-ки A_1B_1C_1 и A_0B_0C_0 подобны тр~-ку ABC, а потому при всѣхъ положеніяхъ фигуры F точки A_1, B_1, C_1 находятся на окружностяхъ AA_0C, BB_0A, CC_0B. Но равенство угловъ \angle AA_1C=\angle A,~~\angle BB_1A=\angle B,~~\angle CC_1B=\angle C обнаруживаетъ, что эти окружности касаются сторонъ AC, BC и CA тр~-ка ABC въ вершинахъ его A, B и C, т. е. что это суть непарныя сопряженныя окружности (C,\bar A), (A,\bar B), (B,\bar C), пересѣкающіяся въ точкѣ Брокара \Om тр~-ка ABC (51); поэтому, обозначивъ чрезъ \omega уголъ Брокара этого тр~-ка, получимъ \omega=\angle \Om AB=\angle \Om A_1B_1=\angle \Om BC=\angle \Om B_1C_1=\dots; значитъ, \Om есть перманентный центръ подобія фигуры F.

76. Теорема. Если три точки A_1, B_1, C_1 подобно измѣняющейся фигуры F перемѣщаются по сторонамъ BC, CA, AB тр~-ка ABC, то фигура имѣетъ перманентный центръ подобія.

Положимъ, что окружности AB_1C_1 и BC_1A_1 пересѣкаются въ точкѣ D, такъ что (фиг. 117) \angle B_1DC_1=180^\circ-\angle A~~\mbox{и}~~\angle C_1DA_1=180^\circ-\angle B.

Такъ какъ \angle A_1DB_1=360^\circ-(\angle B_1DC_1+\angle C_1DA_1)==\angle A+\angle B=180^\circ-\angle C, то окружность CA_1B_1 проходитъ чрезъ D, и точка D имѣетъ опредѣленное положеніе относительно тр~-ка A_1B_1C_1, такъ что углы DC_1A_1 и DB_1A_1 не измѣняютъ своей величины при перемѣщеніи фигуры F; но \angle DC_1A_1=\angle DBC\quad\mbox{и}\quad \angle DB_1A_1=\angle DCB; слѣдовательно, точка D имѣетъ опредѣленное положеніе относительно тр~-ка ABC, т. е. неподвижна, а потому эта точка есть перманентный центръ подобія фигуры F.

77. Обозначимъ чрезъ DA_0, DB_0, DC_0 перпендикуляры изъ точки D на стороны BC, CA, AB тр~-ка ABC (фиг. 117). Такъ какъ \angle B_0DC_0=180^\circ-\angle A=\angle B_1DC_1 и \angle C_0DA_0=180^\circ-\angle B=\angle C_1DA_1, то \angle B_0DB_1=\angle C_0DC_1=\angle A_0DA_1.

Изъ этихъ равенствъ слѣдуетъ, что точки A_0, B_0, C_0 можно разсматривать какъ начальныя положенія точекъ A_1, B_1, C_1.

Пусть M_0 и M_1 суть соотвѣтственныя точки тр~-въ A_0B_0C_0 и A_1B_1C_1. Такъ какъ тр~-ки M_1DM_0 и A_1DA_0 подобны, то прямая M_0M_1 перпендикулярна къ DM_0. Значитъ, если три точки подобно измѣняющейся фигуры перемѣщаются каждая по одной изъ сторонъ тр~-ка, то всѣ другія точки этой фигуры перемѣщаются по нѣкоторымъ прямымъ.

78. Теорема. Если вершины A_1, B_1, C_1 тр~-ка, подобнаго тр~-ку ABC, перемѣщаются по сторонамъ послѣдняго AB, BC и CA, то перманентный центръ подобія тр~-ка A_1B_1C_1 совпадаетъ съ одной изъ точекъ Брокара тр~-ка ABC.

Обозначимъ чрезъ \Om перманентный центръ подобія тр~-ка A_1B_1C_1 (фиг. 118). Такъ какъ тр~-ки A_1B_1C_1 и ABC подобны, при чемъ сходственныя вершины ихъ суть A и A_1, B и B_1, C и C_1, то тр~-къ ABC можно разсматривать какъ одно изъ положеній тр~-ка A_1B_1C_1; поэтому \Om есть центръ подобія этихъ тр~-въ (68); слѣдовательно, \angle\Om AB=\angle\Om A_1B_1=\angle\Om BC, а потому окружность A\Om B касается въ B стороны BC; соотвѣтственнымъ способомъ убѣдимся, что окружности B\Om C и C\Om A касаются сторонъ CA и AB въ точкахъ C и A; слѣдовательно, \Om есть точка Брокара тр~-ка ABC.

Упражненія.

1. Если точки A_1, B_1, C_1 симметричны съ вершинами тр~-ка ABC относительно его сторонъ BC, CA, AB, то для подобныхъ тр~-въ A_1BC, AB_1C и ABC_1: центры подобія суть вершины тр~-ка ABC; постоянныя точки суть ихъ ортоцентры; добавочныя точки суть ихъ вершины A_1, B_1, C_1; и направляющая точка есть ортоцентръ тр~-ка ABC.

Тр~-къ, составленный какими-либо тремя соотвѣтственными прямыми тр~-въ A_1BC, AB_1C и ABC_1, подобенъ ортоцентрическому тр~-ку тр~-ка ABC.

Прямыя, соединяющія ортоцентры тр~-въ A_1BC, AB_1C, ABC_1 съ центрами вписанныхъ въ нихъ круговъ, пересѣкаются въ одной точкѣ.

2. Прямыя, симметричныя относительно сторонъ тр~-ка съ какою-либо прямою, проходящею чрезъ ортоцентръ этого тр~-ка, пересѣкаются въ одной точкѣ.

3. Если два тр~-ка, вершины которыхъ суть соотвѣтственныя точки трехъ прямо подобныхъ фигуръ, гомологичны, то ихъ центръ гомологіи находится на окружности подобія этихъ фигуръ (Tarry).

4. Если BCA', CAB', ABC' суть подобные равнобедренные тр~-ки, построенные на сторонахъ тр~-ка ABC, то ось гомологіи тр~-въ ABC и A'B'C' перпендикулярна къ прямой, соединяющей ихъ центръ гомологіи съ центромъ круга, описаннаго около тр~-ка ABC. Перпендикуляры изъ вершинъ A, B, C на стороны B'C', C'A', A'B' пересѣкаются въ одной точкѣ на той~-же прямой (Cay).

5. Если высоты тр~-ка ABC суть соотвѣтственныя прямыя трехъ прямо подобныхъ фигуръ, то окружность подобія этихъ фигуръ имѣетъ діаметромъ прямую, соединяющую ортоцентръ тр~-ка ABC съ его центромъ тяжести; центры подобія тѣхъ~-же фигуръ суть проэкціи ортоцентра тр~-ка ABC на его медіаны.

6. Если A_1A_2A_3 и P_1P_2P_3 суть прямо подобные тр~-ки, а M и N двѣ какія-нибудь точки, то, построивъ тр~-ки A_2B_1A_3, A_3B_2A_1, A_1B_3A_2, прямо подобные тр~-мъ MP_1N, MP_2N, MP_3N, получимъ тр~-къ B_1B_2B_3, имѣющій общій барицентръ G съ тр~-мъ A_1A_2A_3 (Van Aubel).

7. Если ABC и A'B'C' суть прямо подобные тр~-ки, то, проведя чрезъ какую-нибудь точку O прямыя OA'', OB'', OC'', равныя и параллельныя прямымъ AA', BB', CC', получимъ тр~-къ A''B''C'', подобный тр~-мъ ABC и A'B'C' (Neuberg).

8. Если около тр~-ка ABC описанъ какой-нибудь тр~-къ A'B'C' и O_1, O_2, O_3 суть центры круговъ A'BC, B'CA, C'AB, а O_1', O_2', O_3' суть точки, симметричныя съ O_1, O_2, O_3 относительно BC, CA, AB, то тр~-ки O_1O_2O_3 и O_1'O_2'O_3' симметрично подобны и имѣютъ общій ортоцентръ (Neuberg).

9. Если высоты AH_1, BH_2, CH_3 тр~-ка ABC дѣлятся въ точкахъ A', B', C' такъ, что \frac{AA'}{A'H_1}=\frac{BB'}{B'H_2}=\frac{CC'}{C'H_3}=2, то тр~-ки ABC и A'B'C' подобны и имѣютъ общую точку Лемуана (K) (D’Ocagne).

10. Если два тр~-ка прямо подобны и гомологичны, то ихъ центръ подобія и центръ гомологіи суть точки пересѣченія описанныхъ около нихъ окружностей (Соллертинскій).

11. Центры правильныхъ тр~-въ, построенныхъ на сторонахъ какого-нибудь тр~-ка, суть вершины также правильнаго тр~-ка (Van Aubel).

12. Если BA'C, CB'A, AC'B суть подобные равнобедренные тр~-ки, построенные на сторонахъ тр~-ка ABC, то тр~-ки, составленные прямыми AB', BC', CA' и A'B, B'C, C'A, подобны тр~-ку ABC; точки Брокара \Om и \Om' тр~-ка ABC и центръ O круга, описаннаго около этого тр~-ка, суть центры подобія этихъ тр~-въ; постоянныя точки тѣхъ~-же тр~-въ суть ихъ точки Лемуана (Neuberg).

13. Если стороны тр~-ка A'B'C', описаннаго около тр~-ка ABC, образуютъ равные углы съ противоположными сторонами этого тр~-ка, то центръ круга, описаннаго около тр~-ка A'B'C', совпадаетъ съ ортоцентромъ тр~-ка ABC.

14. Если прямая \Om\Om', соединяющая точки Брокара тр~-ка ABC, перпендикулярна къ сторонѣ его BC, то прямая Эйлера этого тр~-ка (HO) проходитъ чрезъ пересѣченіе BC съ касательной въ A къ описанному кругу (Соллертинскій).

15. Если D и E суть проэкціи вершины A тр~-ка ABC на его сторону BC и медіатрису ME этой стороны, то прямая DE проходитъ чрезъ вершину A_2 второго тр~-ка Брокара и EA_2=\frac{\overline{AB}{}^2+ \overline{AC}{}^2}{4AM}\qquad\eqno\mbox{(Соллертинскій).}

16. Если медіана тр~-ка ABC, проходящая чрезъ вершину A, симедіана его, проходящая чрезъ вершину B, и высота, проходящая чрезъ вершину C, пересѣкаются въ одной точкѣ, то эта высота параллельна прямой, соединяющей точки Брокара тр~-ка (Lemoine).

17. Если \alpha, \beta, \gamma и \alpha', \beta', \gamma' суть проэкціи точекъ Брокара \Om и \Om' тр~-ка ABC на его стороны, то углы Брокара тр~-въ \alpha\beta\gamma и \alpha'\beta'\gamma' равны углу Брокара тр~-ка ABC (Vigarié).

18. Если вершины тр~-ка A'B'C' суть проэкціи какой-нибудь точки M окружности на стороны правильнаго тр~-ка ABC, центръ котораго совпадаетъ съ центромъ окружности, то уголъ Брокара тр~-ка A'B'C' не зависитъ отъ положенія точки M на окружности (Neuberg).

19. Если A', B', C' суть точки пересѣченія окружности, описанной около тр~-ка ABC, съ медіанами (или высотами) этого тр~-ка, то прямыя, соединяющія точку Тарри съ вершинами того~-же тр~-ка, пересѣкаются съ соотвѣтственными сторонами тр~-ка A'B'C' на одной прямой, проходящей чрезъ барицентръ (или ортоцентръ) и точку Лемуана тр~-ка ABC (Cesàro).

20. Если A_1B_1C_1 и A_2B_2C_2 суть дополнительный и антидополнительный тр~-ки тр~-ка ABC, то точка Лемуана K тр~-ка ABC, центръ круга Эйлера O' того~-же тр~-ка и центръ Z круга Брокара тр~-ка A_2B_2C_2 находятся на одной прямой, при чемъ KO'=O'Z; центръ круга O, описаннаго около тр~-ка ABC, точка Лемуана K_1 тр~-ка A_1B_1C_1 и центръ Z круга Брокара тр~-ка A_2B_2C_2 находятся также на одной прямой, при чемъ OK_1=K_1Z (Vigarié).

21. Первая и вторая окружность Лемуана пересѣкаются по діаметру второй изъ этихъ окружностей, параллельному радикальной оси этой окружности и окружности Брокара (Lemoine).

22. Тр~-ки съ общими симедіанами имѣютъ общія точки Брокара (Casey).

23. Если \Om обозначаетъ точку Брокара тр~-ка ABC, а \rho_1, \rho_2, \rho_3 и R суть радіусы окружностей A\Om B, B\Om C, C\Om A и ABC, то \rho_1\rho_2\rho_3=R^3\eqno\mbox{(Tucker).}

24. Если O_1, O_2, O_3 суть центры окружностей A\Om B, B\Om C, C\Om A, то одна изъ точекъ Брокара тр~-ка O_1O_2O_3 совпадаетъ съ центромъ круга O, описаннаго около тр~-ка ABC (Dewulf).

25. Если A_1, B_1, C_1 суть вершины перваго тр~-ка Брокара тр~-ка ABC, то прямыя BA_1 и AB_1 дѣлятся на части пропорціональныя прямою \Om\Om'; средины прямыхъ AB, A_1B_1 и \Om\Om' расположены на одной прямой и тр~-къ, дополнительный для тр~-ка A_1B_1C_1 гомологиченъ съ тр~-мъ ABC (Stoll).

26. Если окружность Брокара тр~-ка ABC пересѣкаетъ сторону BC въ M и M', то прямыя AM и AM' изогональны.

27. Если діагонали чет~-ка равны и взаимно перпендикулярны, то точка пересѣченія ихъ есть перманентный центръ подобія квадратовъ, описанныхъ около этого чет~-ка.

ГЛАВА VIII.

ГЛАВА VIII.
О подарныхъ треугольникахъ.

1. Подарные тр~-ки (triangles podaires, Vigarié). Если вершины тр~-ка A_1B_1C_1 суть проэкціи какой-нибудь точки M на стороны тр~-ка ABC (фиг. 119), то тр~-къ A_1B_1C_1 называется тр~-мъ проэкцій точки M или подарнымъ тр~-мъ относительно ABC.

Тр~-ки ортоцентрическій H_1H_2H_3 и дополнительный A_1B_1C_1 тр~-ка ABC суть подарные тр~-ки относительно этого послѣдняго, ибо ихъ вершины суть проэкціи ортоцентра H тр~-ка ABC и центра круга O, описаннаго около него, на его стороны.

Подобно измѣняющійся тр~-къ, вписанный въ тр~-къ ABC имѣетъ наименьшіе размѣры, когда дѣлается подарнымъ тр~-мъ его перманентнаго центра относительно ABC (VII, 76).

2. Антиподарные тр~-ки (triangles antipodaires). Тр~-къ A'B'C' (фиг. 119), стороны котораго проходятъ чрезъ вершины тр~-ка ABC и перпендикулярны къ прямымъ AM, BM, CM, соединяющимъ эти вершины съ какою-нибудь точкою M, называется антиподарнымъ тр~-мъ относительно ABC.

Антидополнительный тр~-къ A_2B_2C_2 и тангенціальный тр~-къ A'B'C' тр~-ка ABC суть тр~-ки антиподарные относительно ABC, ибо стороны тр~-ка A_2B_2C_2 перпендикулярны къ высотамъ AH, BH, CH тр~-ка ABC, а стороны тр~-ка A'B'C перпендикулярны къ радіусамъ AO, BO, CO круга, описаннаго около него.

Подобно измѣняющійся тр~-къ, описанный около тр~-ка ABC имѣетъ наибольшіе размѣры, когда дѣлается антиподарнымъ тр~-мъ перманентнаго центра относительно ABC (VII, 70).

3. Если I, I_1, I_2, I_3 суть центры круговъ вписаннаго и внѣвписанныхъ въ тр~-къ ABC, то тр~-къ, имѣющій вершинами точки касанія одного изъ этихъ круговъ съ сторонами тр~-ка, и тр~-къ, вершины котораго суть центры остальныхъ трехъ круговъ, суть подарный и антиподарный тр~-ки центра перваго изъ взятыхъ круговъ относительно ABC; ибо внутреннія биссектрисы тр~-ка AI_1, BI_2, CI_3 пересѣкаются въ I и перпендикулярны въ внѣшнимъ биссектрисамъ I_2I_3, I_3I_1, I_1I_2.

4. Если точка M находится на окружности, описанной около тр~-ка ABC, то подарный тр~-къ этой точки A_1B_1C_1 обращается въ прямую Симсона (I, 9); антиподарный тр~-къ точки M въ этомъ случаѣ обращается въ точку M', діаметрально противоположную съ M (фиг. 120).

5. Тр~-къ ABC, вершины котораго суть проэкціи какой-нибудь точки M на три прямыя AM', BM', CM', пересѣкающіяся въ одной точкѣ M', называется тр~-мъ проэкцій точки M или подарнымъ тр~-мъ относительно этихъ трехъ прямыхъ (фиг. 120).

Антиподарный тр~-къ точки M относительно трехъ прямыхъ, пересѣкающихся въ одной точкѣ M', обращается въ прямую PQ, перпендикулярную въ M' къ прямой MM'.

6. Положимъ для сокращенія \angle BMC=X,~~\angle CMA=Y,~~\angle AMB=Z.

Условившись считать положительными углами тѣ, у которыхъ одна сторона приводится къ совпаденію съ другой чрезъ вращеніе ея около вершины угла по направленію движенія часовой стрѣлки, а отрицательными тѣ, у которыхъ это совпаденіе сторонъ достигается вращеніемъ одной изъ нихъ въ направленіи противоположномъ, и разсматривая углы по абсолютной величинѣ не большіе 180^\circ, найдемъ, что для точки M, находящейся внутри тр~-ка ABC (фиг. 119), X+Y+Z=360^\circ, а для точки M, внѣшней относительно того~-же тр~-ка (фиг. 120), X+Y+Z=0.

Въ первомъ случаѣ (фиг. 119), проведя чрезъ M параллели къ AB и AC, найдемъ, что \angle BMC=\angle A+\angle ABM+\angle ACM; но изъ чет~-въ CA_1MB_1 и BA_1MC_1, вписывающихся въ кругъ, слѣдуетъ, что \angle ACM=\angle MA_1B_1\quad \mbox{и}\quad \angle ABM=\angle MA_1C_1; поэтому \angle BMC=\angle A+\angle MA_1C_1+\angle MA_1B_1=\angle A+\angle A_1.

Такимъ образомъ, для точки M, находящейся внутри тр~-ка ABC, X=\angle A+\angle A_1,~~Y=\angle B+\angle B_1,~~Z=\angle C+\angle C_1.

Аналогичнымъ способомъ убѣдимся, что для точки M, внѣшней относительно тр~-ка ABC, X=\angle A-\angle A_1,~~Y=\angle B-\angle B_1,~~Z=\angle C-\angle C_1.

7. Изъ предыдущихъ равенствъ опредѣляются углы тр~-ка A_1B_1C_1 подарнаго относительно ABC, именно: \angle A_1=\pm(X-\angle A),\angle B_1=\pm(Y-\angle B),\angle C_1=\pm(Z-\angle C), гдѣ знакъ + передъ скобками берется для точки M, находящейся внутри тр~-ка ABC, а знакъ - для точки M, внѣшней относительно того~-же тр~-ка. [При чемъ нужно принимать во вниманіе знаки угловъ X, Y, Z.]

Если прямыя, образующія тр~-къ ABC, пересѣкаются въ одной точкѣ, то въ послѣднихъ равенствахъ слѣдуетъ взять вторыя части съ знакомъ - и положить X=0,~~Y=0,~~Z=0; получимъ \angle A_1=\angle A,~~\angle B_1=\angle B,~~\angle C_1=\angle C; такимъ образомъ, подарный тр~-къ относительно трехъ прямыхъ, пересѣкающихся въ одной точкѣ, подобенъ тр~-ку, стороны котораго параллельны этимъ прямымъ.

8. Углы антиподарнаго тр~-ка A'B'C' точки M, находящейся внутри тр~-ка ABC (фиг. 119), очевидно, суть: \angle A'=180^\circ-X,~~\angle B'=180^\circ-Y,~~\angle C'=180^\circ-Z.

Если~-же точка M находится внѣ тр~-ка ABC, напр., въ одномъ изъ вертикальныхъ угловъ, составленныхъ его сторонами AB и AC (фиг. 121), то \angle A'=180^\circ-X,~~\angle B'=Y,~~\angle C'=Z, ибо стороны тр~-ка A'B'C перпендикулярны къ прямымъ MA, MB, MC, составляющимъ углы \angle BMC=X,~~\angle CMA=Y,~~\angle AMB=Z.

9. Разсмотримъ снова подарный тр~-къ точки M относительно тр~-ка ABC; пусть это будетъ тр~-къ A_1B_1C_1 (фиг. 122).

Обозначимъ чрезъ R радіусъ круга, описаннаго около тр~-ка ABC, и положимъ BC=a,~~CA=b,~~AB=c,B_1C_1=a_1,~~C_1A_1=b_1,~~A_1B_1=c_1.

Такъ какъ при всякомъ положеніи точки M относительно тр~-ка ABC прямая AM служитъ діаметромъ круга, описаннаго около тр~-ка AB_1C_1, то \frac{a_1}a=\frac{AM}{2R} и по аналогіи \frac{b_1}b=\frac{BM}{2R},\quad \frac{c_1}c=\frac{CM}{2R}; изъ этихъ пропорцій слѣдуетъ, что \frac{a_1}{a\cdot AM}=\frac{b_1}{b\cdot BM}=\frac{c_1}{c\cdot CM}=\frac1{2R}.

Такимъ образом, стороны подарнаго тр~-ка точки M относительно тр~-ка ABC пропорціональны произведеніямъ соотвѣтственныхъ сторонъ этого тр~-ка на разстоянія точки M отъ противолежащихъ вершинъ его.

10. Если прямая AM пересѣкается съ окружностью ABC еще въ точкѣ D (фиг. 122), то, соединивъ D с B и C и опустивъ изъ M перпендикуляры MB_2 и MC_2 на BD и CD, получимъ тр~-къ MB_2C_2, подобный тр~-ку ABC, ибо \angle B_2MC_2=180^\circ-\angle B_2DC_2=180^\circ-\angle BDC=\angle A и \angle MB_2C_2=\angle MDC_2=\angle ADC=\angle B; поэтому, положивъ B_2C_2=a_2,~~MC_2=b_2,~~MB_2=c_2 и замѣтивъ, что прямая MD есть діаметръ круга, описаннаго около тр~-ка MB_2C_2, получимъ \frac{a_2}a=\frac{b_2}b=\frac{c_2}c=\frac{MD}{2R}=\frac{MH_2}{AH}, гдѣ AH и MH_2 суть соотвѣтственныя высоты тр~-въ ABC и MB_2C_2, опущенныя на стороны ихъ BC и B_2C_2.

11. Изъ равенствъ \frac{AM}{2R}=\frac{a_1}a\quad\mbox{и}\quad \frac{MD}{2R}=\frac{MH_2}{AH} слѣдуетъ, что \frac{AM\cdot MD}{4R^2}=\frac{a_1\cdot MH_2}{a\cdot AH}; но не трудно убѣдиться, что MH_2=A_1H_1; поэтому послѣднее равенство представляется въ видѣ \frac{AM\cdot MD}{4R^2}=\frac{a_1\cdot A_1H_1}{a\cdot AH}, или \frac{AM\cdot MD}{4R^2}=\frac{\triangle A_1B_1C_1}{\triangle ABC}.

Произведеніе AM\cdot MD есть степень точки M относительно окружности ABC; поэтому абсолютная величина этого произведенія опредѣляется равенствомъ (III, 22): AM\cdot MD=\pm(d^2-R^2), гдѣ d=MO; передъ скобками удерживается знакъ + или -, смотря по тому, находится~-ли точка M внѣ окружности ABC (d\gt R), или внутри ея (d\lt R).

Итакъ, если обозначить площади тр~-въ ABC и A_1B_1C_1 чрезъ \triangle и \triangle_1, то \frac{\triangle_1}{\triangle}=\frac{\pm(d^2-R^2)}{4R^2}.

12. Теорема. Геометрическое мѣсто точекъ M, подарные тр~-ки которыхъ относительно тр~-ка ABC равновелики, есть окружность, концентричная съ окружностью ABC.

Ибо изъ послѣдняго равенства видно, что площадь \triangle_1 подарнаго тр~-ка точки M вполнѣ опредѣляется разстояніемъ этой точки MO=d отъ центра круга ABC.

Если точка M совпадаетъ съ центромъ O круга ABC, то d=0 и \triangle_1=\frac\triangle4.

При удаленіи точки M отъ O, т. е. при приближеніи ея къ окружности ABC, площадь подарнаго тр~-ка \triangle_1=\frac{R^2-d^2}{4R^2}\triangle убываетъ; при d=R, т. е. когда точка M находится на окружности ABC, \triangle_1=0, т. е. подарный тр~-къ обращается въ прямую линію (прямая Симсона). При дальнѣйшемъ возрастаніи разстоянія d отъ R до безконечности площадь \triangle_1=\frac{d^2-R^2}{4R^2}\triangle также непрерывно возрастаетъ до безконечности.

Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что при \triangle_1\lt\frac\triangle4 существуютъ двѣ окружности, служащія геометрическими мѣстами точки M; обозначивъ радіусы этихъ окружностей чрезъ d_1 и d_2, найдемъ, что d_1^2=R^2\,\left(1-\frac{4\triangle_1}\triangle\right){,} \quad d_2^2=R^2\,\left(1+\frac{4\triangle_1}\triangle\right) и d_1^2+d_2^2=2R^2.

13. Теорема Вигарье (Vigarié). Если вершины двухъ тр~-въ A и A', B и B', C и C' суть три пары обратныхъ точекъ относительно какой-нибудь точки M, то подарный тр~-къ этой точки относительно тр~-ка ABC подобенъ тр~-ку A'B'C' и наоборотъ.

Такъ какъ по опредѣленію обратныхъ точекъ (IV, 1) MA\cdot MA'=MB\cdot MB'=MC\cdot MC', то чет~-ки AA'BB' и AA'CC' суть вписанные (IV, 5). Поэтому (фиг. 123) \angle A'=\angle AA'B'+\angle AA'C'==(180^\circ-\angle MA'B')+(180^\circ-\angle MA'C'); но \angle MA'B'=\angle MBA~~\mbox{и}~~\angle MA'C'=\angle MCA; слѣдовательно, 180^\circ-\angle MA'B'=\angle MAB+\angle AMB, 180^\circ-\angle MA'C'=\angle MAC+\angle AMC и \angle A'=\angle BMC+\angle A.

Если~-же обозначить чрезъ A_1B_1C_1 подарный тр~-къ точки M относительно ABC, то (7) \angle A_1=\angle BMC+\angle A; слѣдовательно, \angle A_1=\angle A'. Аналогичнымъ образомъ убѣдимся въ равенствѣ и другихъ угловъ тр~-въ A_1B_1C_1 и A'B'C'; значитъ, эти тр~-ки подобны.

14. Теорема. Если точка M находится на биссектрисѣ угла A тр~-ка ABC и A_1B_1C_1 есть подарный тр~-къ этой точки относительно ABC, то прямая MA_1 пересѣкается съ B_1C_1 на медіанѣ того~-же тр~-ка, проходящей чрезъ вершину A.

Обозначимъ чрезъ AL биссектрису тр~-ка ABC, проходящую чрезъ точку M, и чрезъ N точку пересѣченія прямой MA_1 съ B_1C_1 (фиг. 124).

Такъ какъ прямыя MA_1, MB_1, MC_1 и B_1C_1 перпендикулярны къ BC, AC, AB и AL, то тр~-ки C_1MN и ABL, B_1MN и ACL подобны, а потому \frac{NC_1}{MC_1}=\frac{AL}{AB}\quad\mbox{и}\quad\frac{NB_1}{MB_1}= \frac{AL}{AC}, или NC_1\cdot AB=AL\cdot MC_1\quad\mbox{и}\quad NB_1\cdot AC=AL\cdot MB_1; отсюда, такъ какъ MB_1=MC_1, NC_1\cdot AB=NB_1\cdot AC или \frac{NB_1}{NC_1}=\frac{AB}{AC}; но, обозначивъ чрезъ y и z перпендикуляры NP и NQ изъ N на AC и AB, изъ подобія тр~-въ NB_1P и NC_1Q получимъ \frac{NB_1}{NC_1}=\frac yz; слѣдовательно, \frac yz=\frac{AB}{AC}; такимъ образомъ, разстоянія точки N отъ сторонъ тр~-ка AB и AC обратно пропорціональны этимъ сторонамъ; значитъ, точка N находится на медіанѣ тр~-ка ABC, проходящей чрезъ вершину A (VI, 3).

15. Теорема. Степень центра круга вписаннаго (или внѣвписаннаго) въ тр~-къ относительно окружности, описанной около него, по абсолютной величинѣ равна удвоенному произведенію радіусовъ этихъ круговъ.

Обозначимъ чрезъ I и O центры круга вписаннаго въ тр~-къ ABC и описаннаго около него и положимъ, что биссектриса AI пересѣкается съ окружностью ABC въ точкѣ E (фиг. 125).

Такъ какъ \angle EIB=\angle ABI+\angle BAI=\frac12(\angle A+\angle B) и \angle EBI=\angle CBI+\angle CBE=\frac12(\angle A+\angle B), то IE=BE; поэтому степень точки I относительно окружности ABC будетъ AI\cdot IE=IA\cdot BE.

Но, проведя діаметръ EOF и опустивъ изъ I перпендикуляръ I\gamma на AB, изъ подобія тр~-въ A\gamma I и FBE найдемъ, что \frac{IA}{I\gamma}= \frac{FE}{BE} или IA\cdot BE=FE\cdot I\gamma=2R\cdot r, гдѣ R и r суть радіусы круговъ описаннаго около тр~-ка ABC и вписаннаго въ него; слѣдовательно, степень точки I относительно окружности ABC равна 2Rr.

Обозначивъ чрезъ I_1 центръ круга, внѣвписаннаго въ тр~-къ ABC, чрезъ r_1 --- его радіусъ и чрезъ I_1\gamma_1 перпендикуляръ изъ I_1 на AB и замѣтивъ, что \angle EI_1B=180^\circ-\left(\frac{\angle A}2+\angle ABI_1\right)==180^\circ-\left(\frac{\angle A}2+\angle B+\frac{180^\circ-\angle B}2\right)==90^\circ-\frac12(\angle A+\angle B) и \angle EBI_1=\frac{180^\circ-\angle B}2-\frac{\angle A}2=90^\circ-\frac12(\angle A+\angle B), вслѣдствіе чего I_1E=BE, заключаемъ, что степень точки I_1 относительно окружности ABC равна I_1A\cdot I_1E=I_1A\cdot BE; но изъ подобія тр~-въ A\gamma_1I_1 и FBE слѣдуетъ, что \frac{BE}{EF}=\frac{I_1\gamma_1}{I_1A} или I_1A\cdot BE=EF\cdot I_1\gamma_1=2R\cdot r_1; слѣдовательно, степень точки I_1 относительно окружности ABC равна 2Rr_1.

16. Слѣдствія. Такъ какъ степени точекъ I и I_1 относительно окружности ABC равны разностямъ \overline{OI}{}^2-R^2 и \overline{OI_1}{}^2-R^2 (III, 22), то, положивъ OI=d,~O_1=d_1,~OI_2=d_2,~OI_3=d_3, по предыдущей теоремѣ получимъ R^2-d^2=2Rr, d_1^2-R^2=2Rr_1,~~d_2^2-R^2=2Rr_2,~~d_3^2-R^2=2Rr_3; отсюда формулы Эйлера: d^2=R(R-2r), d_1^2=R(R+2r_1),~~d_2^2=R(R+2r_2),~~d_3^2=R(R+2r_3).

Если площадь тр~-ка ABC обозначить чрезъ \triangle, то R=\frac{abc}{4\triangle},~~r=\frac\triangle p~~~\mbox{и}~~~ r_1=\frac\triangle{p-a}, гдѣ p=\frac12(a+b+c); пользуясь этими формулами, получимъ R^2-d^2=\frac{abc}{2p}, d_1^2-R^2=\frac{abc}{2(p-a)},d_2^2-R^2=\frac{abc}{2(p-b)}, d_3^2-R^2=\frac{abc}{2(p-c)}.

17. Если \alpha, \beta, \gamma, \alpha_1, \beta_1, \gamma_1,\dots суть точки касанія сторонъ тр~-ка ABC и окружностей I, I_1, I_2, I_3, вписанной и внѣвписанныхъ въ него, то тр~-ки \alpha\beta\gamma, \alpha_1\beta_1\gamma_1,\dots суть подарные тр~-ки центровъ I, I_1,\dots относительно ABC. Поэтому, пользуясь общей формулой для площади подарнаго тр~-ка (11) \triangle_1=\frac{\pm(d^2-R^2)}{4R^2}\triangle, на основаніи предыдущаго получимъ \mbox{площ.}\,\alpha\beta\gamma=\frac r{2R}\triangle, \mbox{площ.}\,\alpha_1\beta_1\gamma_1=\frac{r_1}{2R}\triangle,~ \mbox{площ.}\,\alpha_2\beta_2\gamma_2=\frac{r_2}{2R}\triangle, \mbox{площ.}\,\alpha_3\beta_3\gamma_3=\frac{r_3}{2R}\triangle; отсюда слѣдуетъ, что \frac{\mbox{площ.}\,\alpha\beta\gamma}r= \frac{\mbox{площ.}\,\alpha_1\beta_1\gamma_1}{r_1}= \frac{\mbox{площ.}\,\alpha_2\beta_2\gamma_2}{r_2}== \frac{\mbox{площ.}\,\alpha_3\beta_3\gamma_3}{r_3}= \frac\triangle{2R}.

18. Чтобы найти стороны тр~-ка \alpha\beta\gamma, воспользуемся равенствами (9) \frac{a_1}{a\cdot AM}=\frac{b_1}{b\cdot BM}=\frac {c_1}{c\cdot CM}=\frac1{2R}, положивъ въ нихъ a_1=\beta\gamma,~~b_1=\gamma\alpha,~~c_1=\alpha\beta и AM=AI,~~BM=BI,~~CM=CI; получимъ \beta\gamma=\frac{a\cdot AI}{2R}; но изъ прямоугольнаго тр~-ка A\beta I (фиг. 125) \overline{AI}{}^2=(p-a)^2+r^2=(p-a)^2+\frac{\triangle^2}{p^2}; подставивъ сюда \triangle=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, получимъ: AI=\sqrt{\frac{bc(p-a)}p} и по аналогіи BI=\sqrt{\frac{ca(p-b)}p},\quad CI=\sqrt{\frac{ab(p-c)}p}; подставивъ эти выраженія въ формулы для \beta\gamma, \gamma\alpha, \alpha\beta, найдемъ, что \beta\gamma=2(p-a)\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}, \gamma\alpha=2(p-b)\sqrt{\frac{(p-c)(p-a)}{ca}}, \alpha\beta=2(p-c)\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}.

19. Чтобы опредѣлить стороны тр~-ка \alpha_1\beta_1\gamma_1, найдемъ разстоянія центра I_1 отъ вершинъ тр~-ка ABC. Изъ прямоугольныхъ тр~-въ A\gamma_1I_1, B\alpha_1I_1 и C\alpha_1I_1 (фиг. 125) слѣдуетъ, что \overline{AI_1}{}^2=\overline{A\gamma_1}{}^2+r_1^2=p^2+\frac{\triangle^2}{(p-a)^2}, \overline{BI_1}{}^2=\overline{B\alpha_1}{}^2+r_1^2=(p-c)^2+\frac{\triangle^2}{(p-a)^2}, \overline{CI_1}{}^2=\overline{C\alpha_1}{}^2+r_1^2=(p-b)^2+\frac{\triangle^2}{(p-a)^2}; исключивъ изъ этихъ формулъ \triangle при помощи равенства \triangle=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, послѣ упрощеній получимъ: AI_1=\sqrt{bc\frac p{p-a}},~BI_1=\sqrt{ac\frac{p-c}{p-a}},~ CI_1=\sqrt{ab\frac{p-b}{p-a}}.

Положивъ теперь въ равенствахъ \frac{a_1}{a\cdot AM}=\frac{b_1}{b\cdot BM}=\frac{c_1}{c\cdot CM}=\frac1{2R} a_1=\beta_1\gamma_1,~~b_1=\gamma_1\alpha_1,~~c_1=\alpha_1\beta_1, AM=AI_1,~~BM=BI_1,~~CM=CI_1, найдемъ, что \beta_1\gamma_1=2p\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}, \gamma_1\alpha_1=2(p-c)\sqrt{\frac{p(p-b)}{ac}}, \alpha_1\beta_1=2(p-b)\sqrt{\frac{p(p-c)}{ab}}.

Изъ формулъ для AI и AI_1, BI и BI_2, CI и CI_3 слѣдуетъ, что AI\cdot AI_1=bc,~~ BI\cdot BI_2=ca,~~ CI\cdot CI_3=ab.

20. Если G', G'', G''' суть проэкціи барицентра G тр~-ка ABC на его стороны BC, CA, AB, то, положивъ въ равенствахъ \frac{a_1}{a\cdot AM}=\frac{b_1}{b\cdot BM}=\frac{c_1}{c\cdot CM}=\frac1{2R} AM=AG=\frac13\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2},~~\dots (VI, 9), получимъ a_1=G''G'''=\frac{a\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{6R},~~\dots.

Такъ какъ (VI, 9) \overline{OG}{}^2=R^2-\frac19(a^2+b^2+c^2), то, положивъ \triangle_1=\mbox{площ.}\,G'G''G''\quad\mbox{и}\quad d=OG, изъ формулы \triangle_1=\frac{R^2-d^2}{4R^2}\triangle найдемъ, что \mbox{площ.}\,G'G''G'''=\frac{a^2+b^2+c^2}{36R^2}\triangle= \frac{4(a^2+b^2+c^2)}{9a^2b^2c^2}\triangle^3.

21. Если H обозначаетъ ортоцентръ тр~-ка ABC, то GH=2GO\quad \mbox{и}\quad HO=3GO; поэтому \overline{HO}{}^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2); пользуясь этой формулой, подобно предыдущему найдемъ, что площадь ортоцентрическаго тр~-ка \mbox{площ.}\,H_1H_2H_3=\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{4R^2}-2\right)\,\triangle; отсюда на основаніи формулы для площади G'G''G''' получаемъ равенство 2\triangle=9\,\mbox{площ.}\,G'G''G'''-\mbox{площ.}\,H_1H_2H_3.

22. Обозначимъ чрезъ K'K''K''' подарный тр~-къ точки Лемуана K тр~-ка ABC. Такъ какъ (VII, 47) OK=R\sqrt{1-3\tg^2\omega}, гдѣ (VII, 45) \tg\omega=\frac{4\triangle}{a^2+b^2+c^2}, то, положивъ OK=d, получимъ R^2-d^2=3R^2\tg^2\omega; пользуясь этимъ выраженіемъ, изъ равенства \triangle_1=\frac{R^2-d^2}{4R^2}\triangle найдемъ, что \mbox{площ.}\,K'K''K'''=\frac34\triangle\tg^2\omega=\frac{12 \triangle^3}{(a^2+b^2+c^2)^2}.

Изъ этого равенства и равенства (20) \mbox{площ.}\,G'G''G'''=\frac{4(a^2+b^2+c^2)\triangle^3}{9a^2b^2c^2} слѣдуетъ, что \frac{\mbox{площ.}\,K'K''K'''}{\mbox{площ.}\, G'G''G'''}=27\cdot\frac{a^2b^2c^2}{(a^2+b^2+c^2)^3}.

