66. В выпуклом четырёхугольнике MNPQ
диагональ NQ
является биссектрисой угла PNM
и пересекается с диагональю PM
в точке S
. Найдите NS
, если известно, что около четырёхугольника MNPQ
можно описать окружность, PQ=12
, SQ=9
.
Ответ. 7.
Указание. Треугольник PQS
подобен треугольнику NQP
.
Решение. Поскольку
\angle QPS=\angle QPM=\angle MNQ=\angle QNP,
треугольник PQS
подобен треугольнику NQP
по двум углам (угол при вершине Q
— общий). Поэтому \frac{QS}{PQ}=\frac{PQ}{QN}
.
Пусть NS=x
. Тогда
\frac{9}{12}=\frac{12}{x+9}.
Из этого уравнения находим, что x=7
.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1981 (отделение общей геологии), вариант 2, № 5
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 91
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 14.38.2, с. 150