2. Теорема Коперника. По неподвижной окружности, касаясь её изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка K
подвижной окружности?
Ответ. Диаметр окружности.
Указание. Проведите диаметр через первоначальную точку касания.
Решение. Пусть O
— центр неподвижной окружности, K_{0}
— первоначальная точка касания окружностей, O_{1}
— новый центр катящейся окружности, M
— новая точка касания, K
— движущаяся точка. Тогда \cup MK_{0}=\cup MK
, поэтому
\angle MO_{1}K=2\angle MOK_{0}.
По теореме о вписанном угле
\angle MO_{1}K=2\angle MOK,
значит, \angle MOK_{0}=\angle MOK
. Следовательно, точка K
лежит на прямой OK_{0}
.