23. Подарные тр~-ки A_1B_1C_1 и A_1'B_1'C_1 точекъ Брокара \Om и \Om' тр~-ка ABC подобны этому тр~-ку (VII, 78); поэтому, положивъ (фиг. 126) B_1C_1=a_1,~~C_1A_1=b_1,~~A_1B_1=c_1 и B_1'C_1'=a_1',~~C_1'A_1'=b_1',~~A_1'B_1'=c_1', получимъ: \frac{a_1^2}{a^2}=\frac{b_1^2}{b^2}=\frac{c_1^2}{c^2}= \frac{\mbox{площ.}\,A_1B_1C_1}\triangle и \frac{a_1'{}^2}{a^2}=\frac{b_1'{}^2}{b^2}=\frac{c_1'{}^2}{c^2}= \frac{\mbox{площ.}\,A_1'B_1'C_1'}\triangle.

Но точки Брокара \Om и \Om' равно отстоятъ отъ центра O окружности ABC (VII, 52), поэтому (12) \mbox{площ.}\,A_1B_1C_1=\mbox{площ.}\,A_1'B_1'C_1'; слѣдовательно, тр~-ки A_1B_1C_1 и A_1'B_1'C_1 равны. Итакъ, подарные тр~-ки точекъ Брокара \Om и \Om' тр~-ка ABC равны, т. е. a_1=a_1',~~b_1=b_1',~~c_1=c_1'.

Слѣдствиѣ. Если прямыя A\Om, B\Om, C\Om и A\Om', B\Om', C\Om' пересѣкаются съ окружностью ABC въ точкахъ E, F, D и F', D', E', то тр~-ки DEF и D'E'F' равны тр~-ку ABC (13).

24. Такъ какъ \frac{\mbox{площ.}\,A_1B_1C_1}\triangle= \frac{R^2-\overline{O\Om}{}^2}{4R^2} и (VII, 52) O\Om=KO\cos\omega,\quad KO=R\sqrt{1-3\tg^2\omega}, такъ что R^2-\overline{O\Om}{}^2=4R^2\sin^2\omega, то \frac{\mbox{площ.}\,A_1B_1C_1}\triangle=\sin^2\omega; слѣдовательно, \frac{a_1}a=\frac{a_1'}a=\frac{b_1}b=\dots=\sin\omega.

Определивъ отсюда a_1, a_1', b_1, b_1',\dots, изъ равенствъ A_1C_1=b_1=a\cdot\frac{A\Om}{2R},\quad B_1A_1=c_1=b\cdot\frac{B\Om}{2R}, C_1B_1=a_1=c\cdot\frac{C\Om}{2R} и подобныхъ имъ для точки \Om' найдемъ, что A\Om=\frac ba\cdot2R\sin\omega,~ B\Om=\frac cb\cdot2R\sin\omega,~ C\Om=\frac ac\cdot2R\sin\omega, A\Om'=\frac ca\cdot2R\sin\omega, B\Om'=\frac ab\cdot2R\sin\omega, C\Om'=\frac bc\cdot2R\sin\omega.

Изъ этихъ равенствъ слѣдуетъ, что A\Om\cdot B\Om\cdot C\Om=A\Om'\cdot B\Om'\cdot C\Om'=8R^3\sin^3\omega, \frac{A\Om\cdot A\Om'}{b^3c^3}=\frac{B\Om\cdot B\Om'}{c^3a^3}= \frac{C\Om\cdot C\Om'}{a^3b^3}=\frac{\sin^2\omega}{4\triangle^2}= =\frac{\cos^2\omega}{(a^2+b^2+c^2)^2}.

25. Пользуясь тѣми~-же равенствами, найдемъ, что \overline{A\Om}{}^2+\overline{B\Om}{}^2+\overline{C\Om}{}^2= 4R^2\,\left(\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\sin^2\omega; но, съ другой стороны (VI, 7---8), \overline{A\Om}{}^2+\overline{B\Om}{}^2+\overline{C\Om}{}^2= \overline{AG}{}^2+\overline{BG}{}^2+\overline{CG}{}^2+3\overline{G\Om}{}^2= =\frac13(a^2+b^2+c^2)+3\overline{G\Om}{}^2; поэтому \overline{G\Om}{}^2=\frac43R^2\,\left(\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+ \frac{a^2}{c^2}\right)\sin^2\omega-\frac19(a^2+b^2+c^2); этой формулой и аналогичной съ ней опредѣляются разстоянія точекъ Брокара \Om и \Om' тр~-ка ABC отъ барицентра его G.

26. Обозначимъ чрезъ x, y, z и x', y', z' разстоянія точекъ \Om и \Om' отъ сторонъ тр~-ка ABC, такъ что (фиг. 126) x=\Om B_1,~~y=\Om C_1,~~z=\Om a_1, x'=\Om'C_1',~~y'=\Om'A_1',~~z'=\Om'B_1'.

Изъ прямоугольныхъ тр~-въ \Om BB_1 и \Om'CC_1', у которыхъ \angle \Om BB_1=\angle \Om'CC_1'=\omega, слѣдует, что x=\Om B_1=B\Om\sin\omega,~~\dots, x'=\Om'C_1'=C\Om'\sin\omega,~~\dots; отсюда, пользуясь формулами для A\Om, B\Om, C\Om, A\Om',\dots, найдемъ, что x=\frac cb\cdot2R\sin^2\omega,~ y=\frac ac\cdot2R\sin^2\omega,~ z=\frac ba\cdot2R\sin^2\omega, x'=\frac bc\cdot2R\sin^2\omega,~ y'=\frac ca\cdot2R\sin^2\omega,~ z'=\frac ab\cdot2R\sin^2\omega; слѣдовательно, x:y:z=\frac cb:\frac ac:\frac ba, x':y':z'=\frac bc:\frac ca:\frac ab, xyz=x'y'z'=8R^3\sin^6\omega, \frac x{x'}=\frac{c^2}{b^2},~~\frac y{y'}=\frac{a^2}{c^2},~~ \frac z{z'}=\frac{b^2}{a^2}.

27. Такъ какъ \mbox{площ.}\,B\Om C=\frac12ax=\frac{acR}b\sin^2\omega, \mbox{площ.}\,C\Om A=\frac12by=\frac{baR}c\sin^2\omega, \mbox{площ.}\,A\Om B=\frac12cz=\frac{cbR}a\sin^2\omega, то \mbox{площ.}\,B\Om C:\mbox{площ.}\,C\Om A:\mbox{площ.}\,A\Om B= \frac1{b^2}:\frac1{c^2}:\frac1{a^2}.

Такимъ~-же образомъ найдемъ, что \mbox{площ.}\,B\Om'C:\mbox{площ.}\,C\Om'A:\mbox{площ.}\,A\Om'B= \frac1{c^2}:\frac1{a^2}:\frac1{b^2}.

Сложивъ предыдущія три равенства, получимъ: \left(\frac{ac}b+\frac{ba}c+\frac{cb}a\right)\cdot R\sin^2\omega=\triangle; исключивъ отсюда R при помощи формулы R=\frac{abc}{4\triangle}, получимъ: \sin^2\omega=\frac{4\triangle^2}{a^2c^2+b^2a^2+c^2b^2}; а такъ какъ \tg^2\omega=\frac{16\triangle^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}, то \cos^2\omega=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a^2c^2+b^2a^2+c^2b^2)}.

28. Теорема. Площади подарныхъ тр~-въ всѣхъ точекъ M, M',\dots, расположенныхъ на одной окружности, относительно тр~-ка ABC, вписаннаго въ другую окружность, пропорціональны разстояніямъ этихъ точекъ отъ радикальной оси разсматриваемыхъ окружностей.

Обозначимъ чрезъ O и O_1 центры окружностей ABC и MM'M''\dots (фиг. 127), чрезъ l --- ихъ радикальную ось и чрезъ \triangle_1 и \triangle_1' --- площади подарныхъ тр~-въ A_1B_1C_1 и A_1'B_1'C_1' точекъ M и M' относительно ABC.

Если k^2 и k'^2 суть абсолютныя величины степеней точекъ M и M' относительно окружности ABC, то (11) \frac{\triangle_1}\triangle=\frac{k^2}{4R^2}\quad\mbox{и}\quad \frac{\triangle_1'}\triangle=\frac{k'^2}{4R^2}; но, опустивъ на радикальную ось l перпендикуляры MN и M'N', получимъ (III, 32) k^2=2OO_1\cdot MN\quad\mbox{и}\quad k'^2=2OO_1\cdot M'N'; слѣдовательно, \frac{\triangle _1}{\triangle_1'}=\frac{MN}{M'N'}, или \frac{\triangle_1} {MN}=\frac{\triangle_1'}{M'N'}=\dots=\frac{OO_1}{2R^2}\triangle.

29. Теорема. Если хорда окружности, описанной около тр~-ка ABC, дѣлится гармонически въ точкахъ M и M', то площади подарныхъ тр~-въ этихъ точекъ относительно ABC пропорціональны разстояніямъ ихъ отъ средины хорды.

Положимъ, что хорда DE окружности ABC дѣлится гармонически въ точкахъ M и M' (фиг. 128). Обозначивъ площади подарныхъ тр~-въ этихъ точекъ относительно тр~-ка ABC чрезъ \triangle_1 и \triangle_1', получим \frac{\triangle_1}\triangle=\frac{\overline{OM}{}^2-R^2}{4R^2} \quad\mbox{и}\quad\frac{\triangle_1'}\triangle=\frac{R^2-\overline {OM'}{}^2}{4R^2}.

Но, если средину хорды DE обозначить чрезъ O', то (II, 40) O'M\cdot O'M'=\overline{O'D}{}^2\quad\mbox{и}\quad R^2=\overline{O'D}{}^2+\overline{OO'}{}^2; поэтому \overline{OM}{}^2-R^2=\overline{OM}{}^2-\overline{O'D}{}^2- \overline{OO'}{}^2==(\overline{OM}{}^2-\overline{OO'}{}^2)-O'M\cdot O'M'=\overline{O'M}{}^2-O'M\cdot O'M'==O'M\cdot (O'M-O'M')=O'M\cdot MM' и R^2-\overline{OM'}{}^2=\overline{O'D}{}^2+\overline {OO'}{}^2-\overline{OM'}{}^2==O'M\cdot O'M'-(\overline{OM'}{}^2- \overline{OO'}{}^2=O'M\cdot O'M'-\overline{O'M'}{}^2==O'M'\cdot (O'M-O'M')=O'M'\cdot MM'; слѣдовательно, \frac{\triangle_1}\triangle=\frac{O'M\cdot MM'}{4R^2}\quad \mbox{и}\quad\frac{\triangle_1'}\triangle=\frac{O'M'\cdot MM'}{4R^2}; отсюда \frac{\triangle_1}{O'M}=\frac{\triangle_1'}{O'M'}= \frac{MM'}{4R^2}\triangle.

30. Слѣдствіе. Если прямая MM' проходитъ чрезъ центръ O круга ABC, то точка O' совпадаетъ съ O и O'M\cdot O'M'=OM\cdot OM'=R^2; въ этомъ случаѣ равенства \frac{\triangle_1}\triangle=\frac{O'M\cdot MM'}{4R^2} \quad\mbox{и}\quad\frac{\triangle_1'}\triangle=\frac{O'M'\cdot MM'}{4R^2} обращаются въ равенства \frac{\triangle_1}\triangle=\frac{OM\cdot MM'}{4R^2}=\frac{MM'}{4OM'}~~\mbox{и}~~ \frac{\triangle_1'}\triangle=\frac{OM'\cdot MM'}{4R^2}=\frac{MM'}{4OM}; отсюда \frac{MM'}{\triangle_1}= \frac{4OM'}\triangle\quad\mbox{и}\quad \frac{MM'}{\triangle_1'}= \frac{4OM}\triangle; слѣдовательно, \frac{MM'}{\triangle_1'}-\frac{MM'}{\triangle_1}=\frac{4(OM-OM')} \triangle=\frac{4MM'}\triangle; или \frac1{\triangle_1'}- \frac1{\triangle_1}=\frac4\triangle.

31. Окружности Schoute’а. Аналитически легко доказывается, что геометрическое мѣсто точекъ, подарные тр~-ки которыхъ относительно тр~-ка ABC имѣютъ равные углы Брокара \omega_1, есть окружность, соосная съ окружностью Брокара тр~-ка ABC и окружностью, описанною около этого тр~-ка. Такая окружность называютъ окружностью Schoute’а [по имени голландскаго ученаго].

Окружности Schou­te’а для различныхъ угловъ \omega_1 различны.

Такъ какъ радикальною осью окружности Брокара даннаго тр~-ка ABC и окружности, описанной около него, служитъ прямая Лемуана (VII, 63), то окружности Schou­te’а даннаго тр~-ка образуютъ пучок соосныхъ окружностей, общая радикальная ось которыхъ совпадаетъ съ прямой Лемуана этого тр~-ка; поэтому центры окружностей Schou­te’а тр~-ка ABC находятся на прямой KO, соединяющей точку Лемуана K этого тр~-ка съ центромъ O описаннаго около него круга.

32. Окружность Брокара тр~-ка ABC, прямая Лемуана и описанная окружность принадлежатъ къ системѣ окружностей Schou­te’а этого тр~-ка.

Изъ этого слѣдуетъ, что уголъ Брокара подарнаго тр~-ка точки Лемуана K тр~-ка ABC равенъ углу Брокара подарнаго тр~-ка центра описаннаго круга O, т. е. равенъ углу Брокара \omega тр~-ка ABC.

33. Такъ какъ прямая Лемуана тр~-ка ABC есть поляра точки Лемуана K относительно описанной окружности (VI, 31), то, обозначивъ чрезъ P пересѣченіе этой прямой съ прямою KO, получимъ (III, 1): OP\cdot OK=R^2; но (VII, 47) OK=R\sqrt{1-3\tg^2\omega}, поэтому OP=\frac R{\sqrt{1-3\tg^2\omega}}; слѣдовательно, степень точки P относительно каждой изъ окружностей Schou­te’а тр~-ка ABC равна \overline{OP}{}^2-R^2=\frac{3R^2\tg^2 \omega}{1-3\tg^2\omega}.

Если O_1 и R_1 суть центръ и радіусъ какой-нибудь окружности Schou­te’а, то, положивъ O_1P=d_1, получимъ равенство (III, 56) d_1^2-R_1^2=\frac{3R^2\tg^2\omega} {1-3\tg^2\omega}, изъ котораго опредѣляется R_1 въ зависимости отъ d_1 и наоборотъ.

34. Подарные тр~-ки изогональныхъ точекъ. Изъ свойствъ изогональныхъ точекъ (V, 18) какого-либо тр~-ка ABC вытекаютъ слѣдующія свойства подарныхъ тр~-въ такихъ точекъ.

Вершины подарныхъ тр~-въ двухъ изогональныхъ точекъ тр~-ка ABC находятся на одной окружности.

Соотвѣтственныя стороны подарныхъ тр~-въ двухъ изогональныхъ точекъ тр~-ка ABC антипараллельны относительно двухъ прилежащихъ къ нимъ сторонъ этого тр~-ка.

Прямыя, соединяющія одну изъ изогональныхъ точекъ тр~-ка ABC съ его вершинами, перпендикулярны къ соотвѣтственнымъ сторонамъ подарнаго тр~-ка другой точки.

35. Обозначимъ чрезъ A_1B_1C_1 и A_2B_2C_2 подарные тр~-ки изогонально сопряженныхъ точекъ M_1 и M_2 тр~-ка ABC (фиг. 129). Такъ какъ прямыя B_1C_1 и B_2C_2 антипараллельны относительно AB и AC, такъ что \angle AC_1B_1=\angle AB_2C_2\quad\mbox{и}\quad\angle AB_1C_1=\angle AC_2B_2, то \angle M_1C_1B_1=\angle M_2B_2C_2\quad\mbox{и}\quad\angle M_1B_1C_1=\angle M_2C_2B_2; слѣдовательно, тр~-ки M_1B_1C_1 и M_2C_2B_2 подобны, и по аналогіи тр~-ки M_1C_1A_1 и M_1A_1B_1 подобны тр~-мъ M_2A_2C_2 и M_2B_2A_2. Поэтому, положивъ B_1C_1=a_1,\quad C_1A_1=b_1,\quad A_1B_1=c_1, B_2C_2=a_2,\quad C_2A_2=b_2,\quad A_2B_2=c_2, M_1A_1=x_1,\quad M_1B_1=y_1,\quad M_1C_1=z_1, M_2A_2=x_2,\quad M_2B_2=y_2,\quad M_2C_2=z_2, получимъ: \frac{a_1}{a_2}=\frac{y_1}{z_2}=\frac{z_1}{y_2},\quad \frac{b_1}{b_2}=\frac{z_1}{x_2}=\frac{x_1}{z_2},\quad \frac{c_1}{c_2}=\frac{x_1}{y_2}=\frac{y_1}{x_2}; вслѣдствіе этихъ равенствъ \frac{\mbox{площ.}\,M_1B_1C_1}{\mbox{площ.}\,M_2B_2C_2}= \frac{a_1^2}{a_2^2}=\frac{y_1z_1}{y_2z_2}, \frac{\mbox{площ.}\,M_1C_1A_1}{\mbox{площ.}\,M_2C_2A_2}= \frac{b_1^2}{b_2^2}=\frac{z_1x_1}{z_2x_2}, \frac{\mbox{площ.}\,M_1A_1B_1}{\mbox{площ.}\,M_2A_2B_2}= \frac{c_1^2}{c_2^2}=\frac{x_1y_1}{x_2y_2}.

36. Обозначивъ чрезъ \triangle площадь тр~-ка ABC, положивъ BC=a,\quad CA=b,\quad AB=c и замѣтивъ, что \angle B_1M_1C_1=180^\circ-\angle A, \angle C_1M_1A_1=180^\circ-\angle B, \angle A_1M_1B_1=180^\circ-\angle C, получимъ: \frac{\mbox{площ.}\,M_1B_1C_1}\triangle=\frac{M_1B_1\cdot M_1C_1}{AB\cdot AC}=\frac{y_1z_1}{bc}, \frac{\mbox{площ.}\,M_1C_1A_1}\triangle=\frac{M_1C_1\cdot M_1A_1}{BC\cdot BA}=\frac{z_1x_1}{ca}, \frac{\mbox{площ.}\,M_1A_1B_1}\triangle=\frac{M_1A_1\cdot M_1B_1}{CA\cdot CB}=\frac{x_1y_1}{ab}; отсюда \frac{\mbox{площ.}\,M_1B_1C_1}{\mbox{площ.}\,M_1C_1A_1}=\frac{ay_1}{bx_1}; но (V, 18) x_1x_2=y_1y_2\quad\mbox{или}\quad\frac{y_1}{x_1}=\frac{x_2}{y_2}; поэтому \frac{\mbox{площ.}\,M_1B_1C_1}{\mbox{площ.}\,M_1C_1A_1}=\frac{ax_2}{by_2}= \frac{\mbox{площ.}\,M_2BC}{\mbox{площ.}\,M_2CA}, или \frac{\mbox{площ.}\,M_1B_1C_1}{\mbox{площ.}\,M_2BC}= \frac{\mbox{площ.}\,M_1C_1A_1}{\mbox{площ.}\,M_2CA} и по аналогіи \frac{\mbox{площ.}\,M_1C_1A_1}{\mbox{площ.}\,M_2CA}= \frac{\mbox{площ.}\,M_1A_1B_1}{\mbox{площ.}\,M_2AB}, \frac{\mbox{площ.}\,M_1A_1B_1}{\mbox{площ.}\,M_2AB}= \frac{\mbox{площ.}\,M_1B_1C_1}{\mbox{площ.}\,M_2BC}; такимъ образомъ, \frac{\mbox{площ.}\,M_1B_1C_1}{\mbox{площ.}\,M_2BC}= \frac{\mbox{площ.}\,M_1C_1A_1}{\mbox{площ.}\,M_2CA}= \frac{\mbox{площ.}\,M_1A_1B_1}{\mbox{площ.}\,M_2AB}= \frac{\triangle_1}\triangle, гдѣ \triangle_1 --- площадь тр~-ка A_1B_1C_1. Обозначивъ площадь тр~-ка A_2B_2C_2 чрезъ \triangle_2, получимъ аналогичныя равенства: \frac{\mbox{площ.}\,M_2B_2C_2}{\mbox{площ.}\,M_1BC}= \frac{\mbox{площ.}\,M_2C_2A_2}{\mbox{площ.}\,M_1CA}= \frac{\mbox{площ.}\,M_2A_2B_2}{\mbox{площ.}\,M_1AB}= \frac{\triangle_2}\triangle.

Изъ этихъ равенствъ слѣдуетъ, что \frac{\triangle_1}{\triangle_2}= \frac{\mbox{площ.}\,M_1B_1C_1\cdot \mbox{площ.}\,M_1BC} {\mbox{площ.}\,M_2B_2C_2\cdot \mbox{площ.}\,M_2BC}; а такъ какъ \frac{\mbox{площ.}\,M_1B_1C_1}{\mbox{площ.}\,M_2B_2C_2}=\frac{y_1z_1}{y_2z_2} \quad\mbox{и}\quad \frac{\mbox{площ.}\,M_1BC}{\mbox{площ.}\,M_2BC}=\frac{x_1}{x_2}, то \frac{\triangle_1}{\triangle_2}=\frac{x_1y_1z_1}{x_2y_2z_2}, т. е. площади подарныхъ тр~-въ изогональныхъ точекъ даннаго тр~-ка пропорціональны произведеніямъ разстояній ихъ отъ сторонъ этого тр~-ка.

37. Теорема Штейнера (Steiner). Если перпендикуляры изъ вершинъ тр~-ка A_1B_1C_1 на стороны тр~-ка ABC пересѣкаются въ одной точкѣ, то перпендикуляры изъ вершинъ тр~-ка ABC на стороны тр~-ка A_1B_1C_1 пересѣкаются также въ одной точкѣ.

Положимъ, что перпендикуляры изъ вершинъ тр~-ка A_1B_1C_1 на стороны тр~-ка ABC пересѣкаются въ точкѣ D. Проведя чрезъ A_1, B_1, C_1 прямыя, параллельныя сторонамъ тр~-ка ABC, получимъ тр~-ка A'B'C'; пусть D' есть точка, изогонально сопряженная съ D относительно этого тр~-ка (фиг. 130). Такъ какъ A_1B_1C_1 есть подарный тр~-къ точки D относительно A'B'C', то прямыя A'D', B'D' и C'D' перпендикулярны къ сторонамъ его (34); но тр~-ки ABC и A'B'C' гомотетичны (II, 3); поэтому перпендикуляры изъ A, B и C на стороны тр~-ка A_1B_1C_1, какъ прямыя соотвѣтственныя съ A'D', B'D' и C'D', пересѣкаются въ одной точкѣ D_1.

38. Ортологическіе тр~-ки (triangles ortho­lo­gi­ques, Lemoine). Два тр~-ка ABC и A_1B_1C_1 называются ортологическими, если перпендикуляры изъ вершинъ одного изъ нихъ на стороны другого пересѣкаются въ одной точкѣ.

Если ABC и A_1B_1C_1 (фиг. 130) суть ортологическіе тр~-ки, то точка пересѣченія D перпендикуляровъ изъ вершинъ тр~-ка A_1B_1C_1 на стороны тр~-ка ABC называется ортологическимъ центромъ тр~-ка ABC относительно тр~-ка A_1B_1C_1. Точка D_1, въ которой пересѣкаются перпендикуляры изъ вершинъ тр~-ка ABC на стороны тр~-ка A_1B_1C_1, по этому опредѣленію есть ортологическій центръ тр~-ка A_1B_1C_1 относительно ABC. Тр~-къ A'B'C', антиподарный точки D относительно тр~-ка A_1B_1C_1, гомотетиченъ съ тр~-мъ ABC; тр~-къ антиподарный точки D_1 относительно ABC гомотетиченъ съ тр~-мъ A_1B_1C_1.

39. Если A_1B_1C_1 есть подарный тр~-къ относительно тр~-ка ABC, то эти тр~-ки ортологическіе. Ортологическіе центры ихъ суть изогональныя точки тр~-ка ABC.

Тр~-къ ABC и его дополнительный тр~-къ A_1B_1C_1 суть ортологическіе тр~-ки; ортологическіе центры ихъ суть центръ O круга, описаннаго около тр~-ка ABC, и ортоцентръ H этого тр~-ка.

Тр~-къ ABC и его ортоцентрическій тр~-къ H_1H_2H_3 суть ортологическіе тр~-ки; ортологическіе центры ихъ суть ортоцентръ H тр~-ка ABC и центръ круга O, описаннаго около этого тр~-ка.

Тр~-къ ABC и его первый тр~-къ Брокара A_1B_1C_1 суть ортологическіе тр~-ки; ортологическіе центры ихъ суть центръ круга O, описаннаго около тр~-ка ABC, и точка Тарри N этого тр~-ка (VII, 56).

Ортологическіе центры тр~-ка ABC и подарнаго тр~-ка его барицентра G суть барицентръ G и точка Лемуана K этого тр~-ка.

Ортологическіе центры тр~-ка ABC и подарнаго тр~-ка его точки Лемуана K суть точка Лемуана K и барицентръ G этого тр~-ка.

Ортологическіе центры тр~-ка ABC и подарнаго тр~-ка центра вписаннаго въ него круга I совпадаютъ съ этой точкой I.

40. Теорема. Если A_1, B_1, C_1 суть центры окружностей, описанныхъ около тр~-въ BCD, CAD, ABD, гдѣ D --- произвольная точка въ плоскости тр~-ка ABC, то ABC и A_1B_1C_1 суть ортологическіе тр~-ки; ортологическіе центры ихъ суть центръ круга O, описаннаго около тр~-ка ABC, и точка D.

Ибо перпендикуляры изъ вершинъ тр~-ка A_1B_1C_1 на стороны тр~-ка ABC проходятъ чрезъ средины сторонъ этого тр~-ка и потому пересѣкаются въ центрѣ O описаннаго около него круга; перпендикуляры~-же изъ вершинъ тр~-ка ABC на стороны тр~-ка A_1B_1C_1 совпадаютъ съ прямыми AD, BD и CD.

41. Теорема. Если I_1, I_2, I_3 суть центры внѣвписанныхъ круговъ тр~-ка ABC, то ABC и I_1I_2I_3 суть ортологическіе тр~-ки; ортологическіе центры ихъ суть центръ круга, описаннаго около тр~-ка I_1I_2I_3, и центръ круга I, вписаннаго въ тр~-къ ABC.

Ибо точка I и тр~-къ ABC суть ортоцентръ и ортоцентрическій тр~-къ тр~-ка I_1I_2I_3.

42. Теорема. Взаимно полярные тр~-ки суть тр~-ки ортологическіе; ортологическіе центры ихъ совпадаютъ съ центромъ направляющей окружности.

Пусть ABC и A_1B_1C_1 суть взаимно полярные тр~-ки относительно окружности, имѣющей центръ въ O. Такъ какъ поляра точки относительно круга перпендикулярна къ прямой, соединяющей эту точку съ центромъ круга, то (III, 15) прямыя AO, BO, CO перпендикулярны къ B_1C_1, C_1A_1 и A_1B_1 и прямыя A_1O, B_1O, C_1O перпендикулярны къ BC, CA и AB; слѣдовательно, ABC и A_1B_1C_1 суть ортологическіе тр~-ки и ортологическіе центры ихъ совпадаютъ съ точкою O (фиг. 131).

43. Если прямыя OA_1, OB_1, OC_1 (фиг. 131) пересѣкаются съ сторонами тр~-ка ABC въ точкахъ X, Y, Z, а прямыя OA, OB, OC съ сторонами тр~-ка A_1B_1C_1 въ точкахъ X_1, Y_1, Z_1, то по свойству поляръ (III, 1) OA_1\cdot OX=OB_1\cdot OY=OC_1\cdot OZ=R^2 и OA\cdot OX_1=OB\cdot OY_1=OC\cdot OZ_1=R^2, гдѣ R --- радіусъ направляющей окружности O. Изъ этихъ равенствъ слѣдуетъ, что \frac{OA}{OX}=\frac{OA_1}{OX_1},\quad\dots и \frac{OA}{OB}=\frac{OY_1}{OX_1},\quad\dots,\quad \frac{OA_1}{OB_1}=\frac{OY}{OX},\quad\dots.

Такимъ образомъ, называя вершины A и A_1, B и B_1, C и C_1 соотвѣтственными, а стороны BC и B_1C_1 противоположными вершинамъ A_1 и A и т. п., получаемъ слѣдующія свойства взаимно полярныхъ тр~-въ.

Разстоянія ортологическаго центра двухъ взаимно полярныхъ тр~-въ отъ соотвѣтственныхъ вершинъ ихъ пропорціональны разстояніямъ его отъ сторонъ ихъ, лежащихъ противъ этихъ вершинъ.

Разстоянія ортологическаго центра двухъ взаимно полярныхъ тр~-въ отъ вершинъ одного изъ нихъ обратно пропорціональны разстояніямъ его отъ противоположныхъ сторонъ другого.

44. Полный четыреугольникъ (quadrangle complet). Фигуру, опредѣляющуюся четырьмя точками, не лежащими на одной прямой, также какъ фигуру, опредѣляющуюся четырьмя прямыми, не пересѣкающимися въ одной точкѣ, называютъ полнымъ четыреугольникомъ (quadr­angle complet), хотя во второмъ случаѣ фигуру правильнѣе было~-бы называть полнымъ четырехсторонникомъ (quadri­latère complet).

Если полный четыреугольникъ опредѣляется четырьмя точками A, B, C, D, то эти точки называются вершинами четыреугольника, а прямыя, соединяющія ихъ, его сторонами. Сторона полнаго чет~-ка, не проходящія чрезъ одну и ту~-же вершину его, напр., AB и CD, называются противоположными сторонами.

Если вершины A и A_1, B и B_1,\dots двухъ полныхъ чет~-въ разсматриваются какъ соотвѣтственныя, то стороны ихъ AB и C_1D_1, BC и D_1A_1,\dots называются противоположными.

45. Метаполярные чет~-ки (quadrangles méta­polai­res, Neu­berg). Полные чет~-ки ABCD и A_1B_1C_1D_1 называются метаполярными, если стороны одного изъ нихъ перпендикулярны или равно наклонны къ противоположнымъ сторонамъ другого.

Взаимно полярные тр~-ки ABC и A_1B_1C_1 (фиг. 131) вмѣстѣ съ ортологическимъ центромъ ихъ O можно разсматривать какъ метаполярные чет~-ки ABCD и A_1B_1C_1D_1, соотвѣтственныя вершины которыхъ D и D_1 совпадаютъ съ точкою O.

Обратно, если метаполярные чет~-ки ABCD и A_1B_1C_1D_1 имѣютъ такое положеніе, что двѣ соотвѣтственныя вершины ихъ, напр., D и D_1, совпадаютъ съ точкою O, а противоположныя стороны взаимно перпендикулярны, то тр~-ки ABC и A_1B_1C_1 суть взаимно полярные тр~-ки относительно нѣкоторой окружности, описанной около точки O (фиг. 131).

46. Обозначивъ чрезъ R радіусъ окружности, относительно которой тр~-ки ABC и A_1B_1C_1 взаимно полярны, когда соотвѣтственныя вершины D и D_1 метаполярныхъ чет~-въ ABCD и A_1B_1C_1D_1 совпадаютъ въ точкѣ O, получимъ (43): DA\cdot D_1X_1=DB\cdot D_1Y_1=DC\cdot D_1Z_1=R^2 и D_1A_1\cdot DX=D_1B_1\cdot DY=D_1C_1\cdot SZ=R^2; отсюда DA:DB:DC=\frac1{D_1X_1}:\frac1{D_1Y_1}:\frac1{D_1Z_1} и DX:DY:DZ=\frac1{D_1A_1}:\frac1{D_1B_1}:\frac1{D_1C_1}.

Такимъ образомъ, разстоянія какой-нибудь вершины D одного изъ метаполярныхъ чет~-въ отъ другихъ его вершинъ и сторонъ обратно пропорціональны разстояніямъ соотвѣтственной вершины D_1 другого чет~-ка отъ его противоположныхъ сторонъ и вершинъ.

47. Теорема Сунса (Soons). Если A_1, B_1, C_1 суть проэкціи вершинъ тр~-ка ABC на какую-нибудь прямую m, то перпендикуляры изъ точекъ A_1, B_1, C_1 на стороны тр~-ка BC, CA и AB пересѣкаются въ одной точкѣ.

Положимъ, что перпендикуляръ изъ A_1 на BC пересѣкается съ перпендикулярами изъ B_1 и C_1 на CA и AB въ точкахъ M и M' (фиг. 132).

Обозначивъ чрезъ K точку пересѣченія прямой AA_1 съ BC и замѣтивъ, что тр~-ки B_1A_1M и AKC, C_1A_1M' и AKB, вслѣдствіе перпендикулярности сторонъ ихъ, подобны, получимъ: \frac{A_1M}{KC}=\frac{A_1B_1}{AK}\quad\mbox{и}\quad \frac{A_1M'}{KB}=\frac{C_1A_1}{AK}, отсюда \frac{A_1M\cdot KB}{A_1M'\cdot KC}=\frac{A_1B_1}{C_1A_1}; но \frac{KB}{KC}= \frac{A_1B_1}{C_1A_1}; слѣдовательно, A_1M=A_1M', т. е. точки M и M' совпадаютъ.

Изъ этой теоремы слѣдуетъ, что прямую B_1A_1C_1 можно разсматривать какъ тр~-къ ортологическій съ тр~-мъ ABC; въ этомъ случаѣ ортологическій центръ тр~-ка ABC относительно A_1B_1C_1 совпадаетъ съ точкою M, а ортологическій центръ тр~-ка A_1B_1C_1 относительно ABC удаленъ въ безконечность.

48. Предположимъ, что прямая m проходитъ чрезъ центръ O окружности ABC и обозначимъ чрезъ \alpha, \beta, \gamma центры окружностей, имѣющихъ діаметрами прямыя AO, BO, CO; эти окружности проходятъ соотвѣтственно чрезъ точки A_1, B_1, C_1 (фиг. 132). Такъ какъ AA_1 и BB_1 перпендикулярны къ A_1B_1, то перпендикуляръ, возставленный въ срединѣ L этого отрѣзка, пройдетъ чрезъ средину F стороны AB. Но \angle FB_1A_1=\angle FBO=90^\circ-\angle C=90^\circ-\angle B_1MA_1, поэтому \angle B_1FL=\angle B_1MA_1; слѣдовательно, F есть центръ окружности, описанной около тр~-ка MA_1B_1, и прямыя DF и EF, соединяющія точку F съ срединами D и E сторонъ BC и AC, перпендикулярны къ MB_1 и MA_1 и дѣлятъ эти отрѣзки пополамъ. Такимъ образомъ, проэкціи точки M на стороны тр~-ка DEF суть средины прямыхъ MA_1, MB_1, MC_1, и потому находятся на одной прямой, параллельной m и равноотстоящей отъ этой прямой и точки M; значитъ, эти проэкціи находятся на прямой Симсона точки M относительно тр~-ка DEF, а потому точка M находится на окружности DEF, т. е. на окружности Эйлера тр~-ка ABC.

Итакъ, если A_1, B_1, C_1 суть проэкціи вершинъ тр~-ка ABC на діаметръ описаннаго круга, то перпендикуляры изъ A_1, B_1, C_1 на BC, CA и AB пересѣкаются на окружности Эйлера тр~-ка ABC.

Обратно, если M есть какая-нибудь точка окружности Эйлера тр~-ка ABC, то точки A_1, B_1, C_1, симметричныя съ M относительно сторонъ дополнительнаго тр~-ка, находятся на одной прямой, проходящей чрезъ центръ круга ABC, а перпендикуляры къ этой прямой въ точкахъ A_1, B_1, C_1 проходятъ чрезъ вершины тр~-ка ABC.

49. Дважды ортологическіе тр~-ки (triangles double­ment ortho­logi­ques). Тр~-ки ABC и A_1B_1C_1 называются дважды ортологическими, если перпендикуляры изъ вершинъ A, B, C на стороны B_1C_1, C_1A_1 и A_1B_1 пересѣкаются въ одной точкѣ D_1 и перпендикуляры изъ тѣхъ~-же вершинъ на стороны C_1A_1, A_1B_1 и B_1C_1 пересѣкаются въ одной точкѣ D_2. Въ этомъ случаѣ перпендикуляры изъ вершинъ A_1, B_1, C_1 на стороны BC, CA и AB пересѣкаются въ одной точкѣ D_1' и перпендикуляры изъ тѣхъ~-же вершинъ на CA, AB и BC пересѣкаются въ одной точкѣ D_2' (37).

Лемуанъ показалъ, что при этихъ условіяхъ перпендикуляры изъ вершинъ A, B, C на стороны A_1B_1, B_1C_1 и C_1A_1 пересѣкаются въ одной точкѣ D_3 и перпендикуляры изъ вершинъ A_1, B_1, C_1 на стороны AB, BC и CA пересѣкаются въ одной точкѣ D_3', т. е. что дважды ортологическіе тр~-ки суть тр~-ки трижды ортологическіе (triple­ment ortho­logi­ques).

50. Ортогомологичные тр~-ки (triangles ortho­homo­logi­ques). Ортогомологичными тр~-ми называютъ гомологичные тр~-ки, соотвѣтственныя стороны которыхъ взаимно перпендикулярны (Neu­berg).

Очевидно, что ортогомологичные тр~-ки подобны и сходственно расположены.

Теорема. Центръ подобія ортогомологичныхъ тр~-въ ABC и A'B'C' есть одна изъ точекъ пересѣченія окружностей, описанныхъ около этихъ тр~-въ.

Обозначимъ чрезъ a, b и c точки пересѣченія соотвѣтственныхъ сторонъ тр~-въ ABC и A'B'C' (фиг. 133). Такъ какъ эти тр~-ки гомологичны, то точки a, b и c расположены на одной прямой; поэтому тр~-къ A'B'C' можно разсматривать какъ другое положеніе подобно измѣняющегося тр~-ка ABC, стороны котораго проходятъ чрезъ точки a, b и c; слѣдовательно, центръ подобія тр~-въ ABC и A'B'C' есть одна изъ точекъ пересѣченія S окружностей ABC и A'B'C' (VII, 74).

51. Слѣдствіе. Окружности, описанныя около ортогомологичныхъ тр~-въ, ортогональны.

Обозначимъ чрезъ O и O' центры окружностей ABC и A'B'C'. Такъ какъ соотвѣтственныя стороны тр~-въ ABC и A'B'C' взаимно перпендикулярны, а радіусы OS и O'S' суть соотвѣтственныя прямыя этихъ тр~-въ, то (VII, 2) \angle OSO'=90^\circ; слѣдовательно, окружности ABC и A'B'C' ортогональны.

52. Теорема. Центръ гомологіи ортогомологичныхъ тр~-въ совпадаетъ съ другою точкою пересѣченія окружностей, описанныхъ около этихъ тр~-въ.

Обозначимъ чрезъ S' центръ гомологіи тр~-въ ABC и A'B'C' (фиг. 133). Представивъ себѣ тр~-къ A''B''C'', гомотетичный съ A'B'C' относительно точки S', замѣтимъ, что стороны его пересѣкутся съ соотвѣтственными сторонами тр~-ка ABC въ трехъ точкахъ, расположенныхъ на одной прямой, параллельной оси гомологіи abc данныхъ тр~-въ. Но точка S' есть предѣльное положеніе тр~-ка A''B''C''; поэтому прямыя, проходящія чрезъ S' и параллельныя сторонамъ тр~-ка A'B'C', т. е. перпендикуляры изъ S' на стороны тр~-ка ABC, пересѣкутся съ этими сторонами въ точкахъ p, q, r, расположенныхъ также на одной прямой, параллельной оси гомологіи abc; слѣдовательно (I, 9), точка S' находится на окружности ABC. Такъ какъ тр~-ки ABC и A'B'C' вполнѣ аналогичны, то S' должна находиться и на окружности A'B'C', что и тр. док.

