113. Окружность касается прямых AB
и BC
соответственно в точках D
и E
. Точка A
лежит между точками B
и D
, а точка C
— между точками B
и E
. Найдите площадь треугольника ABC
, если AB=13
, AC=1
, а точки A
, D
, E
и C
лежат на одной окружности.
Ответ. \frac{15\sqrt{3}}{4}
.
Указание. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный.
Решение. Поскольку BD=BE
и BD\cdot AB=BE\cdot BC
, то BC=AB=13
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\sqrt{BC^{2}-\frac{AC^{2}}{4}}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{13^{2}-\frac{1}{4}}=\frac{15\sqrt{3}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1985, вариант 2, № 3
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 8