51. Докажите, что окружности, описанные около трёх треугольников, отсекаемых от остроугольного треугольника средними линиями, имеют общую точку.
Указание. Докажите, что одна из точек пересечения окружностей, описанных около двух треугольников, лежит на третьей окружности.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины соответствующих сторон треугольника ABC
, M
— точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A_{1}BC_{1}
и AC_{1}B_{1}
, отличная от C_{1}
. Если точка M
лежит внутри треугольника ABC
, то
\angle A_{1}MB_{1}=360^{\circ}-\angle A_{1}MC_{1}-\angle B_{1}MC_{1}=
=360^{\circ}-(180^{\circ}-\angle B)-(180^{\circ}-\angle A)=
=\angle A+\angle B=180^{\circ}-\angle C.
Следовательно, точки C
, A_{1}
, M
и B_{1}
лежат на одной окружности.
Аналогично для случаев, когда точка M
лежит вне треугольника ABC
или на его стороне.
Примечание. Утверждение остаётся верным, если вместо середин взять любые три точки на сторонах треугольника.