Изъ этого доказательства видно, что прямыя Симсона двухъ ортогомологичныхъ тр~-въ (pqr и p'q'r'), соотвѣтствующія ихъ центру гомологіи, параллельны оси гомологіи этихъ тр~-въ.

53. Теорема Сонда (Sondat). Ось гомологіи двухъ ортогомологичныхъ тр~-въ дѣлитъ пополамъ разстояніе между ихъ ортоцентрами.

Обозначимъ чрезъ H и H' ортоцентры тр~-въ ABC и A'B'C' (фиг. 133). Предположивъ, что прямыя Симсона этихъ тр~-въ относительно центра гомологіи S' пересѣкаются съ сторонами ихъ въ p, q, r и p', q', r', продолжимъ прямыя S'p и S'p' до точекъ m и m', такъ что S'p=pm\quad\mbox{и}\quad S'p'=p'm', и соединимъ m и m' съ H и H'; такъ какъ прямыя pqr и p'q'r' проходятъ чрезъ средины разстояній S'H и S'H' (I, 26), то mH и m'H' параллельны прямымъ pqr и p'q'r' и оси гомологіи тр~-въ abc.

Съ другой стороны, обозначивъ чрезъ X пересѣченіе діагоналей прямоугольника S'pap' и замѣтивъ, что точки p, X и p' суть средины прямыхъ S'm, S'a и S'm', заключаемъ, что прямая mm' проходитъ чрезъ a и дѣлится въ этой точкѣ пополамъ, ибо pX=p'X. Слѣдовательно, разстояніе HH' въ пересѣченіи съ осью гомологіи abc также дѣлится пополамъ.

54. Метагармоническіе тр~-ки (triangles métaharmoni­ques). Гомологичные тр~-ки ABC и A_1B_1C_1, соотвѣтственныя вершины которыхъ суть обратныя (по инверсіи) точки относительно центра гомологіи D, такъ что DA\cdot DA_1=DB\cdot DB_1=DC\cdot DC_1, называютъ метагармоническими тр~-ми относительно точки D (Neu­berg).

Всякій тр~-къ A'B'C', гомотетичный относительно D съ тр~-мъ A_1B_1C_1, есть тр~-къ метагармоническій съ тр~-мъ ABC относительно D; ибо, вслѣдствіе гомотетіи тр~-въ A_1B_1C_1 и A'B'C' (II, 30) \frac{DA'}{D_1}=\frac{DB'}{DB_1}=\frac{DC'}{DC_1}, а потому DA\cdot DA'=DB\cdot DB'=DC\cdot DC'.

55. Если прямыя, соединяющія вершины тр~-ка ABC съ какою-нибудь точкою D, пересѣкаются съ окружностью, описанною около этого тр~-ка въ точкахъ A', B', C', то ABC и A'B'C' суть метагармоническіе тр~-ки относительно D, вписанные въ одну окружность. При этомъ степень инверсіи точекъ A и A', B и B', C и C' равна степени точки D относительно окружности ABC, такъ что, обозначивъ чрезъ O и R центръ и радіусъ этой окружности и положивъ DO=d, получимъ DA\cdot DA'=DB\cdot DB'=DC\cdot DC'=\pm(d^2-R^2).

56. Подарный тр~-къ точки D относительно тр~-ка ABC прямо подобенъ метагармоническому тр~-ку A'B'C' относительно D (13).

Изъ этого слѣдуетъ, что тр~-къ A'B'C' обращается въ прямую линію, когда D находится на окружности ABC; ибо въ этомъ случаѣ подарный тр~-къ точки D обращается въ прямую Симсона.

При совпаденіи D съ центромъ O окружности ABC тр~-къ A'B'C' дѣлается равнымъ тр~-ку ABC.

57. Теорема. Ось гомологіи метагармоническихъ тр~-въ ABC и A'B'C', вписанныхъ въ одну окружность, есть поляра ихъ центра гомологіи D относительно этой окружности.

Положимъ, что соотвѣтственныя стороны тр~-въ ABC и A'B'C' пересѣкаются на оси гомологіи въ точкахъ a, b и c (фиг. 134).

Такъ какъ точка D есть пересѣченіе діагоналей вписаннаго чет~-ка BCB'C', то поляра этой точки относительно описаннаго круга проходитъ чрезъ пересѣченіе сторонъ BC и B'C', т. е. чрезъ точку a; по аналогіи та~-же поляра пойдетъ и чрезъ точки b и c; слѣдовательно, она совпадаетъ съ осью гомологіи abc (III, 10).

Слѣдствіе. Разстоянія между соотвѣтственными вершинами (AA', BB', CC') метагармоническихъ тр~-въ, вписанныхъ въ одну окружность, дѣлятся гармонически ихъ центромъ и осью гомологіи (III, 3).

58. Теорема. Стороны тр~-ка A'B'C', метагармоническаго съ тр~-мъ ABC относительно точки D, пропорціональны произведеніямъ противоположныхъ сторонъ полнаго чет~-ка ABCD, опредѣляющегося четырьмя точками (44).

Положим, что \table{ B'C'&=&a',&&&C'A'&=&b',&&&A'B'&=&c',\\ BC&=&a,&&&CA&=&b,&&&AB&=&c,\\ DA&=&\alpha,&&&DB&=&\beta,&&&DC&=&\gamma. }

Такъ какъ A и A', B и B' суть двѣ пары обратныхъ точекъ, то, обозначивъ степень инверсіи чрезъ k^2, такъ что DA\cdot DA'=DB\cdot DB'=DC\cdot DC'=k^2, получимъ (IV, 4): B'C'=\frac{BC}{DB\cdot DC}\cdot k^2=\frac{BC\cdot DA}{DA\cdot DB\cdot DC}\cdot k^2; отсюда \frac{a'}{a\alpha}=\frac{k^2}{\alpha\beta\gamma}; слѣдовательно, \frac{a'}{a\alpha}=\frac{b'}{b\beta}=\frac{c'}{c\gamma}= \frac{k^2}{\alpha\beta\gamma}.

59. Тр~-къ, связанный съ полнымъ четыреугольникомъ (triangle as­socié á un quadrangle complet, Neuberg). Тр~-къ, стороны котораго численно равны произведеніямъ противоположныхъ сторонъ полнаго чет~-ка, опредѣляющегося четырьмя точками, называется связаннымъ съ этимъ четыреугольникомъ.

Изъ предыдущаго видно, что тр~-къ, связанный съ полнымъ чет~-мъ ACBD, подобенъ подарному или метагармоническому тр~-ку одной изъ вершинъ этого чет~-ка (D) относительно тр~-ка, составленнаго остальными его вершинами (ABC).

60. Теорема Штаудта (Staudt). Площадь тр~-ка A_1B_1C_1, связаннаго съ полнымъ чет~-мъ ABCD, равна площади тр~-ка ABC, умноженной на степень точки D относительно окружности ABC.

Обозначимъ чрезъ A'B'C' тр~-къ, метагармоническій съ тр~-мъ ABC относительно D, вписанный въ окружность ABC, и положимъ, что площади тр~-въ ABC, A'B'C' и A_1B_1C_1 равны \triangle, \triangle' и \triangle_1. Изъ равенствъ (58) \frac{a'}{a\alpha}=\frac {b'}{b\beta}=\frac{c'}{c\gamma}=\frac{k^2}{\alpha\beta\gamma} слѣдуетъ, что \frac{\triangle'}{\triangle}=\left(\frac {a'}{a\alpha}\right)^2=\frac{k^4}{\alpha^2\beta^2\gamma^2}; изъ равенствъ~-же \triangle=\frac{abc}{4R}\quad\mbox{и}\quad \triangle'=\frac{a'b'c'}{4R} находимъ, что \frac{\triangle'} \triangle=\frac{a'b'c'}{abc}=\frac{k^6}{\alpha^2\beta^2\gamma^2}= \frac{\triangle'}{\triangle_1}\cdot k^2; слѣдовательно, \triangle_1=k^2\triangle.

61. Соединимъ какую-нибудь точку M съ вершинами тр~-ка ABC и положимъ \angle BMC=X,\quad\angle CMA=Y,\quad\angle AMB=Z.

Если точка M находится внутри тр~-ка, то X+Y+Z=360^\circ.

Если~-же точка M находится внѣ тр~-ка, то одинъ изъ угловъ X, Y, Z равенъ суммѣ двухъ другихъ; напр., X=Y+Z, когда прямая AM пересѣкаетъ сторону BC. При этомъ точка M можетъ быть или внутри круга ABC, описаннаго около тр~-ка, или внѣ его; въ первомъ случаѣ X\gt180^\circ- A,\quad Y\gt B,\quad Z\gt C; во второмъ случаѣ X\lt180^\circ- A,\quad Y\lt B,\quad Z\lt C или X\lt A,\quad Y\lt B,\quad Z\lt C.

Для точки M на окружности ABC X=180^\circ-A,\quad Y=B,\quad Z=C.

62. Предположимъ, что въ тр~-хъ ABC и A'B'C' углы B, C, B', C' острые. Если A+A'\lt180^\circ и \table{ \angle BDC=A+A',&&&\angle CDA=B+B',&&&\angle ADB=C+C',\\ \angle BEC=A-A',&&&\angle CEA=B-B',&&&\angle AEB=C-C', } то подарные и метагармоническіе тр~-ки точекъ D и E относительно тр~-ка ABC подобны тр~-ку A'B'C' (6).

При A+A'\gt180^\circ тѣмъ~-же свойствомъ обладаютъ точки D и E, для которыхъ \table{ \angle BDC=360^\circ{-}(A{+}A'),&&&\angle CDA=B{+}B',&&&\angle ADB=C{+}C',\\ \angle BEC=A{-}A',&&&\angle CEA=B{-}B',&&&\angle AEB=C{-}C'. }

Очевидно, что при этихъ условіяхъ точка D находится внутри круга ABC, а точка E --- внѣ его.

63. Метагармоническіе центры (centres métaharmoni­ques). Двѣ точки D и E, подарные или метагармоническіе тр~-ки которыхъ относительно тр~-ка ABC подобны тр~-ку A'B'C', называются метагармоническими центрами тр~-ка ABC относительно тр~-ка A'B'C' (Neu­berg).

Изъ предыдущаго видно, что одинъ изъ метагармоническихъ центровъ, называющійся первымъ (D), находится внутри круга, описаннаго около тр~-ка, а другой, называющійся вторымъ (E), находится внѣ этого круга.

64. Теорема. Разстоянія метагармоническихъ центровъ тр~-ка отъ вершинъ его пропорціональны.

Пусть XYZ и X'Y'Z' суть подарные тр~-ки метагармоническихъ центровъ D и E тр~-ка ABC (фиг. 135). Такъ какъ (9) YZ=\frac{a\cdot AD}{2R},~~ZX=\frac{b\cdot BD}{2R},~~XY=\frac{c\cdot CD}{2R} и Y'Z'=\frac{a\cdot AE}{2R},~~Z'X'=\frac{b\cdot BE}{2R},~~X'Y'=\frac{c\cdot CE}{2R}, то \frac{AD}{AE}=\frac{YZ}{Y'Z'},~~\frac{BD}{BE}=\frac{ZX}{Z'X'},~~ \frac{CD}{CE}=\frac{XY}{X'Y'}; но \frac{YZ}{Y'Z'}=\frac {ZX}{Z'X'}=\frac{XY}{X'Y'}; слѣдовательно, \frac{AD}{AE}=\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{CE}.

65. Слѣдствія. Положимъ, что отрѣзокъ DE раздѣленъ гармонически въ точкахъ P и Q такъ, что \frac{PD}{PE}=\frac{QD}{QE}=\frac{AD}{AE}=\dots.

Такъ какъ окружность, имѣющая діаметромъ отрѣзокъ PQ, есть геометрическое мѣсто точекъ, разстоянія которыхъ отъ D и E остаются въ постоянномъ отношеніи, равномъ \frac{PD}{PE}, то эта окружность совпадаетъ съ окружностью ABC. Такимъ образомъ, метагармоническіе центры тр~-ка находятся на одномъ изъ діаметровъ описаннаго круга и дѣлятъ его гармонически.

66. Обозначимъ чрезъ X'', Y'', Z'' и X''', Y''', Z''' проэкціи точекъ P и Q на стороны тр~-ка ABC. Такъ какъ \frac{X''X}{X''X'}=\frac{PD} {PE}=\frac{QD}{QE}=\frac{X'''X}{X'''X'}=\dots, то отрѣзки XX', YY', ZZ' дѣлятся прямыми Симсона (X''Y''Z'' и X'''Y'''Z''') точекъ P и Q гармонически въ отношеніи \frac{PD}{PE}=\frac{YZ}{Y'Z'}= \frac{ZX}{Z'X'}=\frac{XY}{X'Y'}; отсюда слѣдуетъ, что прямыя X''Y''Z'' и X'''Y'''Z''' суть оси подобія обратно подобныхъ тр~-въ XYZ и X'Y'Z', и потому взаимно перпендикулярны (VII, 12---13); точка пересѣченія S этихъ прямыхъ есть центръ подобія тѣхъ~-же тр~-въ.

Указанное свойство прямыхъ Симсона точекъ P и Q выражается слѣдующей теоремой.

Теорема Гоффара (Goffart). Прямыя Симсона двухъ діаметрально противоположныхъ точекъ окружности, описанной около тр~-ка, взаимно перпендикулярны.

67. Триполярно связанныя точки (points tripolaire­ment as­so­ciés). Двѣ точки D и E, разстоянія которыхъ отъ вершинъ тр~-ка ABC пропорціональны тремъ заданнымъ количествамъ l, m, n, такъ что AD:BD:CD=AE:BE:CE=l:m:n, называютъ триполярно связанными точками этого тр~-ка (Neuberg).

Метагармоническіе центры тр~-ка суть точки, триполярно связанныя.

Триполярно связанныя точки тр~-ка суть точки, гармонически сопряженныя съ концами одного изъ діаметровъ круга, описаннаго около этого тр~-ка.

68. Для построенія триполярно связанныхъ точекъ D и E по заданнымъ отношеніямъ l:m:n разстояній ихъ отъ вершинъ тр~-ка ABC слѣдуетъ раздѣлить стороны AB и BC гармонически въ точкахъ N, N' и L, L' (фиг. 136) такъ, чтобы \frac{NA}{NB}=\frac{N'A}{N'B}=\frac lm\quad\mbox{и}\quad \frac{LB}{LC}=\frac{L'B}{L'C}=\frac mn; окружности, имѣющія діаметрами отрѣзки NN' и LL', пересѣкутся въ искомыхъ точкахъ D и E (дѣйствительныхъ или мнимыхъ), ибо изъ равенствъ \frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EB}=\frac lm\quad\mbox{и}\quad \frac{DB}{DC}=\frac{EB}{EC}=\frac mn слѣдуетъ, что \frac{DC}{DA}=\frac{EC}{EA}=\frac nl, поэтому DA:DB:DC=EA:EB:EC=l:m:n.

69. Изъ тѣхъ~-же равенствъ слѣдуетъ, что окружность, имѣющая центръ на сторонѣ CA и дѣлящая эту сторону гармонически въ точкахъ M и M', такъ что \frac{MC}{MA}=\frac{M'C}{M'A}=\frac nl, проходитъ чрезъ тѣ~-же точки D и E. Такимъ образомъ, окружности LL', MM' и NN' соосны и имѣютъ радикальною осью прямую DE (фиг. 136).

Такъ какъ L и L', M и M', N и N' суть сопряженныя точки относительно окружности ABC, то окружность ABC ортогональна съ каждой изъ окружностей LL', MM' и NN' (III, 38); поэтому радикальная ось DE этихъ окружностей проходитъ чрезъ центръ O окружности ABC и дѣлится ею гармонически (III, 39).

70. Центры L_0, M_0, N_0 окружностей LL', MM', NN' находятся на одной прямой, перпендикулярной къ DE и проходящей чрезъ средину этого отрѣзка.

Изъ равенствъ (68) \frac{NA}{NB}=\frac{N'A}{N'B}=\frac lm не трудно вывести, что \frac{N_0A}{N_0B}=\frac{\overline{NA}{}^2} {\overline{NB}{}^2}=\frac{\overline{N'A}{}^2}{\overline{N'B}{}^2}; слѣдовательно, \frac{N_0A}{N_0B}=\frac{l^2}{m^2},\quad \frac{L_0B}{L_0C}=\frac{m^2}{n^2},\quad \frac{M_0C}{M_0A}=\frac{n^2}{l^2}.

Такъ какъ по теоремѣ Чевы (I, 13) прямыя AL, BM, CN пересѣкаются въ одной точкѣ P, то точки L', M', N' находятся на одной прямой p, трилинейной полярѣ точки P (V, 59).

71. Окружности Аполлонія (Apollonius). Если L и L', M и M', N и N' суть основанія внутреннихъ и внѣшнихъ биссектрисъ тр~-ка ABC (фиг. 137), то окружности, имѣющія діаметрами отрѣзки LL', MM' и NN', называются окружностями Аполлонія (Neuberg).

Такъ какъ внутренняя и внѣшняя биссектрисы одного угла тр~-ка взаимно перпендикулярны, то углы LAL', MBM', NCN' прямые; поэтому каждая изъ окружностей Аполлонія проходитъ чрезъ вершину тр~-ка, противолежащую той сторонѣ его, на которой находится центръ этой окружности.

72. По свойству биссектрисъ тр~-ка \table{ \frac{LB}{LC}&=&\frac{L'B}{L'C}&=&\frac cb&=&\frac1b&:&\frac1c,\\ \frac{MC}{MA}&=&\frac{M'C}{M'A}&=&\frac ac&=&\frac1c&:&\frac1a,\\ \frac{NA}{NB}&=&\frac{N'A}{N'B}&=&\frac ba&=&\frac1a&:&\frac1b;} значитъ, стороны тр~-ка BC, CA, AB дѣлятся окружностями Аполлонія гармонически въ отношеніи \frac1b:\frac1c,\quad\frac1c:\frac1a,\quad\frac1a:\frac1b.

Изъ этого слѣдуетъ, что три окружности Аполлонія тр~-ка ABC пересѣкаются въ двухъ триполярно связанныхъ точкахъ W и W', разстоянія которыхъ отъ вершинъ тр~-ка обратно пропорціональны противолежащимъ сторонамъ его, такъ что WA:WB:WC=W'A:W'B:W'C=\frac1a:\frac1b:\frac1c.

Поэтому (69):

Окружности Аполлонія соосны и ортогональны съ окружностью, описанною около тр~-ка ABC.

Радикальная ось WW' окружностей Аполлонія проходитъ чрезъ центръ O окружности ABC и дѣлится ею гармонически, такъ что OW\cdot OW'=R^2.

Если k_1, k_2, k_3 суть центры окружностей Аполлонія LAL', MBM', NCN', то (70) \frac{k_1B}{k_1C}=\frac1{b^2}:\frac1{c^2}=\frac{c^2}{b^2}, \frac{k_2C}{k_2A}=\frac1{c^2}:\frac1{a^2}=\frac{a^2}{c^2}, \frac{k_3A}{k_3B}=\frac1{a^2}:\frac1{b^2}=\frac{b^2}{a^2}.

Но, обозначивъ чрезъ K', K'', K''' основанія симедіанъ тр~-ка на сторонахъ его BC, CA, AB, получимъ (VI, 15) \frac{K'B}{K'C}=\frac{c^2}{b^2},~~ \frac{K''C}{K''A}=\frac{a^2}{c^2},~~\frac{K'''A}{K'''B}=\frac{b^2}{a^2}; поэтому \frac{K'B}{K'C}=\frac{k_1B}{k_1C},~~ \frac{K''C}{K''A}=\frac{k_2C}{k_2A},~~\frac{K'''A}{K'''B}=\frac{k_3A}{k_3B}; значитъ, центры окружностей Аполлонія k_1, k_2, k_3 суть основанія внѣшнихъ симедіанъ тр~-ка, и потому находятся на прямой Лемуана (VI, 32).

Изъ этого слѣдует, что радикальная ось WW' окружностей Аполлонія перпендикулярна къ прямой Лемуана тр~-ка ABC, и потому проходитъ чрезъ точку Лемуана K этого тр~-ка, т. е. совпадаетъ съ прямою Тукера KO.

74. Теорема. Общія хорды окружностей Аполлонія даннаго тр~-ка и окружности, описанной около него, суть симедіаны этого тр~-ка.

Обозначимъ чрезъ A' вторую общую точку окружностей ABC и LAL' (фиг. 137). Такъ какъ эти окружности ортогональны, то прямыя k_1 и k_1A' перпендикулярны къ радіусамъ OA и OA' и потому касаются окружности ABC въ точкахъ A и A'; слѣдовательно, хорда AA' есть поляра точки k_1, а потому она совпадаетъ съ симедіаной AK тр~-ка ABC (VI, 32).

75. Изодинамическіе центры (centres isodynamiques, Neuberg). Двѣ триполярно связанныя точки тр~-ка W и W', разстоянія которыхъ отъ вершинъ его обратно пропорціональны противолежащимъ сторонамъ, называются изодинамическими центрами тр~-ка.

Изъ предыдущего видно, что изодинамическіе центры тр~-ка суть точки пересѣченія окружностей Аполлонія. Поэтому изодинамическіе центры тр~-ка находятся на діаметре описаннаго круга, проходящемъ чрезъ точку Лемуана тр~-ка, и симметричны относительно прямой Лемуана. Разстояніе между изодинамическими центрами тр~-ка дѣлится гармонически описанною окружностью.

76. Теорема. Подарные тр~-ки изодинамическихъ центровъ суть правильные тр~-ки, т. е. изодинамическіе центры тр~-ка суть его метагармоническіе центры относительно правильнаго тр~-ка.

Обозначимъ чрезъ A_1B_1C_1 подарный тр~-къ изодинамическаго центра W тр~-ка ABC (фиг. 137). Положивъ B_1C_1=a_1,\quad C_1A_1=b_1,\quad A_1B_1=c_1, получимъ (9): a_1=\frac{a\cdot WA}{2R},~~b_1=\frac{b\cdot WB}{2R},~~ c_1=\frac{c\cdot WC}{2R}; но изъ равенства WA:WB:WC=\frac1a:\frac1b:\frac1c слѣдуетъ, что a\cdot WA=b\cdot WB=c\cdot WC; значитъ, a_1=b_1=c_1, т. е. тр~-къ A_1B_1C_1 --- правильный.

Такимъ~-же образомъ можно убѣдиться, что подарный тр~-къ A_1'B_1'C_1' изодинамическаго центра W' --- тоже правильный.

77. Слѣдствія. Такъ какъ въ правильномъ тр~-кѣ точка Лемуана K совпадаетъ съ центромъ O описаннаго круга, то (VII, 47) OK=R\sqrt{1-3\tg^2\omega}=0, откуда 1-3\tg^2\omega=0 или \tg^2\omega=\frac13.

Этой формулой опредѣляется уголъ Брокара \omega только правильнаго тр~-ка; поэтому изодинамическіе центры W и W' тр~-ка суть единственныя точки, подарные тр~-ки которыхъ имѣютъ уголъ Брокара, опредѣляющійся этой формулой. Слѣдовательно, изодинамическіе центры тр~-ка суть предѣльныя точки окружностей Schou­te’а этого тр~-ка (31).

Такъ какъ окружность Брокара принадлежитъ къ системѣ окружностей Schou­te’а, то діаметръ ея KO дѣлится гармонически изодинамическими центрами W и W'.

78. Обозначимъ чрезъ P точку пересѣченія прямой Лемуана тр~-ка ABC съ прямой WW' (фиг. 137). Такъ какъ степень точки P относительно каждой изъ окружностей Schou­te’а равна (33) \frac{3R^2\tg^2\omega}{1-3\tg^2\omega}\quad\mbox{или}\quad \frac{3R^2}{\ctg^2\omega-3}, то \overline{PW}{}^2=\overline{PW'}{}^2=\frac{3R^2}{\ctg^2\omega-3}; отсюда WW'=2PW=\frac{2R\sqrt3}{\sqrt{\ctg^2\omega-3}}.

79. Подставивъ найденныя выраженія PW и PW' въ равенства OW=OP-PW\quad\mbox{и}\quad OW'=OP-PW', гдѣ (33) OP=\frac R{\sqrt{1-3\tg^2\omega}}, и положивъ OW=d\quad \mbox{и}\quad OW'=d', получимъ: d=R\,\frac{\ctg\omega-\sqrt3}{\sqrt{\ctg^2\omega-3}}=R\sqrt{\frac {\ctg\omega-\sqrt3}{\ctg\omega+\sqrt3}}, d'=R\,\frac{\ctg\omega+\sqrt3}{\sqrt{\ctg^2\omega-3}}=R\sqrt{\frac {\ctg\omega+\sqrt3}{\ctg\omega-\sqrt3}}; слѣдовательно (77), \frac d{d'}=\frac{OW}{OW'}=\frac{KW}{KW'}=\frac{\ctg\omega-\sqrt3} {\ctg\omega+\sqrt3}.

Раздѣливъ разстояніе WW' въ отношеніи d:d', на основаніи этихъ равенствъ найдемъ, что KW=R\tg\omega\,\sqrt3\,\sqrt{\frac{\ctg\omega-\sqrt3}{\ctg\omega+\sqrt3}}, KW'=R\tg\omega\,\sqrt3\,\sqrt{\frac{\ctg\omega+\sqrt3}{\ctg\omega-\sqrt3}}.

80. Правильные подарные тр~-ки. Подарные тр~-ки A_1B_1C_1 и A_1'B_1'C_1' изодинамическихъ центровъ W и W' тр~-ка ABC, вслѣдствіе выше доказаннаго свойства ихъ (76), называются короче правильными подарными тр~-ми.

Обозначивъ чрезъ \triangle_1 и \triangle_1' площади этихъ тр~-въ, получимъ (11): \frac{\triangle_1}\triangle=\frac{R^2-d^2}{4R^2}\quad\mbox{и}\quad \frac{\triangle_1'}\triangle=\frac{d'^2-R^2}{4R^2}, где \triangle --- площадь тр~-ка ABC. Подставивъ въ эти равенства выраженія d' и d', найдемъ, что \triangle_1=\frac{\sqrt3}{2(\ctg\omega+\sqrt3)}\cdot\triangle,\quad \triangle_1'=\frac{\sqrt3}{2(\ctg\omega-\sqrt3)}\cdot\triangle.

Изъ этихъ формулъ получаются равенства: \frac1{\triangle_1}+\frac1{\triangle_1'}=\frac{4\ctg\omega} {\triangle\sqrt3},\frac1{\triangle_1}-\frac1{\triangle_1'}= \frac4\triangle.

81. Если a_1 и a_1' суть стороны правильныхъ подарныхъ тр~-въ, то \triangle_1=\frac{a_1^2\sqrt3}4\quad\mbox{и}\quad \triangle_1'=\frac{a_1'{}^2\sqrt3}4; подставивъ эти выраженія въ предыдущія равенства, получимъ: \frac1{a_1^2}+\frac1{a_1'{}^2}=\frac{\ctg\omega}\triangle, \frac1{a_1^2}-\frac1{a_1'{}^2}=\frac{\sqrt3}\triangle, a_1^2=\frac{2\triangle}{\ctg\omega+\sqrt3}\quad\mbox{и}\quad a_1'{}^2=\frac{2\triangle}{\ctg\omega-\sqrt3}; отсюда слѣдуетъ, что \frac{a_1^2}{a_1'{}^2}=\frac{\ctg\omega-\sqrt3}{\ctg\omega+ \sqrt3}=\frac{OW}{OW'}=\frac{KW}{KW'}.

Такимъ образомъ, діаметръ круга Брокара KO дѣлится изодинамическими центрами W и W' гармонически въ отношеніи квадратовъ сторонъ правильныхъ подарныхъ тр~-въ.

82. Такъ какъ (76) a_1=\frac{a\cdot WA}{2R},~~ b_1=\frac{b\cdot WB}{2R},~~ c_1=\frac{c\cdot WC}{2R} и a_1'=\frac{a\cdot W'A}{2R},~~ b_1'=\frac{b\cdot W'B}{2R},~~ c_1'=\frac{c\cdot W'C}{2R}, то \frac{WA}{W'A}=\frac{WB}{W'B}=\frac{WC}{W'C}=\frac{a_1}{a_'}, т. е. разстоянія изодинамическихъ центровъ тр~-ка отъ какой-либо изъ вершинъ его пропорціональны сторонамъ правильныхъ подарныхъ тр~-въ.

83. Изодинамическіе чет~-ки (quadrangles isodynami­ques). Полные чет~-ки ABCW и ABCW, опредѣляющіеся тремя вершинами даннаго тр~-ка ABC и однимъ изъ его изодинамическихъ центровъ W или W', называются изодинамическими чет~-ми (Neuberg).

Изъ равенствъ (76) a\cdot WA=b\cdot WB=c\cdot WC и a\cdot W'A=b\cdot W'B=c\cdot W'C, гдѣ a=BC, b=CA, c=AB, слѣдуетъ, что произведенія противоположныхъ сторонъ изодинамическихъ чет~-въ равны (44).

Изъ равенствъ~-же (82) a_1=\frac{a\cdot WA}{2R}=\frac{b\cdot WB}{2R}=\frac{c\cdot WC}{2R} и a_1'=\frac{a\cdot W'A}{2R}=\frac{b\cdot W'B}{2R}=\frac{c\cdot W'C}{2R} видно, что тр~-ки, связанные съ изодинамическими чет~-ми, суть правильные подарные тр~-ки тр~-ка ABC (59).

84. Изотомическія окружности тр~-ка. Двѣ равныя окружности, центры которыхъ суть изотомическія точки какой-либо стороны тр~-ка, называются изотомическими окружностями этого тр~-ка.

Понятно, что сторона тр~-ка, на которой находятся центры двухъ изотомическихъ окружностей, пересѣкается съ этими окружностями въ точкахъ изотомическихъ.

Теорема. Три окружности, изотомическія съ окружностями Аполлонія тр~-ка ABC, пересѣкаются въ двухъ точкахъ, разстоянія которыхъ отъ вершинъ этого тр~-ка пропорціональны противолежащимъ сторонамъ его.

Обозначимъ чрезъ L и L' основанія биссектрисъ тр~-ка ABC на сторонѣ его BC и положимъ, что окружность, изотомическая съ окружностью Аполлонія LL', пересѣкается съ BC въ L_1 и L_1', такъ что BL_1=CL,\quad CL_1=BL,BL_1'=CL',\quad CL_1'=BL'.

Такъ какъ \frac{BL}{CL}=\frac{BL'}{CL'}=\frac cb, то и \frac{CL_1}{BL_1}=\frac{CL_1'}{BL_1'}=\frac cb, слѣдовательно, окружность L_1L_1', изотомическая съ окружностью Аполлонія LL', есть геометрическое мѣсто точекъ, разстоянія которыхъ отъ вершинъ тр~-ка B и C пропорціональны противолежащимъ сторонамъ его b и c. Поэтому, если M_1 и M_1', N_1 и N_1' суть изотомическія точки съ основаніями биссектрисъ M и M', N и N' на сторонахъ тр~-ка CA и CB, то окружности L_1L_1', M_1M_1', N_1N_1', изотомическія съ окружностями Аполлонія LL', MM', NN', пересѣкаются въ двухъ точкахъ V и V', разстоянія которыхъ отъ вершинъ тр~-ка ABC пропорціональны противолежащимъ сторонамъ его.

86. Изологическіе центры тр~-ка. Двѣ триполярно связанныя точки тр~-ка, разстоянія которыхъ отъ вершинъ его пропорціональны противолежащимъ сторонамъ, называются изологическими центрами тр~-ка (Neu­berg).

По этому опредѣленію, если V и V' суть изологическіе центры тр~-ка ABC, то VA:VB:VC=V'A:V'B:V'C=a:b:c.

Изъ послѣдней теоремы слѣдуетъ, что изологическіе центры тр~-ка суть двѣ общія точки трехъ окружностей, изотомическихъ съ окружностями Аполлонія этого тр~-ка.

Упражненія.

1. Центръ подобія правильныхъ подарныхъ тр~-въ тр~-ка ABC находится на окружности Эйлера этого тр~-ка.

2. Если O_1, O_2, O_3 суть ортологическіе центры трижды ортологическіхъ тр~-въ ABC и A_1B_1C_1, то центры тяжести тр~-въ ABC и O_1O_2O_3 совпадаютъ, а углы Брокара этихъ тр~-въ равны (Neu­berg).

3. Углы Брокара двухъ трижды ортологическіхъ тр~-въ равны.

4. Прямая Симсона точки Тарри тр~-ка ABC перпендикулярна къ прямой GK, соединяющей барицентръ этого тр~-ка съ его точкою Лемуана.

5. Прямая GK, соединяющая барицентръ тр~-ка ABC съ его точкою Лемуана, проходитъ чрезъ центры правильныхъ подарныхъ тр~-въ относительно ABC (Bou­tin).

6. Прямая, соединяющая изодинамическіе центры тр~-ка ABC, и прямая, соединяющая центры правильныхъ подарныхъ тр~-въ тр~-ка ABC, дѣлятся въ точкѣ Лемуана этого тр~-ка на части, пропорціональныя квадратамъ сторонъ правильныхъ подарныхъ тр~-въ (Bou­tin).

7. Отрѣзки сторонъ тр~-ка ABC, заключающіеся въ окружностяхъ, описанныхъ около правильныхъ подарныхъ тр~-въ, пропорціональны \sin(B-C), \sin(C-A), \sin(A-B) (Bou­tin).

8. Окружности, описанныя около правильныхъ подарныхъ тр~-въ тр~-ка ABC, пересѣкаются на окружности Эйлера тр~-ка (Bou­tin).

9. Разстоянія изодинамическихъ центровъ тр~-ка отъ его центра тяжести пропорціональны кубамъ сторонъ правильныхъ подарныхъ тр~-въ (Bou­tin).

10. Если симедіаны тр~-ка ABC пересѣкаются съ описанною окружностью въ A', B', C' и если W и W' суть изодинамическіе центры того~-же тр~-ка, то B' и C' суть изодинамическіе центры тр~-ка AWW', а B и C суть изодинамическіе центры тр~-ка A'WW' (Соллертинскій).

11. Изологическіе центры тр~-ка находятся на прямой Эйлера.

12. Центры трехъ окружностей, изотомическихъ съ окружностями Аполлонія тр~-ка ABC, находятся на одной прямой, перпендикулярной къ прямой Эйлера этого тр~-ка.

13. Если S, S_1, S_2, S_3 суть площади подарныхъ тр~-въ центровъ I, I_1, I_2, I_3 круговъ, вписаннаго въ тр~-къ ABC и внѣвписанныхъ въ него, а r, r_1, r_2, r_3 суть радіусы этихъ круговъ, то \frac{S_1}{r_1^2}+\frac{S_2}{r_2^2}+\frac{S_3}{r_3^2}=\frac S{r^2}\qquad\eqno\mbox{(Boutin).}

14. Если прямыя AA', BB', CC', соединяющія вершины двухъ ортологическихъ тр~-въ ABC и A'B'C', дѣлятся на части, пропорціональныя въ токахъ A'', B'', C'' и A''', B''', C''', то тр~-ки A''B''C'' и A'''B'''C''' также ортологическіе (Neu­berg).

15. Если Q и Q' суть обратныя точки точекъ Брокара тр~-ка ABC относительно описаннаго около него круга, то подарные тр~-ки этихъ точекъ равны и обратно подобны тр~-ку ABC; стороны~-же этихъ тр~-въ перпендикулярны къ соотвѣтственнымъ сторонамъ перваго тр~-ка Брокара (Cay).

ГЛАВА IX.

ГЛАВА IX.
Метаполюсы и нѣкоторыя замѣчательныя окружности треугольника.

1. Всякая окружность, имѣющая хордою сторону тр~-ка, дѣлится ею на двѣ дуги; одна изъ нихъ, расположенная относительно стороны тр~-ка по ту~-же сторону, какъ и противоположная вершина, называется внутреннею дугою, а другая --- внѣшнею.

Представимъ себѣ три окружности, имѣющія хордами стороны тр~-ка ABC и пересѣкающіяся въ одной точкѣ. Общая точка M этихъ окружностей можетъ быть или внутри тр~-ка (фиг. 138), или внѣ его; въ послѣднемъ случаѣ она можетъ быть или въ одномъ изъ вертикальныхъ угловъ тр~-ка, напр. A (фиг. 139), или~-же въ части плоскости, ограниченной одной изъ сторонъ тр~-ка и продолженіями двухъ другихъ сторонъ его (какъ точка N на фиг. 138).

Въ первомъ случаѣ всѣ три окружности пересѣкаются своими внутренними дугами.

Во второмъ случаѣ чрезъ точку M проходитъ внутренняя дуга окружности BC и внѣшнія дуги окружностей AB и AC.

Въ третьемъ случаѣ чрезъ точку M проходятъ внутреннія дуги окружностей AB и AC и внѣшняя дуга окружности BC.

Внѣшнія дуги трехъ окружностей, имѣющихъ хордами стороны тр~-ка, не могутъ пересѣкаться въ одной точкѣ.

2. Теорема. Если три окружности, имѣющія хордами стороны тр~-ка, пересѣкаются въ одной точкѣ, то три окружности, симметричные съ ними относительно тѣхъ~-же сторонъ тр~-ка пересѣкаются также въ одной точкѣ.

Обозначимъ чрезъ \alpha, \beta, \gamma и \alpha', \beta', \gamma' величины внутреннихъ и внѣшнихъ дугъ данныхъ окружностей BC, CA и AB, пересѣкающихся въ одной точкѣ M. Для окружностей, симметричныхъ съ данными относительно сторонъ тр~-ка, внутреннія дуги будутъ равны \alpha', \beta', \gamma', а внѣшнія --- \alpha, \beta, \gamma.

Если точка M находится внутри тр~-ка (фиг. 138), то внутреннія дуги \alpha, \beta, \gamma данныхъ окружностей вмѣщаютъ углы X=\angle BMC, Y=\angle CMA, Z=\angle AMB, удовлетворяющіе равенству X+Y+Z=360^\circ.

У симметричныхъ окружностей внутреннія дуги \alpha', \beta', \gamma' вмѣщаютъ при этомъ углы 180^\circ-X, 180^\circ-Y, 180^\circ-Z, а внѣшнія --- углы X, Y, Z. Такъ какъ вслѣдствіе предыдущаго равенства, (180^\circ-X)+(180^\circ-Y)+(180^\circ-Z)=180^\circ, то симметричныя окружности не могутъ пересѣкаться въ одной точкѣ внутри тр~-ка.

Предположимъ, что симметричныя окружности AB и CA пересѣкаются въ точкѣ N въ одномъ изъ вертикальныхъ угловъ тр~-ка, напр. A. Въ этомъ случаѣ чрезъ N проходятъ внѣшнія дуги этихъ окружностей \beta и \gamma; поэтому \angle AMB=Z,~\angle CNA=Y~~\mbox{и}~~ \angle BNC=Y+Z=360^\circ-X; слѣдовательно, третья симметричная окружность BC не пройдетъ чрезъ точку N, ибо внутренняя дуга ея \alpha' вмѣщаетъ уголъ 180^\circ-X, не равный углу \angle BNC.

Если точка N находится въ части плоскости, ограниченной одной стороной тр~-ка, напр. BC, и продолженіями двухъ другихъ сторонъ его, то чрезъ N проходятъ внутреннія дуги \beta' и \gamma' симметричныхъ окружностей AC и AB; поэтому \angle ANB=180^\circ-Z,\quad\angle ANC=180^\circ-Y\mbox{и}\quad \angle BNC=(180^\circ-Z)+(180^\circ-Y)=X; слѣдовательно, въ этомъ случаѣ чрезъ точку N проходитъ и третья симметричная окружность BC, ибо внѣшняя дуга ея вмѣщаетъ уголъ X.

