49. Докажите, что около четырёхугольника, сумма противоположных углов которого равна 180^{\circ}
, можно описать окружность.
Указание. Проведите окружность через три вершины и докажите, что четвёртая также попадёт на эту окружность.
Решение. Пусть ABCD
— данный четырёхугольник и \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}
. Опишем окружность около треугольника ABD
. Если точка C
окажется на этой окружности, то утверждение доказано.
Пусть точка C
находится внутри окружности. Продолжим луч DC
до пересечения с окружностью в точке C_{1}
. Тогда
\angle BC_{1}D+\angle BAD=180^{\circ}
(свойство вписанного четырёхугольника). Поэтому \angle BCD=\angle BC_{1}D
. Поскольку BCD
— внешний угол треугольника CBB_{1}
, то
\angle BCD=\angle BC_{1}D+\angle CBC_{1},
что невозможно.
Аналогично для случая, когда точка C
вне окружности.
Примечание. См. статью Д.Терёшина «Вписанный четырёхугольник», Квант, 1992, N2, с.37-39.