54. Отрезки AB
и CD
— диаметры одной окружности. Из точки M
этой окружности опущены перпендикуляры MP
и MQ
на прямые AB
и CD
. Докажите, что длина отрезка PQ
не зависит от положения точки M
.
Указание. Центр данной окружности и точки P
, M
, Q
лежат на окружности, диаметр которой равен радиусу данной окружности.
Решение. Первый способ. Если O
— центр данной окружности, а R
— её радиус, то точки P
, M
, Q
, O
лежат на окружности с диаметром MO=R
. Поэтому
PQ=MO\sin\angle AOD=R\sin\angle AOD.
Второй способ. Пусть X
и Y
— точки, симметричные точке M
относительно прямых AB
и CD
соответственно. Тогда X
и Y
принадлежат данной окружности и PQ
— средняя линия треугольника MXY
. Поэтому XY=2PQ
, а XY
— основание равнобедренного треугольника (с вершиной в центре окружности) с постоянными боковыми сторонами (радиусами окружности) и с постоянным углом между ними.