Если общая точка M данныхъ окружностей находится въ вертикальномъ углѣ тр~-ка ABC (фиг. 139), то, по предыдущему, симметричныя окружности не могутъ имѣть общей точки внутри тр~-ка. Замѣтивъ~-же, что въ этомъ случаѣ \angle BMC=\angle AMB+\angle CMA, т. е. X=Y+Z, и что чрезъ точку M проходятъ внутренняя дуга \alpha и внѣшнія дуги \beta и \gamma данныхъ окружностей BC, CA и AB, найдемъ, что симметричныя окружности пересѣкаются въ одной точкѣ N, находящейся, какъ и въ первомъ случаѣ, въ части плоскости, ограниченной стороной тр~-ка BC и продолженіями двухъ другихъ его сторонъ.

Изъ этихъ выводовъ слѣдуетъ, что если общая точка трехъ данныхъ окружностей находится въ части плоскости, ограниченной одною стороною тр~-ка и продолженіями двухъ другихъ сторонъ его, то три симметричныя окружности пересѣкаются въ одной точкѣ или внутри тр~-ка, или въ одномъ изъ вертикальныхъ угловъ его.

3. Циклотомическія точки (punto ciclitomico, Alasia). Если три окружности BMC, CMA, AMB, имѣющія хордами стороны тр~-ка ABC, пересѣкаются въ одной точкѣ M, а окружности, симметричныя съ ними относительно сторонъ тр~-ка, въ точкѣ N, то точки M и N называются циклотомическими точками тр~-ка ABC.

При доказательствѣ послѣдней теоремы показано, что:

Если одна изъ циклотомическихъ точекъ находится внутри тр~-ка или въ одномъ изъ вертикальныхъ угловъ его, то другая находится въ одномъ изъ внѣшнихъ угловъ того~-же тр~-ка. Обратно, если одна изъ этихъ точекъ лежитъ во внѣшнемъ углѣ тр~-ка, то другая находится или внутри тр~-ка, или въ одномъ изъ вертикальныхъ угловъ его.

4. Теорема. Если внѣшнія дуги трехъ окружностей, имѣющихъ хордами стороны даннаго тр~-ка, вмѣщаютъ углы, равные угламъ другого тр~-ка, то такія три окружности пересѣкаются въ одной точкѣ.

Пусть даны два тр~-ка ABC и A'B'C'. Положимъ, что внѣшнія дуги окружностей AB, AC и BC, имѣющихъ хордами стороны тр~-ка ABC, вмѣщаютъ углы C', B' и A', и обозначимъ чрезъ D точку пересѣченія окружностей AB и AC.

Если D находится внутри тр~-ка ABC (какъ M на фиг. 138), то \angle ADB=180^\circ-C',\quad\angle ADC=180^\circ-B'\mbox{и}\quad\angle BDC=360^\circ-\angle ADB-\angle ADC=180^\circ-A'; слѣдовательно, внутренняя дуга окружности BC, вмѣщающая уголъ 180^\circ-A', также проходитъ чрезъ точку D.

Если точка D получится въ одномъ изъ вертикальныхъ угловъ тр~-ка ABC, напр., въ вертикальномъ углѣ A (какъ M на фиг. 139), то \angle ADB=C',\quad\angle ADC=B'\mbox{и}\quad \angle BDC=\angle ADB+\angle ADC=B'+C'=180^\circ-A'; значитъ, и въ этомъ случаѣ внутренняя дуга окружности BC проходитъ чрезъ точку D.

Замѣтимъ, что разсматриваемыя три окружности не могутъ имѣть общую точку D въ части плоскости, ограниченной одной стороной тр~-ка, напр. BC, и продолженіями двухъ другихъ сторонъ его; ибо въ этомъ случаѣ должно~-бы быть \angle BD=\angle ADB+\angle ABC, что невозможно, такъ какъ чрезъ D проходили~-бы внутреннія дуги окружностей AB и AC, вмѣщающія углы 180^\circ-C' и 180^\circ-B', и внѣшняя дуга окружности BC, вмѣщающая уголъ A'.

5. Слѣдствіе. Три окружности, описанныя на сторонахъ тр~-ка ABC такъ, что внутреннія дуги ихъ вмѣщаютъ углы, равные угламъ тр~-ка A'B'C', пересѣкаются въ одной точкѣ E, циклотомической съ D.

Ибо эти окружности симметричны съ окружностями ADB, BDC, CDA относительно сторонъ тр~-ка ABC.

Точка E, какъ циклотомическая съ D, не можетъ быть ни внутри тр~-ка ABC, ни въ одномъ изъ вертикальныхъ угловъ его, а всегда находится въ одномъ изъ внѣшнихъ угловъ тр~-ка (какъ N на фиг. 139).

6. Метаполюсы тр~-ка (métapôles, Neuberg). Прямыя, соединяющія точки D и E съ вершинами тр~-ка ABC, образуютъ углы или равные угламъ тр~-ка A'B'C', или дополнительные имъ до 180^\circ.

Такія двѣ точки, изъ которыхъ стороны тр~-ка ABC видимы подъ углами, равными угламъ тр~-ка A'B'C' или дополняющими ихъ до 180^\circ, называются метаполюсами тр~-ка ABC относительно тр~-ка A'B'C'.

Изъ предыдущаго видно, что метаполюсы тр~-ка ABC относительно тр~-ка A'B'C' суть циклотомическія точки D и E.

Метаполюсъ D, находящійся внутри тр~-ка или въ одномъ изъ вертикальныхъ угловъ его, называется первымъ; а метаполюсъ E, всегда находящійся въ одномъ изъ внѣшнихъ угловъ тр~-ка, называется вторымъ.

7. Если первый метаполюсъ D тр~-ка ABC относительно A'B'C' находится внутри тр~-ка, то, положивъ \angle BDC=X,\quad\angle ADC=Y,\quad\angle ADB=Z, найдемъ, что X=180^\circ-A',\quad Y=180^\circ-B',\quad Z=180^\circ-C'; изъ этихъ равенствъ слѣдуетъ, что A+A'\lt180^\circ,\quad B+B'\lt180^\circ,\quad C+C'\lt180^\circ, такъ какъ въ разсматриваемомъ случаѣ A\lt X,\quad B\lt Y,\quad C\lt Z.

Если~-же первый метаполюсъ D находится въ одномъ изъ вертикальныхъ угловъ тр~-ка ABC, напр. A, то X=180^\circ-A',\quad Y=B',\quad Z=C' и X\lt A; поэтому A+A'\gt180^\circ,\quad B+B'\lt 180^\circ,\quad C+C'\lt 180^\circ.

Обратно, если A+A'\lt180^\circ,\quad B+B'\lt180^\circ,\quad C+C'\lt180^\circ, то первый метаполюсъ D тр~-ка ABC относительно A'B'C' находится внутри этого тр~-ка; если~-же A+A'\gt180^\circ,\quad B+B'\lt180^\circ,\quad C+C'\lt180^\circ, то метаполюсъ D находится въ вертикальномъ углѣ A тр~-ка ABC.

8. Второй метаполюсъ E тр~-ка ABC относительно A'B'C', находящійся всегда въ одномъ изъ внѣшнихъ угловъ этого тр~-ка, можетъ быть или внутри описаннаго круга ABC, или внѣ его. Въ первомъ случаѣ, если точка E имѣетъ такое положеніе какъ N на фиг. 139, положивъ \angle BEC=X,\quad\angle AEC=Y,\quad\angle AEB=Z и замѣтивъ, что X=180^\circ-A',\quad Y=B',\quad Z=C', изъ неравенствъ X\gt180^\circ-A,\quad Y\gt B,\quad Z\gt C находимъ, что A\gt A',\quad B\lt B',\quad C\lt C'.

Во второмъ случаѣ X\lt180^\circ-A,\quad Y\lt B,\quad Z\lt C, поэтому A\lt A',\quad B\gt B',\quad C\gt C'.

Обратно, если A\gt A',\quad B\lt B',\quad C\lt C', то второй метаполюсъ E тр~-ка ABC относительно A'B'C' находится внутри описаннаго круга ABC; если~-же A\lt A',\quad B\gt B',\quad C\gt C', то метаполюсъ E находится внѣ этого круга.

9. Предположимъ, что тр~-ки ABC и A'B'C' подобны, такъ что A=A',\quad B=B',\quad C=C'.

Если при этомъ тр~-ки остроугольные, то A+A'\lt180^\circ,\quad B+B'\lt180^\circ,\quad C+C'\lt180^\circ; значитъ (7), метаполюсъ D находится внутри тр~-ка ABC; а такъ какъ въ этомъ случаѣ \angle BDC=180^\circ{-}A,~\angle ADC=180^\circ{-}B~~ \mbox{и}~~\angle ADB=180^\circ{-}C, то D совпадаетъ съ ортоцентромъ H.

Если~-же углы A и A' тупые, то A+A'\gt180^\circ,\quad B+B'\lt180^\circ,\quad C+C'\lt180^\circ, а потому D находится въ вертикальномъ углѣ A тр~-ка ABC; но при этомъ \angle BDC=180^\circ-A,~\angle ADC= B~~\mbox{и}~~\angle ADB=C; значитъ, и въ этомъ случаѣ D совпадаетъ съ ортоцентромъ H тр~-ка ABC.

Изъ равенствъ A=A', B=B', C=C' слѣдуетъ, что второй метаполюсъ E находится на окружности ABC; слѣдовательно, окружности BEC, AEC и AEB совпадаютъ съ окружностью ABC; поэтому метаполюсомъ E может быть произвольная точка этой окружности. Итакъ, если тр~-ки ABC и A'B'C' подобны, то первый метаполюсъ D тр~-ка ABC относительно A'B'C' совпадаетъ съ его ортоцентромъ, а второй метаполюсъ E находится въ произвольной точкѣ описанной окружности.

10. Если D и E суть метаполюсы тр~-ка ABC относительно тр~-ка A'B'C', а D' и E' --- метаполюсы тр~-ка A'B'C' относительно тр~-ка ABC, то точки D' и E' расположены относительно тр~-ка A'B'C' такъ, какъ точки D и E относительно тр~-ка ABC.

Дѣйствительно, условія (7) A+A'\lt180^\circ,\quad B+B'\lt180^\circ,\quad C+C'\lt180^\circ и A+A'\gt180^\circ,\quad B+B'\lt180^\circ,\quad C+C'\lt180^\circ, которыми опредѣляется положеніе точки D внутри тр~-ка ABC или въ вертикальномъ углѣ его A, одинаково примѣнимы и къ опредѣленію положенія точки D' относительно тр~-ка A'B'C'; слѣдовательно, метаполюсы D и D' сходственно расположены относительно тр~-въ ABC и A'B'C', а потому метаполюсы E и E' тоже сходственно расположены относительно этихъ тр~-въ.

Но точки E и E' различно расположены относительно окружностей ABC и A'B'C', ибо условія (8) A\gt A',\quad B\lt B',\quad C\lt C' и A\lt A',\quad B\gt B',\quad C\gt C', которымъ опредѣляется положеніе точки E относительно окружности ABC, таковы, что если одно изъ нихъ удовлетворяется по отношенію къ тр~-ку ABC, то другое удовлетворяется по отношенію къ тр~-ку A'B'C'; поэтому если точка E находится внутри круга ABC, то точка E' находится внѣ круга A'B'C', и наоборотъ.

11. Метаполюсы D и E тр~-ка ABC относительно всѣхъ тр~-въ, подобныхъ тр~-ку A'B'C', остаются одни и тѣ~-же. Легко убѣдиться, что тр~-къ, стороны котораго параллельны или перпендикулярны къ прямымъ, соединяющимъ вершины тр~-ка ABC съ однимъ изъ его метаполюсовъ (D или E), подобенъ тр~-ку A'B'C'. Поэтому тр~-къ A'B'C' можно разсматривать въ такомъ положеніи, при которомъ стороны его B'C', C'A', A'B' соотвѣтственно параллельны или перпендикулярны къ прямымъ AD, BD, CD или AE, BE, CE.

Въ первомъ случаѣ, т. е. когда B'C'\parallel AD,\quad C'A'\parallel BD,\quad A'B'\parallel CD или B'C'\perp AD,\quad C'A'\perp BD,\quad A'B'\perp CD, тр~-ки ABC и A'B'C' сходственно расположены въ томъ смыслѣ, что переходъ по периметру тр~-ка A'B'C' чрезъ вершины его A', B', C' совершается въ томъ~-же направленіи, какъ и по периметру тр~-ка ABC чрезъ вершины его A, B, C.

Во второмъ случаѣ, т. е. когда B'C'\parallel AE,\quad C'A'\parallel BE,\quad A'B'\parallel CE или B'C'\perp AE,\quad C'A'\perp BE,\quad A'B'\perp CE, тр~-ки ABC и A'B'C' обратно расположены въ указанномъ выше смыслѣ.

12. Такъ какъ ортоцентръ тр~-ка ABC и произвольная точка окружности, описанной около него, суть метаполюсы (D и E) этого тр~-ка относительно подобнаго ему тр~-ка A'B'C' (9), то на основаніи предыдущихъ замѣчаній приходимъ къ слѣдующимъ выводамъ.

Если стороны тр~-ка A'B'C' параллельны или перпендикулярны къ высотамъ тр~-ка ABC, то тр~-ки ABC и A'B'C' подобны и сходственно расположены, т. е. прямо подобны.

Если стороны тр~-ка A'B'C' параллельны или перпендикулярны къ прямымъ, соединяющимъ вершины тр~-ка ABC съ какою-нибудь точкою описанной около него окружности, то тр~-ки ABC и A'B'C' обратно подобны.

13. Обозначимъ чрезъ a, b, c и a', b', c' центры окружностей BDC, CDA, ADB и BEC, CEA, AEB. Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что тр~-ки abc и a'b'c' подобны тр~-ку A'B'C', относительно котораго точки D и E суть метаполюсы тр~-ка ABC (фиг. 140); значитъ, эти тр~-ки обратно подобны.

Тр~-ки ABC и abc суть тр~-ки ортологическіе; ортологическіе центры ихъ суть метаполюсъ D тр~-ка ABC и центръ круга O, описаннаго около этого тр~-ка (VIII, 40).

Другой метаполюсъ E тр~-ка ABC и центръ O описаннаго около него круга суть ортологическіе центры тр~-въ ABC и a'b'c'.

14. Центръ O круга, описаннаго около тр~-ка ABC, есть первый метаполюсъ тр~-ка abc относительно ABC, ибо \angle bOc=180^\circ-A,~\angle cOa=180^\circ-B,~\angle aOb=180^\circ-C.

Такъ какъ стороны полныхъ чет~-въ ABCD и abcO взаимно перпендикулярны, то эти чет~-ки метаполярны (VIII, 45). Но въ тр~-кѣ A'B'C', подобномъ тр~-ку abc, точкою, соотвѣтственною O, будетъ метаполюсъ D' этого тр~-ка относительно ABC. Значитъ, если D есть метаполюсъ тр~-ка ABC относительно A'B'C', а D' --- метаполюсъ тр~-ка A'B'C' относительно ABC, то ABCD и A'B'C'D' суть метаполярные полные чет~-ки.

15. Теорема. Метаполюсы D и E тр~-ка ABC относительно тр~-ка A'B'C' суть точки, изогонально сопряженныя съ метагармоническими центрами тр~-ка ABC относительно того~-же тр~-ка A'B'C'.

Обозначимъ чрезъ D_1 точку, изогонально сопряженную съ метаполюсомъ D тр~-ка ABC, и чрезъ A_1B_1C_1 подарный тр~-къ точки D_1 относительно ABC (фиг. 140). Такъ какъ прямыя AD, BD и CD перпендикулярны къ B_1C_1, C_1A_1 и A_1B_1 (V, 18), то B_1C_1 и bc, C_1A_1 и ca, A_1B_1 и ab параллельны; значитъ, тр~-къ A_1B_1C_1 подобенъ тр~-мъ abc и A'B'C', а потому D_1 есть метагармоническій центръ тр~-ка ABC относительно A'B'C'.

Если чрезъ E_1 обозначить точку, изогонально сопряженную со вторымъ метаполюсомъ E тр~-ка ABC, то аналогичнымъ разсужденіемъ убѣдимся, что E_1 есть другой метагармоническій центръ этого тр~-ка относительно A'B'C'.

16. Теорема. Если прямыя AD, BD, CD, соединяющія вершины тр~-ка ABC съ его метаполюсомъ D относительно тр~-ка A'B'C', пересѣкаются съ окружностями BDC, CDA, ADB еще въ точкахъ A_0, B_0, C_0, то тр~-ки A_0BC, AB_0C и ABC_0 подобны тр~-ку A'B'C'.

Дѣйствительно, стороны bc, ca и ab тр~-ка abc (фиг. 140) перпендикулярны къ прямымъ A_0D, BD, CD, соединяющимъ вершины тр~-ка A_0BC съ точкою D описанной около него окружности; поэтому (12) тр~-къ abc обратно подобенъ тр~-ку A_0BC. По аналогіи тр~-ки AB_0C и ABC_0 также подобны тр~-ку abc; слѣдовательно, тр~-ки A_0BC, AB_0C и ABC_0 подобны тр~-ку A'B'C'.

Такъ какъ тр~-ки ABC и abc сходственно расположены (11), то тр~-къ ABC и каждый изъ тр~-въ A_0BC, AB_0C, ABC_0 обратно расположены.

17. Аналогичная теорема справедлива и для второго метаполюса, именно:

Если прямыя AE, BE, CE, соединяющія вершины тр~-ка ABC съ вторымъ метаполюсомъ E относительно тр~-ка A'B'C', пересѣкаются съ окружностями BEC, CEA, AEB еще въ точкахъ A_0', B_0', C_0', то тр~-ки A_0'BC, AB_0'C, ABC_0' подобны тр~-ку A'B'C'.

Ибо каждый изъ этихъ тр~-въ обратно подобенъ тр~-ку a'b'c'.

Тр~-ки A_0'BC, AB_0'C, ABC_0' сходственно расположены съ тр~-мъ ABC и симметричны съ тр~-ми A_0BC, AB_0C, ABC_0 относительно сторонъ BC, CA и AB.

Слѣдующая обратная теорема почти очевидна.

Если внѣшніе и внутренніе тр~-ки A_0BC, AB_0C, ABC_0 и A_0'BC, AB_0'C, ABC_0', построенные на сторонахъ тр~-ка ABC, подобны тр~-ку A'B'C', то окружности, описанныя около внѣшнихъ тр~-въ, и прямыя AA_0, BB_0, CC_0 проходятъ чрезъ первый метаполюсъ D тр~-ка ABC относительно A'B'C', а окружности, описанныя около внутреннихъ тр~-въ, и прямыя AA_0', BB_0', CC_0' проходятъ чрезъ второй метаполюсъ E того~-же тр~-ка.

18. Обозначимъ разстоянія метаполюса D тр~-ка ABC относительно A'B'C' отъ сторонъ BC, CA, AB чрезъ x, y, z. Опустивъ изъ A_0 на стороны AC и AB перпендикуляры A_0M и A_0N (фиг. 140), получимъ \frac yz=\frac{A_0M}{A_0N}=\frac {A_0C\sin\angle A_0CM}{A_0B\sin\angle A_0BN}; но тр~-къ A_0BC подобенъ тр~-ку A'B'C', такъ что \angle A_0=A',\quad \angle A_0BC=B',\quad \angle A_0CB=C'; поэтому \angle A_0CM=180^\circ-(C+C')~~\mbox{и}~~\angle A_0BN=180^\circ-(B+B'); кромѣ того, \frac{A_0C}{A_0B}=\frac{\sin B'}{\sin C'}; слѣдовательно, \frac yz=\frac{\sin B'\sin(C+C')}{\sin C'\sin(B+B')}=\frac{\sin B'}{\sin(B+B')}:\frac{\sin C'}{\sin(C+C')} и по аналогіи \frac xy=\frac{\sin A'}{\sin(A+A')}:\frac{\sin B'}{\sin(B+B')}; изъ этихъ равенствъ находимъ, что x:y:z=\frac{\sin A'}{\sin(A+A')}:\frac{\sin B'}{\sin(B+B')}: \frac{\sin C'}{\sin(C+C')}.

Подобнымъ~-же образомъ, обозначивъ чрезъ x', y', z' разстоянія второго метаполюса E тр~-ка ABC отъ сторонъ его BC, CA и AB, найдемъ, что x':y':z'=\frac{\sin A'}{\sin(A-A')}:\frac{\sin B'}{\sin(B-B')}: \frac{\sin C'}{\sin(C-C')}.

19. Обозначивъ чрезъ D' первый метаполюсъ тр~-ка A'B'C' относительно ABC и чрезъ x'', y'', z'' разстоянія его отъ B'C', C'A', A'B', по предыдущему получимъ x'':y'':z''=\frac{\sin A}{\sin(A+A')}:\frac{\sin B}{\sin(B+B')}: \frac{\sin C}{\sin(C+C')}.

Такъ какъ ABCD и A'B'C'D' суть метаполярные полные чет~-ки, то (VIII, 46) AD:BD:CD=\frac1{x''}:\frac1{y''}: \frac1{z''}, или AD:BD:CD=\frac{\sin(A{+}A')}{\sin A}:\frac{\sin(B{+}B')}{\sin B}: \frac{\sin(C{+}C')}{\sin C}, A'D':B'D':C'D'=\frac{\sin(A{+}A')}{\sin A'}:\frac{\sin(B{+}B')}{\sin B'}: \frac{\sin(C{+}C')}{\sin C'}.

20. Если внутреннія дуги окружностей, имѣющихъ хордами стороны тр~-ка BC, CA и AB, вмѣщаютъ углы 180^\circ-B,\quad 180^\circ-C,\quad 180^\circ-A или 180^\circ-C,\quad 180^\circ-A,\quad 180^\circ-B, то каждая изъ этихъ окружностей касается одной изъ сторонъ тр~-ка ABC, т. е. эти окружности суть сопряженныя. Но три сопряженныя окружности тр~-ка пересѣкаются въ одной изъ точекъ Брокара (VII, 34); слѣдовательно, каждая изъ точекъ Брокара (\Om, \Om') тр~-ка ABC есть первый метаполюсъ этого тр~-ка относительно подобнаго ему тр~-ка A'B'C', у котораго \angle A'=\angle B,\quad\angle B'=\angle C,\quad\angle C'=\angle A или \angle A'=\angle C,\quad\angle B'=\angle A,\quad\angle C'=\angle B.

Вторые метаполюсы тр~-ка ABC относительно такого подобнаго ему тр~-ка A'B'C' суть точки, циклотомическія съ точками Брокара \Om и \Om'.

Три сопряженныя окружности тр~-ка ABC, проходящія чрезъ одну изъ точекъ Брокара, суть окружности, описанныя около внѣшнихъ тр~-въ A_0BC, AB_0C, ABC_0 подобныхъ тр~-ку ABC (но не равныхъ ему) и построенныхъ на сторонахъ его (фиг. 141).

21. Теорема. Центръ круга O, описаннаго около тр~-ка ABC, есть точка Брокара подобнаго ему тр~-ка abc, вершины котораго суть центры сопряженныхъ окружностей тр~-ка ABC, проходящихъ чрезъ его точку Брокара \Om.

Дѣйствительно, такъ какъ \Om есть метаполюсъ тр~-ка ABC относительно подобнаго ему тр~-ка, то (11) ABC и abc суть подобные тр~-ки, такъ что \angle a=\angle C{,}\quad\angle b=\angle A\quad\mbox{и}\quad \angle c=\angle B.

Соединивъ центръ O круга ABC съ вершинами тр~-ка abc, найдемъ, что \angle Oac=\angle \Om bc,~~\angle Ocb=\angle \Om AB,~~\angle Oba=\angle \Om CA; но \angle\Om BC=\angle\Om AB=\angle\Om CA; слѣдовательно, \angle Oac=\angle Ocb=\angle Oba; поэтому центръ O есть вторая точка Брокара (\Om') тр~-ка abc.

Если a', b', c' суть центры окружностей B\Om'C, C\Om'A, A\Om'B, то тр~-къ a'b'c' подобенъ тр~-ку ABC и центръ O круга ABC есть первая точка Брокара (\Om) тр~-ка a'b'c'.

22. Окружности Карно (Carnot). Окружности, симметричныя съ окружностью, описанною около тр~-ка, относительно его сторонъ, называются окружностями Карно этого тр~-ка.

Изъ самаго опредѣленія слѣдуетъ: что окружности Карно даннаго тр~-ка равны окружности, описанной около него.

Центры окружностей Карно симметричны съ центромъ окружности, описанной около тр~-ка, относительно его сторонъ.

Если высоты тр~-ка ABC при продолженіи пересѣкаются съ окружностями Карно въ A_0, B_0, C_0 (фиг. 142), то тр~-ки A_0BC, AB_0C и ABC_0 равны тр~-ку ABC, потому что A_0, B_0, C_0 суть точки, симметричныя съ A, B, C относительно BC, CA, AB. Слѣдовательно, внутреннія дуги окружностей Карно вмѣщаютъ углы, равные 180^\circ-A,\quad 180^\circ-B,\quad 180^\circ-C; значитъ, окружности Карно пересѣкаются въ первомъ метаполюсѣ тр~-ка ABC относительно подобнаго ему тр~-ка, т. е. въ его ортоцентрѣ H (9).

23. Теорема Карно (Carnot). Если a, b, c суть центры окружностей Карно тр~-ка ABC, то тр~-ки abc и ABC равны и имѣютъ общую окружность Эйлера.

Соединимъ центръ O круга ABC (фиг. 142) съ вершинами тр~-ка abc и обозначимъ чрезъ A_1, B_1, C_1 точки пересѣченія сторонъ тр~-ка BC, CA и AB съ прямыми Oa, Ob и Oc. Такъ какъ Oa=2OA_1,\quad Ob=2OB_1,\quad Oc=2OC_1, то ca=2C_1A_1=CA\quad\mbox{и}\quad ab=2A_1B_1=AB; слѣдовательно, тр~-ки abc и ABC равны.

Такъ какъ стороны тр~-ка abc перпендикулярны къ высотамъ тр~-ка ABC, то ортоцентръ H тр~-ка ABC совпадаетъ съ центромъ круга, описаннаго около тр~-ка abc. Вслѣдствіе~-же параллельности соотвѣтственныхъ сторонъ этихъ тр~-въ прямыя Oa, Ob и Oc перпендикулярны къ bc, ca и ab; поэтому центръ O круга ABC есть ортоцентръ тр~-ка abc. Изъ этого слѣдуетъ, что центры окружностей Эйлера тр~-въ ABC и abc совпадаютъ (I, 25), а вслѣдствіе равенства этихъ тр~-въ и самыя окружности совпадаютъ.

24. Теорема. Окружности Карно даннаго тр~-ка касаются окружности, описанной около антидополнительнаго тр~-ка.

Обозначимъ чрезъ R радіусъ круга, описаннаго около тр~-ка ABC. Такъ какъ ортоцентръ H этого тр~-ка совпадаетъ съ центромъ круга, описаннаго около антидополнительнаго тр~-ка A'B'C' (фиг. 142), то HA'=2R; но тр~-ки ABC, A_0BC, AB_0C и ABC_0 равны; поэтому окружность Карно BA_0C, имѣющая центръ въ a, проходитъ чрезъ точку A', такъ что aA'=aH=R; слѣдовательно, HA'=Ha+aA'; значитъ, точка a находится на прямой HA', а потому окружности A'B'C' и BA_0C касаются въ точкѣ A'.

25. Окружности Торричелли (Torricelli). Окружности, описанныя около правильныхъ тр~-въ, внѣшнихъ или внутреннихъ, построенныхъ на сторонахъ даннаго тр~-ка ABC, называются окружностями Торричелли этого тр~-ка (Neu­berg).

Три окружности Торричелли, описанныя около внѣшнихъ правильныхъ тр~-въ, построенныхъ на сторонахъ тр~-ка ABC, называются внѣшними; другія три окружности Торричелли, описанныя около внутреннихъ правильныхъ тр~-въ, построенныхъ на сторонахъ того~-же тр~-ка, называются внутренними. Внутреннія окружности Торричелли симметричны съ внѣшними относительно сторонъ основного тр~-ка.

26. Теорема Торричелли. Три внѣшнія (или внутреннія) окружности Торричелли пересѣкаются въ одной точкѣ.

Пусть BCD, CAE, ABF суть правильные внѣшніе тр~-ки, построенные на сторонахъ тр~-ка ABC (фиг. 143). Такъ какъ внѣшнія дуги окружностей Торричелли BCD, CAE, ABF вмѣщаютъ углы въ 60^\circ, т. е. равные угламъ правильнаго тр~-ка, то эти окружности пересѣкаются въ одной точкѣ U (4).

Внутреннія окружности Торричелли BCD', CAE', ABF' пересѣкаются въ одной точкѣ U', циклотомической съ U.

27. Обозначимъ чрезъ a, b, c и a', b', c' центры внѣшнихъ и внутреннихъ окружностей Торричелли тр~-ка ABC (фиг. 143). Очевидно, что прямыя DD', EE', FF' проходятъ соотвѣтственно чрезъ a и a', b и b', c и c' и пересѣкаются въ центрѣ O круга ABC.

Легко также убѣдиться, что центры a, b, c внѣшнихъ окружностей Торричелли находятся на симметричныхъ съ ними внутреннихъ окружностяхъ и наоборотъ.

Такъ какъ прямыя AU, BU, CU перпендикулярны къ сторонамъ bc, ca, ab тр~-ка abc и \angle AUB=\angle BUC=\angle CUA=120^\circ, то тр~-къ abc правильный.

Тр~-къ a'b'c', стороны котораго перпендикулярны къ прямымъ AU', BU', CU', также правильный.

Прямыя AU, BU, CU и AU', BU', CU' дѣлятся пополамъ сторонами bc, ca, ab и b'c', c'a', a'b' тр~-въ abc и a'b'c'.

28. Изогоническіе центры (centres isogones). Точки, изъ которыхъ стороны даннаго тр~-ка ABC видимы подъ углами въ 60^\circ или 120^\circ, называются изогоническими центрами этого тр~-ка.

По этому опредѣленію изогоническіе центры какого-либо тр~-ка ABC суть его метаполюсы относительно правильнаго тр~-ка (6); слѣдовательно, изогоническіе центры тр~-ка U и U' суть точки, изогонально сопряженныя съ его изодинамическими центрами W и W' (15), (VIII, 76).

Очевидно, что общія точки U и U' трехъ внѣшнихъ и трехъ внутреннихъ окружностей Торричелли тр~-ка ABC суть изогоническіе центры этого тр~-ка.

Изогоническіе центры U и U' тр~-ка ABC, какъ метаполюсы этого тр~-ка, суть точки циклотомическія (3); поэтому одинъ изъ нихъ U, называемый первымъ, всегда находится или внутри тр~-ка, или въ одномъ изъ вертикальныхъ угловъ его; второй изогоническій центръ U' лежитъ всегда въ одномъ изъ внѣшнихъ угловъ тр~-ка.

29. Точка Торричелли. Если каждый изъ угловъ тр~-ка ABC не превышаетъ 120^\circ, то первый изогоническій центръ U находится внутри тр~-ка и потому называется внутреннимъ.

Внутренній изогоническій центръ U тр~-ка ABC называется также точкою Торричелли этого тр~-ка.

Теорема. Сумма разстояній точки Торричелли тр~-ка отъ его вершинъ есть mi­ni­mum.

Положимъ, что точка Z въ плоскости тр~-ка ABC (фиг. 144) удовлетворяетъ условію: AZ+BZ+CZ=\mbox{minimum}.

Описавъ около точки A окружность радіусомъ AZ и проведя къ этой окружности касательную въ точкѣ Z, замѣтимъ, что при данномъ разстояніи и при условіи BZ+CZ=\mbox{minimum}, касательная должна составлять равные углы съ прямыми BZ и CZ, а потому эти прямыя должны составлять равные углы и съ AZ. Разсуждая так~-же относительно вершины B, придемъ къ заключенію, что прямыя AZ и CZ должны составлять равные углы съ BZ. Слѣдовательно, точка Z должна удовлетворять условію: \angle AZB=\angle BZC=\angle CZA=120^\circ, которое выполняется, когда Z совпадаетъ съ точкою Торричелли тр~-ка U.

30. Теорема. Прямыя, соединяющія вершины тр~-ка ABC съ противолежащими вершинами внѣшнихъ (или внутреннихъ) правильныхъ тр~-въ, построенныхъ на сторонахъ его, равны и пересѣкаются въ изогоническомъ центрѣ тр~-ка.

Дѣйствительно, тр~-ки FAC и EAB (фиг. 143) равны, ибо \angle FAC=\angle A+60^\circ=\angle EAB и AF=AB,\quad AC=AE; значитъ, BE=CF и по аналогіи AD=BE=CF.

Такъ какъ \angle FUB=\angle FAB=60^\circ, \angle BUD=\angle BCD=60^\circ, \angle DUC=\angle DBC=60^\circ, то \angle FUC=\angle FUB+\angle BUD+\angle DUC=180^\circ; слѣдовательно, прямая FC проходитъ чрезъ U, что и тр. док.

Аналогичнымъ способомъ можно убѣдиться, что AD'=BE'=CF' и что эти прямыя проходятъ чрезъ U'.

31. Правильные антиподарные тр~-ки. Обозначимъ чрезъ A'B'C' (фиг. 143) антиподарный тр~-къ точки U относительно тр~-ка ABC. Такъ какъ (VIII, 2) стороны этого тр~-ка B'C', C'A', A'B' соотвѣтственно перпендикулярны къ прямымъ UA, UB, UC и потому параллельны сторонамъ правильнаго тр~-ка abc (27), то тр~-къ этотъ (A'B'C') правильный.

Антиподарный тр~-ка точки U' относительно тр~-ка ABC также правильный. Итакъ:

Антиподарные тр~-ки изогоническихъ центровъ U и U' тр~-ка ABC относительно этого тр~-ка суть правильные тр~-ки.

Очевидно, что вершины правильныхъ антиподарныхъ тр~-въ тр~-ка ABC находятся на окружностяхъ Торричелли этого тр~-ка.

32. Прямыя UA', UB', UC', соединяющія изогоническій центръ U съ вершинами правильнаго антиподарнаго тр~-ка, суть діаметры окружностей Торричелли; поэтому углы UDA', UEB', UFC' --- прямые и прямыя A'D, B'E, C'F параллельны B'C', C'A', A'B'; значитъ, прямыя AD, BE, CF равны высотѣ правильнаго тр~-ка A'B'C'. Такимъ образомъ:

Прямыя, соединяющія вершины тр~-ка ABC съ противоположными вершинами правильныхъ внѣшнихъ или внутреннихъ тр~-въ, построенныхъ на его сторонахъ, равны высотамъ правильныхъ антиподарныхъ тр~-въ.

33. Если изогоническій центръ U находится внутри тр~-ка ABC, то, обозначивъ чрезъ H' высоту правильнаго антиподарнаго тр~-ка A'B'C' и чрезъ a' --- его сторону, получимъ: a'\cdot(UA+UB+UC)=a'\cdot H'; отсюда UA+UB+UC=H'=AD=BE=CF.

Такимъ образомъ, сумма разстояній точки Торричелли тр~-ка отъ его вершинъ равна высотѣ правильнаго антиподарнаго тр~-ка.

Если~-же U находится въ одномъ изъ вертикальныхъ угловъ тр~-ка ABC, напр. въ вертикальномъ углѣ его A, то a'\cdot(UB+UC-UA)=a'\cdot H', т. е. UB+UC-UA=H'=AD=BE=CF.

Для изогоническаго центра U', находящагося въ части плоскости, ограниченной стороною BC и продолженіями сторонъ AB и AC (фиг. 143), имѣютъ мѣсто равенства: U'B+U'C-U'A=H''=AD'=BE'=CF', гдѣ H'' --- высота правильнаго антиподарнаго тр~-ка (A''B''C'') точки U' относительно тр~-ка ABC.

34. Теорема. Сумма квадратовъ высотъ правильныхъ антиподарныхъ тр~-въ тр~-ка ABC равна суммѣ квадратовъ сторонъ этого тр~-ка, а разность квадратовъ ихъ равна учетверенной площади того~-же тр~-ка, умноженной на \sqrt3.

Обозначивъ чрезъ A_1 средину BC, заметимъ, что прямая DD' проходитъ чрезъ A_1 и дѣлится въ этой точкѣ пополамъ. Такъ какъ проэкція медіаны AA_1 тр~-ка DAD' на сторону его DD' равна высотѣ h тр~-ка ABC, опущенной изъ его вершины A, то изъ тр~-ка DAD' получимъ равенства: \overline{AD}{}^2+\overline{AD'}{}^2=2\cdot \overline{AA_1}{}^2+2\cdot\overline{DA_1}{}^2, \overline{AD}{}^2 -\overline{AD'}{}^2=2\cdot DD'\cdot h=4\cdot DA_1\cdot h; но 2\cdot\overline{AA_1}{}^2=b^2+c^2-\frac12a^2 и DA_1=\frac12a\sqrt3; слѣдовательно, \overline{AD}{}^2+\overline{AD'}{}^2=H'^2+H''^2=a^2+b^2+c^2, \overline{AD}{}^2-\overline{AD'}{}^2=H'^2-H''^2=2ah\sqrt3=4\triangle\sqrt3, гдѣ \triangle --- площадь тр~-ка ABC.

Изъ этихъ равенствъ опредѣляются высоты H' и H'' правильныхъ антиподарныхъ тр~-въ изогоническихъ центровъ U и U' относительно тр~-ка ABC.

35. Пусть x, y, z и x', y', z' суть разстоянія изогоническихъ центровъ U и U' тр~-ка ABC отъ сторонъ его BC, CA и AB. Разсматривая точки U и U' какъ метаполюсы тр~-ка ABC относительно правильныхъ тр~-въ (28), получимъ (18): x:y:z=\frac{\sin60^\circ}{\sin(A+60^\circ)}: \frac{\sin60^\circ}{\sin(B+60^\circ)}: \frac{\sin60^\circ}{\sin(C+60^\circ)}= =\frac1{\cos(A-30^\circ)}:\frac1{\cos(B-30^\circ)}:\frac1{\cos(C-30^\circ)}, x':y':z'=\frac{\sin60^\circ}{\sin(A-60^\circ)}: \frac{\sin60^\circ}{\sin(B-60^\circ)}: \frac{\sin60^\circ}{\sin(C-60^\circ)}= =\frac1{\cos(A+30^\circ)}:\frac1{\cos(B+30^\circ)}:\frac1{\cos(C+30^\circ)}.

Если x_1, y_1, z_1 и x_1', y_1', z_1' суть разстоянія изодинамическихъ центровъ W и W' того~-же тр~-ка отъ сторонъ его BC, CA и AB, то (V, 18) xx_1=yy_1=zz_1\quad\mbox{и}\quad x'x_1'=y'y_1'=z'z_1'; поэтому: x_1:y_1:z_1=\frac1x:\frac1y:\frac1z= =\cos(A-30^\circ):\cos(B-30^\circ):\cos(C-30^\circ), x_1':y_1':z_1'=\frac1{x'}:\frac1{y'}:\frac1{z'}= =\cos(A+30^\circ):\cos(B+30^\circ):\cos(C+30^\circ).

