12. Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
Ответ. Дуги двух равных окружностей c общей хордой (без концов этой хорды).
Решение. Пусть
AB
— данный отрезок, а данный угол равен
\alpha
. Построим два треугольника
ABC
и
ABC'
так, чтобы точки
C
и
C'
лежали по разные стороны от прямой
AB
и
\angle ACB=\angle AC'B=\alpha
. Опишем окружности около этих треугольников. Докажем, что искомое геометрическое место точек — это две дуги построенных окружностей: дуга
AB
описанной окружности треугольника
ABC
, содержащая точку
C
, и дуга
AB
описанной окружности треугольника
ABC'
, содержащая точку
C'
.
Если точка
M
, отличная от
A
и
B
, лежит на первой из этих дуг, то по теореме о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу
\angle AMB=\angle ACB=\alpha.

Аналогично, для точки, лежащей на второй дуге.
Обратно, пусть точка
N
такова, что
\angle ANB=\alpha
. Предположим, что при этом точки
N
и
C
лежат по одну сторону от прямой
AB
. Докажем, что точка
N
лежит на первой из построенных дуг. Допустим, что это не так. Если точка
N
расположена внутри окружности, то продолжив отрезок
AN
за точку
N
, получим точку
K
пересечения луча
AN
с окружностью. Тогда
\angle AKB=\angle ACB=\alpha=\angle ANB,

что невозможно, так как
ANB
— внешний угол треугольника
BKN
, а тогда
\angle ANB=\angle AKB+\angle KBN\gt\angle AKB.

Аналогично для случая, когда точка
N
лежит вне окружности.
Если точки
N
и
C
лежат по разные стороны от прямой
AB
, то рассуждая аналогично, докажем что точка
N
лежит на второй из построенных дуг.
Таким образом, мы доказали, что из каждой точки построенных дуг (кроме
A
и
B
) отрезок
AB
виден под углом
\alpha
, и обратно, если из какой-то точки отрезок
AB
виден под углом
\alpha
, то эта точка лежит на одной из построенных дуг.

Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — с. 79
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 1, с. 205
Источник: Колмогоров А. Н. и др. Геометрия: Учебное пособие для 8 кл. средней школы. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1975. — № 2, с. 57
Источник: Болтянский В. Г., Яглом И. М. Преобразования. Векторы. — М.: Просвещение, 1964. — с. 78