4. Точка P
удалена на расстояние, равное 7, от центра окружности, радиус которой равен 11. Через точку P
проведена хорда, равная 18. Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой P
.
Ответ. 12 и 6.
Указание. Опустите перпендикуляр из центра окружности на данную хорду.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр данной окружности, AB
— данная хорда, AB=18
, OP=7
. Пусть M
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
на хорду AB
. Тогда M
— середина AB
и
OM=\sqrt{OA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{40}.
Если точка P
находится между M
и B
, то
PM=\sqrt{OP^{2}-OM^{2}}=3.
Тогда
AP=AM+MP=9+3=12,BP=BM-MP=6.
Второй способ. Пусть O
— центр окружности, AB
— данная хорда. Проведём диаметр CD
, содержащий точку P
(P
между O
и D
). Обозначим PB=x
. Тогда
AP=18-x,~DP=OD-OP=11-7=4;
PC=OP+OC=7+11=18,~AP\cdot PB=PD\cdot PC,
или
(18-x)x=4\cdot18.
Из этого уравнения находим, что x=12
или x=6
.
