87. Докажите, что угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.
Указание. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Решение. Пусть AB
— хорда, AM
— касательная, O
— центр окружности. Обозначим через \alpha
градусную меру меньшей дуги AB
.
Первый способ. Пусть \angle MAB\lt90^{\circ}
. Из центра окружности опустим перпендикуляр OP
на AB
. Тогда каждый из углов MAB
и AOP
дополняет угол OAB
до 90^{\circ}
. Следовательно,
\angle MAB=\angle AOP=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}\alpha.
Пусть \angle MAB\gt90^{\circ}
. На луче, дополнительном к лучу AM
, возьмём точку M'
. Тогда \angle M'AB\lt90^{\circ}
. По доказанному \angle M'AB=\frac{1}{2}\angle AOB
, поэтому
\angle MAB=180^{\circ}-\angle M'AB=180^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\alpha).
Осталось заметить, что 360^{\circ}-\alpha
— градусная мера дуги, заключённой внутри угла MAB
.
Если \angle MAB=90^{\circ}
, то утверждение очевидно.
Второй способ. Пусть \angle MAB\lt90^{\circ}
. Через точку B
проведём хорду BC
, параллельную AM
. Тогда
\angle MAB=\angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}\alpha.
Пусть \angle MAB\gt90^{\circ}
. На луче, дополнительном к лучу AM
, возьмём точку M'
. Тогда \angle M'AB\lt90^{\circ}
. По доказанному \angle M'AB=\frac{1}{2}\angle AOB
, поэтому
\angle MAB=180^{\circ}-\angle M'AB=180^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\alpha).
Осталось заметить, что 360^{\circ}-\alpha
— градусная мера дуги, заключённой внутри угла MAB
.
Если \angle MAB=90^{\circ}
, то утверждение очевидно.
Третий способ. Пусть \angle MAB\lt90^{\circ}
. Продолжим AO
до пересечения с окружностью в точке K
и соединим точки K
и B
. Тогда \angle ABK=90^{\circ}
. Поэтому
\angle MAB=\angle KAM-\angle KAB=90^{\circ}-\angle KAB=\angle AKB=\frac{1}{2}\alpha.
Пусть \angle MAB\gt90^{\circ}
. На луче, дополнительном к лучу AM
, возьмём точку M'
. Тогда \angle M'AB\lt90^{\circ}
. По доказанному \angle M'AB=\frac{1}{2}\angle AOB
, поэтому
\angle MAB=180^{\circ}-\angle M'AB=180^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\alpha).
Осталось заметить, что 360^{\circ}-\alpha
— градусная мера дуги, заключённой внутри угла MAB
.
Если \angle MAB=90^{\circ}
, то утверждение очевидно.