Такъ какъ U и W суть изогонально сопряженныя точки тр~-ка ABC (28), то \frac{AU}z=\frac{AW}{y_1},\quad \frac{BU}z=\frac{BW}{x_1},\quad\frac{CU}y=\frac{CW}{x_1}; отсюда AU:BU=\frac{AW}{y_1}:\frac{BW}{x_1}=\frac{AW\cdot x_1}{BW\cdot y_1}=\frac{AW}x:\frac{BW}y, BU:CU=\frac{BW\cdot z}{CW\cdot y}=\frac{BW}y:\frac{CW}z; слѣдовательно, AU:BU:CU= \frac{AW}x:\frac{BW}y:\frac{CW}z; но (VIII, 76) AW:BW:CW=\frac1a:\frac1b:\frac1c; поэтому AU:BU:CU= \frac1{ax}:\frac1{by}:\frac1{cz}== \frac{\cos(A-30^\circ)}{\sin A}:\frac{\cos(B-30^\circ)}{\sin B}: \frac{\cos(C-30^\circ)}{\sin C}, или \frac{AU\sin A}{\cos(A-30^\circ)}=\frac{BU\sin B}{\cos(B-30^\circ)}= \frac{CU\sin C}{\cos(C-30^\circ)}.

Подобнымъ~-же образомъ для точки U' найдемъ, что AU':BU':CU'= \frac1{ax'}:\frac1{by'}:\frac1{cz'}== \frac{\cos(A+30^\circ)}{\sin A}:\frac{\cos(B+30^\circ)}{\sin B}: \frac{\cos(C+30^\circ)}{\sin C}, или \frac{AU'\sin A}{\cos(A+30^\circ)}=\frac{BU'\sin B}{\cos(B+30^\circ)}= \frac{CU'\sin C}{\cos(C+30^\circ)}.

Изъ полученныхъ равенствъ слѣдует, что \frac{AU\cos(A{+}30^\circ)}{AU'\cos(A{-}30^\circ)}= \frac{BU\cos(B{+}30^\circ)}{BU'\cos(B{-}30^\circ)}= \frac{CU\cos(C{+}30^\circ)}{CU'\cos(C{-}30^\circ)}.

37. Окружность, сопряженная съ тр~-мъ. Окружность называется сопряженною съ тр~-мъ, если каждая вершина тр~-ка и противолежащая сторона его суть полюсъ и поляра относительно этой окружности (III, 11).

Центръ окружности, сопряженной съ тр~-мъ, долженъ находиться на каждой изъ высотъ его и потому совпадаетъ съ ортоцентромъ этого тр~-ка (III, 1).

Каждая вершина и противолежащая сторона тр~-ка должны находиться по одну сторону сопряженной окружности (III, 1); поэтому центръ сопряженной окружности, т. е. ортоцентръ тр~-ка, долженъ быть внѣ тр~-ка; изъ этого слѣдуетъ, что сопряженная окружность возможна только для тупоугольнаго тр~-ка.

Окружность, сопряженная съ прямоугольнымъ тр~-мъ, есть точка, совпадающая съ вершиною прямого угла.

38. Пусть AH_1, BH_2, CH_3 суть высоты тупоугольнаго тр~-ка ABC, H --- его ортоцентръ и R --- радіусъ описаннаго круга (фиг. 145). Обозначивъ чрезъ \rho радіусъ сопряженной окружности, получимъ (III, 1): \rho^2=HA\cdot HH_1=HB\cdot HH_2=HC\cdot HH_3.

Такъ какъ въ тр~-кѣ AHH_2 \angle AHH_2=\angle C, то HA=\frac{AH_2}{\sin C}; изъ тр~-ка же BAH_2 AH_2=-c\cos A; поэтому HA=-\frac c{\sin C}\cos A=-2R\cos A; подобнымъ~-же образомъ изъ тр~-въ BHH_1 и ABH_1 найдемъ, что BH=\frac{BH_1}{\sin C}=\frac{c\cos B}{\sin C}=2R\cos B и HH_1=BH\cos C=2R\cos B\cos C; слѣдовательно, \rho^2=-4R^2\cos A\cos B\cos C и \rho=2R\sqrt{-{\cos A}\cos B\cos C}.

39. Теорема. Окружность, сопряженная съ тр~-мъ, ортогональна съ окружностями, имѣющими діаметрами стороны и медіаны этого тр~-ка.

Обозначимъ чрезъ AB, BC, CA окружности, имѣющія діаметрами стороны тр~-ка ABC, и чрезъ AA_1, BB_1, CC_1 --- окружности, имѣющія діаметрами медіаны его (фиг. 145). Окружности AB, CA и AA_1 проходятъ чрезъ точку H_1; поэтому высота тр~-ка AH_1 есть общая радикальная ось этихъ окружностей. Подобнымъ~-же образомъ высоты BH_2 и CH_3 суть общія радикальныя оси окружностей AB, BC, BB_1 и AC, BC, CC_1. Слѣдовательно, ортоцентръ H есть общій радикальный центръ всѣхъ разсматриваемыхъ окружностей; но степень точки H относительно этихъ окружностей равна HA\cdot HH_1=HB\cdot HH_2=HC\cdot HH_3=\rho^2; значитъ, окружность, описанная около H радіусомъ \rho, т. е. окружность, сопряженная съ тр~-мъ, ортогональна съ окружностями AB, BC, CA, AA_1, BB_1, CC_1 (III, 37).

40. Окружность Лоншана (Longchamps). Окружность, сопряженная съ антидополнительнымъ тр~-мъ тр~-ка ABC, называется окружностью Лоншана тр~-ка ABC (Casey).

Такъ какъ данный тр~-къ ABC и его антидополнительный тр~-къ гомотетичны относительно барицентра G тр~-ка ABC въ отношеніи 1:2, то (VII, 14):

Окружность Лоншана возможна только для тупоугольнаго тр~-ка ABC (37).

Радіусъ окружности Лоншана даннаго тр~-ка равенъ діаметру окружности, сопряженной съ этимъ тр~-мъ, и центръ L ея находится на прямой Эйлера HGO того~-же тр~-ка, при чемъ (фиг. 146) LG=2GH.

Замѣтивъ, что LG=LO+OG\quad\mbox{и}\quad OG=\frac12GH=\frac13OH, получимъ: LO=LG-OG=2HG-OG=\frac43OH- \frac13OH, т. е. LO=OH; такимъ образомъ, центръ L окружности Лоншана тр~-ка ABC симметриченъ съ ортоцентромъ H этого тр~-ка относительно центра (O) описаннаго около него круга.

41. Теорема. Окружность Лоншана тр~-ка ABC ортогональна съ окружностями, описанными около вершинъ этого тр~-ка, радіусами, равными противолежащимъ сторонамъ, и около срединъ его сторонъ радіусами, равными соотвѣтственнымъ медіанамъ.

Обозначимъ чрезъ MNP тр~-къ, антидополнительный для тр~-ка ABC (фиг. 146). Очевидно, что стороны этого тр~-ка суть діаметры окружностей A, B, C, описанныхъ около вершинъ тр~-ка ABC радіусами, равными противолежащимъ сторонамъ его a, b, c. Медіаны MA, NB, PC того~-же тр~-ка MNP суть діаметры окружностей A_1, B_1, C_1, описанныхъ около срединъ сторонъ тр~-ка ABC радіусами, равными его медіанамъ AA_1, BB_1, CC_1. Но окружность Лоншана тр~-ка ABC есть окружность, сопряженная съ тр~-мъ MNP; слѣдовательно, она ортогональна съ окружностями A, B, C и A_1, B_1, C_1 (39).

42. Прямая Лоншана (Longchamps). Радикальная ось окружности Лоншана тр~-ка ABC и окружности, описанной около этого тр~-ка, называется прямою Лоншана и обозначается буквою \lambda.

Такъ какъ радикальная ось двухъ окружностей перпендикулярна къ линіи ихъ центровъ, то прямая Лоншана даннаго тр~-ка перпендикулярна къ прямой Эйлера этого тр~-ка.

43. Обозначимъ чрезъ Q пересѣченіе прямой Лоншана \lambda и прямой Эйлера HO тр~-ка ABC (фиг. 146). Такъ какъ радіусъ окружности Лоншана равенъ (40) 2\rho=4R\sqrt{-{\cos A}\cos B\cos C}, а точка Q есть центральная точка окружности Лоншана и окружности, описанной около тр~-ка, то (III, 24): R^2-\overline{OQ}{}^2=4\rho^2-\overline{LQ}{}^2; но OQ=LO-LQ=Ho-LQ; поэтому R^2-(HO-LQ)^2=4\rho^2-\overline{LQ}{}^2; отсюда LQ=\frac{4\rho^2-R^2+\overline{HO}{}^2}{2HO}; замѣтивъ~-же, что \overline{HO}{}^2=R^2(1-8\cos A\cos B\cos C)=R^2+2\rho^2, получимъ LQ=\frac{3\rho^2}{HO}.

Пользуясь этой формулой, найдемъ, что степень точки Q относительно окружности, описанной около тр~-ка, и окружности Лоншана по абсолютной величинѣ равна R^2-\overline{OQ}{}^2=4\rho^2-\overline{LQ}{}^2=\rho^2\,\left( 4-\frac{9\rho^2}{\overline{HO}{}^2}\right).

44. Теорема. Прямая Лоншана есть радикальная ось окружностей, описанныхъ около даннаго тр~-ка и около тр~-ка антидополнительнаго.

Дѣйствительно, такъ какъ центръ окружности, описанной около антидополнительнаго тр~-ка MNP (фиг. 146) совпадаетъ съ ортоцентромъ H тр~-ка ABC, а радіусъ этой окружности равенъ 2R, то степень точки Q относительно окружности MNP по абсолютной величинѣ равна 4R^2-\overline{HQ}{}^2=4R^2-(HL-LQ)^2= =4R^2-(2HO-LQ)^2=\rho^2\,\left( 4-\frac{9\rho^2}{\overline{HO}{}^2}\right), т. е. равна степени той~-же точки относительно окружности ABC; слѣдовательно, прямая \lambda есть радикальная ось окружностей ABC и MNP.

Изъ этой теоремы слѣдуетъ, что окружность Лоншана даннаго тр~-ка, окружность, описанная около этого тр~-ка, и окружность, описанная около тр~-ка антидополнительнаго, --- соосны.

45. Теорема. Поляра барицентра тр~-ка относительно окружности Лоншана совпадаетъ съ прямою Лоншана.

Ибо (фиг. 146) LG=\frac43HO, а потому LQ\cdot LG=4\rho^2, что и тр. док. (III, 1).

46. Теорема Нейберга (Neuberg). Вершины тр~-въ съ общимъ основаніемъ и равными углами Брокара, находяшіяся по одну сторону отъ основанія, расположены на одной окружности.

Обозначимъ чрезъ \omega и x уголъ Брокара тр~-ка ABC и разстояніе точки Лемуана этого тр~-ка отъ стороны BC, такъ что (VII, 45) \tg\omega=\frac{2x}a\quad\mbox{или}\quad x=\frac12a\tg\omega.

Отложивъ на высотѣ тр~-ка AH (фиг. 147) отрѣзки HM=x\quad\mbox{и}\quad MN=\frac12HM=\frac12x, проведемъ чрезъ точки M и N прямыя DE и FG, параллельныя BC. Если параллели Лемуана разсматриваемаго тр~-ка пересѣкаются съ BC въ P и Q, то (VI, 33) \frac{BP}{c^2}=\frac{PQ}{a^2}=\frac{QC}{b^2}=\frac a{a^2+b^2+c^2}; поэтому DE=BP+QC=\frac{a(b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2} и PQ=\frac{a^3}{a^2+b^2+c^2}; слѣдовательно, \frac{AM}{MH}=\frac{DE}{PQ}=\frac{b^2+c^2}{a^2}.

Проведя затѣмъ медіану тр~-ка AA', изъ равенства 4\overline{AA'}{}^2=2(b^2+c^2)-a^2=2(b^2+c^2)-4\overline{A'C}{}^2 найдемъ, что \frac{\overline{AA'}{}^2+\overline{A'C}{}^2}{\overline{A'C}{}^2}= \frac{2(b^2+c^2)}{a^2}=\frac{2AM}{MH}, или \frac{\overline{AA'}{}^2+\overline{A'C}{}^2}{\overline{A'C}{}^2}= \frac{AN+NM}{\frac12MH}=\frac{AN+NM}{MN}; отсюда \frac{\overline{AA'}{}^2}{\overline{A'C}{}^2}=\frac{AN}{MN}\quad \mbox{и}\quad\overline{AA'}{}^2=\frac{\overline{A'C}{}^2\cdot AN}{MN}.

Возставивъ, наконецъ, въ A' перпендикуляръ къ BC и отложивъ на немъ отрѣзокъ A'N_1=\frac{\overline{A'C}{}^2}{2MN}, получимъ: \overline{AA'}{}^2=2A'N_1\cdot AN. Равенство это обнаруживаетъ, что прямая FG есть радикальная ось точки A' и окружности, описанной около N_1 радіусомъ N_1A (III, 32); поэтому, кромѣ точки A, ему удовлетворяютъ всѣ точки этой окружности. Но положеніе точки N_1, какъ видно изъ равенства A'N_1=\frac{\overline{A'C}{}^2}{2MN}=\frac{a^2}{4x}=\frac12a\ctg\omega, вполнѣ опредѣляется основаніемъ a тр~-ка ABC и его угломъ Брокара \omega; слѣдовательно, при заданныхъ a и \omega геометрическимъ мѣстомъ вершины A служитъ окружность, описанная около точки N_1.

47. Слѣдствіе. На данной прямой BC, какъ на основаніи, можно построить шесть подобныхъ тр~-въ, расположенныхъ по одну сторону отъ этой прямой; углы Брокара этихъ тр~-въ равны (VII, 45); слѣдовательно, по доказанной теоремѣ вершины шести подобныхъ тр~-въ, имѣющихъ общее основаніе и расположенныхъ по одну сторону отъ него, находятся на одной окружности.

48. Окружности Нейберга (cercles de Neuberg). Окружность, проходящая чрезъ вершины тр~-въ, имѣющихъ общее основаніе и равные углы Брокара, называется окружностью Нейберга каждаго изъ этихъ тр~-въ, соотвѣтственною ихъ общей сторонѣ.

Тремъ сторонамъ даннаго тр~-ка ABC соотвѣтствуютъ три окружности Нейберга.

Центры окружностей Нейберга, соотвѣтственныхъ сторонамъ тр~-ка BC, CA и AB, обозначаются чрезъ N_1, N_2, N_3.

Для построенія центровъ окружностей Нейберга слѣдуетъ имѣть въ виду, что центръ N_1 находится на перпендикулярѣ въ срединѣ стороны BC и отстоитъ отъ этой стороны на разстояніе A'N_1=\frac{\overline{A'C}{}^2}{2MN}=\frac12a\ctg\omega.

49. Такъ какъ \frac{A'N_1}{BA'}=\frac{A'N_1}{\frac12a}=\ctg\angle BN_1A', то \angle BN_1A'=\angle CN_1A'=\omega и \angle BN_1C=2\omega.

Такимъ образомъ, уголъ, составленный прямыми, соединяющими центръ окружности Нейберга съ концами соотвѣтственной стороны тр~-ка, равенъ удвоенному углу Брокара этого тр~-ка.

Изъ этого слѣдуетъ, что равнобедренные тр~-ки BN_1C, CN_2A, AN_3B подобны тр~-ку \Om O\Om', гдѣ \Om, \Om' и O суть точки Брокара тр~-ка ABC и центръ круга, описаннаго около него (VII, 52).

50. Обозначимъ радіусы окружностей Нейберга тр~-ка ABC чрезъ R_1, R_2, R_3. Такъ какъ прямая FG (фиг. 147), параллельная BC и отстоящая отъ нея на разстояніе NH=\frac32x=\frac34a\tg\omega, есть радикальная ось окружности Нейберга N_1 и средины A' стороны BC (46), то, обозначивъ чрезъ L пересѣченіе этой прямой съ A'N_1, получимъ: \overline{LA'}{}^2=\overline{LN_1}{}^2-R_1^2\quad\mbox{или}\quad R_1^2=\overline{LN_1}{}^2-\overline{LA'}{}^2; но LA'=\frac34a\tg\omega и LN_1=A'N_1-LA'=\frac 12a\ctg\omega-\frac34a\tg\omega; слѣдовательно, R_1^2=\frac{a^2}4(\ctg^2\omega-3), отсюда R_1=\frac a2\sqrt{\ctg^2\omega-3} и по аналогіи R_2=\frac b2\sqrt{\ctg^2\omega-3},\quad R_3=\frac c2\sqrt{\ctg^2\omega-3}.

Изъ этихъ равенствъ слѣдуетъ, что \frac{R_1}a=\frac{R_2}b=\frac{R_3}c=\sqrt{\ctg^2\omega-3}.

Значитъ, радіусы окружностей Нейберга даннаго тр~-ка пропорціональны соотвѣтственнымъ сторонамъ его.

Такъ какъ разстояніе точки Лемуана тр~-ка (K) отъ центра описаннаго круга (O) равно (VII, 47) OK=R\sqrt{1-3\tg^2\omega}=R\tg\omega\,\sqrt{\ctg^2\omega-3}, то полученныя формулы можно представить въ другомъ видѣ, напр. R_1=\frac{a\cdot OK}{2R\tg\omega}.

51. Замѣтивъ, что \angle A'OB=\angle AOC=A и A'O=\frac12a\ctg\omega, изъ равенства (фиг. 147) ON_1=A'N_1-A'O найдемъ, что ON_1=\frac12a(\ctg\omega-\ctg A); по аналогіи: ON_2=\frac12b(\ctg\omega-\ctg B)\quad\mbox{и}\quad ON_3=\frac12c(\ctg\omega-\ctg C); раздѣливъ эти равенства соотвѣтственно на a, b, c, на основаніи формулы \ctg\omega=\ctg A+\ctg B+\ctg C получимъ: \frac{ON_1}a+\frac{ON_2}b+\frac{ON_3}c=\ctg\omega.

52. На основаніи той~-же формулы равенство ON_1=\frac12a(\ctg\omega-\ctg A) принимаетъ видъ ON_1=\frac12a(\ctg B+\ctg C)=\frac{a\sin A}{2\sin B\sin C}; но \frac12bc\sin A=\frac12ac\sin B=\frac12ab\sin C=\triangle, гдѣ \triangle --- площадь тр~-ка ABC; поэтому \sin B\sin C=\frac{4\triangle^2}{a^2bc} и ON_1=\frac{a^3bc\sin A}{8\triangle^2}\quad\mbox{или}\quad ON_1=\frac{a^3}{4\triangle}; по аналогіи: ON_2=\frac{b^3}{4\triangle},\quad ON_3=\frac{c^3}{4\triangle}.

Изъ этихъ равенствъ слѣдуетъ, что \frac{ON_1}{a^3}=\frac{ON_2}{b^3}=\frac{ON_3}{c^3}=\frac1{4\triangle}, т. е. разстоянія центровъ окружностей Нейберга тр~-ка ABC отъ центра описаннаго круга пропорціональны кубамъ соотвѣтственныхъ сторонъ этого тр~-ка.

Перемноживъ тѣ~-же равенства, получимъ: ON_1\cdot ON_2\cdot ON_3=\left(\frac{abc}{4\triangle}\right)^3=R^3, гдѣ R --- радіусъ круга, описаннаго около тр~-ка.

53. Обозначимъ чрезъ A_1 и A_2 (фиг. 147) точки пересѣченія прямой A'N_1 съ окружностью Нейберга N_1. Такъ какъ (50) A'A_1=A'N_1+N_1A_1=\frac a2(\ctg\omega+\sqrt{\ctg^2\omega-3}) и A'A_2=A'N_1-N_1A_2=\frac a2(\ctg\omega-\sqrt{\ctg^2\omega-3}), то \ctg\angle A'A_1C=\ctg\angle A'A_1B=\frac{A'A_1}{\frac12a}== \ctg\omega+\sqrt{\ctg^2\omega-3}=\ctg\omega_1 и \ctg\angle A'A_2C=\ctg\angle A'A_2B=\frac{A'A_2}{\frac12a}== \ctg\omega-\sqrt{\ctg^2\omega-3}=\ctg\omega_2, гдѣ \omega_1 и \omega_2 суть углы Штейнера тр~-ка ABC (VII, 49); слѣдовательно, \angle BA_1C=2\omega_1\quad\mbox{и}\quad \angle BA_2C=2\omega_2.

Итакъ, если углы Брокара тр~-ка ABC и какого-либо равнобедреннаго тр~-ка равны, то уголъ при вершинѣ равнобедреннаго тр~-ка равенъ удвоенному углу Штейнера тр~-ка ABC, и наоборотъ.

54. Теорема. Если какіе-нибудь тр~-ки имѣютъ общую сторону BC, то окружности Нейберга ихъ, соотвѣтствующія этой сторонѣ, составляютъ пучокъ соосныхъ окружностей, радикальная ось которыхъ совпадаетъ съ BC.

Ибо изъ найденныхъ выраженій для A'A_1 и A'A_2 слѣдуетъ, что A'A_1\cdot A'A_2=\frac{3a^2}4; значитъ, степень точки A' относительно окружности Нейберга N_1 тр~-ка ABC не зависитъ отъ угла Брокара этого тр~-ка, т. е., если N_1', N_1'',\dots суть окружности Нейберга другихъ тр~-въ относительно общей стороны ихъ BC, то степени точки A' относительно этихъ окружностей равны; а такъ какъ центры окружностей N_1, N_1', N_1'',\dots находятся на перпендикулярѣ къ BC, возставленномъ въ A', то BC есть радикальная ось этихъ окружностей.

55. Слѣдствія. Средина A' общей стороны BC какихъ-либо тр~-въ есть центральная точка окружностей Нейберга этихъ тр~-въ относительно BC.

Если обозначить разстояніе предѣльныхъ точекъ этихъ окружностей отъ A' чрезъ d, то d^2=\frac{3a^2}4\quad\mbox{и}\quad d=\pm\frac{a\sqrt3}2; слѣдовательно, эти точки суть вершины двухъ правильныхъ тр~-въ, построенныхъ на сторонѣ BC=a.

Окружности Нейберга правильнаго тр~-ка суть точки, совпадающія съ его вершинами.

56. Теорема. Если A' и C' суть соотвѣтственныя точки подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ F_1 и F_3, построенныхъ на сторонахъ BC и AB тр~-ка ABC, и если прямыя AA' и CC' параллельны, то A' и C' суть точки окружностей Нейберга, соотвѣтственныхъ сторонамъ BC и AB тр~-ка ABC.

Обозначимъ чрезъ S центръ подобія фигуръ F_1 и F_3, чрезъ D --- точку фигуры F_1, соотвѣтственную точкѣ C фигуры F_3, и чрезъ E --- пересѣченіе прямыхъ A'D и CC' (фиг. 148).

Такъ какъ S, B, C, A', D и S, A, B, C', C суть соотвѣтственныя точки подобныхъ фигуръ, то \angle SDA'=\angle SCC', или \angle ADE=\angle SCE; слѣдовательно, точки S, C, D, E лежатъ на одной окружности, а потому \angle DEC=\angle DSC; но точка S есть пересѣченіе парныхъ сопряженныхъ окружностей (A,\bar B) и (C,\bar B) (VII, 30), поэтому \angle ABC+\angle BSA=\angle ABC+\angle CSB=180^\circ, или \angle ABC+\angle DSC=180^\circ, такъ какъ \angle DSC и \angle CSB равны какъ углы соотвѣтственные фигуръ F_1 и F_3. Такимъ образомъ, \angle DEC+\angle DEC=180^\circ; изъ параллельности~-же прямыхъ AA' и CC' слѣдуетъ, что \angle AA'D+\angle DEC=180^\circ; поэтому \angle AA'D=\angle ABC; значитъ, точка A' находится на дугѣ окружности, проходящей чрезъ A и D и вмѣщающей уголъ B.

Обозначимъ чрезъ F пересѣченіе этой окружности съ стороною AB. Такъ какъ \angle DFB=\angle AA'D=\angle ABC, то прямая DF параллельна BC; углы~-же \angle ABC и \angle BCD равны какъ углы соотвѣтственные фигуръ F_3 и F_1, слѣдовательно чет~-къ BCFD --- равнобочная трапеція, а потому тр~-ки DBC и FBC равны. Но тр~-ки DBC и ABC подобны, ибо углы \angle DBC и \angle CAB=\angle A равны какъ соотвѣтственные фигуръ F_1 и F_3 и \angle DCB=\angle FBC=\angle B; слѣдовательно, окружность A'DAF есть окружность Нейберга тр~-ка ABC относительно стороны BC (47), что и тр. док.

57. Слѣдствіе. Если A', B', C' суть соотвѣтственныя точки трехъ подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ BC, CA и AB тр~-ка ABC, и если прямыя AA' и CC' параллельны, то прямыя BB' и CC' тоже параллельны.

При этихъ условіяхъ углы Брокара тр~-въ A'BC, B'CA, C'AB равны углу Брокара тр~-ка ABC.

58. Теорема. Если двѣ изъ соотвѣтственныхъ точекъ трехъ подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ тр~-ка ABC, находятся на прямой, проходящей чрезъ барицентръ этого тр~-ка, то третья соотвѣтственная точка находится на той~-же прямой.

Обозначимъ чрезъ D_1, D_2, D_3 соотвѣтственныя точки подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3, построенныхъ на сторонахъ BC, CA и AB тр~-ка ABC, и положимъ, что прямая D_1D_2 проходитъ чрезъ барицентръ G этого тр~-ка (фиг. 149).

Средины сторонъ тр~-ка A', B', C' соединимъ соотвѣтственно съ точками D_1, D_2, D_3 и положимъ, что прямыя, проведенныя чрезъ A и B параллельно D_1D_2, пересѣкаются съ A'D_1 и B'D_2 въ точкахъ A'' и B''.

Такъ какъ по свойству медіанъ AA'=3GA'\quad\mbox{и} \quad BB'=3GB', то A'AA'=3A'D_1\quad\mbox{и}\quad B'B''=3B'D_2; слѣдовательно, A'' и B'' суть соотвѣтственныя точки фигуръ F_1 и F_2. Поэтому, если чрезъ C'' обозначить точку фигуры F_3, соотвѣтственную точкамъ A'' и B'', то CC''=3C'D_3 и прямая CC'' параллельна прямымъ AA'', BB'', D_1D_2; значитъ, точка D_3 находится на прямой D_1D_2.

59. Изъ доказательства этой теоремы видно, что D_1, D_2, D_3 суть точки, гомотетичныя съ точками A'', B'', C'' относительно срединъ сторонъ тр~-ка A', B', C'. Но точки A'', B'', C'' находятся на окружностяхъ Нейберга N_1, N_2, N_3 (56); слѣдовательно, точки D_1, D_2, D_3 также находятся на окружностяхъ, гомотетичныхъ съ окружностями Нейберга относительно срединъ соотвѣтственныхъ сторонъ тр~-ка. Изъ равенствъ A'A''=3A'D_1,\quad B'B''=3B'D_2,\quad C'C''=3C'D_3 слѣдуетъ, что отношенія гомотетіи этихъ окружностей равны отношенію 1:3.

60. Окружности Кая (Cay). Окружности, на которыхъ находятся соотвѣтственныя точки (D_1, D_2, D_3) трехъ подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ тр~-ка ABC, расположенныя на одной прямой, проходящей чрезъ барицентръ этого тр~-ка, называются окружностями Кая.

Изъ предыдущаго видно, что окружности Кая гомотетичны съ окружностями Нейберга относительно срединъ соотвѣтственныхъ сторонъ тр~-ка въ отношеніи 1:3.

Центры M_1, M_2, M_3 окружностей Кая тр~-ка ABC находятся на медіатрисахъ этого тр~-ка въ разстояніяхъ отъ сторонъ его A'M_1=\frac13A'N_1=\frac16a\ctg\omega, B'M_2=\frac13B'N_2=\frac16b\ctg\omega, C'M_3=\frac13C'N_3=\frac16c\ctg\omega.

Радіусы окружностей Кая, соотвѣтственныхъ сторонамъ BC, CA и AB, равны R_1'=\frac13R_1=\frac a6\sqrt{\ctg^2\omega-3}, R_2'=\frac13R_2=\frac b6\sqrt{\ctg^2\omega-3}, R_3'=\frac13R_3=\frac c6\sqrt{\ctg^2\omega-3}.

Такъ какъ при послѣдовательномъ совпаденіи точекъ A'', B'', C'' (фиг. 149) съ вершинами тр~-ка A, B, C точки D_1, D_2, D_3 совпадаютъ послѣдовательно съ барицентромъ тр~-ка G, то окружности Кая даннаго тр~-ка проходятъ чрезъ его барицентръ.

61. Теорема. Полюсы сторонъ тр~-ка ABC относительно соотвѣтственныхъ окружностей Кая суть вершины перваго тр~-ка Брокара.

Такъ какъ вершина A_1 перваго тр~-ка Брокара A_1B_1C_1 находится на пересѣченіи параллели Лемуана KA_1 съ медіатрисой стороны BC тр~-ка ABC (VII, 41, фиг. 111), то разстояніе ея отъ этой стороны A'A_1=x=\frac12a\tg\omega, а потому разстояніе ея отъ центра окружности M_1 M_1A_1=A'M_1-A'A_1=\frac a{6\ctg\omega}(\ctg^2\omega-3); поэтому M_1A'\cdot M_1A_1=\frac{a^2}{36}(\ctg^2\omega-3)=R_1'{}^2; слѣдовательно, A_1 и BC суть полюсъ и поляра относительно окружности Кая M_1 (III, 1).

62. По опредѣленію окружности Кая M_1, M_2, M_3 суть геометрическія мѣста соотвѣтственныхъ точекъ D_1, D_2, D_3 подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3, построенныхъ на сторонахъ BC, CA, AB тр~-ка ABC; поэтому общія точка окружностей M_1 и M_2, M_2 и M_3, M_3 и M_1 суть центры подобія фигуръ F_1 и F_2, F_2 и F_3, F_3 и F_1, т. е. вершины C_2, A_2, B_2 второго тр~-ка Брокара тр~-ка ABC (VII, 57). Такимъ образомъ, каждая изъ окружностей Кая даннаго тр~-ка проходитъ чрезъ двѣ вершины второго тр~-ка Брокара.

63. Треугольники Жергона (Gergonne). Тр~-къ \alpha\beta\gamma, вершины котораго суть точки касанія сторонъ тр~-ка ABC и вписанной въ него окружности I, называется тр~-мъ Жергона.

Тр~-ки \alpha_1\beta_1\gamma_1, \alpha_2\beta_2\gamma_2, \alpha_3\beta_3\gamma_3, вершины которыхъ суть точки касанія сторонъ тр~-ка ABC и внѣвписанныхъ въ него окружностей I_1, I_2, I_3, будемъ называть внѣшними тр~-ми Жергона.

Тр~-къ Жергона \alpha\beta\gamma и основной тр~-къ ABC гомологичны относительно точки Жергона послѣдняго T (I, 17).

Внѣшніе тр~-ки Жергона \alpha_1\beta_1\gamma_1, \alpha_2\beta_2\gamma_2, \alpha_3\beta_3\gamma_3 гомологичны съ тр~-мъ ABC относительно его добавочныхъ точекъ Жергона T_1, T_2, T_3.

Очевидно, что тр~-ки Жергона \alpha\beta\gamma, \alpha_1\beta_1\gamma_1, \alpha_2\beta_2\gamma_2, \alpha_3\beta_3\gamma_3 тр~-ка ABC суть подарные тр~-ки центровъ I, I_1, I_2, I_3 вписанной и внѣвписанныхъ окружностей.

Вписанная окружность I и внѣвписанныя окружности I_1, I_2, I_3 тр~-ка ABC суть окружности, описанныя около тр~-въ Жергона \alpha\beta\gamma, \alpha_1\beta_1\gamma_1, \alpha_2\beta_2\gamma_2, \alpha_3\beta_3\gamma_3.

64. Стороны тр~-ка ABC антипараллельны противоположнымъ сторонамъ тр~-въ Жергона, ибо ABC есть тангенціальный тр~-къ для \alpha\beta\gamma, \alpha_1\beta_1\gamma_1, \alpha_2\beta_2\gamma_2, \alpha_3\beta_3\gamma_3 (V, 5).

Такъ какъ вершины тр~-ка ABC суть полюсы сторонъ тр~-въ \alpha\beta\gamma, \alpha_1\beta_1\gamma_1, \alpha_2\beta_2\gamma_2, \alpha_3\beta_3\gamma_3 относительно описанныхъ около нихъ окружностей I, I_1, I_2, I_3 (III, 4), то прямыя A\alpha, B\beta, C\gamma, A\alpha_1, B\beta_1,\dots суть симедіаны тр~-въ Жергона. Итакъ:

Симедіаны тр~-въ Жергона суть прямыя, соединяющія ихъ вершины съ противолежащими вершинами основного тр~-ка ABC (VI, 21).

Внѣшнія симедіаны тр~-въ Жергона суть стороны тр~-ка ABC (VI, 11).

Изъ этого слѣдуетъ, что точки Жергона T и T_1, T_2, T_3 тр~-ка ABC суть точки Лемуана тр~-въ Жергона \alpha\beta\gamma и \alpha_1\beta_1\gamma_1, \alpha_2\beta_2\gamma_2, \alpha_3\beta_3\gamma_3.

65. Теорема Адамса (Adams). Шесть точекъ пересѣченія сторонъ тр~-ка ABC съ прямыми, проведенными чрезъ его точку Жергона T параллельно сторонамъ тр~-ка Жергона \alpha\beta\gamma, находятся на одной окружности.

Обозначимъ точки пересѣченія упомянутыхъ прямыхъ со сторонами тр~-ка ABC чрезъ A_1 и A_2, B_1 и B_2, C_1 и C_2 и положимъ, что тѣ~-же прямыя пересѣкаются со сторонами тр~-ка \alpha\beta\gamma въ точкахъ L, L', M, M', N, N' (фиг. 150).

Такъ какъ прямыя \alpha A и BC со сторонами \alpha\beta и \alpha\gamma тр~-ка \alpha\beta\gamma составляютъ гармоническій пучокъ (VI, 13) и прямая LL', какъ діагональ параллелограмма \alpha LTL', дѣлится другою діагональю \alpha T въ точкѣ K пополамъ, то точка пересѣченія прямыхъ BC и LL' безконечно удалена (II, 38), т. е. прямая LL' параллельна BC и потому антипараллельна съ \beta\gamma; по аналогіи прямыя MM' и NN' соотвѣтственно параллельны CA и AB и антипараллельны съ \gamma\alpha и \alpha\beta. А такъ какъ отрѣзки симедіанъ \alpha T, \beta T, \gamma T тр~-ка \alpha\beta\gamma дѣлятся прямыми LL', MM', NN' пополамъ, то (VI, 30) LL'=MM'=NN'; слѣдовательно, точки L, L', M, M', N, N' находятся на одной окружности (V, 6). Но точки A_1, A_2, B_1,\dots гомотетичны съ L, L', M,\dots относительно T, такъ что \frac{TA_1}{TL}=\frac{TA_2}{TL'}=\frac{TB_1}{TM}=\dots=2; значитъ, эти точки также находятся на одной окружности.

Аналогичнымъ способомъ можно убѣдиться, что точки пересѣченія сторонъ тр~-ка ABC съ прямыми, проведенными чрезъ какую-либо изъ добавочныхъ точекъ Жергона параллельно сторонамъ соотвѣтственнаго внѣшняго тр~-ка Жергона, находятся на одной окружности.

66. Окружности Адамса. Окружность A_1A_2B_1\dots, проходящая чрезъ точки пересѣченія сторонъ тр~-ка ABC съ прямыми, проведенными чрезъ его точку Жергона T параллельно сторонамъ тр~-ка Жергона \alpha\beta\gamma (фиг. 150), называется окружностью Адамса (Alasia).

Такъ какъ прямыя LL', MM', NN' суть параллели Лемуана тр~-ка \alpha\beta\gamma, то окружность LL'M\dots есть первая окружность Лемуана этого тр~-ка. Изъ доказательства послѣдней теоремы видно, что окружность Адамса тр~-ка ABC гомотетична съ первою окружностью Лемуана тр~-ка Жергона \alpha\beta\gamma относительно точки Жергона T въ отношеніи 2:1.

Центръ окружности Адамса даннаго тр~-ка совпадаетъ съ центромъ вписаннаго въ него круга; ибо перпендикуляры въ срединахъ \alpha, \beta, \gamma отрѣзковъ A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2 пересѣкаются въ I.

Упражненія.

1. Прямая UU', соединяющая изогоническіе центры тр~-ка ABC, проходитъ чрезъ точку Лемуана K этого тр~-ка (Boutin).

2. Если U, U' и W, W' суть изогоническіе и изодинамическіе центры тр~-ка ABC, то прямыя UW и U'W' параллельны прямой Эйлера (HO) этого тр~-ка (Boutin).

3. При тѣхъ~-же обозначеніяхъ, центры правильныхъ подарныхъ тр~-въ тр~-ка ABC суть средины отрѣзковъ UW и U'W' (Boutin).

4. Разстояніе между изогоническими центрами тр~-ка U и U' есть среднее пропорціональное между отрѣзками UW и U'W', т. е. \overline{UU'}{}^2=UW\cdot U'W' (Boutin).

5. Радіусы окружностей, описанныхъ около тр~-въ BWC, CWA, AWB и BW'C, CW'A, AW'B обратно пропорціональны разстояніямъ AU, BU, CU и AU', BU', CU' (Boutin).

6. Прямыя UW' и U'W пересѣкаются въ центрѣ тяжести тр~-ка ABC (Boutin).

7. Разстояніе UU' между изогоническими центрами тр~-ка ABC дѣлится въ точкѣ Лемуана этого тр~-ка на части, пропорціональныя квадратамъ сторонъ правильныхъ подарныхъ тр~-въ (Boutin).

8. Разстоянія барицентра G тр~-ка ABC отъ его изогоническихъ центровъ U и U' пропорціональны сторонамъ правильныхъ тр~-въ (Boutin).

9. Разстояніе между изогоническими центрами U и U' тр~-ка ABC опредѣляются формулой \overline{UU'}{}^2= \frac{2S(\ctg\omega-9\ctg\phi)}{3(\ctg^2\omega-3)}, гдѣ S --- площадь тр~-ка, \omega --- уголъ Брокара и \tg\phi=\tg A+\tg B+\tg C \eqno\mbox{(Boutin).}

10. При тѣхъ~-же обозначеніяхъ \overline{UW}{}^2=\frac{2S(\ctg\omega-9\ctg\phi)}{3(\ctg\omega+\sqrt3)^2}, \overline{U'W'}{}^2=\frac{2S(\ctg\omega-9\ctg\phi)}{3(\ctg\omega-\sqrt3)^2}, \overline{WU'}{}^2=\frac{8S}{3(\ctg\omega+\sqrt3)}, \overline{W'U}{}^2=\frac{8S}{3(\ctg\omega-\sqrt3)}\eqno\mbox{(Boutin).}

11. Окружности, описанныя около вершинъ тр~-ка ABC радіусами, равными противолежащимъ сторонамъ его, пересѣкаются по двѣ въ точкахъ A', B', C' на окружности, описанной около тр~-ка. Прямыя, соединяющія вершины тр~-ка A, B, C съ точками пересѣченія прямыхъ BC и B'C', CA и C'A', AB и A'B', пересѣкаются на описанной окружности въ точкѣ Штейнера.

12. Окружность, описанная около тр~-ка, пересѣкается съ прямою Лоншана въ изотомически сопряженныхъ точкахъ этого тр~-ка (Long­champs).

13. Прямая Лоншана и прямая Лемуана тр~-ка ABC пересѣкаются со сторонами этого тр~-ка въ точкахъ изотомическихъ (Long­champs).

14. Прямая, соединяющая точки, изотомически сопряженныя съ точками Брокара даннаго тр~-ка, параллельна прямой Лоншана этого тр~-ка (Long­champs).

15. Трилинейный полюсъ прямой Лоншана тр~-ка совпадаетъ съ однимъ изъ центровъ гомологіи этого тр~-ка и перваго тр~-ка Брокара (Long­champs).

