40. В треугольнике ABC
известно, что AB=6
, AB=BC
. На стороне AB
как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону BC
в точке D
так, что BD:DC=2:1
. Найдите AC
.
Ответ. 2\sqrt{6}
.
Указание. AD
— высота треугольника ABC
.
Решение. Поскольку угол ADB
вписан в указанную окружность и опирается на её диаметр AB
, то \angle ADB=90^{\circ}
. Поэтому AD
— высота треугольника ABC
.
По теореме Пифагора из треугольников ABD
и ADC
находим, что
AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=36-16=20,
AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}=20+4=24.
Следовательно,
AC=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1979, вариант 1, № 3
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 70