5. В большей из двух концентрических окружностей проведена хорда, равная 32 и касающаяся меньшей окружности. Найдите радиус каждой из окружностей, если ширина образовавшегося кольца равна 8.
Ответ. 12 и 20.
Указание. Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.
Решение. Пусть O
— центр окружностей, AB
— данная хорда большей окружности, M
— её точка касания с меньшей окружностью, r
— радиус меньшей окружности. Тогда M
— середина AB
(так как OM\perp AB
).
Первый способ. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AMO
:
OA^{2}=OM^{2}+MA^{2},~\mbox{или}~(r+8)^{2}=r^{2}+16^{2}.
Из этого уравнения находим, что r=12
.
Второй способ. Проведём диаметр CD
, содержащий точку M
(M
между C
и O
). Тогда
CM\cdot MD=AM\cdot MB,~\mbox{или}~8(2r+8)=16^{2}.
Из этого уравнения находим, что r=12
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.062, с. 163
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 8.3, с. 60