16. Если изъ срединъ сторонъ тр~-ка ABC провести касательныя къ соотвѣтственнымъ окружностямъ Нейберга, то точки касанія располагаются по три на двухъ прямыхъ, проходящихъ чрезъ барицентръ тр~-ка.

17. Стороны перваго тр~-ка Брокара чрезъ инверсію относительно окружности, ортогональной съ окружностью Брокара и имѣющей центромъ барицентръ основного тр~-ка, преобразуются въ окружности Кая этого тр~-ка (Casey).

18. Если три окружности, проходящія соотвѣтственно чрезъ вершины A, B, C тр~-ка ABC, пересѣкаются по двѣ въ точкахъ \alpha, \beta, \gamma на сторонахъ этого тр~-ка BC, CA, AB и касаются въ точкѣ M прямыхъ MC, MA, MB, то точка M совпадаетъ съ первымъ изогоническимъ центромъ тр~-ка ABC и съ изодинамическимъ центромъ тр~-ка \alpha\beta\gamma (Man­d­art).

19. Прямыя AN_1, BN_2, CN_3, соединяющія вершины тр~-ка ABC съ центрами окружностей Нейберга, проходящихъ чрезъ эти вершины, пересѣкаются въ точкѣ Тарри (N) тр~-ка ABC; касательныя къ окружностямъ Нейберга въ точкахъ A, B, C пересѣкаются въ точкѣ Штейнера того~-же тр~-ка (Alasia).

20. Радикальныя оси окружностей Нейберга N_1, N_2, N_3 тр~-ка ABC проходятъ чрезъ вершины его антидополнительнаго тр~-ка (Alasia).

21. Радикальный центръ окружностей Нейберга тр~-ка ABC есть антидополнительная точка центра гомологіи D этого тр~-ка и его перваго тр~-ка Брокара (Alasia).

22. Если U и U' суть изогоническіе центры тр~-ка ABC, G --- его барицентръ и O --- центръ описаннаго круга, то \overline{GO}{}^2+\overline{GU}{}^2+\overline{GU'}{}^2=R^2.

ГЛАВА X.

ГЛАВА X.
Гармоническіе четыреугольники и многоугольники.

1. Гармоническіе четыреугольники (quadrilatère harmonique). Вписанный въ кругъ чет~-къ, вершины котораго суть гармоническія точки описанной окружности, называется гармоническимъ четыреугольникомъ (II, 49).

Основныя свойства гармоническихъ чет~-въ были уже доказаны, именно, что:

Произведенія противоположныхъ сторонъ гармоническаго чет~-ка равны половинѣ произведенія его діагоналей (IV, 27).

Каждая діагональ гармоническаго чет~-ка проходитъ чрезъ полюсъ другой его діагонали относительно описанной окружности (IV, 28).

Изъ этого слѣдуетъ, что каждая діагональ гармоническаго чет~-ка есть симедіана двухъ тр~-въ, на которые чет~-къ дѣлится другою діагональю (VI, 21). Благодаря этому, гармоническій чет~-къ, какъ увидимъ, обладаетъ многими свойствами, аналогичными съ свойствами тр~-ка.

2. Теорема. Разстоянія точки пересѣченія діагоналей гармоническаго чет~-ка отъ сторонъ его пропорціональны этимъ сторонамъ.

Обозначимъ чрезъ K точку пересѣченія діагоналей гармоническаго чет~-ка ABCD (фиг. 151) и чрезъ x, y, z, t --- разстоянія этой точки отъ его сторонъ AB, BC, CD, DA. Такъ какъ діагонали BD и AC суть симедіаны тр~-въ ABC и ADC, BAD и BCD, то, положивъ AB=a,\quad BC=b,\quad CD=c,\quad DA=d, получимъ (VI, 22) \frac xa=\frac yb\quad\mbox{и}\quad \frac zc=\frac td, \frac xa=\frac td\quad\mbox{и}\quad \frac yb=\frac zc; слѣдовательно, \frac xa=\frac yb=\frac zc=\frac td, что и тр. док.

3. Изъ этой теоремы видно, что діагонали гармоническаго чет~-ка имѣютъ свойства, аналогичныя со свойствами симедіанъ тр~-ка; поэтому діагонали гармоническаго чет~-ка называются иногда симедіанами этого чет~-ка, а точка пересѣченія ихъ (K) --- центромъ симедіанъ или точкою Лемуана.

Поляра точки Лемуана гармоническаго чет~-ка относительно описанной окружности называется прямою Лемуана этого чет~-ка.

Понятно, что прямая Лемуана гармоническаго чет~-ка проходитъ чрезъ полюсы его діагоналей относительно описанной окружности (III, 6).

4. Окружность Брокара. Окружность, имѣющая діаметромъ разстояніе между центромъ круга (O), описаннаго около гармоническаго чет~-ка, и его точкою Лемуана (K), называется окружностью Брокара этого чет~-ка.

Прямыя, проходящія чрезъ точку Лемуана (K) гармоническаго чет~-ка и параллельныя сторонамъ его, называются параллелями Лемуана.

Параллели Лемуана гармоническаго чет~-ка пересѣкаются съ перпендикулярами изъ центра описаннаго круга на его стороны на окружности Брокара.

Ибо, если перпендикуляръ OA' на сторону AB пересѣкается съ прямою KA_1, параллельною AB, въ точкѣ A_1 (фиг. 152), то \angle KA_1O=90^\circ.

5. Четыреугольники Брокара. Чет~-къ A_1B_1C_1D_1 (фиг. 152), вершины котораго суть точки пересѣченія окружности Брокара гармоническаго чет~-ка съ его параллелями Лемуана (или съ перпендикулярами изъ центра описаннаго круга на стороны), называется первымъ четыреугольникомъ Брокара (Casey).

Кромѣ діагоналей гармоническаго чет~-ка условились называть его симедіанами прямыя, соединяющія точку Лемуана (K) съ точками пересѣченія противоположныхъ сторонъ. При такомъ условіи гармоническій чет~-къ имѣетъ четыре симедіаны.

Чет~-къ A_2B_2C_2D_2 (фиг. 152), вершины котораго суть точки пересѣченія окружности Брокара гармоническаго чет~-ка съ его симедіанами, называется вторымъ четыреугольникомъ Брокара (Casey).

Такъ какъ \angle OA_2K=\angle OB_2K=\angle OC_2K=\angle OD_2K=90^\circ, то вершины второго чет~-ка Брокара суть проэкціи центра круга (O), описаннаго около гармоническаго чет~-ка, на его симедіаны. Изъ этого слѣдуетъ, что двѣ вершины второго чет~-ка Брокара, находящіяся на діагоналяхъ гармоническаго чет~-ка, суть средины этихъ діагоналей.

6. Уголъ Брокара. Такъ какъ проэкціи A', B', C', D' центра круга (O), описаннаго около чет~-ка на его стороны суть средины этихъ сторонъ, то тр~-ки AA_1B, BB_1C, CC_1D, DD_1A (фиг. 152) равнобедренные. Высоты этихъ тр~-въ равны разстояніямъ точки Лемуана K отъ сторонъ чет~-ка, т. е. A_1A'=x,\quad B_1B'=y,\quad C_1C'=z,\quad D_1D'=t; поэтому (2) \frac{A_1A'}{AB}=\frac{B_1B'}{BC}=\frac{C_1C'}{CD}=\frac{D_1D'}{DA}; слѣдовательно, тр~-ки AA_1B, BB_1C, CC_1D, DD_1A подобны и \angle A_1AB=\angle A_1BA=\angle B_1BC=\angle B_1CB== \angle C_1CD=\angle C_1DC=\angle D_1DA=\angle D_1AD; обозначивъ чрезъ \omega величину каждаго изъ этихъ угловъ, получимъ: \tg\omega=\frac{A_1A'}{AA'}=\frac x{\frac12a}=\frac y{\frac12b}=\frac z{\frac12c}=\frac t{\frac 12d}, гдѣ a, b, c, d суть стороны чет~-ка AB, BC, CD, DA.

Уголъ \omega, опредѣляющійся равенствомъ \frac12\tg\omega=\frac xa~~\left(=\frac yb=\frac zc=\frac td\right), называется угломъ Брокара гармоническаго чет~-ка.

7. Теорема. Гармоническій чет~-къ и его первый чет~-къ Брокара гомологичны.

Дѣйствительно, если обозначить чрезъ \Om точку пересѣченія прямыхъ BA_1 и CB_1 (фиг. 152), то \angle \Om B_1O=\angle CB_1B'=\angle BA_1A'=180^\circ-\angle \Om A_1O, а потому въ чет~-кѣ OA_1\Om B_1 \angle A_1OB_1+\angle A_1\Om B_1=180^\circ; значитъ, точка \Om находится на окружности Брокара OA_1B_1.

По аналогіи точка пересѣченія прямыхъ CB_1 и DC_1 также должна быть на окружности Брокара, слѣдовательно, DC_1 проходитъ чрезъ точку \Om и т. д. Такимъ образомъ, прямыя BA_1, CB_1, DC_1 и AD_1 пересѣкаются въ одной точкѣ \Om на окружности Брокара, что и тр. док.

Подобнымъ~-же образомъ можно убѣдиться, что прямыя AA_1, BB_1, CC_1, DD_1 также пересѣкаются въ одной точкѣ \Om' на окружности Брокара.

Итакъ, гармоническій чет~-къ и его первый чет~-къ Брокара имѣютъ два центра гомологіи на окружности Брокара.

8. Точки Брокара. Центры гомологіи \Om и \Om' гармоническаго чет~-ка и его перваго чет~-ка Брокара называются точками Брокара гармоническаго чет~-ка.

Изъ предыдущаго видно, что точки Брокара \Om и \Om' гармоническаго чет~-ка находятся на окружности Брокара этого чет~-ка.

Такъ какъ (фиг. 152) \angle A_1BA=\angle\Om BA=\angle B_1CB=\angle\Om CB=\dots=\omega и \angle A_1AB=\angle\Om'AB=\angle B_1BC=\angle\Om'BC=\dots=\omega, гдѣ \omega --- уголъ Брокара, то \angle KO\Om=\angle KA_1\Om=\angle A_1BA=\omega и \angle KO\Om'=\angle KA_1\Om'=\angle A_1AB=\omega; слѣдовательно, прямая \Om\Om', соединяющая точки Брокара гармоническаго чет~-ка, перпендикулярна къ прямой KO, соединяющей точку Лемуана этого чет~-ка съ центромъ описаннаго круга.

9. Теорема. Точки пересѣченія сторонъ гармоническаго чет~-ка съ параллелями Лемуана расположены на одной окружности.

Обозначимъ чрезъ a и a' точки пересѣченія прямыхъ KA_1 и KD_1 со сторонами чет~-ка AD и AB; чрезъ b и b' --- точки пересѣченія прямыхъ KB_1 и KA_1 со сторонами AB и BC того~-же чет~-ка (фиг. 153).

Такъ какъ чет~-ки KaAa' и KbBb' --- параллелограммы, то діагонали ихъ aa' и bb' дѣлятся пополамъ прямыми KA и KB въ точкахъ \alpha и \beta; но AK и BK суть симедіаны тр~-въ BAD и ABC (1); поэтому (VI, 12) прямыя aa' и bb' антипараллельны съ BC и AC относительно угловъ BAD и ABC и параллельны касательнымъ AT и BT къ окружности, описанной около чет~-ка; слѣдовательно, \angle Aa'a=\angle Bb'b\quad\mbox{и}\quad aa'=bb'.

Соединивъ точки \alpha и \beta съ центромъ O' окружности Брокара и замѣтивъ, что прямая O'\alpha параллельна OA, заключаемъ, что O'\alpha=\frac12R, гдѣ R --- радіусъ круга, описаннаго около чет~-ка ABCD; по аналогіи и O'\beta=\frac12R; но O'\alpha и O'\beta суть высоты равнобедренныхъ тр~-въ aO'a' и bO'b'; значитъ, эти тр~-ки равны и O'a=O'a'=O'b=O'b'=\dots; слѣдовательно, точки a, a', b, b',\dots находятся на одной окружности, описанной около точки O'.

10. Прямыя, проходящія чрезъ точку Лемуана (K) гармоническаго чет~-ка и антипараллельныя его діагоналямъ относительно каждаго изъ угловъ, называются антипараллелями Лемуана этого чет~-ка.

Антипараллели Лемуана гармоническаго чет~-ка параллельны соотвѣтственнымъ касательнымъ въ вершинахъ его къ описанной окружности (V, 4).

Теорема. Точки пересѣченія сторонъ гармоническаго чет~-ка съ антипараллелями Лемуана находятся на одной окружности.

Положимъ, что антипараллель Лемуана гармоническаго чет~-ка ABCD, параллельная касательной къ описанному кругу въ вершинѣ A, пересѣкается со сторонами AD и AB въ точкахъ a и a' (фиг. 154). Такъ какъ прямая aa' дѣлится пополамъ симедіаной AK тр~-ка BAD (VI, 12), то Ka=Ka'. Подобнымъ~-же образомъ, если другія антипараллели Лемуана пересѣкаются съ его сторонами въ b и b', c и c', d и d', то Kb=Kb', Kc=Kc', Kd=Kd'. Но Ka'=Kb, ибо тр~-къ A'Kb подобенъ равнобедренному тр~-ку ATB; поэтому Ka=Ka'=Kb=Kb'=Kc=Kc'=Kd=Kd', т. е. точки a, a', b, b', c, c', d, d' находятся на одной окружности, описанной около точки K.

Изъ тѣхъ~-же равенствъ слѣдуетъ, что антипараллели Лемуана гармоническаго чет~-ка, ограниченные его сторонами, равны.

11. Окружность Лемуана. Окружность, проходящая чрезъ точки пересѣченія сторонъ гармоническаго чет~-ка съ параллелями Лемуана, называется первою окружностью Лемуана этого чет~-ка.

Первая окружность Лемуана гармоническаго чет~-ка концентрична съ окружностью Брокара этого чет~-ка (9).

Окружность, проходящая чрезъ точки пересѣченія сторонъ гармоническаго чет~-ка съ антипараллелями Лемуана, называется второю окружностью Лемуана этого чет~-ка.

Изъ доказательства послѣдней теоремы видно, что центръ второй окружности Лемуана гармоническаго чет~-ка совпадаетъ съ его точкою Лемуана, т. е. съ пересѣченіемъ его діагоналей.

12. Теорема. Точки пересѣченія сторонъ гармоническаго чет~-ка съ сторонами гомотетичнаго съ нимъ чет~-ка относительно точки Лемуана находятся на одной окружности.

Построимъ чет~-къ A_1B_1C_1D_1, гомотетичный съ гармоническимъ чет~-мъ ABCD относительно его точки Лемуана K, и обозначимъ точки пересѣченія сторонъ этихъ чет~-въ чрезъ a, a', b, b',\dots (фиг. 155). Такъ какъ прямыя aa' и bb', какъ діагонали параллелограммовъ AaA_1a', BbB_1b' дѣлятся симедіанами AK и BK пополамъ, то онѣ параллельны касательнымъ въ A и B къ окружности, описанной около чет~-ка ABCD; поэтому \angle Aa'a=\angle Bbb'\quad\mbox{и}\quad aa'=bb'.

Обозначивъ средины прямыхъ aa' и bb' чрезъ \alpha и \beta и замѣтивъ, что по построенію \frac{KA_1}{KA}=\frac{KB_1}{KB}=\dots, получимъ: \frac{KA-KA_1}{KA}=\frac{KB-KB_1}{KB}{,}\quad\mbox{или}\quad \frac{A_1A}{KA}=\frac{B_1B}{KB}; но A_1A=2\alpha A\quad \mbox{и}\quad B_1B=2\beta B; слѣдовательно, \frac{\alpha A}{KA}=\frac{\beta B}{KB}; отсюда \frac{KA-\alpha A}{KA}=\frac{KB-\beta B}{KB}{,}\quad\mbox{или} \quad \frac{K\alpha}{KA}=\frac{K\beta}{KB}; изъ этого слѣдуетъ, что прямыя, проведенныя чрезъ \alpha и \beta параллельно OA и OB, пересѣкаются съ KO въ одной точкѣ O_1, такъ что \frac{KO_1}{KO}=\frac{O_1\alpha} {OA}=\frac{O_1\beta}{OB}; значитъ, O_1\alpha=O_1\beta и равнобедренные тр~-ки O_1aa' и O_1bb', для которыхъ O_1\alpha и O_1\beta служатъ высотами, равны. Такимъ образомъ, O_1a=O_1a'=O_1b=O_1b'=\dots, т. е. точки a, a', b, b',\dots находятся на одной окружности, описанной около точки O_1.

13. Окружности Тукера. Окружность, проходящая чрезъ точки пересѣченія сторонъ гармоническаго чет~-ка съ сторонами гомотетичнаго съ нимъ чет~-ка относительно точки Лемуана, называется окружностью Тукера этого чет~-ка.

Понятно, что для даннаго гармоническаго чет~-ка можетъ быть безчисленное множество окружностей Тукера.

Центры всѣхъ окружностей Тукера даннаго гармоническаго чет~-ка находятся на прямой KO, соединяющей центръ круга, описаннаго около чет~-ка, съ его точкою Лемуана.

Окружности Лемуана гармоническаго чет~-ка суть частные случаи окружностей Тукера.

14. Такъ какъ въ трапеціяхъ aa'bb', bb'cc',\dots (фиг. 155) по доказанному (12) aa'=bb', bb'=cc',\dots, то ab=a'b',\quad bc=b'c',\quad\dots и \angle Aba=\angle Ba'b',\quad\angle Bcb=\angle Cb'c',\quad\dots.

Изъ этого слѣдуетъ, что чет~-ки abcd и a'b'c'd' равны между собою и подобны чет~-ку ABCD. Такимъ образомъ, точки пересѣченія сторонъ гармоническаго чет~-ка ABCD съ окружностью Тукера суть вершины двухъ равныхъ гармоническихъ чет~-въ, вписанныхъ въ чет~-къ ABCD и подобныхъ ему.

Изъ равенствъ (8) \angle \Om AD=\angle\Om Aa=\angle \Om BA=\angle\Om Bb=\dots==\angle\Om'AB=\angle\Om'Aa'=\angle\Om'BC= \angle\Om'Bb'=\dots не трудно вывести, что точки Брокара \Om и \Om' гармоническаго чет~-ка ABC суть центры подобія (или двойныя точки) этого чет~-ка и вписанныхъ въ него подобныхъ чет~-въ abcd и a'b'c'd' (VII, 4).

15. Сопряженныя окружности чет~-ка. Окружности, имѣющія хордами одну изъ сторонъ чет~-ка и касающіяся другой смежной стороны его, называются сопряженными окружностями этого чет~-ка.

Сопряженная окружность чет~-ка ABCD, имѣющая хордою сторону AB и касающаяся въ B стороны BC, обозначается чрезъ (A,\bar B).

Двѣ сопряженныя окружности чет~-ка, имѣющія хордами двѣ послѣдовательныя стороны его и касающіяся каждая одной изъ этихъ сторонъ въ общей точкѣ ихъ, называются парными сопряженными окружностями. Напр., (A,\bar B) и (C,\bar B) суть парныя сопряженныя окружности чет~-ка ABCD.

16. Пусть \Om и \Om' суть точки Брокара гармоническаго чет~-ка ABCD (фиг. 156). Если описать окружность A\Om B, то, вслѣдствіе равенства угловъ \Om BA и \Om AD (8), окружность эта коснется въ A стороны AD; обратно, окружность, имѣющая хордою сторону AB и касающаяся въ A стороны AD, проходитъ чрезъ точку \Om. Такимъ образомъ, четыре окружности (B,\bar A), (C,\bar B), (D,\bar C), (A,\bar D) пересѣкаются въ \Om. Подобнымъ~-же образомъ, окружности (A,\bar B), (B,\bar C), (C,\bar D) и (D,\bar A) пересѣкаются въ \Om'.

Итакъ, четыре сопряженныя окружности гармоническаго чет~-ка, между которыми нѣтъ парныхъ, пересѣкаются въ одной изъ точекъ Брокара этого чет~-ка.

17. Такъ какъ діагональ AC гармоническаго чет~-ка ABCD (фиг. 156) есть симедіана тр~-въ BAD и BCD, то парныя сопряженныя окружности (D,\bar A) и (B,\bar A), (D,\bar C) и (B,\bar C) проходятъ чрезъ средину AC (VII, 31). Подобнымъ~-же образомъ, парныя сопряженныя окружности (A,\bar B) и (C,\bar B), (A,\bar D) и (C,\bar D) проходятъ чрезъ средину BD. Такимъ образомъ, двѣ пары парныхъ сопряженныхъ окружностей гармоническаго чет~-ка, соотвѣтствующія двумъ противоположнымъ вершинамъ его, пересѣкаются въ срединѣ діагонали чет~-ка, соединяющей эти вершины, т. е. на окружности Брокара (5).

18. Такъ какъ средины діагоналей гармоническаго чет~-ка суть вершины второго чет~-ка Брокара A_2B_2C_2D_2 (фиг. 156), то (VII, 30) эти вершины суть центры подобія подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ чет~-ка, сходящихся у концовъ этой діагонали.

Вообще, вторая точка пересѣченія симедіаны гармоническаго чет~-ка съ его окружностью Брокара есть центръ подобія подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ чет~-ка, чрезъ пересѣченіе которыхъ проходитъ симедіана.

Изъ этого слѣдуетъ, что:

Окружность Брокара и второй чет~-къ Брокара A_2B_2C_2D_2 гармоническаго чет~-ка ABCD суть окружность подобія и чет~-къ подобія подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ чет~-ка ABCD.

Вершины перваго чет~-ка Брокара A_1B_1C_1D_1 гармоническаго чет~-ка ABCD суть постоянныя точки подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ чет~-ка ABCD (ср. VII, 17---20).

19. Было доказано (IV, 29), что вершины гармоническаго чет~-ка чрезъ инверсію въ вершины также гармоническаго чет~-ка, который называютъ преобразованіемъ перваго.

Пусть гармоническій чет~-къ ABCD и описанная около него окружность X преобразуются чрезъ инверсію въ гармоническій чет~-къ A'B'C'D' и описанную около него окружность X'. Обозначивъ чрезъ P начало инверсіи, замѣтимъ, что діагонали AC и BD чет~-ка ABCD преобразуются въ окружности PA'C' и PB'D' (IV, 8), точка пересѣченія которыхъ K' будетъ преобразованіемъ точки Лемуана K чет~-ка ABCD и потому будетъ находиться на прямой PK. Но прямыя PK', A'C' и B'D' суть радикальныя оси окружностей PA'C', PB'D' и X'; слѣдовательно (III, 34), прямыя A'C' и B'D' пересѣкаются на прямой PK', т. е. точка Лемуана K_1 чет~-ка A'B'C'D' находится на прямой, соединяющей начало инверсіи P съ точкою Лемуана K чет~-ка ABCD.

20. Гармоническіе многоугольники (polygones harmoni­ques). Вписанный въ кругъ мног~-къ, въ плоскости котораго есть точка, разстоянія которой отъ сторонъ мног~-ка пропорціональны этимъ сторонамъ, называютъ гармоническимъ мног~-мъ.

Подобно гармоническимъ чет~-мъ гармоническіе мног~-ки имѣютъ много свойствъ, аналогичныхъ съ свойствами тр~-ка; поэтому точка, разстоянія которой отъ сторонъ гармоническаго мног~-ка пропорціональны этимъ сторонамъ, называется точкою Лемуана или центромъ симедіанъ гармоническаго мног~-ка и обозначается буквою K, а прямыя, соединяющія эту точку съ вершинами мног~-ка, называются его симедіанами.

Окружность, имѣющая діаметромъ разстояніе KO между точкою Лемуана гармоническаго мног~-ка и центромъ описаннаго круга, называется окружностью Брокара этого мног~-ка.

Очевидно, что всякій правильный мног~-къ есть мног~-къ гармоническій, точка Лемуана котораго совпадаетъ съ центромъ описаннаго круга.

21. Теорема. Правильный мног~-къ чрезъ инверсію преобразуется въ гармоническій мног~-къ.

Обозначимъ чрезъ O_0 центръ окружности X_0, описанной около правильнаго мног~-ка A_0B_0C_0\dots (фиг. 157).

Примемъ произвольную точку P за начало инверсіи и положимъ, что точка O_0 преобразуется въ O_1, такъ что PO_0\cdot PO_1=k^2, гдѣ k^2 --- степень инверсіи. Окружность X_0, вообще не проходящая чрезъ начало P, преобразуется въ гомотетичную съ ней окружность X (IV, 10). Вершины мног~-ка A_0B_0C_0\dots и діаметрально противоположныя имъ точки A_0', B_0', C_0',\dots [при четномъ числѣ сторонъ мног~-ка A_0B_0C_0\dots точки A_0', B_0', C_0',\dots суть также вершины этого мног~-ка] преобразуются въ точки A, B, C,\dots и A', B', C',\dots на окружности X. Діаметры A_0A_0', B_0B_0',\dots преобразуются въ окружности Y_1, Y_2,\dots, проходящія чрезъ чрезъ начало инверсіи P и точку O_1 (IV, 8); эти окружности составляютъ пучокъ съ общею радикальною осью PO_1 и пересѣкаются съ окружностью X въ точкахъ A и A', B и B',\dots, такъ что прямыя AA', BB',\dots суть радикальныя оси окружности X и каждой изъ окружностей Y_1, Y_2,\dots; поэтому эти прямыя пересѣкаются съ PO_1 въ одной точкѣ K (III, 34).

Обозначимъ разстоянія точки K отъ прямыхъ AB, BC, CD,\dots чрезъ x, y, z,\dots. Очевидно, что A_0B_0\cdot C_0B_0'=B_0C_0\cdot A_0B_0'; слѣдовательно (IV, 27), чет~-къ A_0B_0C_0B_0' гармоническій, а потому (IV, 29) чет~-къ ABCB' также гармоническій и діагональ его BB' есть симедіана тр~-ка ABC (1); поэтому (VI, 14) \frac x{AB}=\frac y{CD}; подобнымъ~-же образомъ изъ чет~-ка BCDC' находимъ, что \frac y{BC}=\frac z{CD}, и т. д.; слѣдовательно, \frac x{AB}=\frac y{BC}=\frac z{CD}=\dots, т. е. мног~-къ ABCD\dots гармоническій и точка K --- его точка Лемуана.

Легко убѣдиться, что звѣздчатые мног~-ки, сторонами которыхъ служатъ хорды AC, BD,\dots или AD, BE,\dots суть также гармоническіе мног~-ки, имѣющіе ту~-же точку Лемуана K.

22. Если степень инверсіи (k^2) равна степени начала P относительно окружности X_0, то правильный мног~-къ преобразуется въ гармоническій мног~-къ, вписанный въ ту~-же окружность (VI, 15); въ этомъ случаѣ данный правильный мног~-къ и полученный гармоническій мног~-къ суть мног~-ки конциклическіе.

Форма (т. е. величина сторонъ и угловъ) гармоническаго мног~-ка и положеніе его точки Лемуана зависятъ отъ положенія начала инверсіи относительно правильнаго мног~-ка; поэтому при обратной задачѣ, т. е. при обращеніи даннаго гармоническаго мног~-ка въ правильный, началомъ инверсіи можетъ быть только точка, выбранная сообразно съ условіями задачи на основаніи слѣдующей теоремы.

23. Теорема. Каждая изъ предѣльныхъ точекъ окружности, описанной около гармоническаго мног~-ка и окружности Брокара, есть начало инверсіи при преобразованіи этого мног~-ка въ правильный конциклическій мног~-къ.

Обозначимъ чрезъ AB одну изъ сторонъ гармоническаго мног~-ка, вписаннаго въ кругъ X, чрезъ O --- центръ этого круга, чрезъ K --- точку Лемуана мног~-ка и чрезъ Z --- его окружность Брокара (фиг. 158). Построимъ предѣльныя точки S и S' окружностей X и Z (III, 59) и одну изъ нихъ, напр. S, примемъ за начало инверсіи. Если степень инверсіи k^2=\overline{SO}{}^2-R^2, гдѣ R --- радіусъ круга X, то точки A и B преобразуются въ конциклическія точки A_0 и B_0 (IV, 15). Докажемъ, что A_0B_0 есть сторона правильнаго мног~-ка, вписаннаго въ кругъ X. Пусть P есть пересѣченіе прямыхъ AB и A_0B_0, L и L' --- точки пересѣченія этихъ прямыхъ съ KO и M, M_1 --- точки пересѣченія прямой KO съ окружностью X. Поляра точки S относительно круга X должна проходить чрезъ точки P (III, 10) и S' (III, 62); слѣдовательно, она совпадаетъ съ прямою PS' и отрѣзокъ SS' дѣлится гармонически въ точкахъ L и L', M и M', K и O (III, 3); поэтому (II, 40) \frac2{SS'}=\frac1{SL}+\frac1{SL'}=\frac1 {SK}+\frac1{SO}; отсюда \frac1{SL}-\frac1{SK}=\frac1{SO}- \frac1{SL'}, или \frac{SK-SL}{SL\cdot SK}=\frac{SL'-SO}{SO\cdot SL'}, т. е. \frac{LK}{SL\cdot SK}=\frac{OL'}{SO\cdot SL'}, откуда \frac{KL}{SL}:\frac{OL'}{SL'}=\frac{SK}{SO}.

Такимъ образомъ, обозначивъ чрезъ x и x_0 разстоянія точекъ K и O отъ прямыхъ AB и A_0B_0 и чрезъ (S,AB) и (S,A_0B_0) разстоянія точки S отъ тѣхъ~-же прямыхъ, изъ равенствъ \frac x{(S,AB)}=\frac{KL}{SL}\quad\mbox{и}\quad \frac{x_0}{(S,A_0B_0)}=\frac{OL'}{SL'} получимъ: \frac x{(S,AB)}:\frac{x_0}{(S,A_0B_0)}=\frac{KL}{SL}:\frac{OL'}{SL'}=\frac {SK}{SO}; но изъ подобія тр~-въ SAB и SA_0B_0 слѣдуетъ, что \frac{(S,AB)}{(S_0,A_0B_0)}=\frac{AB}{A_0B_0}; поэтому \frac x{AB}:\frac{x_0}{A_0B_0}=\frac{SK}{SO}.

Если другая сторона BC гармоническаго мног~-ка преобразуется въ B_0C_0, то, обозначивъ разстоянія этихъ сторонъ отъ точекъ K и O чрезъ y и y_0, по аналогіи можемъ написать: \frac y{BC}:\frac{y_0}{B_0C_0}=\frac{SK}{SO}.

Изъ послѣднихъ двухъ равенствъ слѣдуетъ, что \frac x{AB}:\frac{x_0}{A_0B_0}=\frac y{BC}:\frac{y_0}{B_0C_0}; но \frac x{AB}=\frac y{BC}; значитъ, \frac{x_0}{A_0B_0}=\frac{y_0}{B_0C_0}.

Такъ какъ числитель и знаменатель второй изъ этихъ дробей, по геометрическому значенію ихъ, не могутъ одновременно быть ни больше, ни меньше числителя и знаменателя первой, то равенство это возможно только при x_0=y_0\quad\mbox{и}\quad A_0B_0=B_0C_0; слѣдовательно, мног~-къ A_0B_0C_0\dots правильный.

Такимъ~-же образомъ можно убѣдиться, что гармоническій мног~-къ преобразуется также въ правильный конциклическій мног~-къ, если за начало инверсіи принять точку S'.

24. Доказанная теорема обнаруживаетъ, что данный правильный мног~-къ можно преобразовать въ конциклическій мног~-къ, имѣющій точку Лемуана въ заданной точкѣ K. Для этого за начало инверсіи должно взять одну изъ предѣльныхъ точекъ окружности (X), описанной около правильнаго мног~-ка, и окружности Брокара (Z) искомаго гармоническаго мног~-ка, которая опредѣляется ея діаметромъ KO. При этомъ положеніе гармоническаго мног~-ка будетъ зависѣть отъ положенія правильнаго мног~-ка относительно центра (O) описаннаго круга (X) и точки K. Изъ этого слѣдуетъ, что въ данную окружность можно вписать безчисленное множество одноименныхъ [т. е. съ однимъ тѣмъ~-же числомъ сторонъ] гармоническихъ мног~-въ съ общею точкою Лемуана (K).

25. Центры инверсіи. Предѣльныя точки (S, S') окружности Брокара гармоническаго мног~-ка и окружности, описанной около него, вслѣдствіе указаннаго свойства ихъ, называютъ центрами инверсіи гармоническаго мног~-ка.

Центры инверсіи гармоническаго мног~-ка суть двойныя точки инволюціи, составленной точками пересѣченія окружности Брокара гармоническаго мног~-ка и окружности, описанной около него, съ линіей центровъ этихъ окружностей (III, 62).

26. Прямая Лемуана. Поляра точки Лемуана гармоническаго мног~-ка относительно описаннаго круга называется прямою Лемуана этого мног~-ка.

Обозначимъ чрезъ Q средину отрѣзка SS' (фиг. 158) и опишемъ около этой точки окружность радіусомъ QS=QS'; такъ какъ эта окружность ортогональна съ окружностями X и Z (III, 66), то, обозначивъ чрезъ F пересѣченіе ея съ окружностью X и чрезъ G проэкцію точки F на прямую QO, изъ прямоугольнаго тр~-ка OFQ получимъ: QO\cdot QG=\overline{QF}{}^2=\overline{QS'}{}^2; но (II, 57) \overline{QS}{}^2=QK\cdot QO; слѣдовательно, QG=QK, т. е. точки G и K совпадаютъ; поэтому изъ того~-же тр~-ка OFQ находимъ, что OK\cdot OQ=\overline{OF}{}^2=R^2, гдѣ R --- радіусъ круга X; слѣдовательно, радикальная ось QQ' окружностей X и Z есть поляра точки K относительно круга X (III, 1).

27. Теорема. Если A, B, C,\dots,E, F суть послѣдовательныя вершины гармоническаго мног~-ка и K --- его точка Лемуана, то прямыя BF, CE,\dots пересѣкаются въ одной точкѣ, служащей полюсомъ симедіаны AK относительно круга, описаннаго около мног~-ка.

Положимъ, что гармоническій мног~-къ ABC\dots EF получается чрезъ преобразованіе правильнаго мног~-ка A_0B_0C_0\dots E_0F_0 (21). Обозначивъ чрезъ A_0' точку, діаметрально противоположную съ A_0 и чрезъ A' --- преобразованіе точки A_0', замѣтимъ, что чет~-ки B_0A_0F_0A_0', C_0A_0E_0A_0',\dots гармоническіе, а потому чет~-ки BAFA', CAEA',\dots также гармоническіе; слѣдовательно, діагонали этихъ чет~-въ BF, CE,\dots проходятъ чрезъ полюсъ ихъ общей діагонали AA' (1), совпадающей съ симедіаной AK (21).

28. Параллели Лемуана. Прямыя, проходящія чрезъ точку Лемуана (K) гармоническаго мног~-ка и параллельныя сторонамъ его, называются параллелями Лемуана этого мног~-ка.

Параллели Лемуана гармоническаго мног~-ка и перпендикуляры изъ центра описаннаго круга на соотвѣтственныя стороны его пересѣкаются на окружности Брокара.

Ибо, если перпендикуляръ OA' изъ центра круга O, описаннаго около мног~-ка, на его сторону AB пересѣкается съ прямою KA_1, параллельною AB, въ точкѣ A_1 (фиг. 159), то \angle KA_1O=90^\circ.

29. Многоугольники Брокара. Мног~-къ A_1B_1C_1\dots, вершины котораго суть точки пересѣченія окружности Брокара гармоническаго мног~-ка ABC\dots съ его параллелями Лемуана (или съ перпендикулярами изъ центра описаннаго круга на его стороны), называется первымъ мног~-мъ Брокара.

Мног~-къ A_2B_2C_2\dots, вершины котораго суть точки пересѣченія окружности Брокара гармоническаго мног~-ка ABC\dots съ его симедіанами называется вторымъ мног~-мъ Брокара (Casey).

Вершины второго мног~-ка Брокара гармоническаго мног~-ка суть проэкціи центра описаннаго круга на симедіаны этого мног~-ка. Ибо, напр. \angle OA_2K=90^\circ (фиг. 159).

Изъ способа преобразованія правильнаго мног~-ка въ гармоническій (21) слѣдуетъ, что симедіаны гармоническаго мног~-ка съ нечетнымъ числомъ сторонъ не совпадаютъ съ его діагоналями; поэтому число симедіанъ гармоническаго мног~-ка съ нечетнымъ числомъ сторонъ равно числу его вершинъ или сторонъ.

Симедіаны~-же гармоническаго мног~-ка съ четнымъ числомъ сторонъ суть его діагонали, соединяющія противоположныя вершины; поэтому число ихъ вдвое меньше числа вершинъ или сторонъ мног~-ка. Въ этомъ случаѣ симедіанами гармоническаго мног~-ка называютъ также прямыя, соединяющія его точку Лемуана (K) съ точками пересѣченія противоположныхъ сторонъ (5).

30. Уголъ Брокара. Такъ какъ въ равнобедренныхъ тр~-хъ AA_1B, BB_1C, CC_1D,\dots (фиг. 159) A_1A'=x,\quad B_1B'=y,\quad C_1C'=z,\quad\dots, гдѣ x, y, z,\dots суть разстоянія точки Лемуана K отъ сторонъ мног~-ка AB, BC, CD,\dots, то \frac{A_1A'}{AB}=\frac{B_1B'}{BC}=\frac{C_1C'}{CD}=\dots; слѣдовательно, эти тр~-ки подобны и \angle A_1AB=\angle A_1BA=\angle B_1BC=\angle B_1CB=\dots.

Обозначивъ чрезъ \omega величину каждаго изъ этихъ угловъ, получимъ: \tg\omega=\frac x{\frac12a}=\frac y{\frac12b}=\frac z{\frac12c}=\dots, гдѣ a, b, c,\dots суть стороны мног~-ка AB, BC, CD,\dots.

Уголъ \omega, опредѣляющійся равенствомъ \frac12\tg\omega=\frac xa~~\left(=\frac yb=\frac zc=\dots\right), называется угломъ Брокара гармоническаго мног~-ка.

31. Теорема. Гармоническій мног~-къ гомологиченъ съ своимъ первымъ мног~-мъ Брокара.

Ибо, если прямыя AA_1 и BB_1 пересѣкаются въ точкѣ \Om, то изъ подобія равнобедренныхъ тр~-въ AA_1B, BB_1C слѣдуетъ, что (фиг. 159) \angle OA_1\Om=\angle AA_1A'=\angle BB_1B'=\angle OB_1\Om, т. е. что точка \Om находится на окружности Брокара. По аналогіи точка пересѣченія прямыхъ BB_1 и CC_1 должна быть также на окружности Брокара; поэтому прямая CC_1 проходитъ чрезъ \Om, и т. д. Слѣдовательно, прямыя AA_1, BB_1, CC_1,\dots пересѣкаются въ одной точкѣ \Om на окружности Брокара.

Не трудно убѣдиться, что прямыя BA_1, CB_1, DC_1 также пересѣкаются въ одной точкѣ \Om' на окружности Брокара.

Итакъ, гармоническій мног~-къ и его первый мног~-къ Брокара имѣютъ два центра гомологіи \Om и \Om' на окружности Брокара.

32. Точки Брокара. Центры гомологіи \Om и \Om' гармоническаго мног~-ка и его перваго мног~-ка Брокара называются точками Брокара гармоническаго мног~-ка.

Изъ предыдущаго видно, что точки Брокара гармоническаго мног~-ка находятся на окружности Брокара этого мног~-ка.

Прямыя, соединяющія точки Брокара гармоническаго мног~-ка съ его вершинами, образуютъ со сторонами его углы, равные углу Брокара \Om.

Прямая \Om\Om', соединяющая точки Брокара гармоническаго мног~-ка, перпендикулярна къ прямой KO, соединяющей его точку Лемуана съ центромъ описаннаго круга; ибо \angle KO\Om=\angle KA_1\Om=\angle BA\Om=\omega и \angle KO\Om'=\angle KC_1\Om'=\angle CD\Om'=\omega.

33. Сопряженныя окружности. Окружности, имѣющія хордами одну изъ сторонъ гармоническаго мног~-ка и касающіяся другой смежной стороны его, называются сопряженными окружностями этого мног~-ка.

Двѣ сопряженныя окружности гармоническаго мног~-ка, имѣющія хордами двѣ послѣдовательныя стороны его и касающіяся одной изъ этихъ сторонъ въ общей точкѣ ихъ, называются парными сопряженными окружностями.

Сопряженныя окружности гармоническаго мног~-ка обозначаются такъ~-же, какъ сопряженныя окружности тр~-ка и гармоническаго чет~-ка (15).

Всѣ сопряженныя окружности гармоническаго мног~-ка, между которыми нѣтъ парныхъ, пересѣкаются въ одной изъ точек Брокара этого мног~-ка (16).

34. Парныя сопряженныя окружности гармоническаго мног~-ка, проходящія чрезъ вершину его A, пересѣкаются на срединѣ симедіаны AK, продолженной до пересѣченія съ описанной окружностью. Поэтому точки пересѣченія парныхъ сопряженныхъ окружностей гармоническаго мног~-ка суть вершины второго мног~-ка Брокара. Слѣдовательно:

Вершины второго мног~-ка Брокара, находящіяся на его симедіанахъ, выходящихъ изъ вершинъ мног~-ка (AK, BK,\dots) суть двойныя точки, или центры подобія подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ мног~-ка.

Окружность Брокара гармоническаго мног~-ка есть окружность подобія этого мног~-ка, а вершины перваго мног~-ка Брокара суть его постоянныя точки.

35. Уголъ Брокара \omega гармоническаго мног~-ка находится въ зависимости отъ разстоянія точки Лемуана этого мног~-ка отъ центра описаннаго круга, т. е. отъ діаметра KO круга Брокара. Чтобы вывести эту зависимость, обратимся къ фиг. 158 и, удерживая прежнія обозначенія (23), обозначимъ чрезъ n число сторонъ правильнаго мног~-ка A_0B_0C_0\dots и конциклическаго гармоническаго мног~-ка ABC\dots, чрезъ R --- радіусъ круга X, описаннаго около этихъ мног~-въ, и чрезъ \delta=KO --- діаметръ круга Брокара Z.

Такъ какъ \tg\omega=\frac x{\frac12a}\quad\mbox{и}\quad \ctg\frac{180^\circ}n=\frac{x_0}{\frac12A_0B_0}, то (23) \tg\omega:\ctg\frac{180^\circ}n=\frac x{AB}:\frac{x_0}{A_0B_0}= \frac{SK}{SO}.

Но отрѣзокъ SS' дѣлится гармонически въ точкахъ K и O, M и M', L и L'; поэтому \frac{SK}{SO}=\frac{KS'}{S'O}\quad\mbox{и}\quad SO\cdot S'O=R^2; отсюда \left(\frac{SK}{SO}\right)^2=\frac{SK\cdot KS'}{SO\cdot S'O}=\frac{SK\cdot S'K}{R^2}.

Изъ прямоугольныхъ~-же тр~-въ SFS' и MFM' находимъ, что SK\cdot S'K=\overline{FK}{}^2=MK\cdot KM'; слѣдовательно, \left(\frac{SK}{SO}\right)^2=\frac{MK\cdot KM'}{R^2}=\frac {(R-\delta)(R+\delta)}{R^2} и \frac{SK}{SO}=\sqrt{1-\frac{\delta^2}{R^2}}.

Такимъ образомъ, \tg\omega:\ctg\frac{180^\circ}n= \sqrt{1-\frac{\delta^2}{R^2}}; отсюда \tg\omega= \sqrt{1-\frac{\delta^2}{R^2}}\ctg\frac{180^\circ}n.

Изъ формулы этой видно, что углы Брокара одноименныхъ конциклическихъ гармоническихъ мног~-въ съ общею точкою Лемуана равны.

36. Такъ какъ \frac\delta R\lt1, то \tg\omega\lt\ctg\frac{180^\circ}n или \tg\omega\lt\tg{\left(90^\circ-\frac{180^\circ}n\right)}; отсюда \omega\lt90^\circ-\frac{180^\circ}n.

Опредѣливъ изъ послѣдняго равенства \delta, получимъ: \delta=R\,\sqrt{1-\tg^2\frac{180^\circ}n\tg^2\omega}.

Изъ этихъ формулъ находимъ, что:

для тр~-ка (n=3) \delta=R\,\sqrt{1-3\tg^2\omega},\quad\omega\lt30^\circ; для гармоническаго чет~-ка (n=4) \delta=R\,\sqrt{1-\tg^2\omega},\quad\omega\lt45^\circ; для гармоническаго шестиугольника (n=6) \delta=R\,\sqrt{1-\frac13\tg^2\omega},\quad\omega\lt60^\circ.

37. Такъ какъ средина Q отрѣзка SS' есть центральная точка окружностей X и Z и предѣльныхъ точекъ ихъ S и S' (фиг. 158), то (III, 24) \overline{QS}{}^2=\overline{QS'}{}^2=QM\cdot QM'=\overline{OQ}{}^2-R^2; но (26) OQ\cdot OK=OQ\cdot \delta=R^2; слѣдовательно, \overline{QS}{}^2=\overline {QS'}{}^2=\frac{R^4}{\delta^2}-R^2=\frac{R^2}{\delta^2}(R^2-\delta^2); отсюда на основаніи равенства (35) \tg\omega\tg\frac{180^\circ}n=\sqrt{1-\frac{\delta^2}{R^2}} находимъ, что QS=QS'=\frac{R^2}\delta\tg\omega\tg\frac{180^\circ}n= OQ\tg\omega\tg\frac{180^\circ}n.

Такимъ образомъ, OS=OQ+QS=OQ\left(1+\tg\omega\tg\frac{180^\circ}n\right) и OS'=OQ-QS'=OQ\left(1-\tg\omega\tg\frac{180^\circ}n\right), откуда \frac{OS}{OS'}=\frac{\cos{\left(\omega-\frac{180^\circ}n\right)}} {\cos{\left(\omega+\frac{180^\circ}n\right)}}; изъ этого равенства и равенства (II, 40) OS\cdot OS'=R^2 находимъ, что OS=R\sqrt{\frac{\cos\left(\omega{-}\frac{180^\circ}n\right)} {\cos\left(\omega{+}\frac{180^\circ}n\right)}};~ OS'=R\sqrt{\frac{\cos\left(\omega+\frac{180^\circ}n\right)} {\cos\left(\omega-\frac{180^\circ}n\right)}}.

38. Теорема. Точки пересѣченія сторонъ гармоническаго мног~-ка и мног~-ка, гомотетичнаго съ нимъ относительно точки Лемуана, находятся на одной окружности.

Обозначимъ чрезъ A'B'C'\dots мног~-къ, гомотетичный съ гармоническимъ мног~-мъ ABC\dots относительно его точки Лемуана K, и положимъ, что стороны этихъ мног~-въ пересѣкаются въ a, a', b, b', c, c',\dots (фиг. 160). Разсуждая такъ~-же, какъ при доказательствѣ аналогичной теоремы для гармоническаго чет~-ка (12), убѣдимся, что точки a, a', b, b', c, c',\dots находятся на одной окружности, имѣющей центръ въ O_1 на діаметрѣ круга Брокара KO.

Мног~-ки abc\dots и a'b'c'\dots равны между собою и подобны мног~-ку ABC\dots; точки Брокара \Om и \Om' мног~-ка ABC\dots суть центры подобія или двойныя точки этого мног~-ка и мног~-въ abc\dots и a'b'c'\dots.

39. При доказательствѣ послѣдней теоремы обнаруживается, что прямыя aa', bb', cc',\dots, параллельны касательнымъ въ вершинахъ мног~-ка A, B, C,\dots къ описанному кругу. Кромѣ того, если обозначить чрезъ \alpha, \beta, \gamma,\dots точки пересѣченія симедіанъ мног~-ка AK, BK, CK,\dots съ прямыми aa', bb', cc',\dots, то оказывается, что \frac{K\alpha}{KA}=\frac{K\beta}{KB}=\frac{K\gamma}{KC}=\dots= \frac{KO_1}{KO}=\frac{O_1\alpha}R, гдѣ R --- радіусъ круга, описаннаго около мног~-ка ABC\dots. Послѣдняя теорема, слѣдовательно, можетъ быть выражена такъ:

Параллели касательнымъ въ вершинахъ гармоническаго мног~-ка къ описанному около него кругу, дѣлящія симедіаны этого мног~-ка на части пропорціональныя, пересѣкаются съ сторонами мног~-ка въ точкахъ конциклическихъ.

Очевидно, что прямыя aa', bb', cc',\dots антипараллельны діагоналямъ мног~-ка BE, CA, DB,\dots относительно сторонъ угловъ A, B, C,\dots (фиг. 160).

Обозначимъ чрезъ O' центръ круга, описаннаго около мног~-ка A'B'C'\dots (фиг. 160). Такъ какъ окружности A'B'C'\dots и ABC\dots гомотетичны относительно K, то O' находится на прямой KO и радіусы этихъ окружностей O'A' и OA параллельны.

Но прямая O_1\alpha также параллельна OA и a\alpha=\alpha a'; слѣдовательно, OO_1=O_1O'.

40. Слѣдствія. Если отношеніе подобія гомотетичныхъ мног~-въ A'B'C'\dots и ABC\dots (фиг. 160) равно нулю, такъ что \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\dots=\frac{O'A'}{OA}=\frac{KO'}{KO}=0, то A'B'=B'C'=\dots=O'A'=KO'=0, т. е. мног~-къ A'B'C'\dots обращается въ точку K, а стороны его дѣлаются параллелями Лемуана мног~-ка (28). Въ этомъ случаѣ послѣдняя теорема формулируется такъ:

Теорема. Точки пересѣченія сторонъ гармоническаго мног~-ка съ его параллелями Лемуана находятся на одной окружности.

Центръ этой окружности O_1 совпадаетъ съ центромъ круга Брокара, ибо точка O' совпадаетъ съ K.

41. Прямыя, проходящія чрезъ точку Лемуана (K) гармоническаго мног~-ка и параллельныя касательнымъ въ его вершинахъ къ описанному кругу, называются антипараллелями Лемуана этого мног~-ка.

Изъ той~-же теоремы (38) при K\alpha=K\beta=\dots=KO_1=0 получается слѣдующая теорема:

Теорема. Точки пересѣченія сторонъ гармоническаго мног~-ка съ антипараллелями Лемуана находятся на одной окружности.

Центръ этой окружности (O_1) совпадаетъ съ точкою Лемуана мног~-ка (K).

42. Окружности Тукера. Окружности, проходящія чрезъ точки пересѣченія сторонъ гармоническаго мног~-ка со сторонами гомотетичныхъ съ нимъ мног~-въ относительно точки Лемуана, называются окружностями Тукера этого мног~-ка.

Центры окружностей Тукера гармоническаго мног~-ка находятся на діаметрѣ KO окружности Брокара этого мног~-ка.

Если O и O' суть центры окружностей, описанной около гармоническаго мног~-ка ABC\dots и около мног~-ка A'B'C'\dots, гомотетичнаго съ нимъ относительно точки Лемуана, то средина O_1 отрѣзка OO' есть центръ окружности Тукера (39).

43. Положимъ, что AB, BC,\dots суть стороны гармоническаго мног~-ка, K --- его точка Лемуана, O и R --- центръ и радіусъ описаннаго круга (фиг. 161). Раздѣлимъ прямую OK въ точкѣ O_1 такъ, что \frac{KO_1}{O_1O}=\frac lm, и обозначимъ чрезъ \alpha, \beta,\dots точки пересѣченія симедіанъ мног~-ка KA, KB,\dots съ прямыми, проведенными чрезъ O_1 параллельно OA, OB,\dots. Прямыя, проходящія чрезъ точки \alpha, \beta,\dots и параллельныя касательнымъ AT, BT',\dots въ вершинахъ мног~-ка ABC\dots къ описанному кругу, пересѣкаются со сторонами этого мног~-ка AB, BC,\dots въ точкахъ a, b,\dots на окружности Тукера, описанной около точки O_1 (39).

Поэтому, обозначивъ радіусъ этой окружности чрезъ R_1, найдемъ, что R_1^2=\overline{O_1a}{}^2=\overline{O_1\alpha}{}^2+ \overline{\alpha a}{}^2.

Но, проведя чрезъ K прямую, параллельную касательной AT, до пересѣченія ея съ AB въ точкѣ a_0, и обозначивъ чрезъ x разстояніе точки K отъ AB, получимъ: \frac x{Ka_0}=\sin \angle Aa_0K=\sin\angle a_0AT=\sin\frac12\angle AOB, или \frac x{Ka_0}=\frac{\frac12AB}{OA}=\frac{AB}{2R}, откуда \frac x{AB}=\frac{Ka_0}{2R}=\frac12\tg\omega и Ka_0=R\tg\omega, гдѣ \omega --- уголъ Брокара гармоническаго мног~-ка ABC\dots. Вслѣдствіе~-же подобія тр~-въ \alpha Aa и Kaa_0, \alpha KO_1 и AKO \frac{\alpha a}{Ka_0}=\frac{\alpha A}{KA}=\frac m{l+m}\quad\mbox{и}\quad \frac{O_1\alpha}R=\frac{KO_1}{KO}=\frac l{l+m}; поэтому \alpha a=Ka_0\,\frac m{l+m}=R\,\frac{m\tg\omega}{l+m}\quad\mbox{и}\quad O_1\alpha=R\,\frac l{l+m}; слѣдовательно, R_1=R\,\frac{\sqrt{l^2+m^2\tg^2\omega}}{l+m}.

44. Обозначимъ чрезъ z отрѣзокъ стороны мног~-ка AB, заключающійся въ той~-же окружности Тукера ab\dots, и чрезъ OL, O_1M, KN --- перпендикуляры изъ O, O_1, K на AB, получимъ \left(\frac z2\right)^2=\overline{aM}{}^2=R_1^2-\overline{O_1M}{}^2; но OL=OA\cos\frac12\angle AOB=R\cos\angle TAB, KN=x=\frac12AB\tg\omega=R\sin\frac12\angle AOB\tg\omega==R\tg\omega\sin\angle TAB\mbox{и}\quad \frac{OL-KN}{OL-O_1M}=\frac{OK}{OO_1}=\frac{l+m}m; слѣдовательно, O_1M=R\,\frac{l\cos\angle TAB+m\sin\angle TAB\tg\omega}{l+m}; подставивъ найденныя выраженія для O_1M и R_1 въ уравненіе, опредѣляющее z, получимъ: z=\pm2R\,\frac{l\sin\angle TAB-m\cos\angle TAB\tg\omega}{l+m}. \left[\vphantom{\frac12}\right.Слѣдуетъ имѣть въ виду, что \angle TAB=\left.\frac12\angle AOB.\right]

45. Обозначимъ чрезъ \frac pq отношеніе подобія гармоническаго мног~-ка ABC\dots и мног~-ка A'B'C'\dots, гомотетичнаго съ нимъ относительно точки Лемуана K, такъ что \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\dots=\frac pq.

Такъ какъ (фиг. 160) \frac{K\alpha}{\alpha A}=\frac{KO_1}{O_1O}=\frac lm, то \frac{K\alpha+\alpha A}{\alpha A}=\frac{l+m}m\quad\mbox{и}\quad\frac{K\alpha-\alpha A'}{\alpha A}=\frac{l-m}m, или \frac{KA}{\alpha A}=\frac{l+m}m\quad\mbox{и} \quad\frac{KA'}{\alpha A}=\frac{l-m}m; отсюда \frac{KA}{KA'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{l+m}{l-m}=\frac pq и \frac lm=\frac{p+q}{p-q}.

Вслѣдствіе этого равенства предыдущія формулы для радіуса R_1 и хорды z окружности Тукера представляются съ слѣдующемъ видѣ: R_1=R\,\frac{\sqrt{(p+q)^2+(p-q)^2\tg^2\omega}}{2p}, z=\pm R\,\frac{(p+q)\sin\angle TAB-(p-q)\cos\angle TAB\tg\omega}p.

Для тр~-ка \angle TAB=C и z=\pm2R\,\frac{l\sin C-m\cos C\tg\omega}{l+m}==R\,\frac{(p+q)\sin C-(p-q)\cos C\tg\omega}p.

46. Если центръ O_1 окружности Тукера совпадаетъ съ точкою пересѣченія прямыхъ KO и \Om\Om' (фиг. 159), то, замѣтивъ, что (32) \Om\Om'=KO\sin2\omega=\delta\sin2\omega и \frac{KO_1}{O_1O}=\frac lm=\tg^2\omega, изъ общихъ формулъ для R_1 и z получимъ: R_1=R\sin\omega, z=2R\sin\omega\cos(\omega+\angle TAB)=2R_1\cos(\omega+\angle TAB).

Для тр~-ка въ этомъ случаѣ z=2R\sin\omega\cos(\omega+C)=2R_1\cos(\omega+C).

47. При совпаденіи центра O_1 окружности Тукера съ центромъ O окружности, описанной около мног~-ка, O_1O=0; поэтому \frac{KO_1}{O_1O}=\frac lm=\infty\quad\mbox{или}\quad \frac ml=0; слѣдовательно, въ этомъ случаѣ R_1=R\quad\mbox{и}\quad z=AB, т. е. окружность Тукера совпадаетъ съ окружностью, описанною около мног~-ка.

48. Окружности Лемуана. Окружность, проходящая чрезъ точки пересѣченія сторонъ гармоническаго мног~-ка съ параллелями Лемуана, называется первою окружностью Лемуана этого мног~-ка.

Первая окружность Лемуана гармоническаго мног~-ка есть окружность Тукера, концентричная съ окружностью Брокара (40).

Радіусъ первой окружности Лемуана R_1' и хорду ея z на сторонѣ мног~-ка AB получимъ изъ общихъ формулъ (43---44), положивъ въ нихъ \frac{KO_1}{O_1O}=\frac lm=1; такимъ образомъ, найдемъ, что R_1'=\frac R{2\cos\omega},~~z=R\,\frac{\sin(\angle TAB{-}\omega)}{\cos\omega}=R_1'\sin(\angle TAB{-}\omega).

Для тр~-ка въ этомъ случаѣ z=R\,\frac{\sin(C-\omega)} {\cos\omega}=2R_1'\sin(C-\omega).

49. Окружность, проходящая чрезъ точки пересѣченія сторонъ гармоническаго мног~-ка съ антипараллелями Лемуана, называется второю окружностью Лемуана этого мног~-ка.

Вторая окружность Лемуана гармоническаго мног~-ка есть окружность Тукера, центръ которой совпадаетъ съ точкою Лемуана (K) мног~-ка (41).

Такъ какъ при совпаденіи точки O_1 съ K \frac{KO_1}{O_1O}=\frac lm=0, то радіусъ R_1'' и хорда z второй окружности Лемуана опредѣляются формулами: R_1''=R\tg\omega, z=2R\tg\omega\cos\angle TAB=2R_1''\cos\angle TAB.

Для тр~-ка z=2R\tg\omega\cos C=2R_1''\cos C.

50. Связанныя фигуры (figures associés, Casey). Если какую-нибудь точку X окружности Z соединить съ произвольно выбранными точками той~-же окружности, I_1, I_2, I_3,\dots,I_n (фиг. 162) и на прямыхъ XI_1, XI_2, XI_3,\dots,XI_n отложить произвольной величины отрѣзки I_1A_1, I_2A_2, I_3A_3,\dots,I_nA_n, то подобныя и сходственно расположенныя фигуры F_1, F_2, F_3,\dots,F_n, построенныя на этихъ отрѣзкахъ, называются связанными фигурами.

Соотвѣтственныя точки I_1, I_2, I_3,\dots,I_n связанныхъ фигуръ, находящіяся на окружности Z, называются постоянными точками этихъ фигуръ (points in­vari­ables).

Окружность Z, проходящая чрезъ постоянныя точки связанныхъ фигуръ, называется окружностью подобія этихъ фигуръ.

51. Теорема. Центры подобія связанныхъ фигуръ находятся на ихъ окружности подобія.

Обозначимъ чрезъ F_1 и F_2 двѣ связанныя фигуры, напр., подобные тр~-ки, построенные на отрѣзкахъ I_1A_1 и I_2A_2 (фиг. 162). Такъ какъ I_1 и I_2, A_1 и A_2 суть соотвѣтственныя точки этихъ фигуръ, то центръ подобія ихъ есть точка пересѣченія окружности Z съ окружностью A_1XA_2 (VII, 9). Такимъ образомъ, центры подобія каждой пары связанныхъ фигуръ находятся на окружности Z, что и тр. док.

52. Теорема. Фигура, вершины которой суть соотвѣтственныя точки связанныхъ фигуръ, гомологична съ фигурой, вершины которой суть постоянныя точки этихъ фигуръ.

Пусть M_1, M_2, M_3,\dots суть соотвѣтственныя точки связанныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3,\dots, построенныхъ на отрѣзкахъ I_1A_1, I_2A_2, I_3A_3 (фиг. 162). Обозначимъ чрезъ Y точку пересѣченія прямыхъ M_1I_1 и M_2I_2. Такъ какъ A_1I_1 и A_2I_2, M_1I_1 и M_2I_2 суть двѣ пары соотвѣтственныхъ прямыхъ фигуръ F_1 и F_2, то (VII, 2) \angle A_1XA_2=\angle M_1YM_2\quad \mbox{или}\quad \angle I_1XI_2=\angle I_1YI_2; слѣдовательно, точка Y находится на окружности подобія Z. Такимъ образомъ, прямая M_2I_2 проходитъ чрезъ точку пересѣченія окружности Z съ прямою M_1I_1, а потому чрезъ эту точку проходятъ и прямыя M_3I_3, M_4I_4,\dots, что и тр. док.

Слѣдствіе. Соотвѣтственныя прямыя (M_1I_1, M_2I_2, M_3I_3,\dots) связанныхъ фигуръ, проходящія чрезъ постоянныя точки (I_1, I_2, I_3,\dots), пересѣкаются въ одной точкѣ на окружности подобія.

53. Теорема. Точки пересѣченія соотвѣтственныхъ прямыхъ связанныхъ фигуръ гомологичны съ центрами подобія этихъ фигуръ.

Обозначимъ соотвѣтственныя прямыя связанныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3,\dots, напр., прямыя M_1A_1, M_2A_2, M_3A_3,\dots (фиг. 162), чрезъ L_1, L_2, L_3,\dots. Чрезъ постоянныя точки I_1, I_2, I_3,\dots проведемъ прямыя, параллельныя L_1, L_2, L_3,\dots, которыя, какъ соотвѣтственныя прямыя фигуръ F_1, F_2, F_3,\dots, пересѣкаются въ нѣкоторой одной точкѣ K на окружности подобія (52). Разстоянія точки K отъ прямыхъ L_1, L_2, L_3,\dots равны разстояніямъ точекъ I_1, I_2, I_3,\dots отъ этихъ прямыхъ и потому пропорціональны разстояніямъ этихъ прямыхъ отъ центровъ подобія S_{1,2}, S_{2,3},\dots фигуръ F_1 и F_2, F_2 и F_3,\dots (VII, 4). Изъ этого слѣдуетъ, что прямая S_{1,2}K проходитъ чрезъ пересѣченіе прямыхъ L_1 и L_2, прямая S_{2,3}K проходитъ чрезъ пересѣченіе прямыхъ L_2 и L_3 и т. д.; другими словами, прямыя, соединяющія точки пересѣченія прямыхъ L_1 и L_2, L_2 и L_3,\dots, съ точками S_{1,2}, S_{2,3},\dots проходятъ чрезъ точку K, что и тр. док.

Точка K называется центромъ гомологіи фигуры, составленной прямыми L_1, L_2, L_3,\dots. Изъ предыдущаго видно, что эта точка находится въ пересѣченіи окружности подобія (Z) съ прямыми, проведенными чрезъ постоянныя точки (I_1, I_2, I_3,\dots), параллельно прямымъ L_1, L_2, L_3,\dots.

54. Ломаныя линіи Тарри (Tarry). Если T_1, T_2, T_3,\dots суть такія соотвѣтственныя точки связанныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3,\dots, что прямыя T_1T_2, T_2T_3, T_3T_4,\dots суть соотвѣтственныя прямыя этихъ фигуръ, то ломаная линія T_1T_2T_3\dots T_{n+1} называется линіей Тарри.

Линія Тарри обращается въ мног~-къ Тарри, если послѣдняя точка ея (T_{n+1}) совпадаетъ съ первою (T_1) (Casey).

55. Пусть T_1, T_2, T_3,\dots суть вершины ломаной линіи Тарри (фиг. 163). Такъ какъ T_1I_1, T_2I_2, T_3I_3,\dots суть соотвѣтственныя прямыя связанныхъ фигуръ F_1, F_2, F_3,\dots, проходящія чрезъ постоянныя точки этихъ фигуръ I_1, I_2, I_3,\dots, то прямыя эти пересѣкаются въ одной точкѣ \Om на окружности подобія (51).

Точки T_2, T_3, T_4,\dots (по опредѣленію линіи Тарри) суть также соотвѣтственныя точки фигуръ F_1, F_2, F_3,\dots; поэтому прямыя T_2I_1, T_3I_2, T_4I_3,\dots также пересѣкаются въ одной точкѣ \Om' на окружности подобія.

Точки \Om и \Om' называются точками Брокара ломаной линіи Тарри.

56. Такъ какъ точки T_1 и T_2 фигуры F_1 суть соотвѣтственныя точкамъ T_2 и T_3 фигуры F_2, точки T_2 и T_3 фигуры F_2 суть соотвѣтственныя точкамъ T_3 и T_4 фигуры F_3 и т. д., то тр~-ки T_1I_1T_2, T_2I_2T_3, T_3I_3T_4,\dots суть связанныя фигуры, а потому они подобны; слѣдовательно, \angle I_1T_1T_2=\angle I_2T_2T_3=\angle I_3T_3T_4=\dots и \angle I_1T_2T_1=\angle I_2T_3T_2=\angle I_3T_4T_3=\dots.

Равные углы при соотвѣтственныхъ вершинахъ T_1, T_2, T_3,\dots тр~-въ T_1I_1T_2, T_2I_2T_3, T_3I_3T_4,\dots называются углами Брокара линіи Тарри T_1T_2T_3\dots и обозначаются чрезъ \omega и \omega'.

57. Центры подобія тр~-въ T_1I_1T_2, T_2I_2T_3, T_3I_3T_4,\dots, построенныхъ на сторонахъ линіи Тарри T_1T_2T_3\dots, находятся на окружности подобія I_1I_2I_3\dots этой линіи (51).

Вершины T_2, T_3, T_4,\dots линіи Тарри гомологичны съ центрами подобія тр~-въ T_1I_1T_2, T_2I_2T_3, T_3I_3T_4,\dots относительно центра гомологіи K, который называется центромъ гомологіи линіи Тарри (53).

Центръ гомологіи линіи Тарри находится на окружности подобія этой линіи.

58. Теорема. Разстояніе центра гомологіи линіи Тарри отъ сторонъ ея пропорціональны этимъ сторонамъ.

Обозначимъ чрезъ K центръ гомологіи линіи Тарри T_1T_2T_3\dots (фиг. 163). Такъ какъ эта точка находится въ пересѣченіи окружности подобія I_1I_2I_3\dots съ прямыми, проходящими чрезъ постоянныя точки I_1, I_2, I_3,\dots и параллельными сторонамъ линіи Тарри T_1T_2, T_2T_3, T_3T_4,\dots (53), то разстоянія ея x_1, x_2, x_3,\dots отъ этихъ сторонъ равны высотамъ I_1C_1, I_2C_2, I_3C_3,\dots тр~-въ T_1I_1T_2, T_2I_2T_3, T_3I_3T_4,\dots; тр~-ки же эти подобны; слѣдовательно, \frac{x_1}{T_1T_2}=\frac{x_2}{T_2T_3}=\frac{x_3}{T_3T_4}=\dots.

59. Такимъ образомъ, центръ гомологіи K линіи Тарри аналогиченъ по своимъ свойствамъ съ точкою Лемуана (или центромъ симедіанъ) гармоническаго мног~-ка; поэтому онъ называется точкою Лемуана или центромъ симедіанъ линіи Тарри, а прямыя KT_1, KT_2, KT_3,\dots, соединяющія эту точки съ вершинами линіи Тарри, называются симедіанами этой линіи.

Очевидно, что симедіаны KT_2, KT_3,\dots линіи Тарри T_1T_2T_3\dots суть симедіаны тр~-въ T_1T_2T_3, T_2T_3T_4,\dots.

60. Теорема. Перпендикуляры изъ постоянныхъ точек линіи Тарри на ея стороны пересѣкаются на окружности подобія въ точкѣ, діаметрально противоположной съ точкою Лемуана.

Дѣйствительно, такъ какъ перпендикуляры I_1C_1, I_2C_2, I_3C_3,\dots (фиг. 163) изъ постоянныхъ точекъ I_1, I_2, I_3,\dots на стороны линіи Тарри T_1T_2, T_2T_3, T_3T_4,\dots суть соотвѣтственныя прямыя связанныхъ фигуръ I_1T_1T_2, I_2T_2T_3, I_3T_3T_4,\dots, то они пересѣкаются въ одной точкѣ O на окружности подобія I_1I_2I_3\dots (52). Замѣтивъ~-же, что \angle OI_1K=\angle OC_1T_2=90^\circ, заключаемъ, что прямая KO есть діаметръ окружности подобія I_1I_2I_3\dots.

61. Окружность подобія линіи Тарри называется окружностью Брокара этой линіи. Изъ послѣдней теоремы слѣдуетъ, что діаметромъ окружности Брокара линіи Тарри служитъ прямая KO, соединяющая точку Лемуана этой линіи съ точкою пересѣченія перпендикуляровъ на ея стороны изъ постоянныхъ точекъ.

Точки Брокара линіи Тарри (\Om, \Om') находятся на окружности Брокара этой линіи (55).

Легко убѣдиться, что \angle KO\Om=\omega\quad\mbox{и}\quad \angle KO\Om'=\omega', гдѣ \omega и \omega' --- углы Брокара линіи Тарри.

62. Теорема. Если углы Брокара (\omega, \omega') линіи Тарри равны, то вершины ея расположены на одной окружности.

Если \omega=\omega', т. е. \angle I_1T_1T_2=\angle I_2T_2T_3=\dots=\angle I_1T_2T_1=\angle I_2T_3T_2=\dots, то тр~-ки T_1I_1T_2, T_2I_2T_3, T_3I_3T_4\dots равнобедренные и точки C_1, C_2, C_3,\dots (фиг. 163) суть средины сторонъ T_1T_2, T_2T_3, T_3T_4,\dots, т. е. C_1T_1=C_1T_2,~~C_2T_2=C_2T_3,~~ C_3T_3=C_3T_4,~~\dots; поэтому OT_1=OT_2=OT_3=\dots; слѣдовательно, вершины линіи Тарри T_1, T_2, T_3,\dots находятся на одной окружности, имѣющей центръ въ O на окружности Брокара.

Слѣдствіе. Если линія Тарри вписывается въ кругъ, то ея окружность Брокара имѣетъ діаметромъ прямую KO, соединяющую точку Лемуана съ центромъ описаннаго круга.

Въ этомъ случаѣ, вслѣдствіе равенства угловъ Брокара \omega и \omega', прямая \Om\Om' перпендикулярна къ прямой KO.

63. Теорема. Углы Брокара (\omega, \omega') мног~-ка Тарри равны.

Ибо, если углы \omega и \omega' не равны, напр. \omega\gt\omega', то (фиг. 163) C_1T_1\lt C_1T_2,~~ C_2T_2\lt C_2T_3,~~C_3T_3\lt C_3T_4\dots, а потому OT_1\lt OT_2\lt OT_3\lt OT_4\lt\dots, т. е. точки T_2, T_3, T_4,\dots послѣдовательно удаляются отъ точки O, и потому ни одна изъ нихъ не можетъ совпасть съ предшествующей, т. е. ломаная линія T_1T_2T_3\dots не можетъ обратиться въ замкнутый мног~-къ; слѣдовательно, если эта ломаная замыкается въ мног~-къ, то \omega=\omega'.

Слѣдствіе. Мног~-къ Тарри есть гармоническій мног~-къ, ибо при равенствѣ \omega=\omega' линія Тарри вписывается въ кругъ.

Упражненія.

1. Если \omega есть уголъ Брокара гармоническаго чет~-ка ABCD, то \cosEc^2\omega=\cosEc^2A+\cosEc^2B=\cosEc^2C+\cosEc^2D.

2. Если средину E діагонали AC гармоническаго чет~-ка ABCD соединить съ пересѣченіемъ F противоположныхъ сторонъ его AB и CD, то получится уголъ AEF, равный углу Брокара этого чет~-ка (Neuberg).

3. Прямая, соединяющая средину стороны гармоническаго чет~-ка съ срединою перпендикуляра, опущеннаго на эту сторону изъ точки пересѣченія двухъ прилежащихъ сторонъ, проходитъ чрезъ точку Лемуана чет~-ка.

4. Радикальная ось круга, описаннаго около гармоническаго чет~-ка, и второго круга Лемуана проходитъ чрезъ точку Лемуана этого чет~-ка.

5. Если S и S' суть предѣльныя точки окружности Брокара гармоническаго чет~-ка и окружности, описанной около него, то окружность, имѣющая діаметромъ отрѣзокъ SS', проходитъ чрезъ точки Брокара чет~-ка \Om и \Om'.

6. При тѣхъ~-же значеніяхъ S и S' углы при основаніяхъ равнобедренныхъ тр~-въ \Om S\Om' и \Om S'\Om' равны 45^\circ+\omega и 45^\circ-\omega, гдѣ \omega --- уголъ Брокара чет~-ка.

7. Если прямыя S\Om и S\Om' пересѣкаются съ окружностью Брокара въ Z и Z', то окружность, имѣющая діаметромъ отрѣзокъ ZZ', проходитъ чрезъ центръ круга, описаннаго около чет~-ка.

8. Если сѣкущая гармоническаго n~-угольника, проходящая чрезъ точку Лемуана K, пересѣкается съ его сторонами въ точкахъ R_1, R_2, R_3,\dots,R_n и съ прямою Лемуана въ точкѣ P, то \frac1{KR_1}+\frac1{KR_2}+\dots+ \frac1{KR_n}=\frac n{KP}\eqno\mbox{(Casey).}

9. Если перпендикуляры изъ какой-нибудь точки прямой Лемуана на стороны гармоническаго мног~-ка a, b, c,\dots равны \alpha, \beta, \gamma,\dots, а разстоянія точки Лемуана этого мног~-ка отъ тѣхъ~-же сторонъ суть x, y, z,\dots, то \frac\alpha a+\frac\beta b+\frac \gamma c+\dots=0 и \frac\alpha x+\frac\beta y+\frac \gamma z+\dots=0\eqno\mbox{(Casey).}

10. Если перпендикуляры изъ вершинъ гармоническаго n~-угольника и его точки Лемуана на прямую Лемуана равны p_1, p_2,\dots,p_n и p, то \frac1{p_1}+\frac1{p_2}+\dots +\frac1{p_n}=\frac np\eqno\mbox{(Casey).}

11. Если трансверсаль гармоническаго n~-угольника, проходящая чрезъ его точку Лемуана K, пересѣкается со сторонами его и съ описанною окружностью въ точкахъ R_1, R_2,\dots,R_n и P, то \frac1{R_1P}+\frac1{R_2P}+\dots+\frac1{R_nP}=\frac n{KP}\qquad\eqno\mbox{(Simmons).}

12. Центры подобія каждой пары послѣдовательныхъ сторонъ гармоническаго мног~-ка суть вершины другого гармоническаго мног~-ка (Tarry).

13. Симедіаны гармоническаго мног~-ка, составленнаго соотвѣтственными прямыми подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ гармоническаго мног~-ка ABC\dots, проходятъ чрезъ средины симедіанъ этого мног~-ка, продолженныхъ до пересѣченія съ описанной окружностью.

14. Точка Лемуана гармоническаго мног~-ка, составленнаго соотвѣтственными прямыми подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ гармоническаго мног~-ка ABC\dots, находится на окружности Брокара этого мног~-ка.

15. Центры подобія каждыхъ двухъ гармоническихъ мног~-въ, составленныхъ соотвѣтственными прямыми подобныхъ и сходственно расположенныхъ фигуръ, построенныхъ на сторонахъ гармоническаго мног~-ка ABC\dots, находится на окружности Брокара этого мног~-ка.

16. Каждая окружность, проходящая чрезъ двѣ послѣдовательныя вершины гармоническаго n~-угольника и чрезъ одинъ изъ его центровъ инверсіи, пересѣкается съ описанною окружностью подъ угломъ, равнымъ \frac{180^\circ}n. Всѣ такія окружности касаются одной окружности, при чемъ точки касанія суть вершины другого гармоническаго мног~-ка.

17. Окружности, проходящія чрезъ двѣ послѣдовательныя вершины гармоническаго мног~-ка ABC\dots и чрезъ его точку Лемуана K, пересѣкаютъ окружность, описанную около этого мног~-ка, подъ равными углами. Всѣ эти окружности касаются одной окружности, соосной съ окружностью Брокара мног~-ка ABC\dots и окружностью, описанною около него, при чемъ точки касанія суть вершины другого гармоническаго мног~-ка.

18. Если касательныя изъ вершинъ гармоническаго n~-угольника къ окружности Брокара равны t_1, t_2,\dots,t_n, то \frac1{t_1^2}+\frac1{t_2^2}+\dots+\frac1{t_n}^2=\frac n{R^2-\delta^2}, гдѣ R --- радіусъ круга, описаннаго около мног~-ка, а \delta --- діаметръ его окружности Брокара.

19. Прямыя A\Om, B\Om, C\Om,\dots, соединяющія вершины гармоническаго мног~-ка ABC\dots съ его точкою Брокара \Om, пересѣкаются съ окружностью, описанною около этого мног~-ка, въ вершинахъ другого гармоническаго мног~-ка, равнаго мног~-ку ABC\dots и имѣющаго общую съ нимъ точку Брокара \Om.

20. Если \rho_1, \rho_2, \rho_3,\dots,\rho_n суть радіусы окружностей A\Om B, B\Om C, C\Om D,\dots, проходящихъ чрезъ двѣ послѣдовательные вершины гармоническаго n~-угольника ABCD\dots и одну изъ его точекъ Брокара, то \rho_1\cdot\rho_2\cdot\rho_3\cdot\dots\cdot\rho_n= 2^n\cos\frac{90^\circ}n\cdot R^n, гдѣ R --- радіусъ круга, описаннаго около мног~-ка. Центры окружностей A\Om B, B\Om C, C\Om D,\dots суть вершины мног~-ка, подобнаго мног~-ку ABC\dots.

21. Если a, b, c,\dots и a', b', c',\dots суть центры окружностей A\Om B, B\Om C, C\Om D,\dots и A\Om'B, B\Om'C, C\Om'D,\dots, гдѣ \Om и \Om' суть точки Брокара гармоническаго мног~-ка ABC\dots, то мног~-ки abc\dots и a'b'c'\dots равны и гомологичны относительно центра круга, описаннаго около мног~-ка ABC\dots; этотъ центръ совпадаетъ съ одной изъ точекъ Брокара мног~-въ abc\dots и a'b'c'\dots.

22. Если стороны AB, BC, CD, DE,\dots гармоническаго мног~-ка дѣлятся на части пропорціональныя въ точкахъ L, M, N, P,\dots, то окружности LBM, MCN, NDP,\dots пересѣкаются въ одной точкѣ на окружности Брокара мног~-ка ABC\dots и каждая изъ нихъ дѣлитъ пополамъ одну изъ симедіанъ мног~-ка, продолженныхъ до пересѣченія съ описанною окружностью.

23. Если \Om, \Om' суть точки Брокара гармоническаго n~-угольника ABC\dots, то A\Om\cdot B\Om\cdot C\Om\cdot\dots= A\Om'\cdot B\Om'\cdot C\Om'\cdot\dots==\left(R\sEc\frac{180^\circ}n \sin\omega\right)^n, гдѣ R --- радіусъ круга, описаннаго около мног~-ка, и \omega --- его уголъ Брокара.

24. Если стороны AB, BC, CD,\dots гармоническаго шестиугольника ABCDEF дѣлятся на части пропорціональныя въ точкахъ L, M, N, P, Q, R, то окружности, проходящія чрезъ точки L и R, M и Q, N и P и пересѣкающіяся въ одной точкѣ на окружности Брокара шестиугольника, имѣютъ общую радикальную ось.

25. Окружности, проходящія чрезъ двѣ послѣдовательныя вершины гармоническаго мног~-ка ABC\dots и касающіяся окружности Брокара, пересѣкаются съ окружностью, описанною около мног~-ка, подъ равными углами и касаются одной окружности, соосной съ описанною окружностью и окружностью Брокара.

26. Точки касанія прямой Лемуана гармоническаго мног~-ка съ окружностями, проходящими чрезъ двѣ послѣдовательныя вершины этого мног~-ка, образуютъ инволюцію.

27. Если S, S' и \Om, \Om' суть центры инверсіи и точки Брокара гармоническаго n~-угольника, то \table{ \angle S\Om S'&=&\angle S\Om'S'&=&\frac{360^\circ}n,\\ \angle S\Om\Om'&=&\angle S\Om'\Om&=&\frac{180^\circ}n+\omega,\\ \angle S'\Om\Om'&=&\angle S'\Om'\Om&=&\frac{180^\circ}n-\omega, } гдѣ \omega --- уголъ Брокара мног~-ка (Casey).

28. Если прямыя S\Om и S\Om' (или S'\Om' и S'\Om) пересѣкаются съ окружностью Брокара гармоническаго n~-угольника въ точкахъ Z и Z', то \angle ZOZ'=\frac{360^\circ}n\eqno\mbox{(Casey).}

29. Система связанныхъ фигуръ, имѣющихъ одинъ общій центръ подобія S, преобразуется чрезъ инверсію также въ систему связанныхъ фигуръ, если за начало инверсіи принять точку S.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.

(Римскими цифрами обозначены главы,
арабскими --- параграфы.)

А.

Автополярный тр~-къ@III, 11

Адамса окружность@IX, 66

Адамса теорема@IX, 65

Ангармоническое отношеніе касательныхъ@II, 19

Ангармоническое отношеніе конциклическихъ точекъ@IV, 26

Ангармоническое отношеніе пучка@II, 11

Ангармоническое отношеніе точекъ@II, 4

Антибиссектрисы тр~-ка@V, 52

Антигомологичныя точки окружностей@III, 46

Антигомологичныя хорды окружностей@III, 46

Антидополнительный тр~-къ@I, 37

Антидополнительныя точки@VII, 14

Антипараллели Лемуана@VI, 42

Антипараллели Лемуана гармоническаго чет~-ка@X, 10

Антипараллели Лемуана гармоническаго мног~-ка@X, 41

Антипараллели тр~-ка@V, 4

Антипараллели Тэйлора@VI, 56

Антипараллельныя прямыя@V, 1

Антиподарные правильные тр~-ки@IX, 31

Антиподарные тр~-ки@VIII, 2

Аполлонія окружности@VIII, 71

Архимеда теорема@I, 16

Б.

Барицентръ@VI, 4

Биссектрисы@I, 7

Бріаншона теорема@II, 22

Бріаншона точка@II, 22

Брокара окружность тр~-ка@VII, 40

Брокара окружность гармоническаго чет~-ка@X, 4

Брокара окружность гармоническаго мног~-ка@X, 29

Брокара окружность ломаной линіи Тарри@X, 61

Брокара прямая@VII, 52

Брокара тр~-къ первый@VII, 41

Брокара тр~-къ второй@VII, 57

Брокара чет~-ки@X, 5

Брокара мног~-ки@X, 29

Брокара теорема@VII, 61

Брокара точки тр~-ка@VII, 51

Брокара точки гармоническаго чет~-ка@X, 8

Брокара точки гармоническаго мног~-ка@X, 32

Брокара точки ломаной линіи Тарри@X, 55

Брокара уголъ тр~-ка@VII, 45

Брокара уголъ гармоническаго чет~-ка@X, 6

Брокара уголъ гармоническаго мног~-ка@X, 30

Брокара уголъ ломаной линіи Тарри@X, 56

В.

Веррьера теорема@V, 39

Взаимно обратныя окружности@IV, 12

Взаимно полярныя фигуры@III, 15

Взаимные радіусы векторы@IV, 1

Взаимныя (изотомическія) сѣкущія тр~-ка@V, 44

Взаимныя точки тр~-ка@V, 48

Взаимныя (обратныя) точки@IV, 1

Вигарье теорема@VIII, 13

Внѣшніе центры медіанъ@VI, 4

Внутреннія дуги окружностей@IX, 1

Внѣшнія дуги окружностей@IX, 1

Внѣшнія медіаны тр~-ка@VI, 2

Внѣшнія симедіаны тр~-ка@VI, 11

Вторая окружность Лемуана@VI, 43

Второй тр~-къ Брокара@VII, 57

Второй шестиугольникъ Лемуана@VI, 46

Высоты тр~-ка@I, 16

Г.

Гамильтона теорема@I, 27

Гармонически связанная прямая съ точкою@V, 57

Гармонически связанныя точки@V, 59

Гармонически сопряженные лучи@II, 42

Гармонически сопряженные отрѣзки@II, 37

Гармонически сопряженныя точки@II, 36

Гармоническіе пучки@II, 42

Гармоническій мног~-къ@X, 20

Гармоническій тр~-къ@III, 11

Гармоническій чет~-къ@X, 1

Гармоническія конциклическія точки@II, 49

Гармоническія точки@II, 36

Гармоническое дѣленіе@II, 37

Гарта теорема@IV, 35

Гаусса прямая@I, 45

Гаусса теорема@I, 45

Гомографическіе пучки@II, 54

Гомографическіе ряды точекъ@II, 9

Гомографическій рядъ@II, 52

Гомографія@II, 52

Гомологичные (перспективные) тр~-ки@II, 25

Гомологичныя (перспективныя) фигуры@II, 29

Гомотетіи ось@II, 33@II, 35

Гомотетичныя фигуры@II, 30

Гоффара теорема@VIII, 66

Гребе теорема@VI, 28

Д.

Даламбера теорема@II, 35

Дважды ортологическіе тр~-ки@VIII, 49

Двойные лучи пучка@II, 54

Двойныя точки гомографическаго ряда@II, 53

Двойныя точки инволюціи@II, 56

Девяти точекъ (Эйлера) окружность@I, 25

Дезарга теорема@II, 24@II, 63

Дезарга соотношенія@II, 60

Діагонали полнаго чет~-ка@I, 44

Добавочныя точки Жергона@I, 17

Добавочныя точки Нагеля@I, 18

Добавочныя точки подобныхъ фигуръ@VII, 25

Дополнительный тр~-къ@I, 37

Дополнительныя точки@VII, 14

Дополнительныя фигуры@VII, 16

Дуги внѣшняя и внутренняя@IX, 1

Дѣленіе гармоническое@II, 37

Е.

Енжабека точки@V, 56

Ж.

Жергона добавочныя точки@I, 17

Жергона теорема@I, 35

Жергона точка@I, 17

Жергона тр~-ки@IX, 63

И.

Изогонали тр~-ка@V, 14

Изогонально сопряженныя фигуры@V, 23

Изогональныя прямыя@V, 11

Изогональныя точки тр~-ка@V, 18

Изогоническіе центры@IX, 28

Изодинамическіе центры@VIII, 75

Изодіагональный чет~-къ@IV, 51

Изологическіе центры@VIII, 86

Изотомически сопряженныя (взаимныя) точки тр~-ка@V, 48

Изотомическія прямыя@V, 45

Изотомическія (взаимныя) сѣкущія тр~-ка@V, 44

Изотомическія точки тр~-ка@V, 43

Изоциклическія точки@V, 29

Инверсія@IV, 2

Инволюція@II, 55

К.

Кази теорема@IV, 32

Карно окружности@IX, 22

Карно теорема@I, 6@I, 32@IX, 23

Каспари теорема@V, 50

Каспари тр~-ки@V, 51

Каталана шестиугольникъ@VI, 62

Кая окружности@IX, 60

Коллинеарныя точки@II, 1

Конциклическія гармоническія точки@II, 49

Конциклическія точки@II, 18

Кругъ см. окружность

Л.

Лемуана антипараллели@VI, 42

Лемуана первая окружность@VI, 34

Лемуана вторая окружность@VI, 43

Лемуана окружности гармоническаго чет~-ка@X, 11

Лемуана окружности гармоническаго мног~-ка@X, 48

Лемуана параллели@VI, 33

Лемуана параллели гармоническаго чет~-ка@X, 4

Лемуана параллели гармоническаго мног~-ка@X, 28

Лемуана прямая@VI, 31

Лемуана прямая гармоническаго чет~-ка@X, 3

Лемуана прямая гармоническаго мног~-ка@X, 26

Лемуана теорема@VI, 25@VI, 34

Лемуана точка тр~-ка@VI, 24

Лемуана точка гармоническаго чет~-ка@X, 3

Лемуана точка гармоническаго мног~-ка@X, 20

Лемуана точка ломаной линіи Тарри@X, 59

Лемуана шестиугольники@VI, 37@VI, 46

Ломаная линія Тарри@X, 54

Лоншана окружность@IX, 40

Лоншана прямая@IX, 42

Лучи гармонически сопряженные@II, 42

Лучи двойные@V, 54

Лучи инволюціи@II, 61

Лучи центральные@II, 54

Лучъ@II, 10

М.

Матье теорема@V, 11

Медіаны внѣшнія тр~-ка@VI, 2

Медіаны внутреннія тр~-ка@I, 15

Медіаны чет~-ка@IV, 38

Медіатрисы тр~-ка@I, 21

Менелая теорема@I, 5

Метагармоническіе тр~-ки@VIII, 54

Метагармоническіе центры@VIII, 63

Метаполюсы@IX, 6

Метаполярные чет~-ки@VIII, 45

Микеля теорема@I, 46

Микеля точка@I, 47

Многоугольники Брокара@V, 29

Многоугольники гармоническіе@X, 20

Многоугольники подобные@VII, 1

Монжа теорема@III, 34

Н.

Нагеля теорема@I, 43

Нагеля точка@I, 18

Направляющая точка подобныхъ фигуръ@VII, 24

Начало инверсіи@IX, 2

Начало ряда точекъ@II, 1

Нейберга окружности@IX, 48

Нейберга теорема@VII, 26@IX, 46

Ньютона теорема@II, 23@III, 12

О.

Обера прямая@I, 49

Обера теорема@I, 48

Обратныя (взаимныя) точки@IV, 1

Обратныя фигуры@IV, 1

Общія точки проэктивныхъ рядовъ@II, 21

Окружности Аполлонія@VIII, 71

Окружности Карно@IX, 22

Окружности Лемуана гармоническаго чет~-ка@X, 11

Окружности Лемуана гармоническаго мног~-ка@X, 48

Окружности Нейберга@IX, 48

Окружности ортогональныя@III, 37

Окружности соосныя@III, 52

Окружности сопряженныя@VII, 29

Окружности Schoute’а@VIII, 31

Окружности Торричелли@IX, 25

Окружности Тукера@VI, 51

Окружность Адамса@IX, 66

Окружность Брокара тр~-ка@VII, 40

Окружность Брокара гармоническаго чет~-ка@X, 4

Окружность Брокара гармоническаго мног~-ка@X, 20

Окружность Брокара ломаной линіи Тарри@X, 61

Окружность гомотетіи@III, 41

Окружность девяти точекъ (Эйлера)@I, 25

Окружность инверсіи@IV, 2

Окружность Кая@IX, 60

Окружность косинусовъ (вторая окружность Лемуана)@VI, 43

Окружность Лемуана первая@VI, 34

Окружность Лемуана вторая@VI, 43

Окружность Лоншана@IX, 40

Окружность подобія@VII, 17

Окружность подобія связанныхъ фигуръ@X, 50

Окружность, сопряженная съ тр~-мъ@IX, 37

Окружность, сходственная со второю окружностью Лемуана@VI, 47

Окружность тройнаго отношенія (первая окружность Лемуана)@VI, 34

Окружность Тукера гармоническаго мног~-ка@X, 42

Окружность Тукера гармоническаго чет~-ка@X, 13

Окружность Тэйлора@VI, 59

Окружность Фейербаха, иначе окружность Эйлера@I, 25

Ортогональныя окружности@III, 37

Ортогомологичные тр~-ки@VIII, 50

Ортологическіе тр~-ки@VIII, 38

Ортологическіе центры@VIII, 38

Ортодіагональный чет~-къ@IV, 39

Ортоцентрическая ось@V, 62

Ортоцентрическій тр~-къ@I, 40

Ортоцентръ@I, 16

Оси подобія@VII, 13

Оси Штейнера@VII, 43

Ось гомологіи (перспективы)@II, 25

Ось гомотетіи@II, 33

Ось гомотетіи окружностей@II, 35

Ось ортоцентрическая@V, 62

Ось радикальная@III, 28

Ось симметричной инверсіи@V, 31

Основаніе ряда точекъ@II, 1

Основныя точки окружностей@III, 58

Отрѣзки, гармонически сопряженные@II, 37

П.

Паппа теорема@I, 31@II, 48@III, 17@IV, 31

Параллели Лемуана тр~-ка@VI, 33

Параллели Лемуана гармоническаго чет~-ка@X, 4

Параллели Лемуана гармоническаго мног~-ка@X, 26

Парныя сопряженныя окружности@VII, 30

Паскаля прямая@I, 11

Паскаля теорема@I, 11

Первая окружность Лемуана@VI, 34

Первый тр~-къ Брокара@VII, 41

Перманентный центръ подобія@VII, 68

Перспективные (гомологичные) тр~-ки@II, 25

Перспективныя (гомологичныя) фигуры@II, 29

Пито теорема@IV, 42

Пиѳагора теорема@I, 3@IV, 22

Подарные тр~-ки@VIII, 1

Подарные правильные тр~-ки@VIII, 80

Подобно измѣняющіяся фигуры@VII, 67

Подобные мног~-ки (фигуры)@VII, 1

Полный четыреугольникъ@I, 44@VIII, 44

Полюсъ (прямой линіи)@III, 1

Полюсъ симметричной инверсіи@V, 31

Полюсъ трилинейный@V, 57

Поляра точки@III, 1

Поляра трилинейная@V, 57

Понселе теорема@I, 50

Постоянный тр~-къ@VII, 21

Постоянныя точки (подобныхъ фигуръ)@VII, 20

Постоянныя точки связанныхъ фигуръ@X, 50

Правильные антиподарные тр~-ки@IX, 31

Правильные подарные тр~-ки@VIII, 80

Предѣльныя точки@III, 59

Проэктивные пучки@II, 12

Проэктиыные ряды@II, 9

Прямая Брокара@VII, 52

Прямая гармонически связанная съ точкою@V, 57

Прямая Гаусса@I, 45

Прямая Лемуана тр~-ка@VI, 31

Прямая Лемуана гармоническаго чет~-ка@X, 3

Прямая Лемуана гармоническаго мног~-ка@X, 26

Прямая Лоншана@IX, 42

Прямая Обера@I, 49

Прямая Паскаля@I, 11

Прямая Симсона@I, 9

Прямая Тукера@VI, 55

Прямая Эйлера@I, 23

Прямыя изогональныя@V, 11

Прямыя изотомическія@V, 45

Прямыя, сопряженныя относительно окружности@III, 7

Прямыя Чевы@I, 13

Псевдоквадратъ@IV, 53

Птоломея теорема@IV, 21

Пучки гармоническіе@II, 42

Пучки гомографическіе@II, 54

Пучки проэктивные@II, 12

Пучокъ окружностей@III, 55

Пучокъ прямыхъ@II, 10

Р.

Радикальная окружность@III, 60

Радикальная ось@III, 28

Радикальный центръ@III, 36

Радіусы векторы@IV, 1

Ряды гомографическіе@II, 9

Ряды проэктивные@II, 9

Рядъ гомографическій@II, 52

Рядъ точекъ@II, 1

С.

Сальмона теорема@I, 10@II, 47@III, 13

Связанныя фигуры@X, 50

Связанный тр~-къ (съ полнымъ чет~-мъ)@VIII, 59

Симедіаны тр~-ка@VI, 10

Симедіаны тр~-ка внѣшнія@VI, 11

Симедіаны гармоническаго чет~-ка@X, 3

Симедіаны гармоническаго мног~-ка@X, 20

Симедіаны ломаной линіи Тарри@X, 59

Симметрично обратныя точки@V, 25

Симметрично обратныя фигуры@V, 31

Симсона прямая@I, 9

Симсона теорема@I, 9

Сонда теорема@VIII, 53

Соосныя окружности@II, 52

Соотвѣтственныя точки гомографіи@II, 52

Соотвѣтственныя точки инволюціи@II, 55

Соотвѣтственныя точки подобныхъ фигуръ@VII, 3

Сопряженная окружность съ тр~-мъ@IX, 37

Сопряженныя окружности тр~-ка@VII, 29

Сопряженныя окружности чет~-ка@X, 15

Сопряженныя окружности мног~-ка@X, 33

Сопряженныя парныя окружности@VII, 30

Сопряженныя точки относительно окружности@III, 7

Средняя точка чет~-ка@IV, 38

Степень гомографіи@II, 53

Степень инверсіи@IV, 2

Степень проэктивныхъ рядовъ@II, 51

Степень симметричной инверсіи@V, 31

Степень точки относительно окружности@III, 22

Сунса теорема@VIII, 47

Schoute’а окружности@VIII, 31

Т.

Тангенціальный тр~-къ@V, 5

Тарри ломаная линія@X, 54

Тарри теорема@VII, 18

Тарри точка@VII, 56

Теорема Адамса@IX, 65

Теорема Архимеда@I, 16

Теорема Бріаншона@II, 22

Теорема Брокара@VII, 61

Теорема Веррьера@V, 39

Теорема Вигарье@VIII, 13

Теорема Гамильтона@I, 27

Теорема Гарта@IV, 35

Теорема Гаусса@I, 45

Теорема Гоффара@VIII, 66

Теорема Гребе@VI, 28

Теорема Даламбера@II, 35

Теорема Дезарга@II, 24@II, 63

Теорема Жергона@I, 35

Теорема Кази@IV, 32

Теорема Карно@I, 6@I, 32@IX, 23

Теорема Каспари@V, 50

Теорема Лемуана@VI, 25@VI, 34

Теорема Матье@V, 11

Теорема Менелая@I, 5

Теорема Микеля@I, 46

Теорема Монжа@III, 34

Теорема Нагеля@I, 43

Теорема Нейберга@VII, 26@IX, 46

Теорема Ньютона@II, 23@III, 12

Теорема Обера@I, 48

Теорема Паппа@I, 31@II, 48@III, 17@IV, 31

Теорема Паскаля@I, 11

Теорема Пито@IV, 42

Теорема Пиѳагора@I, 3@IV, 22

Теорема Понселе@I, 50

Теорема Птоломея@IV, 21

Теорема Сальмона@I, 10@II, 47@III, 13

Теорема Симсона@I, 9

Теорема Сонда@VIII, 53

Теорема Сунса@VIII, 47

Теорема Тарри@VII, 18

Теорема Теркема@I, 33

Теорема Тири@VI, 18

Теорема Торричелли@IX, 26

Теорема Ѳалеса@I, 2

Теорема Фейербаха@I, 28@IV, 34

Теорема Хузеля@I, 39

Теорема Чевы@I, 13

Теорема Шаля@III, 19

Теорема Шлемильха@V, 47

Теорема Штаудта@VIII, 60

Теорема Штейнера@IV, 43@V, 15@VIII, 37

Теорема Эйлера@I, 24@II, 2

Теркема теорема@I, 33

Тири теорема@VI, 18

Торричелли окружности@IX, 25

Торричелли теорема@IX, 26

Торричелли точки@IX, 29

Точка Бріаншона@II, 22

Точка гармоинически связанная съ прямою@V, 57

Точка Жергона@I, 17

Точка Лемуана тр~-ка@VI, 25

Точка Лемуана гармоническаго чет~-ка@X, 3

Точка Лемуана гармоническаго мног~-ка@X, 20

Точка Лемуана ломаной линіи Тарри@X, 59

Точка Микеля@I, 47

Точка Нагеля@I, 18

Точка пропорціональнаго дѣленія@VII, 5

Точка средняя (чет~-ка)@IV, 38

Точка Тарри@VII, 56

Точка центральная@III, 24

Точка Штейнера@VII, 54

Точки антигомологичныя@III, 46

Точки антидополнительныя@VII, 14

Точки Брокара тр~-ка@VII, 51

Точки Брокара гармоническаго чет~-ка@X, 8

Точки Брокара гармоническаго мног~-ка@X, 32

Точки Брокара ломаной линіи Тарри@X, 54

Точки взаимныя@V, 48

Точки, гармонически связанныя@V, 59

Точки, гармонически сопряженныя@II, 36

Точки гармоническіе@II, 36

Точки двойныя (инволюціи)@II, 56

Точки добавочныя (подобныхъ фигуръ)@VII, 25

Точки добавочныя Жергона@I, 17

Точки добавочныя Нагеля@I, 18

Точки дополнительныя@VII, 14

Точки Енжабека@V, 56

Точки изогональныя@V, 18

Точки, изотомически сопряженныя@V, 48

Точки изотомическія@V, 42

Точки изоциклическія@V, 29

Точки коллинеарныя@II, 1

Точки конциклическія@II, 18

Точки конциклическія гармоническія@II, 49

Точки обратныя (взаимныя)@IV, 1

Точки основныя@III, 58

Точки постоянныя (подобныхъ фигуръ)@VII, 20

Точки предѣльныя@III, 59

Точки симметрично обратныя@V, 25

Точки соотвѣтственныя (гомографіи)@II, 52

Точки соотвѣтственныя (инволюціи)@II, 55

Точки соотвѣтственныя (подобныхъ фигуръ)@VII, 3

Точки, сопряженныя относительно окружности@III, 7

Точки Торричелли@IX, 29

Точки триполярно связанныя@VIII, 67

Точки циклотомическія@IX, 3

Точки Эйлера@I, 24

Трансверсаль@I, 1

Трансверсаль пучка@II, 11

Треугольники гомологичные (перспективные)@II, 25

Треугольники дважды ортологическіе@VIII, 49

Треугольники Жергона@IX, 63

Треугольники Каспари@V, 51

Треугольники метагармоническіе@VIII, 54

Треугольники ортогомологичные@VIII, 50

Треугольники ортологическіе@VIII, 38

Треугольники перспективные (гомологичные)@II, 25

Треугольникъ автополярный@III, 11

Треугольникъ антидополнительный@I, 37

Треугольникъ антиподарный@VIII, 2

Треугольникъ Брокара второй@VII, 57

Треугольникъ Брокара первый@VII, 41

Треугольникъ гармоническій@III, 11

Треугольникъ дополнительный@I, 37

Треугольникъ ортоцентрическій@I, 40

Треугольникъ основаній чевіанъ@I, 36

Треугольникъ подарный@VIII, 1

Треугольникъ подобія@VII, 17

Треугольникъ постоянный@VII, 21

Треугольникъ правильный антиподарный@IX, 31

Треугольникъ правильный подарный@VIII, 80

Треугольникъ связанный съ чет~-мъ@VIII, 59

Треугольникъ тангенціальный@V, 5

Треугольникъ Тэйлора@VI, 63

Трилинейная поляра@V, 57

Трилинейный полюсъ@V, 57

Триполярно связанныя точки@VIII, 67

Тукера окружности тр~-ка@VI, 51

Тукера окружности гармоническаго чет~-ка@X, 13

Тукера окружности гармоническаго мног~-ка@X, 42

Тукера прямая@VI, 55

Тукера шестиугольникъ@VI, 53

Тэйлора антипараллели@VI, 56

Тэйлора окружность@VI, 59

У.

Углы Брокара тр~-ка@VII, 45

Углы Брокара гармоническаго чет~-ка@X, 6

Углы Брокара гармоническаго мног~-ка@X, 30

Углы Брокара ломаной линіи Тарри@X, 56

Углы Штейнера@VII, 48

Ф.

Ѳалеса теорема@I, 2

Фейербаха окружность, иначе окружность Эйлера@I, 25

Фейербаха теорема@I, 28@IV, 34

Фигуры взаимно полярныя@III, 15

Фигуры гомологичныя (перспективныя)@II, 29

Фигуры гомотетичныя@II, 30

Фигуры дополнительныя@VII, 16

Фигуры изогонально сопряженныя@V, 23

Фигуры обратныя@IV, 1

Фигуры перспективныя (гомологичныя)@II, 29

Фигуры подобно измѣняющіяся@VII, 67

Фигуры связанныя@X, 50

Фигуры симметрично обратныя@V, 31

Х.

Хузеля теорема@I, 39

Ц.

Центральная точка@III, 24

Центръ внѣвписаннаго круга@I, 14

Центръ вписаннаго круга@I, 14

Центръ гомографіи@II, 52

Центръ гомологіи (перспективы)@II, 25

Центръ гомологіи связанныхъ фигуръ@X, 53

Центръ гомологіи ломаной линіи Тарри@X, 57

Центръ гомологіи подобныхъ фигуръ@VII, 18

Центръ гомотетіи@II, 30

Центръ гомотетіи окружностей@II, 34

Центръ (начало) инверсіи@IV, 2

Центръ инволюціи@II, 55

Центръ медіанъ@I, 15

Центръ окружности, сопряженной съ тр~-мъ@IX, 37

Центръ описаннаго круга@I, 21

Центръ перманентный@VII, 68

Центръ перспективы (гомологіи)@II, 25

Центръ подобія@VII, 4

Центръ пропорціональнаго дѣленія@VII, 5

Центръ проэктивныхъ рядовъ@II, 51

Центръ радикальной окружности@III, 70

Центръ радикальный@III, 36

Центръ симедіанъ тр~-ка@VI, 21

Центръ симедіанъ гармоническаго чет~-ка@X, 3

Центръ симедіанъ гармоническаго мног~-ка@X, 20

Центръ симедіанъ ломаной линіи Тарри@X, 59

Центръ среднихъ гармоническихъ@II, 41

Центръ среднихъ разстояній@I, 30

Центръ тяжести@I, 15

Центры антибиссектрисъ@V, 52

Центры взаимно обратныхъ окружностей@IV, 12

Центры изогоническіе@IX, 28

Центры изодинамическіе@VIII, 75

Центры изологическіе@VIII, 86

Центры инверсіи гармоническихъ мног~-въ@X, 25

Центры медіанъ (внѣшнихъ)@VI, 4

Центры метагармоническіе@VIII, 63

Центры ортологическіе@VIII, 38

Циклотомическія точки@IX, 3

Ч.

Чевіаны@I, 13

Чевы теорема@I, 13

Четыреугольники Брокара@X, 5

Четыреугольники метаполярные@VIII, 45

Четыреугольникъ гармоническій@II, 49@X, 1

Четыреугольникъ изодіагональный@IV, 51

Четыреугольникъ ортодіагональный@IV, 39

Четыреугольникъ полный@I, 44@VIII, 44

Ш.

Шаля теорема@III, 19

Шестиугольникъ Каталана@VI, 62

Шестиугольникъ Лемуана первый@VI, 37

Шестиугольникъ Лемуана второй@VI, 46

Шестиугольникъ Тукера@VI, 53

Шлемильха теорема@V, 47

Штаудта теорема@VIII, 60

Штейнера оси@VII, 43

Штейнера теорема@IV, 43@V, 15@VIII, 37

Штейнера точка@VII, 54

Штейнера углы@VII, 48

Э.

Эйлера окружность@I, 25

Эйлера прямая@I, 23

Эйлера теорема@I, 24@II, 2

Эйлера точки@I, 24

СОДЕРЖАНІЕ.

СОДЕРЖАНІЕ.

Предисловіе@0,0

Глава I. О трансверсаляхъ и прямыхъ Чевы@1,0

Сѣкущая или трансверсаль (1).@1,1|Теорема Ѳалеса (2).@1,2|Теорема Пиѳагора (3).@1,3|Теорема Меналая (5).@1,5|Теорема Карно (6).@1,6|Биссектрисы (7).@1,7|Теорема Симсона (9).@1,9|Теорема Сальмона (10).@1,10|Теорема Паскаля (11).@1,11|Теорема Чевы (13).@1,13|Медіаны (15).@1,15|Высоты тр~-ка (16).@1,16|Теорема Архимеда (16).@1,16|Медіатрисы (21).@1,21|Прямая Эйлера (23).@1,23|Точки Эйлера (24).@1,24|Теорема Эйлера (24).@1,24|Окружность Эйлера (25).@1,25|Теорема Гамильтона (27).@1,27|Теорема Фейербаха (28).@1,28|Центръ среднихъ разстояній (30).@1,30|Теорема Паппа (31).@1,31|Теорема Карно (32).@1,32|Теорема Теркема (33).@1,33|Теорема Жергона (35).@1,35|Дополнительный тр~-къ (37).@1,37|Теорема Хузеля (39).@1,39|Ортоцентрическій тр~-къ (40).@1,40|Теорема Нагеля (43).@1,43|Полный чет~-къ (44).@1,44|Теорема Гаусса (45).@1,45|Теорема Микеля (46).@1,46|Точка Микеля (47).@1,47|Теорема Обера (48).@1,48|Прямая Обера (49).@1,49|Теорема Понселе (50).@1,50|Упражненія.@1,100

Глава II. О рядахъ и пучкахъ@2,0

Теорема Эйлера (2).@2,2|Ангармоническое отношеніе точекъ (4).@2,4|Проэктивные ряды (9).@2,9|Конциклическія точки (18).@2,18|Теорема Бріаншона (22).@2,22|Теорема Ньютона (23).@2,23|Теорема Дезарга (24).@2,24|Гомологичные тр~-ки (25).@2,25|Гомологичныя фигуры (29).@2,29|Гомотетичныя фигуры (30).@2,30|Теорема Даламбера (35).@2,35|Гармоническія точки (36).@2,36|Гармоническіе пучки (42).@2,42|Теорема Сальмона (47).@2,47|Теорема Паппа (48).@2,48|Конциклическія гармоническія точки (49).@2,49|Центры проэктивныхъ рядовъ (50).@2,50|Гомографія (52).@2,52|Инволюція (55).@2,55|Соотношенія Дезарга (60).@2,60|Теорема Дезарга (63).@2,63|Упражненія.@2,100

Глава III. О полярахъ и радикальныхъ осяхъ@3,0

Полюсъ и поляра (1).@3,1|Точки и прямыя, сопряженныя относительно окружности (7).@3,7|Автополярный тр~-къ (11).@3,11|Теорема Ньютона (12).@3,12|Теорема Сальмона (13).@3,13|Взаимно полярныя фигуры (15).@3,15|Теорема Паппа (17).@3,17|Теорема Шаля (19).@3,19|Степень точки (22).@3,22|Радикальная ось (28).@3,28|Теорема Монжа (34).@3,34|Радикальный центръ (36).@3,36|Ортогональныя окружности (37).@3,37|Окружность гомотетіи (41).@3,41|Антигомологичныя точки окружностей (46).@3,46|Соосныя окружности (52).@3,52|Пучки окружностей (55).@3,55|Основныя точки (58).@3,58|Предѣльныя точки (59).@3,59|Сопряженные пучки окружностей (67).@3,67|Радикальныя окружности (69).@3,69|Упражненія.@3,100

Глава IV. Объ обратныхъ фигурахъ@4,0

Обратныя точки и фигуры (1).@4,1|Инверсія (2).@4,2|Теорема Птоломея I (21).@4,21|Теорема Птоломея II (23).@4,23|Теорема Птоломея III (24).@4,24|Теорема Паппа (31).@4,31|Теорема Кази (32).@4,32|Теорема Фейербаха (34).@4,34|Теорема Гарта (35).@4,35|Медіаны чет~-ка (38).@4,38|Ортодіагональный чет~-ки (39).@4,39|Теорема Пито (42).@4,42|Теорема Штейнера (43).@4,43|Изодіагональные чет~-ки (51).@4,51|Псевдоквадратъ (53).@4,53|Упражненія.@4,100

Глава V. Антипараллельныя, изогональныя и изотомическія прямыя треугольника@5,0

Антипараллельныя прямыя (1).@5,1|Антипараллели тр~-ка (4).@5,4|Тангенціальный тр~-къ (5).@5,5|Изогональныя прямыя (11).@5,11|Теорема Матье (11).@5,11|Изогонали тр~-ка (14).@5,14|Теорема Штейнера (15).@5,15|Изогональныя точки тр~-ка (18).@5,18|Изогонально сопряженныя фигуры (23).@5,23|Симметрично обратныя точки (25).@5,25|Изоциклическія точки (29).@5,29|Симметрично обратныя фигуры (31).@5,31|Теорема Веррьера (39).@5,39|Изотомическія точки тр~-ка (43).@5,43|Взаимныя сѣкущія тр~-ка (44).@5,44|Изотомическія прямыя (45).@5,45|Теорема Шлемильха (47).@5,47|Изотомически сопряженныя, или взаимныя точки тр~-ка (48).@5,48|Теорема Каспари (50).@5,50|Тр~-ки Каспари (51).@5,51|Антибиссектрисы тр~-ка (52).@5,52|Точки Енжабека (56).@5,56|Точки и прямыя, гармонически связанныя (57).@5,57|Ортоцентрическая ось (62).@5,62|Упражненія.@5,100

Глава VI. Медіаны и симедіаны треугольника@6,0

Медіаны (1).@6,1|Внѣшнія медіаны (2).@6,2|Центры медіанъ (4).@6,4|Симедіаны (10).@6,10|Внѣшнія симедіаны (11).@6,11|Теорема Тири (18).@6,18|Центры симедіанъ (21).@6,21|Точка Лемуана (24).@6,24|Теорема Лемуана (25).@6,25|Теорема Гребе (28).@6,28|Прямая Лемуана (31).@6,31|Параллели Лемуана (33).@6,33|Теорема Лемуана (34).@6,34|Первая окружность Лемуана (34).@6,34|Шестиугольникъ Лемуана (37).@6,37|Антипараллели Лемуана (42).@6,42|Вторая окружность Лемуана (43).@6,43|Второй шестиугольникъ Лемуана (46).@6,46|Окружности, сходственныя со второю окружностью Лемуана (47).@6,47|Окружности Тукера (51).@6,51|Шестиугольникъ Тукера (53).@6,53|Прямая Тукера (55).@6,55|Антипараллели Тэйлора (56).@6,56|Окружность Тэйлора (59).@6,59|Шестиугольникъ Каталана (62).@6,62|Тр~-къ Тэйлора (63).@6,63|Упражненія.@6,100

Глава VII. О подобныхъ фигурахъ@7,0

Подобные мног~-ки (1).@7,1|Центръ подобія (4).@7,4|Центръ пропорціональнаго дѣленія (5).@7,5|Оси подобія (13).@7,13|Дополнительныя и антидополнительныя точки (14).@7,14|Дополнительныя фигуры (16).@7,16|Тр~-къ и окружность подобія (17).@7,17|Теорема Тарри (18).@7,18|Постоянныя точки (20).@7,20|Постоянный тр~-къ (21).@7,21|Направляющая точка (24).@7,24|Добавочныя точки (25).@7,25|Теорема Нейберга (26).@7,26|Сопряженныя окружности (29).@7,29|Парныя сопряженныя окружности (30).@7,30|Окружность Брокара (40).@7,40|Первый тр~-къ Брокара (41).@7,41|Оси Штейнера (43).@7,43|Уголъ Брокара (45).@7,45|Углы Штейнера (48).@7,48|Точки Брокара (51).@7,51|Прямая Брокара (52).@7,52|Точка Штейнера (54).@7,54|Точка Тарри (56).@7,56|Второй тр~-къ Брокара (57).@7,57|Теорема Брокара (61).@7,61|Подобно измѣняющіяся фигуры (67).@7,67|Перманентный центръ подобія (68).@7,68|Упражненія.@7,100

Глава VIII. О подарныхъ треугольникахъ@8,0

Подарные тр~-ки (1).@8,1|Антиподарные тр~-ки (2).@8,2|Теорема Вигарье (13).@8,13|Окружности Schou­te’а (31).@8,31|Подарные тр~-ки изогональныхъ точекъ (34).@8,34|Тоерема Штейнера (37).@8,37|Ортологическіе тр~-ки (38).@8,38|Полный чет~-къ (44).@8,44|Метаполярные чет~-ки (45).@8,45|Теорема Сунса (47).@8,47|Дважды ортологическіе тр~-ки (49).@8,49|Ортогомологичные тр~-ки (50).@8,50|Теорема Сонда (53).@8,53|Метагармоническіе тр~-ки (54).@8,54|Тр~-къ, связанный съ полнымъ чет~-мъ (59).@8,59|Теорема Штаудта (60).@8,60|Метагармоническіе центры (63).@8,63|Теорема Гоффара (66).@8,66|Окружности Аполлонія (71).@8,71|Изодинамическіе центры (75).@8,75|Правильные подарные тр~-ки (80).@8,80|Изодинамическіе чет~-ки (83).@8,83|Изотомическія окружности (84).@8,84|Изологическіе центры (86).@8,86|Упражненія.@8,100

Глава IX. Метаполюсы и нѣкоторыя замѣчательныя окружности треугольника@9,0

Циклотомическія точки (3).@9,3|Метаполюсы тр~-ка (6).@9,6|Окружности Карно (22).@9,22|Теорема Карно (23).@9,23|Окружности Торричелли (25).@9,25|Теорема Торричелли (26).@9,26|Изогоническіе центры (28).@9,28|Точки Торричелли (29).@9,29|Правильные антиподарные тр~-ки (31).@9,31|Окружность, сопряженная съ тр~-мъ (37).@9,37|Окружность Лоншана (40).@9,40|Прямая Лоншана (42).@9,42|Теорема Нейберга (46).@9,46|Окружность Нейберга (48).@9,48|Окружность Кая (60).@9,60|Тр~-ки Жергона (63).@9,63|Теорема Адамса (66).@9,66|Упражненія.@9,100

Глава X. Гармоническіе четыреугольники и многоугольники@10,0

Гармоническіе чет~-ки (1).@10,1|Окружность Брокара (4).@10,4|Чет~-ки Брокара (5).@10,5|Уголъ Брокара (6).@10,6|Точки Брокара (8).@10,8|Окружности Лемуана (11).@10,11|Окружности Тукера (13).@10,13|Гармоническіе мног~-ки (20).@10,20|Центры инверсіи (25).@10,25|Прямая Лемуана (26).@10,26|Параллели Лемуана (28).@10,28|Мног~-ки Брокара (29).@10,29|Уголъ Брокара (30).@10,30|Точки Брокара (32).@10,32|Сопряженныя окружности (33).@10,33|Окружности Тукера (42).@10,42|Окружности Лемуана (48).@10,48|Связанныя фигуры (50).@10,50|Ломаныя линіи Тарри (54).@10,54|Упражненія.@10,100

Алфавитный указатель@11,0